专题03 二次根式（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材北京版

专题03二次根式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次根式的定义与有意义的条件 1. 准确判断： 能根据二次根式定义（，a≥0）判断代数式是否为二次根式。 2. 熟练求解： 能准确求出单个二次根式或有多个二次根式的复合式子中，字母的取值范围。 【易错点】 求解复合根式（如 ）的取值范围时，需同时满足所有被开方数≥0，取交集。 分母中含有二次根式时，除考虑被开方数≥0，还需保证分母不为零。 二次根式的双重非负性 1. 理解内涵： 能阐述二次根式（）本身及其被开方数（a）都具有非负性。 2. 综合应用： 能利用“若几个非负数的和为零，则每个数都为零”的性质解决代数问题。 【命题趋势】 常与绝对值、平方数结合，构成“0+0=0”型经典问题（例：若=0求 a²+b 的值）。  二次根式的性质 ()² 与 1. 区分应用： 能清晰区分()² = a (a≥0) 和 ) = |a|这两个性质，并正确应用。 2. 分类化简： 能根据a的符号，对 )进行化简，得出具体数值或代数式。 【易错点】  本考点最易出错。 学生常忽略 )的结果是 |a|，直接写成 a（例：=|x-5|)当x<5时结果为5-x）。 -该性质是化简和运算的基石，必考。 二次根式的乘法运算 1. 法则应用： 能熟练运用  · = (a≥0, b≥0)进行运算。 2. 逆向化简： 能逆用法则，将根号内能开得尽方的因数开到根号外，化为最简二次根式。 【考情规律】 乘法运算是基础，极少单独出题，但贯穿于所有混合运算中，是计算的根基。 二次根式的除法运算与分母有理化 1. 法则应用： 能熟练运用  = (a≥0, b>0)进行运算。 2. 掌握方法： 能通过找到有理化因式（如 的有理化因式是 ，a+ 的有理化因式是a-），对分母含有一个或两个二次根式的式子进行分母有理化。 【易错点】 有理化后，结果未化简成最简形式。 对形如 的式子有理化时，找不准有理化因式。 最简二次根式与同类二次根式 1. 判断标准： 能准确说出最简二次根式的两个条件（①被开方数无分母；②被开方数每个因式的指数都小于根指数2）。 2. 辨别归类： 能将一组二次根式全部化为最简形式，并从中找出同类二次根式。。 【易错点】 -此为加减法最大易错点。 学生未能先将所有二次根式彻底化为最简就匆忙判断是否为同类项，导致合并错误。 同类二次根式的判断是进行加减运算的前提。 二次根式的加减运算 1. 规范操作： 能严格按照“一化简、二辨别、三合并”的步骤进行加减运算。 2. 准确计算： 合并同类二次根式时，能准确进行系数相加减，并保持被开方数不变。 【命题趋势】 -期中必考计算题型。 纯粹考察加减法的题难度不高，但它是综合计算的必备环节。 二次根式的混合运算（四则） 1. 顺序清晰： 能牢记运算顺序（先乘除，后加减，有括号先算括号内），并进行正确计算。 2. 综合运用： 能将乘、除、加、减、有理化等多种运算技巧融会贯通，完成综合计算题。 【命题趋势】 期中考试核心计算题。 常以一道综合计算题的形式出现，分值较高，全面考察本章计算能力。 乘法公式在二次根式中的应用 1. 识别结构： 能识别出算式符合平方差公式 (a+b)(a-b)=a²-b²或完全平方公式 (a±b)²=a²±2ab+b²的结构。 2. 简化运算： 能主动运用乘法公式进行简便计算、化简或分母有理化（特别是分母为两项时）。 【考情规律】 公式的应用是提分的关键，能让复杂计算变得简单，是高水平学生的区分点。 二次根式的化简求值 1. 策略选择： 能先对代数式进行化简（包括分解因式、约分、分母有理化等），再代入数值求值。 2. 整体思想： 当所给值形式复杂时（如 x=+1），能运用整体思想代入求值，而非急于计算具体数值。 【命题趋势】 常作为解答题出现。 与代数式的变形技巧紧密结合，是本章知识和能力的综合体现，常见于中档或压轴题。 知识点01二次根式的定义 核心概念： 一般地，形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式。 关键点： 被开方数a必须是非负数，这是二次根式成立的“生命线”。 示例： , , 都是二次根式。 在实数范围内无意义，因为 -3<0。 易错点： 忽略定义域。看到，要立刻想到 x-2 ≥ 0，即 x ≥ 2。 知识点02 二次根式的双重非负性 核心概念： 二次根式 (a≥0) 具有双重非负性： 被开方数 a ≥ 0。 二次根式本身的值 ≥ 0。 应用： 常用于几个非负数之和为0的问题。 示例： 若 + |b-1| = 0，则根据非负性，必有 a+2=0 且 b-1=0，解得 a=-2, b=1。 易错点： 忘记二次根式本身的值也是非负的。 知识点03 二次根式的性质 (()²) 核心公式： (² = a (a≥0) 说明： 这个性质是“开平方”与“平方”两种运算的相互抵消。 示例： ()² = 5； ()² = m²+1。 易错点： 此性质成立的前提是 a≥0。 知识点04 最简二次根式 核心概念： 满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式： 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母）。 示例： 不是最简，可化为 2。 不是最简，可化为 。 , , 是最简二次根式。 易错点： 化简不彻底，特别是在进行加减运算前，必须将所有项化为最简二次根式。 知识点05 二次根式的乘法法则 核心公式： · = (a≥0, b≥0) 法则逆用： = · (a≥0, b≥0)，常用于化简。 示例： · = = = 3 = · · = 2 知识点06 二次根式的除法法则与分母有理化 核心公式： = (a≥0, b>0) 分母有理化： 把分母中的根号化去。 方法： 分子和分母同乘一个恰当的式子（称为有理化因式），使分母变为有理数。 常见有理化因式： 对于 ，有理化因式是 。 对于 ，有理化因式是（使用平方差公式）。 示例： = = = 2 = = 易错点： 有理化后忘记化简最终结果。 知识点07 同类二次根式 核心概念： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 示例： , , 化简后：2 3, 它们的被开方数都是 2，所以是同类二次根式。 易错点： 这是加减法的前提和易错点！ 没有先化简为最简二次根式，直接看原式判断是否同类，导致错误。 知识点08 二次根式的混合运算 核心概念： 二次根式的混合运算顺序与有理数的运算顺序相同：先乘方，再乘除，后加减；有括号的先算括号里面的。 技巧： 灵活运用乘法公式（平方差、完全平方公式）和运算律可以使计算简便。 示例： 计算 ( - )( + 1) 解法：= · + ·1 - · - ·1 = + - - = 2 - = （此处运用了乘法分配律） 易错点： 运算顺序混乱；运用乘法公式时出错。 题型一 双重非负性及其应用（“0+0=0”模型） 解｜题｜技｜巧 识别特征： 当题目中出现多个非负数的和为零（或平方和、算术平方根之和为零）时，立即联想到“非负数的性质”。 列出方程： 这些非负数包括：算术平方根（√a ≥ 0）、绝对值（a ≥ 0）、偶次幂（a²ⁿ ≥ 0）。 联立求解： 让每个非负数的表达式分别等于0，形成一个方程组，解出未知数的值。 代入求值： 将解出的未知数的值代入目标代数式中进行计算。 【典例1】若  + b-2 + (c+1)² = 0，求 a - b + c 的值。 【变式1】已知 y = y =   +  + 2024，求 的值。 【变式2】若 a、b 满足 a²-9 +  = 0，求 √(b²) 的值。 题型二 利用  = a 进行化简（分类讨论） 解｜题｜技｜巧 识别结构： 看到 的形式，立即写出其等价形式 a 或 代数式。 寻找零点： 令绝对值内的代数式等于0，求出零点。这个零点将数轴分为两段。 分类讨论： 根据未知数的取值范围，判断绝对值内代数式的正负性，从而去掉绝对值符号。 合并结果： 根据不同取值范围，写出最终的化简结果。 【典例1】化简 + x+1，其中 x < 2。 【变式1】化简 题型三 复杂分母有理化（分子分母均为两项） 解｜题｜技｜巧 识别类型： 分母形式为 a + 、a - 、+ 等两项式。 寻找有理化因式： 利用平方差公式 (m+n)(m-n)=m²-n²。 · a+ 的有理化因式是 a-。 · +的有理化因式是 -。 分子分母同乘： 分子和分母同时乘以分母的有理化因式。 化简结果： 计算新的分子和分母，并将最终结果化为最简形式。 【典例1】计算 的值。 【变式1】已知x = ，求 x² - 4x + 1 的值。 【变式2】比较大小： 与 。 题型四 二次根式的混合运算与整体代入求值 解｜题｜技｜巧 观察结构： 先不急于直接代入数值。仔细观察已知条件和所求代数式的形式。 化简求值： 先将所求的复杂代数式进行化简（分解因式、通分、约分等）。 寻找关系： 寻找化简后的式子与已知条件之间的整体关系。 整体代入： 将已知条件或其变形式子（如 a+b, ab, a-b 等）看作一个整体，代入化简后的式子中计算。 【典例1】已知 x =  + 1，y =  - 1，求 x²y + xy² 的值。 【变式1】已知 a = ，求 a³ + a + 2024 的值。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．估计的值应在（　　　） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 2．若，则中是（   ） A． B． C． D． 3．计算（）的结果是（　　） A． B． C． D． 4．计算： ． 5．如图，点A，B，C在数轴上，且点A是的中点，点A，B表示的数分别为，，则点C表示的数为 ． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D．2 2．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．请用“>，=，<”符号比较大小： ； 5．计算： . 6．规定两个整数a，b之间的一种运算记作，如果，那么．例如：因为，所以请解决下列问题： (1)填空：_________，，则_________； (2)如果整数a，m，n，满足，，，求的值． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二次根式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次根式的定义与有意义的条件 1. 准确判断： 能根据二次根式定义（，a≥0）判断代数式是否为二次根式。 2. 熟练求解： 能准确求出单个二次根式或有多个二次根式的复合式子中，字母的取值范围。 【易错点】 求解复合根式（如 ）的取值范围时，需同时满足所有被开方数≥0，取交集。 分母中含有二次根式时，除考虑被开方数≥0，还需保证分母不为零。 二次根式的双重非负性 1. 理解内涵： 能阐述二次根式（）本身及其被开方数（a）都具有非负性。 2. 综合应用： 能利用“若几个非负数的和为零，则每个数都为零”的性质解决代数问题。 【命题趋势】 常与绝对值、平方数结合，构成“0+0=0”型经典问题（例：若=0求 a²+b 的值）。  二次根式的性质 ()² 与 1. 区分应用： 能清晰区分()² = a (a≥0) 和 ) = |a|这两个性质，并正确应用。 2. 分类化简： 能根据a的符号，对 )进行化简，得出具体数值或代数式。 【易错点】  本考点最易出错。 学生常忽略 )的结果是 |a|，直接写成 a（例：=|x-5|)当x<5时结果为5-x）。 -该性质是化简和运算的基石，必考。 二次根式的乘法运算 1. 法则应用： 能熟练运用  · = (a≥0, b≥0)进行运算。 2. 逆向化简： 能逆用法则，将根号内能开得尽方的因数开到根号外，化为最简二次根式。 【考情规律】 乘法运算是基础，极少单独出题，但贯穿于所有混合运算中，是计算的根基。 二次根式的除法运算与分母有理化 1. 法则应用： 能熟练运用  = (a≥0, b>0)进行运算。 2. 掌握方法： 能通过找到有理化因式（如 的有理化因式是 ，a+ 的有理化因式是a-），对分母含有一个或两个二次根式的式子进行分母有理化。 【易错点】 有理化后，结果未化简成最简形式。 对形如 的式子有理化时，找不准有理化因式。 最简二次根式与同类二次根式 1. 判断标准： 能准确说出最简二次根式的两个条件（①被开方数无分母；②被开方数每个因式的指数都小于根指数2）。 2. 辨别归类： 能将一组二次根式全部化为最简形式，并从中找出同类二次根式。。 【易错点】 -此为加减法最大易错点。 学生未能先将所有二次根式彻底化为最简就匆忙判断是否为同类项，导致合并错误。 同类二次根式的判断是进行加减运算的前提。 二次根式的加减运算 1. 规范操作： 能严格按照“一化简、二辨别、三合并”的步骤进行加减运算。 2. 准确计算： 合并同类二次根式时，能准确进行系数相加减，并保持被开方数不变。 【命题趋势】 -期中必考计算题型。 纯粹考察加减法的题难度不高，但它是综合计算的必备环节。 二次根式的混合运算（四则） 1. 顺序清晰： 能牢记运算顺序（先乘除，后加减，有括号先算括号内），并进行正确计算。 2. 综合运用： 能将乘、除、加、减、有理化等多种运算技巧融会贯通，完成综合计算题。 【命题趋势】 期中考试核心计算题。 常以一道综合计算题的形式出现，分值较高，全面考察本章计算能力。 乘法公式在二次根式中的应用 1. 识别结构： 能识别出算式符合平方差公式 (a+b)(a-b)=a²-b²或完全平方公式 (a±b)²=a²±2ab+b²的结构。 2. 简化运算： 能主动运用乘法公式进行简便计算、化简或分母有理化（特别是分母为两项时）。 【考情规律】 公式的应用是提分的关键，能让复杂计算变得简单，是高水平学生的区分点。 二次根式的化简求值 1. 策略选择： 能先对代数式进行化简（包括分解因式、约分、分母有理化等），再代入数值求值。 2. 整体思想： 当所给值形式复杂时（如 x=+1），能运用整体思想代入求值，而非急于计算具体数值。 【命题趋势】 常作为解答题出现。 与代数式的变形技巧紧密结合，是本章知识和能力的综合体现，常见于中档或压轴题。 知识点01二次根式的定义 核心概念： 一般地，形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式。 关键点： 被开方数a必须是非负数，这是二次根式成立的“生命线”。 示例： , , 都是二次根式。 在实数范围内无意义，因为 -3<0。 易错点： 忽略定义域。看到，要立刻想到 x-2 ≥ 0，即 x ≥ 2。 知识点02 二次根式的双重非负性 核心概念： 二次根式 (a≥0) 具有双重非负性： 被开方数 a ≥ 0。 二次根式本身的值 ≥ 0。 应用： 常用于几个非负数之和为0的问题。 示例： 若 + |b-1| = 0，则根据非负性，必有 a+2=0 且 b-1=0，解得 a=-2, b=1。 易错点： 忘记二次根式本身的值也是非负的。 知识点03 二次根式的性质 (()²) 核心公式： (² = a (a≥0) 说明： 这个性质是“开平方”与“平方”两种运算的相互抵消。 示例： ()² = 5； ()² = m²+1。 易错点： 此性质成立的前提是 a≥0。 知识点04 最简二次根式 核心概念： 满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式： 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母）。 示例： 不是最简，可化为 2。 不是最简，可化为 。 , , 是最简二次根式。 易错点： 化简不彻底，特别是在进行加减运算前，必须将所有项化为最简二次根式。 知识点05 二次根式的乘法法则 核心公式： · = (a≥0, b≥0) 法则逆用： = · (a≥0, b≥0)，常用于化简。 示例： · = = = 3 = · · = 2 知识点06 二次根式的除法法则与分母有理化 核心公式： = (a≥0, b>0) 分母有理化： 把分母中的根号化去。 方法： 分子和分母同乘一个恰当的式子（称为有理化因式），使分母变为有理数。 常见有理化因式： 对于 ，有理化因式是 。 对于 ，有理化因式是（使用平方差公式）。 示例： = = = 2 = = 易错点： 有理化后忘记化简最终结果。 知识点07 同类二次根式 核心概念： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 示例： , , 化简后：2 3, 它们的被开方数都是 2，所以是同类二次根式。 易错点： 这是加减法的前提和易错点！ 没有先化简为最简二次根式，直接看原式判断是否同类，导致错误。 知识点08 二次根式的混合运算 核心概念： 二次根式的混合运算顺序与有理数的运算顺序相同：先乘方，再乘除，后加减；有括号的先算括号里面的。 技巧： 灵活运用乘法公式（平方差、完全平方公式）和运算律可以使计算简便。 示例： 计算 ( - )( + 1) 解法：= · + ·1 - · - ·1 = + - - = 2 - = （此处运用了乘法分配律） 易错点： 运算顺序混乱；运用乘法公式时出错。 题型一 双重非负性及其应用（“0+0=0”模型） 解｜题｜技｜巧 识别特征： 当题目中出现多个非负数的和为零（或平方和、算术平方根之和为零）时，立即联想到“非负数的性质”。 列出方程： 这些非负数包括：算术平方根（√a ≥ 0）、绝对值（a ≥ 0）、偶次幂（a²ⁿ ≥ 0）。 联立求解： 让每个非负数的表达式分别等于0，形成一个方程组，解出未知数的值。 代入求值： 将解出的未知数的值代入目标代数式中进行计算。 【典例1】若  + b-2 + (c+1)² = 0，求 a - b + c 的值。 【详解】 ∵  ≥ 0, b-2 ≥ 0, (c+1)² ≥ 0 （判断非负数） 且它们的和为0， ∴  = 0, b-2 = 0, (c+1)² = 0 （让每个部分为0） 即 a + 3 = 0, b - 2 = 0, c + 1 = 0 （解除绝对值和平方） 解得：a = -3, b = 2, c = -1 ∴ a - b + c = (-3) - 2 + (-1) = -6 （代入求值） 【变式1】已知 y =   +  + 2024，求 的值。 【详解】 ∵ 二次根式有意义， ∴ 1-x ≥ 0 且 x-1 ≥ 0 （考虑定义域） 即 x ≤ 1 且 x ≥ 1 ∴ x = 1 （求出公共解） 则 y = + + + 2024 = 0 + 0 + 2024 = 2024 ∴  =  = 1 【变式2】若 a、b 满足 a²-9 +  = 0，求 √(b²) 的值。 【详解】 ∵ a²-9 ≥ 0, ≥ 0，且和为0， ∴ a² - 9 = 0 且 9 + 3a + b = 0 由 a² - 9 = 0，得 a = 3 或 a = -3 当 a = 3 时，代入第二式：9 + 3×3 + b = 0 => 18 + b = 0 => b = -18 当 a = -3 时，代入第二式：9 + 3×(-3) + b = 0 => 0 + b = 0 => b = 0 ∴  = b 当 b = -18 时，b = 18；当 b = 0 时，b = 0。 题型二 利用 = a 进行化简（分类讨论） 解｜题｜技｜巧 识别结构： 看到 的形式，立即写出其等价形式 a 或 代数式。 寻找零点： 令绝对值内的代数式等于0，求出零点。这个零点将数轴分为两段。 分类讨论： 根据未知数的取值范围，判断绝对值内代数式的正负性，从而去掉绝对值符号。 合并结果： 根据不同取值范围，写出最终的化简结果。 【典例1】化简 + x+1，其中 x < 2。 【详解】 ∵ x < 2 （给定范围，直接讨论） ∴ x - 5 < 2 - 5 = -3 < 0 => = x-5 = -(x-5) = 5 - x 又 ∵ x < 2，无法直接判断 x+1 的符号。 令 x + 1 = 0，得 x = -1。以 x=-1 为界，在 x<2 的范围内再细分： 当 x < -1 时，x+1 < 0 => x+1 = -(x+1) = -x-1 当 -1 ≤ x < 2 时，x+1 ≥ 0 => x+1 = x+1 ∴ 最终结果为： 当 x < -1 时，原式 = (5 - x) + (-x - 1) = 4 - 2x 当 -1 ≤ x < 2 时，原式 = (5 - x) + (x + 1) = 6 【变式1】化简 【详解】 原式 = = x - 3 （识别完全平方公式） 接下来进行分类讨论： 当 x ≥ 3 时，原式 = x - 3 当 x < 3 时，原式 = -(x - 3) = 3 - x 题型三 复杂分母有理化（分子分母均为两项） 解｜题｜技｜巧 识别类型： 分母形式为 a + 、a - 、+ 等两项式。 寻找有理化因式： 利用平方差公式 (m+n)(m-n)=m²-n²。 · a+ 的有理化因式是 a-。 · +的有理化因式是 -。 分子分母同乘： 分子和分母同时乘以分母的有理化因式。 化简结果： 计算新的分子和分母，并将最终结果化为最简形式。 【典例1】计算 的值。 【详解】 分母为  + ，其有理化因式为  - 。 原式 =  * （分子分母同乘） = （分子用完全平方，分母用平方差） = = 2 - （约分） 【变式1】已知 x = ，求 x² - 4x + 1 的值。 【详解】 先对 x 进行分母有理化：  x = = =  现在求 x² - 4x + 1： 直接代入   =5+4-4-4+1 =2 【变式2】比较大小： 与 。 【详解】 直接计算差值不好比较，采用分母有理化法比较倒数或本身。  = = 同理， =  ∵ > > 0 ∴ <  ∴ <  题型四 二次根式的混合运算与整体代入求值 解｜题｜技｜巧 观察结构： 先不急于直接代入数值。仔细观察已知条件和所求代数式的形式。 化简求值： 先将所求的复杂代数式进行化简（分解因式、通分、约分等）。 寻找关系： 寻找化简后的式子与已知条件之间的整体关系。 整体代入： 将已知条件或其变形式子（如 a+b, ab, a-b 等）看作一个整体，代入化简后的式子中计算。 【典例1】已知 x =  + 1，y =  - 1，求 x²y + xy² 的值。 【详解】 【直接代入法】 计算复杂易错。 【整体法】 原式 = xy(x + y) （先因式分解，找到与已知条件的联系） 计算 x + y 和 xy： x + y = ( + 1) + ( - 1) = 2 xy = ( + 1)( - 1) = ()² - (1)² = 3 - 1 = 2 （平方差公式） ∴ 原式 = 2 * 2 = 4√3 （整体代入） 【变式1】已知 a = ，求 a³ + a + 2024 的值。 【详解】 观察 a 的值，它是黄金比例数，满足 a² = a + 1 的性质。 验证：a² ===  a + 1 =+ 1 =。果然 a² = a + 1。 那么 a³ = a * a² = a(a+1) = a² + a = (a+1) + a = 2a + 1 ∴ a³ + a + 2024 = (2a + 1) + a + 2024 = 3a + 2025 将 a = 代入： 原式 = 3×+ 2025 =  + 2025 =  + + 2025  期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．估计的值应在（　　　） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】D 【分析】先计算原式的结果，再根据结果判断范围． 【详解】原式， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了无理数的估算问题，掌握计算规则并准确化简是解决问题的关键． 2．若，则中是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 根据二次根式的除法运算法则，进行计算，即可求解． 【详解】解：， 故选：B； 3．计算（）的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的混合运算法则，计算化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式乘法运算法则． 利用二次根式乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．如图，点A，B，C在数轴上，且点A是的中点，点A，B表示的数分别为，，则点C表示的数为 ． 【答案】 【分析】由题意得，进而求得点C表示的数即可． 本题考查了实数与数轴，熟练掌握实数与数轴的对应关系是解题的关键． 【详解】解：点A是的中点， ， 点C表示的数为 故答案为： 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)20 (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算以及根据二次根式的性质化简． （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． （2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． （3）直接利用二次根式的乘法法则计算即可． （4）直接利用二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握运算法则是解本题的关键；直接合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故选：C． 2．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二次根式的计算，根据二次根式的乘法，二次根式的性质分别计算、化简，再判断，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A.与无意义，故此项不正确； B.不相等，故此项不正确； C.，相等，故此项正确； D.，不相等，故此项不正确； 故选：C． 4．请用“>，=，<”符号比较大小： ； 【答案】> 【分析】本题考查了算术平方根和实数的大小比较，求出，，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为： 5．计算： . 【答案】 【详解】试题解析：= 6．规定两个整数a，b之间的一种运算记作，如果，那么．例如：因为，所以请解决下列问题： (1)填空：_________，，则_________； (2)如果整数a，m，n，满足，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算的理解与应用，需根据定义将问题转化为指数方程求解，解题的关键是注意整数条件的限制． （1）根据定义求解即可； （2）先根据定义得出，然后将方程相乘，再与 ③联立列出得出关于的一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：； 【小问2】 整数a，m，n，满足，，， ， 得，④， 由③、④得，， ，解得，． 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $