第23章 相似提分重点-2025-2026学年九年级数学上册单元复习提分（人教版）

第23章相似 全章提分重点 重点1图形的旋转 1.如图，在平面直角坐标系中，若将△0AB绕点0逆时针旋转90°，得到△0AB',那么B(6,2) 的对应点B'的坐标是() B A B A.(-6,-2) B.(-2,-6) C.(-2,6) D.(2,6) 2.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转B,得到△EBD,若A点恰好在ED的延长线上，则LCAD的 度数为 ·(用含B的式子表示) D B 3.如图，在△ABC中，BA=BC,∠ABC=40°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°得到 △DBE,连接AD,CE交于点F. (1)求证：△ABD≌△CBE. (2)求LAFC的度数 B 21/40 第23章相似 4.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转a(0°<a<180)得到△ADE, 点B的对应点为D,射线CB与射线DE交于点F,连接AF (1)求证：BF=DF; (2)若AB=2BC=4,AE/CF,求线段BF的长 D 重点2中心对称图形 5.如图，B0是等腰三角形ABC的底边上的中线，AC=2,AB=4,△PQC与△BOC关于点C 中心对称，连接AP,则AP的长是() A.4 B.4v2 C.2W5 D.2√6 B 6.如图，线段AB与线段CD关于点P中心对称，若点A(3,3),B(5,1),D(-3,-1),则点C的坐 标为( ) B A.(-3,-3) B.(-1,-3) C.(-4,-2) D.(-2,-4) 22/40 第23章相似 7.如图，平面直角坐标系中，☐0ABC的顶点A的坐标为(6,0)，点C坐标为(2,2)，若直线 y=mx+2平分☐OABC的面积，则m的值为 C2,2) 0 A(6,0) 8.如图，△ABC与△DEF成中心对称. (1)找出它们的对称中心0 (2)若AC=6,AB=5,BC=4,求△DEF的周长 (3)连接AF,CD,试判断四边形ACDF的形状，并说明理由. 重点3关于原点对称的点的坐标特点 9.点P(-3,a)与点Q(b,5)关于原点对称，则a+b的值为 10.已知点P(a+1,-?+1)关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是 量点4轴对称、平移和旋转作图 11.如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点， △ABC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法， 保留作图痕迹 (1)画出将△ABC向上平移4格后得到的△A1B1C1· (2)画出将△ABC绕点A旋转180°后得到的△AB2C2 (3)若点B3在格点上，将△ABC沿直线l翻折，点B恰好与点B3重合， 先画出直线L,再画出翻折后的△A3B3C3· 23/40 第23章相似 提分专题4旋转中的常见模型 类型1特殊旋转角构造特殊三角形 1.如图，点O是等边△ABC内一点，∠B0C=《.将△B0C绕点C按顺时针方向旋转60°得 △ADC,连接OD (1)求证：△C0D是等边三角形 (2)当=150°时，0B=4,0C=3,求0A的长 A B 2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D是BC边上一点，将线段AD绕点A逆时针旋 转90°得到AE,连接DE,CE. (1)求证：BD=CE. (2)若AB=3,BD=V2,求DE的长 A B 24/40 第23章相似 类星2旋转180°将线殿或角集中在一起 3.如图，△ABC中，BC=2AB,D,E分别是边BC,AC的中点.将△CDE绕点E旋转180°，得 △AFE (1)判断四边形ABDF的形状，并证明. B (2)连接BF,AD,已知AB=3,AD+BF=8,求四边形ABDF的面积. B 4.(1)阅读理解：如图(1)，在△ABC中，若AB=8,AC=12,求BC边上的中线AD的 取值范围解决此问题可以用如下方法：将△ACD绕点D旋转180°得到△EBD,把AB,AC, 2AD集中在△ABE中，体现了转化与化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可解决问题， 请根据上述方法解决问题， B D 图(1) 25/40 第23章相似 (2)问题解决：如图(2)，在△ABC中，D是BC边上的中点，DM1DN,DM交AB于点M, DN交AC于点N,连接MN,求证：BM+CN>MN. M B D 图(2) 类型3半角模型 母题学方法一半角模型特征：①共端点的等线段；②共顶点的倍（半）角通过旋转或作辅 助线可以构造全等三角形.常见的半角模型有90°角含45°角和120°角含60°角 D 459 609 B E B D 5.如图，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，∠EAF=45°，连接EF, 求证：EF=BE十DF, B A E 26/40 第23章相似 6.旋转变换是解决数学问题的一种重要思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起， 从而便于解决问题.已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=a,点D,E在边BC上（不与B,C重 合)，且∠DAE=a如图，当a=60°时，将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置， 连接DF B D (1)∠DAF= (2)求证：DF=DE 27/40第23章相似 全章提分重点 重点1图形的旋转 1.如图，在平面直角坐标系中，若将△0AB绕点0逆时针旋转90°，得到△OA'B',那么B(6,2)的 对应点B'的坐标是( ) B B A A.(-6,-2) B.(-2,-6) C.(-2,6) D.(2,6) 答案：C B 13 解析：如图， 过B作BCIx轴于C,过B'作B'DIx轴于D, ·∠BC0=∠BD0=90°，∠2+∠3=90°由旋转的性质可知，∠B'0B=90°，OB=OB', ∠1+∠2=90°，∠1=∠3. ∠3=∠1， 在△OB'D和△BOC 中 ∠B'D0=LBC0=90°，·△OBD≌△BOC(AAS), OB=0B, ..B'D=OC,OD =BC.B(6,2),BC=2,OC=6,B'D=6,OD=2, ·B'(-2,6).故选C 2.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转B,得到△EBD,若A点恰好在ED的延长线上，则LCAD的 度数为 ·(用含B的式子表示) B 29/64 第23章相似 答案：180°-β 解析：：将△ABC绕点B逆时针旋转B,得到△EBD, ·∠CAB=∠E,BA=BE,LABE=B,∠E=∠BAE=∠CAB=18O-L 2 ÷∠CAD=∠CAB+∠BAE=180°-B,故答案为180°-B 3.如图，在△ABC中，BA=BC,∠ABC=40°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°得到 △DBE,连接AD,CE交于点F. B (1)求证：△ABD≌△CBE. 证明：：△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°得到△DBE, ÷LABC=∠DBE=40°，∠ABD=∠CBE=100°，AB=BD,BC=BE.又 BA=BC, :BA=BC,·AB=BC=BD=BE在△ABD与△CBE中， ∠ABD=LCBE,& BD=BE, △ABD≌△CBE(SAS) (2)求LAFC的度数 解：∠ABD=∠CBE=100°，BA=BC=BD=BE, ·.∠BAD=∠ADB=∠BCE=∠BEC=40°.：∠ABE=∠ABD+∠DBE=140°， ÷∠AFE=360°-∠ABE-∠BAD-∠BEC=140°， ·∠AFC=180°-∠AFE=40°. 4.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转a(0°<<180)得到△ADE, 点B的对应点为D,射线CB与射线DE交于点F,连接AF. D 30/64 第23章相似 (I)求证：BF=DF; 证明：：Rt△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转 Q(0°<a<180)得到△ADE,÷AB=AD,LADE=∠ABC=LABF=90°在 Rt△ABF5Rt△ADP中，S_ARt△ABP≌Rt△ADF⑩，BP=DP (2)若AB=2BC=4,AE/CF,求线段BF的长 解：AB=2BC=4,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转(0°<a<180)得到 △ADE,·AB=AD=4,DE=BC=2,AE=AC, ∠ADE=∠ABC=∠ABF=90°，AE=AC=VAB2+BCZ=2V5.由(1)可得 ∠AFB=∠AFD.又AE/CF,∴∠AFB=∠EAF,÷∠AFE=LEAF, ·AE=EF=2W5,·.DF=EF+DE=2V5+2,BF=2V5+2. 重点2中心对称图形 5.如图，B0是等腰三角形ABC的底边上的中线，AC=2,AB=4,△PQC与△BOC关于点C 中心对称，连接AP,则AP的长是( ) A.4 B.4v2 C.25 D.26 A 答案：D 解析：BO是等腰三角形ABC的底边上的中线，÷BO1AC,即∠BOC=90°， A0=C0=2AC=1,÷B0=VAB2-AO2=V42-1=V15.:△PQC与△B0C 关于点C中心对称，÷CQ=C0=1,∠Q=∠B0C=90°，PQ=B0=√15， AQ=A0+C0+CQ=3,÷AP=√AQ2+PQ2=32+(V15)2=2V6.故选D 6.如图，线段AB与线段CD关于点P中心对称，若点A(3,3),B(5,1),D(-3,-1),则点C的 坐标为( ) 31/64 第23章相似 A B A.(-3,-3) B.(-1,-3) C.(-4,-2) D.(-2,-4) 答案：B 解析：8(5,1)，D(-3,-1)关于点P中心对称，号=1，号=0： ·点P的坐标为(1,0).设点C(x,y), :A(3,3)与点C关于点P中心对称，÷3=1，生=0，x=-1,y=-3, 2 2 C(-1,-3).故选B. 7.如图，平面直角坐标系中，☐0ABC的顶点A的坐标为(6,0)，点C坐标为(2,2)，若直线 y=mx+2平分☐OABC的面积，则m的值为 C2,2) A(6,0) 答案：一号 解析：如图，连接CA,OB交于点G,则点G的坐标为(4,1).直线y=mx+2平分☐OABC 的面积，· 直线y=mx+2经过点G,则1=4m+2,解得m=-故答案为- C2,2) ☑B 、 0 A6,0) 8.如图，△ABC与△DEF成中心对称 32/64 第23章相似 (1)找出它们的对称中心0. 解：如图，点0即为所求 B (2)若AC=6,AB=5,BC=4,求△DEF的周长 解：由题意得△ABC≌△DEF,则△DEF的周长与△ABC的周长相等，则△DEF的周长为6+ 5+4=15 (3)连接AF,CD,试判断四边形ACDF的形状，并说明理由 解：四边形ACDF是平行四边形.理由：如图，由题意得OA=OD,OC=OF, ·.四边形ACDF是平行四边形 重点3关于原点对称的点的坐标特点 9.点P(-3,a)与点Q(b,5)关于原点对称，则a+b的值为 答案：-2 解析：点P(-3,a)与点Q(b,5)关于原点对称，a=-5,b=3, a+b=-5+3=-2,故答案为-2 10.已知点P(a+1,一？+1)关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是 答案：a<-1 解析：~点P(a+1,-+1)关于原点对称的点在第四象限， (a+1<0,① &点PC+1,-5+)在第二象限，+1>0，②解不等式0，得和≤1 33/64 第23章相似 解不等式②，得a<2,·不等式组的解集为a<-1,·.a的取值范围是a<-1.故答案 为a<-1 重点4轴对称、平移和旋转作图 11.如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点， △ABC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法， 保留作图痕迹 B (1)画出将△ABC向上平移4格后得到的△A1B1C1 B B B3 1C3 解：如图，△A1B1C1即为所作 (2)画出将△ABC绕点A旋转180°后得到的△AB2C2· 解：如图，△AB2C2即为所作 (3)若点B3在格点上，将△ABC沿直线l翻折，点B恰好与点B3重合，先画出直线L,再画出 翻折后的△A3B3C3 解：如图，直线和△A3B3C3即为所作 34/64 第23章相似 提分专题4旋转中的常见模型 类型1特殊旋转角构造特殊三角形 1.如图，点O是等边△ABC内一点，∠BOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60° 得△ADC,连接OD. B (1)求证：△COD是等边三角形 证明：：将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△ADC,·C0=CD,∠0CD=60°，·△C0D是 等边三角形 (2)当a=150°时，0B=4,0C=3,求0A的长 解：：将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△ADC,·△BOC≌△ADC, .∠ADC=∠B0C=150°，AD=0B=4.又：△C0D是等边三角形， ·∠0DC=60°，0D=0C=3,÷∠AD0=∠ADC-∠0DC=90°， 0A=VAD2+0D2=5. 2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D是BC边上一点，将线段AD绕点A逆时针旋 转90°得到AE,连接DE,CE. (1)求证：BD=CE. 证明：：将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,·AD=AE,∠DAE=90°.∠BAC=90°， ·∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,÷∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中，：AD=AE, ∠BAD=∠CAE,AB=AC,△BAD≌△CAE(SA),·BD=CE. 35/64 第23章相似 (2)若AB=3,BD=V2,求DE的长 解：由(1)得△BAD≌△CAE,∠B=∠ACE,BD=CE=V2.'∠BAC=90°，AB=AC=3, ·∠B=∠ACE=∠ACB=45°，BC=√AB2+AC2=3V2,·.∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°， CD=BC-BD=2V2,·.在Rt△DCE中，DE=√CD2+CE=√10. 类型2旋转180°将线段或角集中在一起 3.如图，△ABC中，BC=2AB,D,E分别是边BC,AC的中点.将△CDE绕点E旋转180°，得 △AFE (1)判断四边形ABDF的形状，并证明. B 解：四边形ABDF是菱形，证明如下：：D,E分别是边BC,AC的中点，÷DE/IAB,即DF/AB 又：△CDE绕点E旋转180°后得△AFE,÷∠C=∠FAE,BD/AF,·四边形ABDF是平行 四边形.又：BC=2AB,D是BC的中点，·AB=BD,·四边形ABDF是菱形 (2)连接BF,AD,已知AB=3,AD+BF=8,求四边形ABDF的面积 解：如图，设AD与BF交于O.四边形ABDF为菱形，AD1BF,OB=OF,AO=OD.设OA=X, 0B=y,则2x+2y=8,x2+y2=32,x+y=4,x2+2xy+y2=16,2xy=7, 四边形ABDF的面积为号BF×AD=2xy=7. 4.(1)阅读理解：如图（1)，在△ABC中，若AB=8,AC=12,求BC边上的中线AD的取 值范围.解决此问题可以用如下方法：将△ACD绕点D旋转180°得到△EBD,把AB,AC,2AD 36/64 第23章相似 集中在△ABE中，体现了转化与化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可解决问题， 请根据上述方法解决问题， D 图(1) 解：将△ACD绕点D旋转180°得到△EBD,则AD=ED,BE=AC=12.在△ABE中，由三角 形的三边关系得BE-AB<AE<BE+AB,÷12-8<AE<12+8,即4<2AD<20, .2<AD<10 (2)问题解决：如图(2)，在△ABC中，D是BC边上的中点，DM1DN,DM交AB于点M, DN交AC于点N,连接MN,求证：BM+CN>MN. M B 图(2) 证明：：点D是BC边上的中点，·将△CND绕点D旋转180°得到△BFD,点C的对应点为点B 点N的对应点为点F,如图，则△BFD≌△CND,·BF=CN,FD=ND.连接MF.又：DM⊥DN, :MF=MN.在△BFM中，由三角形的三边关系得BM+BF>MF,:BM+CN>MN. 类型3华角模型 母题学方法 37/64 第23章相似 半角模型特征：①共端点的等线段：②共顶点的倍（半）角 通过旋转或作辅助线可以构造全等三角形 常见的半角模型有90°角含45°角和120°角含60°角. G 45o 60 B E D 5.如图，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，∠EAF=45°，连接EF, 求证：EF=BE+DF. B 证明：：四边形ABCD为正方形，∠BAD=90°，AB=AD, B E F D G 如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合， ·AE=AG,∠BAE=∠DAG.∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∠BAE+∠DAF=45°，.∠FAG=∠GAD+∠DAF=45°， ∠EAF=∠FAG.∠ADC=∠B=90°，∠FDG=180°，即点F,D,G共线 AE=AG, 在△AFE和△AFG中 LEAF=∠FAG,·△AFE≌△AFG(SAS), AF=AF, .EF FG.FG=DG DF BE DF,EF=BE DF. 38/64