4.1 一元二次方程 第2课时 一元二次方程（2）-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年九年级上册数学（青岛版）

第4章一元二次方程 4.1一元二次方程 第2课时 一元二次方程(2) 情 境 导 入 4.1一元二次方程 第2课时 一元二次方程(2) 学习无理数时，我们曾利用有理数来估计一个无理数的大致范围.实际上，当时我们已经解决了估计一个最简单的一元二次方程x2=m(m是一个大于0的有理数)的根的问题.对于一般的一元二次方程，如何估计它的根呢？ 新 课 探 究 4.1一元二次方程 第2课时 一元二次方程(2) 在上一课时的探究二中，我们得到了如下的一元二次方程： x2+(x+7)2=112 , ② 你能估计出这个方程的根吗？ 探究二、 直角三角形斜边长为11cm,两条直角边的差为7cm，如果要求出两条直角边的长，应该怎样列出方程？ 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 判断一个数是否为一元二次方程的根 将数分别代入方程的左、右两边 左边求值 右边求值 比较 左边=右边 左边≠右边 是方程的根 不是方程的根 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 合作探究 (1) 估计出方程②的根，可以先估计出方程根的一个大致范围. 结合方程②的实际意义，你能说出适合方程②的x的一个大致范围吗？ 小亮:因为x是直角三角形中直角边的长，一定为正值，且小于斜边的长，所以可以估计x的范围是0＜x＜11. x2+(x+7)2=112 , ② 小莹：因为较长直角边x+7小于斜边的长，因而x+7＜11,解得x＜4; 又因为两直角边的和大于斜边，因而x+(x+7) ＞11,解得x＞2. 所以可以估计x的范围是2＜x＜4. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 (2) 小亮与小莹的估计范围正确吗？你认为谁估计的范围更合理？ 小亮:因为x是直角三角形中直角边的长，一定为正值，且小于斜边的长，所以可以估计x的范围是0＜x＜11. 小莹：因为较长直角边x+7小于斜边的长，因而x+7＜11,解得x＜4; 又因为两直角边的和大于斜边，因而x+(x+7) ＞11,解得x＞2. 所以可以估计x的范围是2＜x＜4. 二人的估计范围都是正确的，但相比之下，小莹估计的范围更小一些，更便于进一步估计原方程的根. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 (3) 怎样才能进一步缩小估计的范围呢？ 将方程②进行变形，化为： x2+7x=36. ④ 利用二分法，取2和4的中间值3，分别计算当x=2,3,4时，方程④左边的代数式的值，并与36比较大小，填写下表： x 2 3 4 x2+7x 与36比较 说明在3和4之间有方程④的根，并且根的整数部分是3. 18 30 44 小于36 小于36 大于36 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 (4)取3和4的中间值3.5，借助计算器计算当x=3.5时x2+7x的值，并比较它与36的大小，填写下表： x 3 3.5 4 x2+7x 与36比较 说明在3和3.5之间有方程④的根. 30 36.75 44 小于36 大于36 大于36 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 (5)取3和3.5的中间值3.3，重复以上过程，填写下表： x 3 3.3 3.5 x2+7x 与36比较 说明在3.3和3.5之间有方程④的根. 30 33.99 36.75 小于36 小于36 大于36 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 (6) 同样地，再取3.3和3.5的中间值3.4，填写下表： x 3.3 3.4 3.5 x2+7x 与36比较 说明在3.4和3.5之间有方程④的根，并由此可知这个根的十分位上的数字是4，即x=3.4… 借助计算器继续做下去，可以陆续确定方程④的根的百分位、千分位上的数字，……由于方程④的根就是方程②的根，这样就能用估计的方法求出方程②的根的精确到0.01，0.001，…的近似值. 33.99 35.36 36.75 小于36 小于36 大于36 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 (7)如果不考虑方程④的实际意义，你会估计方程④还有其他的根吗？ 小莹是这样想的：因为当x的值较大时，如x≥4时，方程的左边x2+7x＞36，所以原方程不可能有大于或等于4的根. 当0≤x≤3时，0≤x2+7x＜36，所以原方程在0和3范围内也不可能有根.这就是说，方程④有一个根在3和4之间，这个问题我们已经解决，并且不可能有其他的正根.当x＜0时，x2是正数，7x是负数.当x的绝对值较大时，例如当x=-12时，x2+7x=60＞36.所以在-12和0之间还有原方程的根，这个根是负根. 课后小组合作，尝试求出原方程在-12和0之间的负根. 课 堂 小 结 4.1一元二次方程 第2课时 一元二次方程(2) 单击此处添加标题文本内容 估算一元二次方程的根的具体步骤 列表 确定范围 取近似值 把未知数的值分别代入ax2+bx+c,并计算 在表格中找出使代数式ax2+bx+c的值可能为0，且符合要求的未知数的取值范围 进一步利用二分法取中间值，缩小范围，确定近似值 THANK YOU $