4.1一元二次方程讲练结合2025-2026学年青岛版数学九年级上册

4.1一元二次方程讲练结合 知识点一：一元二次方程的概念 方程两边都是(整式)，只含有（一个未知数)，并且（整理后未知数的最高次数是2）这样的方程叫做一元二次方程。 1．下列方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 4．已知关于x的方程． (1)m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)m为何值时，此方程是一元二次方程？ 知识点二：一元二次方程的一般形式 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．3，1，1 B．3，， C．3，，0 D．3，1，0 2．把一元二次方程化为一般形式为 ． 3．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)． (2)． (3) 知识点三：一元二次方程的根 1. 定义 使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元次方程的根。 2. 判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法将这个数值代人一元二次方程,看该方程两边是否相等,若相等,则是方程的根;若不相等,则不是方程的根。 1．已知方程x2+kx﹣6＝0的一个根是1，则k的值为（　　） A．6 B．5 C．3 D．2 2．已知是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 易错点：忽视二次项系数不为0致错 1．关于的一元二次方程的一个解是0，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 2．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（   ） A． B． C． D．或 课后练习 1．若是一元二次方程，则m的值为（    ） A．2 B． C． D． 2．若的一个解为，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．已知关于x的一元二次方程有一个根为0，则（    ）． A．0或 B．0 C． D．0或5 4．已知是一元二次方程的一个解，且，则的值为 ． 5．若是关于的一元二次方程，求、的值，下面是两位学生的解法： 甲：根据题意得，，解方程组得，． 乙：由题意得，或，，解方程组得，或，． 你认为上述两位同学的解法是否正确？为什么？如果不正确，请给出正确答案． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1一元二次方程讲练结合答案 知识点一：一元二次方程的概念 1．A 【分析】根据一元二次方程定义逐项判定即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，化简得-10x=4，不是一元二次方程，故此选项不符合题； C、，分母含有未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题； D、，当m=-3时，是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题； 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，只含量有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程叫一元二次方程． 2．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：D． 3． 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且． 由，得． 但，即． 故． 故答案为：． 4．(1) (2) 【分析】（1）根据方程是一元一次方程二次项系数为0列式求解即可得到答案； （2）根据方程为一元二次方程保证二次项系数不为0列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得； 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握定义列等式或不等式． 知识点二：一元二次方程的一般形式 1．B 【分析】先将方程化为一般式，即可进行解答． 【详解】解：将化为一般式为：， ∴二次项系数为3，一次项系数为，常数项为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的相关定义，解题的关键是掌握一元二次方程中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 2． 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是熟练运用整式运算和等式性质进行方程变形． 通过去括号和移项，将方程化为一般形式． 【详解】解：由原方程 ， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 故答案为：． 3．(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为5 (2)，二次项系数为6，一次项系数为1，常数项为 (3)，二次项系数为2，一次项系数为，常数项为 【分析】（1）通过移项将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可； （2）通过整式乘法运算及移项将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可； （3）通过整式乘法运算及移项将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可． 【详解】（1）解：方程整理得：， 则二次项系数为3，一次项系数为，常数项为5； （2）方程整理得：， 则二次项系数为6，一次项系数为1，常数项为； （3）方程整理得：， 则二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 知识点三：一元二次方程的根 1．B 【分析】把x＝1代入方程x2+kx﹣6＝0中得到关于k的一元一次方程求解即可 【详解】解：把x＝1代入方程x2+kx﹣6＝0中，得12+k•1﹣6＝0，解得：k＝5， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程解，使方程两边代数式值相等的未知数的值． 2．6 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，代数式求值， 根据一元二次方程的根可得出， 然后代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 易错点：忽视二次项系数不为0致错 1．A 【分析】本题考查一元二次方程的定义、一元二次方程的解及解一元二次方程，根据一元二次方程的定义得出是解题的关键． 把代入方程得，，求得或，再根据，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是0， ∴把代入得，， ∴ 解得或， ∵，即， ∴． 故选：A． 2．C 【分析】利用一元二次方程根的定义，确定出的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴且， 解得：． 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为为常数且，理解一元二次方程的定义是解题的关键． 课后练习 1．B 【分析】根据一元二次方程中未知数的最高次数为2，可得，根据二次项的系数不能为0，可得，由此可解． 【详解】解：由题意知， 解，得， 解，得， 因此m的值为， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义、解一元二次方程，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2．A 【分析】把代入，得，对进行化简，即可． 【详解】∵是的一个解， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的解． 3．C 【分析】先将代入求出关于m的一元二次方程，再根据因式分解法求解，最后根据一元二次方程的定义限定取值范围作答即可． 【详解】将代入得， ， 解得，， ∵是一元二次方程， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，解题时注意． 4． 【分析】根据一元二次方程解的定义把代入求得，然后对所求分式进行化简，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 5．上述两位同学的解法都不正确，理由见解析 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．分5种情况分别求解即可． 【详解】解：上述两位同学的解法都不正确， ∵是关于的一元二次方程， ∴①， 解得； ② 解得； ③ 解得； ④ 解得； ⑤ 解得． 综上所述，，，，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的概念．解题的关键是分5种情况讨论x的指数． 学科网（北京）股份有限公司 $