第二章 有理数及其运算 （四大题型） 2025-2026学年北师大版 七年级数学上册

初一数学（上）-----有理数及其运算（四大题型） 有理数运算 一，知识点：1，-1的偶数次方为1；-1的奇数次方为-1 2，“0+0”型 概念：几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0 格式：〡 〡+ 〡 〡+〡 〡=0 +=0等 3，整体思路（一对相反数的和为0，互为倒数的两个数的乘积为0等变形） 二，习题： 1， 如果规定收入为正，则支出为负，支出8元记作（ ） 2， 一个数在数轴上的对应点到原点的距离为m，则这个数的绝对值为（ ） A，-m B，m C， m D， 3， 下列计算正确的是（ ） A,=-64 B，=64 C，=64 D，=-64 4，如图，点D把直线AB从左至右依次分成1:2两部分，C是AB的中点，若DC=3，则线段AB的长是（ ） A D C B A，18 B，12 C，16 D， 5，如图，按图中的程序进行计算，如果输入的数是-3.则输出的数是（ ） 是绝对值大于40 输入 输出 否 6，如果〡a-2〡+ 7，x,y互为相反数，a,b互为倒数，c的绝对值等于，则 8，A,B是两个整数，我们规定A※B表示A与A后面的B个连续整数的和。如2※3=2+3+4+5=14，那么（-4）※7=（ ） 9，若 10，往返于甲乙两地的列车，中途需要停靠6个车站，如果每两站的路程都并不相同，则（ ） （1）这两地之间有（ ）种不同的票价 （2）要准备（ ）种不同的车票 11，观察下列各式的计算过程 55=01100+25 （1）请写出65 1552100+25 （2）你试想第n个等式（n为正整数）=（ ） 255=23100+25 355=34100+25 …… 绝对值 一，知识点：1，在数轴上右边的数永远比左边的数大 2，求一个数的绝对值必须先判断绝对值里面的数的正负性 ①较大数-较小数＞0 ②较小数-较大数＜0 ③同号相加取相同的符号 ④异号相加取绝对值较大数符号 3，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，0的绝对值为0 ①a-b的相反数是b-a ②a+b的相反数是-a-b 4，在数轴上，绝对值越大的数与原点距离越远 二，习题： 1，有理数a,b在数轴上对应的位置如图所示，化简〡a-b〡-〡a+b〡-〡a〡的结果是（ ） a 0 b 2，如果a＞0,b＜0, 〡a〡＜〡b〡,则a,b,-a,-b的大小关系是（ ） 3，如果〡-a〡=-a,下列成立的是（ ） A，-a一定是非负数 B，-a一定是负数 C，〡a〡一定是正数 D，〡a〡不能是0 4，绝对值大于2而小于5的整数是（ ） 5，已知a,b表示两个非0的有理数，则 A，2 B，-2 C，1 D，0 数轴题 1， 知识点：1，数轴上求两点之间的距离： ①确定谁大谁小（距离=较大数-较小数） ②不确定谁大谁小（距离=差的绝对值） ③已知移动的距离，求点在数轴上表示的数（ 不确定移动方向） 分类讨论 向右移动：起点+距离 向左移动：起点-距离 2， 数轴上的中点公式：两数和的一半 3， 与路程问题（相遇问题，追及问题相结合） 1，在数轴上表示数-1098和2025的两点分别为A和B，则A和B两点间的距离是（ ） 2，在数轴上与表示-5的点的距离等于8的点所表示的数是（ ） 3，已知数轴上点A,B表示的数分别为-3,5，P为数轴上任意一点，其表示的数为x，如果点P到点A,B的距离之和为10，则A,B两点之间的距离为（ ），x的值是（ ） 4，在数轴上，一动点m向右移动3个单位长度到达点B，再向左移动4个单位长度到达点C，若点C表式的数为1，则点m表示的数为（ ） 5，在数轴上点A表示的数为a,点B为原点，点C表示的数c，且已知a,c满足〡a-8〡+ （1）a=( ) c=( ) （2）若AC的中点M，则点M表示的数为（ ） （3）若A,C两点同时以每秒2个单位长度的速度向左运动，求第几秒时，恰好有BA=BC 6，如图，在数轴上有三点A,B,C，满足0A=20cm,AB=60cm,BC=10cm.点P从点O向右以2cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发，在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P,Q停止运动 （1）求点O与点C之间的距离（ ） （2）若点Q运动速度为3cm/s，经过多长时间P,Q两点相遇？ （3）当点P运动到线段AB上且PB=PA时，点Q运动到的位置恰好是OA的中点，求点Q的运动速度 O A B C M 有理数的应用 1， 知识点：与标准质量向比较，计算式时要注意数的正负号 求总质量与数的正负性无关 某稻谷加工厂从生产的大米中抽出20袋检查质量，以每袋100千克为标准，将不足的千克记作负数，与标准质量偏差结果记录如下： 偏差（千克） -0.5 -0.4 0 +0.2 +0.5 袋数 3 5 3 4 5 （1） 与标准质量比较，这20袋大米总价超过多少千克或不足多少千克？ （2） 这20袋大米的总质量是多少？ 2， 知识点：与出发地相距多远，计算时要注意带正负号 求总路程，计算时与正负性无关，用绝对值计算 某修建小组从A地出发，在南北方向的公路上检修线路，如果规定向南行驶为正，向北行驶为负，那么这个检修小组一天中行驶的路程记录如下（单位：千米）：-7，+5，-9，+3，+9，-6，-3 （1）收工时检修小组距A地多远？ （2）若检修小组所乘坐的汽车每千米耗油0.6升，则从出发到收工共耗油多少升？ 3， 知识点：带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数 带负号的数表示同一时刻比北京时间晚的时数 下表列出了国外几个城市与北京的时差 （1） 如果现在的北京时间是下午4点钟，那么现在的芝加哥时间是多少？ 城市 时差 巴黎 -7 东京 +1 芝加哥 -14 （2） 小王现在想给远在巴黎的爸爸打电话，你认为合适吗？ 4，知识点：注意付款时折后价，求原价一定要分类讨论 某超市开业，为了吸引顾客，实行优惠，方案如下表 购物数量 小于200元 满200，不超过500元 超过500元 优惠方式 不予优惠 标价9折优惠 500元（包括500元）给予9折优惠，超过500元部分给予8折优惠 （1）小张付款170元，求购买了标价为多少元的商品？ （2）小张购物x元（x＞500），求小张付款多少元？（用含x的代数式表示） （3）小张两次购买，第一次购买了标价为260元的商品，第二次购买了标价540元的商品，如果他把两次购买的商品合并为一次，请你计算，他可以节省多少元钱？ 答案： 有理数运算 1， -8 2，B 3，D 4,18 5，-75 6，1 7，- 8，-8 9，a=-7 b=5 10，28种 56种 11，6×7×100+25 100n(n-1)+25 绝对值 1， -a 2，b＜-a＜a＜-b 3，A 4，-3，3，-4，4 5，C 数轴题 1，3123 2，-13或3 3，8 4或6 4，2 5，（1）a=8,c=-4 (2)2 (3)解：设第t秒时BA=BC 运动距离为：2×t=2t（个） t秒后点A,C在数轴上表示的数为：C：-4-2t A：8-2t BA=〡8-2t〡 BC=0-(-4-2t)=4+2t 所以：〡8-2t〡=4+2t t=1秒 所以1秒后恰好BA=BC 6， （1）10+60+20=90(cm） （2）解：设经过t秒后点P,Q相遇 （2+3）×t=90 t=18 所以点P,Q经过18秒后相遇 （3） PB=60×=15cm PA=60×=45cm OP=45+20=65cm 所以点P,Q的运动时间为65➗2=32.5秒 CQ=10+60+10=80cm 点Q的速度为：80➗32.5=cm/s 所以点Q的速度为cm/s 有理数的应用 1， （1）3×（-0.5）+（-0.4）×5+0×3+0.2×4+0.5×5=-0.2（千克）所以不足0.2千克 （2）20×100-0.2=199.8（千克） 所以这20袋大米的总质量是199.8千克。 2， （1）-7+5-9+3+9-6-3=-8（千克） 所以距离A地8千米处 （2）〡-7〡+〡5〡+〡-9〡+〡+3〡+〡+9〡+〡-6〡+〡-3〡=42(千克） 42×0.6=25.2（升） 所以从出发到收工共耗油25.2升 3， （1）下午4时=16时 （2）16+（-7）=9时 16+（-14）=2时 所以合适 所以芝加哥时间为为凌晨2时 4， （1）打9折：原价：170➗0.9≈189（元） 不打折：原价：170元 所以购买了170元的商品 （3） （x-500）×0.8+500×0.9=(0.8x+150)元 所以小张付款（0.8+150）元 （4） 合并后：260+540=800元 合并前：260×0.9=234元 0.8x+150 0.8x+150 =0.8×800+150 =0.8×540+150 234+482=716元 =690元 =482元 716-690=26元 所以节省了26元 学科网（北京）股份有限公司 $