专题02 与旋转有关的证明与计算（高效培优专项训练）数学人教版九年级上册

专题02 与旋转有关的证明与计算 1．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接AD、BF，且BF＝AF． （1）求证：AD∥BC； （2）求证：AD＝2AE． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，且点E恰好落在BA上，连接AF，过点B作BG⊥AF于点G． （1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数． （2）若AC＝8，BC＝6，求BG的长． 3．点P为△ABC中内任一点，连接AP，BP，CP，将△ACP绕点A逆时针旋转60°，得到△AED． （1）如图，试判断△ADP的形状，并说明理由． （2）若点p是△ABC内一个动点，试说明当点B，P，D，E四个点满足什么位置条件时，PA+PB+PC的和最小． 4．如图，点O是等边△ABC内一点，将BO绕点B逆时针旋转60°得到BD，连接OD，AO，BO，AD． （1）求证：△BCO≌△BAD． （2）若OA＝10，OB＝6，OC＝8，求∠BOC的度数． 5．如图，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形AEFG，点E恰好落在边CD上，连接BE，BG，且BG与AE相交于点P； （1）求证：； （2）若，BC＝3，求BG的长． 6．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）后得到△ADE． （1）如图1，当AB的对应边AD恰好经过点C时，若AE＝5，AB＝8，求CD的长； （2）将△ABC继续旋转至如图2的位置，若∠BAE＝4∠CAD＝80°，求旋转角的度数． 7．根据题意，寻找规律，解答问题： （1）如图1，在△ABC中，AB＝1，AC＝2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，连接AB′，并且AB′＝3，求∠B′A′C的大小； （2）如图2，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为、、4，求∠APB的大小． 8．面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略．有一个边长为3的正方形ABCD和腰足够长的等腰直角三角形EFG，其中等腰直角三角形的直角顶点E与正方形的中心重合．现将等腰直角三角形EFG绕着点E进行旋转，请采用特殊化策略探究两个图形重叠部分的面积． （1）先考虑特殊情形，如图1，当点C，D分别在边EF，EG上时，求重叠部分的△CDE的面积； （2）再探究一般情形，如图2，当边EF，EG分别交边BC，CD于点M，N时，求重叠部分的四边形EMCN的面积． 9．如图，在正方形ABCD中，按要求补全图形，并解答问题． （1）在图①中，以点B为旋转中心，将BA顺时针旋转α°（0＜α＜90），点A的对应点为点E，连结AE、EC，证明∠AEC的度数为定值，并求出这个值． （2）在图②中，以点B为旋转中心，将BC顺时针旋转β°（0＜β＜90），点C的对应点为点E，连结AE、EC，试探究：∠AEC的度数是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 10．已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A顺时针或逆时针旋转一个角度α（0＜α＜90°）得到△ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF． （1）如图1，若BC＝AB，α＝30°，求证：； （2）如图2，若∠BAC＝90°，，在旋转的过程中，BE在BC的下方，且∠CBE＝15°，求AF的长． 11．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，连接BP，DQ，延长BP交直线DQ于点E． （1）如图1，试猜想线段BP和DQ有怎样的数量关系和位置关系，并证明你的结论； （2）如图2，若△BCP是等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由． 13．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P旋转． （1）在图1中，∠DPC＝　 　 ； （2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，旋转角度为α（0°＜α＜180°），当α等于多少度时，两个三角形的边PC与边PD互相垂直； ②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P顺时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？ 14．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF． （1）如图1，在旋转的过程中，写出线段AF与EC的数量关系，并证明； （2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明； （3）若AB＝1，BC，当α＝　 °时，线段BF与DF相等． 15．将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC＝∠B1A1C＝30°，AB＝2BC． （1）固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F． ①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB1＝　 度； ②当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由． （2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB1，AB与A1C交于点D，试说明A1D＝CD． 16．已知直角三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°．将三角板ABC绕着点A旋转得到△AB'C'，旋转角记为∠α． （1）当旋转方向为逆时针方向，且∠α＝75°时（如图1），求∠B′AC和∠BAC′的大小． （2）当旋转方向为逆时针方向，且∠α＝90°时，在图2中，画出旋转得到的△AB'C'． （3）当0°＜∠α＜90°时， ①若∠BAC'＝3∠BAB'，求∠α的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为BC上一点.．在旋转过程中，若∠C′AD与∠BAD始终满足m∠C′AD﹣∠BAD为定值，求常数m的值． 17．如图所示，在△ABC中，∠ACB≥90°．初始时，点B、C位于直线EF上．现△ABC围绕点B，以每秒5°的速度顺时针转动t秒，0＜t＜36．旋转过程中，始终保持GH过顶点A且GH∥EF． （1）如图①，若∠ACB＝100°，当t＝6时，求∠CAG的度数； （2）已知图形在旋转t（t＜18）秒后同时满足以下两个条件：①∠GAC＝∠CAB；②∠CBE＝∠ABC．请判断△ABC的形状，并给出证明过程． （3）若∠ACB＝120°，探索在旋转过程中∠GAC与∠CBE之间的数量关系． 18．在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形．例如，图1四边形ABCD中，AC＝BD且AC⊥BD，那么四边形ABCD就叫作对等垂美四边形． （1）如图2，在对等垂美四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OD，OB＝OC，将△COB绕点O逆时针旋转（点B′在点A的顺时针方向，0°＜∠AOB′≤90°）B、C的对应点分别为B′、C′．请判断如图3中四边形AB′C′D是否为对等垂美四边形，并说明理由（仅就图3的情况证明即可）； （2）在（1）的条件下，若OB＝3，OA＝5，当△OAB为直角三角形时，则四边形AB′C′D的面积是 　 　 ． 19．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD＝5，BE＝2，求线段DE的长． 20．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°． （1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数； （2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 　 　 秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第 　 　 秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．（直接写出结果）； （3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由． 21．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，将△ABC绕着点A旋转． （1）当△ABC旋转到图1位置时，正好使得D、B、C三点共线时，求此时∠ACE的度数； （2）当△ABC旋转到图2位置时，连接CD、BE，并延长BA交CD于点F，若∠ABE＝90°，求证：CF＝DF； （3）当△ABC旋转到图3位置时，连接CD、BE，取CD中点F，连接FA并延长交BE于点H，求证：FH⊥BE． 22．在几何软件中，将△ABC和△DEF按图1所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，∠D＝45°，∠ABC＝30°，点D，A，F，B在同一条直线上，E在B的正上方，且EB＜ED． （1）如图1，将△DEF绕点F顺时针旋转，当BC第一次与DE平行时，∠DFA＝ 　 °； （2）如图2，将图1中的△DEF绕点E逆时针旋转一定角度使点D落在边BC上，过E作EG∥BC，直线DM平分∠FDB，直线EN平分∠GED交直线DM于点N．求∠END的度数． （3）如图3，将图1中的△ABC绕点B逆时针旋转（点D，F，B在同一条直线上）． ①当BC∥DE时，连接AF，BF，求∠DBA的度数； ②若∠E与∠ABC的角平分线所在直线相交于点Q，∠EQB＝30°，直接写出∠DBA的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 与旋转有关的证明与计算 1．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接AD、BF，且BF＝AF． （1）求证：AD∥BC； （2）求证：AD＝2AE． 【答案】（1）证明；由旋转的性质可得BD＝BA，∠ABD＝∠ABC＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAD＝60°， ∴∠BAD＝∠ABC＝60°， ∴AD∥BC； （2）证明：∵△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD，∠BDA＝60°， 又∵BF＝AF， ∴BF＝AF， ∴DF垂直平分AB， ∴， ∴AD＝2AE． 【解答】（1）证明；由旋转的性质可得BD＝BA，∠ABD＝∠ABC＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAD＝60°， ∴∠BAD＝∠ABC＝60°， ∴AD∥BC； （2）证明：∵△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD，∠BDA＝60°， 又∵BF＝AF， ∴BF＝AF， ∴DF垂直平分AB， ∴， ∴AD＝2AE． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，且点E恰好落在BA上，连接AF，过点B作BG⊥AF于点G． （1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数． （2）若AC＝8，BC＝6，求BG的长． 【答案】（1）65°； （2）4． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣40°＝50°， 将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE， ∴∠FBE＝∠ABC＝50°，AB＝BF， ∴； （2）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB， ∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE， ∴∠BEF＝∠C＝90°，BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，AB＝BF， ∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4， ∵∠AEF＝180°﹣∠BEF＝180°﹣90°＝90°， ∴在Rt△AEF中，AF． ∵BG⊥AF， ∴， ∴． 3．点P为△ABC中内任一点，连接AP，BP，CP，将△ACP绕点A逆时针旋转60°，得到△AED． （1）如图，试判断△ADP的形状，并说明理由． （2）若点p是△ABC内一个动点，试说明当点B，P，D，E四个点满足什么位置条件时，PA+PB+PC的和最小． 【答案】（1）等边三角形，证明见解析． （2）当点B，P，D，E四个点在一条直线上时，PA+PB+PC的和最小．证明见解析． 【解答】解：（1）由题意可知， △ADE由△APC旋转得到， ∴△ADE≌△APC（SSS）， ∴AD＝AP， 又∵∠PAD＝60° ∴△APD为等边三角形． （2）当点B，P，D，E四个点在一条直线上时，PA+PB+PC的和最小． 理由：由（1）可知△ADE≌△APC，△ADP为等边三角形． ∴PA＝DA＝DP，PC＝DE， ∴PA+PB+PC＝DP+PB+DE， 由两点间线段距离最短可知，当点B，P，D，E四个点在一条直线上时，PA+PB+PC的和最小． 4．如图，点O是等边△ABC内一点，将BO绕点B逆时针旋转60°得到BD，连接OD，AO，BO，AD． （1）求证：△BCO≌△BAD． （2）若OA＝10，OB＝6，OC＝8，求∠BOC的度数． 【答案】（1）见解析； （2）∠BOC＝150°． 【解答】（1）证明：由题意可得： BO＝BD，∠OBD＝60°， ∵△ABC是等边三角形． ∴BA＝BC，∠CBA＝60°， ∴∠OBD＝∠CBA， ∴∠CBO＝∠ABD， 在△BCO和△BAD中， ， ∴△BCO≌△BAD（SAS）； （2）解：由题意可得：OD＝OB＝6，∠ODB＝60°， ∵△BCO≌△BAD， ∴AD＝OC＝8，∠BOC＝∠ADB， ∵OA＝10， ∴AD2+OD2＝82+62＝100，OA2＝100， ∴OA2＝AD2+OD2， ∴∠ADO＝90°， ∴∠ADB＝∠ADO+∠BDO＝150°， ∴∠BOC＝∠ADB＝150°． 5．如图，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形AEFG，点E恰好落在边CD上，连接BE，BG，且BG与AE相交于点P； （1）求证：； （2）若，BC＝3，求BG的长． 【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠CBE+∠ABE＝90°． 由旋转的性质可得AE＝AB， ∴． ∴， ∴； （2）． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠CBE+∠ABE＝90°． 由旋转的性质可得AE＝AB， ∴． ∴， ∴； （2）解：如图，过点B作BM⊥AE于点M，过点E作EN⊥AB于点N． 在△BEC和△BEM中， ， ∴△BEC≌△BEM（AAS）， ∴BM＝BC＝GA＝3，EC＝EM． 在△BMP和△GAP中， ， ∴△GAP≌△BMP（AAS）， ∴GP＝BP，AP＝MP（全等三角形对应边相等）． ∵， ∴， ∴，PMAM42， ∴， ∴BG＝2BP＝22， 即BG的长为2． 6．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）后得到△ADE． （1）如图1，当AB的对应边AD恰好经过点C时，若AE＝5，AB＝8，求CD的长； （2）将△ABC继续旋转至如图2的位置，若∠BAE＝4∠CAD＝80°，求旋转角的度数． 【答案】（1）3； （2）50°． 【解答】解：（1）由旋转可知AC＝AE＝5，AD＝AB＝8， ∴CD＝AD﹣AC＝8﹣5＝3； （2）∵∠BAE＝4∠CAD＝80°， ∴∠CAD＝20°， 由旋转可知∠BAC＝∠DAE， ∴， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝30°+20°＝50°， 即旋转角为50°． 7．根据题意，寻找规律，解答问题： （1）如图1，在△ABC中，AB＝1，AC＝2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，连接AB′，并且AB′＝3，求∠B′A′C的大小； （2）如图2，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为、、4，求∠APB的大小． 【答案】（1）135°； （2）135°． 【解答】解：（1）连接AA′，∵AB＝1，AC＝2， 由题意得：AC＝A′C＝2，A′B＝AB＝1，∠ACA′＝90°， ∴∠AA′C＝45°，AA′2＝22+22＝8， ∴AB′2＝32＝9，A′B2＝12＝1， ∴AB′2＝AA′2+A′B′2， ∴∠AA′B′＝90°， ∴∠B′A′C＝135°； （2）将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBE，连接PE， ∴，，∠PBE＝90°， ∴∠BPE＝∠BEP＝45°， ∴PE＝2， ∵PC2＝16，PE2+CE2＝16， ∴PC2＝PE2+CE2， ∴∠PEC＝90°， ∴∠BEC＝135°， ∴∠APB＝∠BEC＝135°． 8．面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略．有一个边长为3的正方形ABCD和腰足够长的等腰直角三角形EFG，其中等腰直角三角形的直角顶点E与正方形的中心重合．现将等腰直角三角形EFG绕着点E进行旋转，请采用特殊化策略探究两个图形重叠部分的面积． （1）先考虑特殊情形，如图1，当点C，D分别在边EF，EG上时，求重叠部分的△CDE的面积； （2）再探究一般情形，如图2，当边EF，EG分别交边BC，CD于点M，N时，求重叠部分的四边形EMCN的面积． 【答案】（1）重叠部分的△CDE的面积为； （2）重叠部分的四边形EMCN的面积为． 【解答】解：（1）如图1，连接AE、BE， ∵正方形ABCD的边长为3， ∴S正方形ABCD＝32＝9， ∵等腰直角三角形EFG的直角顶点E与正方形ABCD的中心重合，点C，D分别在边EF，EG上， ∴DE＝CE＝BE＝AE，∠DEC＝∠CEB＝∠AEB＝∠AED360°＝90°， ∴S△DEC＝S△CEB＝S△AEB＝S△AEDDE2S正方形ABCD， ∴重叠部分的△CDE的面积为． （2）如图2，连接DE、CE，由（1）得S△DEC， ∵DE＝CE，∠DEC＝90°， ∴∠EDN＝∠ECD＝45°， ∵∠BCD＝90°， ∴∠ECM＝∠BCD﹣∠ECD＝45°， ∴∠EDN＝∠ECM， ∵∠DEC＝∠MEN＝90°， ∴∠DEN＝∠CEM＝90°﹣∠CEN， 在△DEN和△CEM中， ， ∴△DEN≌△CEM（ASA）， ∴S△DEN＝S△CEM， ∴S四边形EMCN＝S△CEM+S△CEN＝S△DEN+S△CEN＝S△DEC， ∴重叠部分的四边形EMCN的面积为． 9．如图，在正方形ABCD中，按要求补全图形，并解答问题． （1）在图①中，以点B为旋转中心，将BA顺时针旋转α°（0＜α＜90），点A的对应点为点E，连结AE、EC，证明∠AEC的度数为定值，并求出这个值． （2）在图②中，以点B为旋转中心，将BC顺时针旋转β°（0＜β＜90），点C的对应点为点E，连结AE、EC，试探究：∠AEC的度数是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）补全图形如图①，证明见解答，这个值为135°； （2）补全图形如图②，∠AEC的度数为定值，这个值为45°． 【解答】解：（1）补全图形如图①， 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BA＝BC， 由旋转得BE＝BA， ∴BE＝BC， ∵∠BAE＝∠BEA，∠BCE＝∠BEC， ∴∠BAE+∠BCE＝∠BEA+∠BEC＝∠AEC， ∵∠BAE+∠BCE+∠AEC+∠ABC＝360°， ∴2∠AEC+∠ABC＝360°， ∴∠AEC＝180°∠ABC， ∵∠ABC＝90°， ∴∠AEC＝180°90°＝135°， ∴∠AEC的度数为定值，这个值为135°． （2）补全图形如图②，∠AEC的度数为定值， 由旋转得BE＝BA＝BC， ∴∠BEA＝∠BAE（180°﹣∠ABE），∠BEC＝∠BCE（180°﹣∠CBE）， ∴∠AEC＝∠BEC﹣∠BEA（180°﹣∠CBE﹣180°+∠ABE）（∠ABE﹣∠CBE）， ∵∠ABE﹣∠CBE＝∠ABC＝90°， ∴∠AEC＝45°， ∴∠AEC的度数为定值，这个值为45°． 10．已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A顺时针或逆时针旋转一个角度α（0＜α＜90°）得到△ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF． （1）如图1，若BC＝AB，α＝30°，求证：； （2）如图2，若∠BAC＝90°，，在旋转的过程中，BE在BC的下方，且∠CBE＝15°，求AF的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：在等腰三角形ABC中，AB＝AC， ∵BC＝AB，α＝30°， ∴△ABC为等边三角形， ∵△ADE是△ABC逆时针旋转30°得到， ∴AB＝AE， ∴AB＝AE， ∴△ABE为等腰三角形， ∵点F是BE的中点， ∴AF是△ABE的高线和角平分线， ∴∠AEB＝90°，且∠BAF＝∠EAF， 又∵∠BAE＝30°+60°＝90°， ∴∠BAF＝∠EAF＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴， 又∵AB＝DE， ∴； （2）解：在等腰三角形ABC中，AB＝AC， ∵， ∴△ABC为等腰直角三角形，且AB＝AC＝1，∠ABC＝45°， ∵△ADE是△ABC旋转得到， ∴△ADE为等腰直角三角形，且AD＝AE＝1， ∴△ABE为等腰三角形， ∵点F是BE的中点， ∴AF是△ABE的高线， ∵∠CBE＝15°， ∴∠ABE＝∠CBE+∠ABC＝15°+45°＝60°， 则∠BAF＝30°， ∴在Rt△ABF中，． 11．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，连接BP，DQ，延长BP交直线DQ于点E． （1）如图1，试猜想线段BP和DQ有怎样的数量关系和位置关系，并证明你的结论； （2）如图2，若△BCP是等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由． 【答案】（1）BP＝DQ，BP⊥DQ，理由见解析过程； （2）△DEP为等腰直角三角形，理由见解析过程． 【解答】解：（1）BP＝DQ，BP⊥DQ，理由如下：如图1，设直线BP与CD交于点F， ∵∠BCD＝90°，∠PCQ＝90°， ∴∠BCP＝∠DCQ， 在△BCP和△DCQ中， ， ∴△BCP≌△DCQ（SAS）； ∴BP＝DQ，∠CBE＝∠CDQ， 又∵∠BFC＝∠DFE， ∴∠DEF＝∠BCF＝90°， ∴BE⊥DQ； （2）△DEP为等腰直角三角形，理由如下： 如图2，∵△BCP为等边三角形， ∴∠BCP＝60°， ∴∠PCD＝30°， 又∵CP＝CD， ∴∠CPD＝∠CDP＝75°， ∵△BCP≌△DCQ， ∴∠CDQ＝60°＝∠BPC， ∴∠EPD＝45°，∠EDP＝45°， ∴△DEP为等腰直角三角形． 12．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P旋转． （1）在图1中，∠DPC＝　75°　 ； （2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，旋转角度为α（0°＜α＜180°），当α等于多少度时，两个三角形的边PC与边PD互相垂直； ②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P顺时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？ 【答案】（1）75°； （2）①当α等于165度时，两个三角形的边PC与边PD互相垂直； ②旋转的时间是或25秒． 【解答】解：（1）∵∠BPD＝∠D＝45°，∠APC＝60°， ∴∠DPC＝180°﹣45°﹣60°＝75°， 故答案为：75°； （2）①如图，此时，PC′⊥PD， ∴∠DPC＝75°，∠DPC′＝90°， ∴∠CPC′＝75°+90°＝165°， ∴当α等于165度时，两个三角形的边PC与边PD互相垂直； ②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°， 当PC转到与PM重合时，（秒）， 分两种情况： 当PC转到与PD重合前，∠CPD＝∠BPM时， ∴∠CPD＝180°﹣∠BPD﹣∠BPM﹣∠APN﹣∠APC＝180°﹣45°﹣2t°﹣3t°﹣60°＝（75﹣5t）° 当∠CPD＝∠BPM，即2t＝75﹣5t， 解得：秒； 当PC转到与PD重合后，∠CPD＝∠BPM时， ∴∠CPD＝∠BPD+∠BPM+∠APN+∠APC﹣180°＝45°+2t°+3t°+60°﹣180°＝（5t﹣75）° 当∠CPD＝∠BPM，即2t＝5t﹣75， 解得：t＝25秒； ∴当∠CPD＝∠BPM，旋转的时间是或25秒． 13．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF． （1）如图1，在旋转的过程中，写出线段AF与EC的数量关系，并证明； （2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明； （3）若AB＝1，BC，当α＝　45　 °时，线段BF与DF相等． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）AF＝CE．理由如下： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥CB，OA＝OC， ∴∠FAO＝∠ECO， 在△AOF和△COE中 ， ∴△AOF≌△COE， ∴AF＝CE； （2）当旋转至90°时，四边形ABEF为平行四边形．理由如下： ∵∠AOF＝90°，∠BAC＝90°， ∴AB∥EF， 而AF∥BE， ∴四边形ABEF为平行四边形； （3）在Rt△ABC中，∵AB＝1，BC， ∴AC2， ∴OA＝1， ∴△ABO为等腰直角三角形， ∴∠AOB＝45°， 当∠FBD＝∠FDB时，BF＝DF， 而∠FDB＝∠CBD， ∴∠FBD＝∠CBD， 即BO平分∠EBF， ∵OE＝OF， ∴OB⊥EF， ∴∠BOF＝90°， ∴∠AOF＝90°﹣45°＝45°， 即α＝45°． 故答案为45． 14．将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC＝∠B1A1C＝30°，AB＝2BC． （1）固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F． ①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB1＝　160　 度； ②当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由． （2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB1，AB与A1C交于点D，试说明A1D＝CD． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①由旋转的性质得，∠ACA1＝20°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACA1＝90°﹣20°＝70°， ∴∠BCB1＝∠BCD+∠A1CB1， ＝70°+90°， ＝160°； ②∵AB⊥A1B1， ∴∠A1DE＝90°﹣∠B1A1C＝90°﹣30°＝60°， ∴∠ACA1＝∠A1DE﹣∠BAC＝60°﹣30°＝30°， ∴旋转角为30°； （2）∵AB∥CB1， ∴∠ADC＝180°﹣∠A1CB1＝180°﹣90°＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴CDAC， 又∵由旋转的性质得，A1C＝AC， ∴A1D＝CD． 15．已知直角三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°．将三角板ABC绕着点A旋转得到△AB'C'，旋转角记为∠α． （1）当旋转方向为逆时针方向，且∠α＝75°时（如图1），求∠B′AC和∠BAC′的大小． （2）当旋转方向为逆时针方向，且∠α＝90°时，在图2中，画出旋转得到的△AB'C'． （3）当0°＜∠α＜90°时， ①若∠BAC'＝3∠BAB'，求∠α的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为BC上一点.．在旋转过程中，若∠C′AD与∠BAD始终满足m∠C′AD﹣∠BAD为定值，求常数m的值． 【答案】（1）135°； （2）见解答； （3）①∠α的度数为15°或30°； ②常数m的值为． 【解答】解：（1）由旋转的性质可得，∠BAB'＝α＝75°，∠BAC＝∠BAC＝60°， ∴∠BAC＝∠BAB﹣∠BAC＝75°﹣60°＝15°， ∴∠BAC'＝∠BAB'+∠B'AC'＝75°+60°＝135°； （2）如图2，△AB′C即为所求； （3）①如图，当旋转方向为逆时针方向时，∠BAC＝∠α+60°，∠BAB＝∠α， ∵∠BAC＝3∠BAB， ∴∠α+60°＝3∠α， 解得∠α＝30°； 如图，当旋转方向为顺时针方向时，∠BAC＝60°﹣∠α，∠BAB'＝∠α， ∵∠BAC＝3∠BAB， ∴60°﹣∠α＝3∠α，解得∠α＝15°， 综上，∠α的度数为15°或30°； ②由旋转性质可得，∠CAC＝∠BAB＝∠α， ∵，∠CAB＝60°， ∴∠BAD＝∠CAB﹣∠CAD＝60°﹣3∠α，， ∴m∠CAD﹣∠BAD＝m•3∠α﹣60°+3∠α＝（3m+3）∠α﹣60°， ∵∠CAD与∠BAD始终满足m∠CAD+∠BAD为定值， ∴0， 解得m， ∴常数m的值为． 16．如图所示，在△ABC中，∠ACB≥90°．初始时，点B、C位于直线EF上．现△ABC围绕点B，以每秒5°的速度顺时针转动t秒，0＜t＜36．旋转过程中，始终保持GH过顶点A且GH∥EF． （1）如图①，若∠ACB＝100°，当t＝6时，求∠CAG的度数； （2）已知图形在旋转t（t＜18）秒后同时满足以下两个条件：①∠GAC＝∠CAB；②∠CBE＝∠ABC．请判断△ABC的形状，并给出证明过程． （3）若∠ACB＝120°，探索在旋转过程中∠GAC与∠CBE之间的数量关系． 【答案】（1）70°； （2）直角三角形，证明见解析； （3）∠GAC+∠EBC＝120°或240°． 【解答】解（1）延长AC交EF于D，如图： ∵t＝6， ∴∠EBC＝30°， ∵∠ACB＝100°， ∴∠BCD＝80°， ∴∠ADB＝180°﹣30°﹣80°＝70°， ∵GH∥EF， ∴∠GAC＝∠ADB＝70°； （2）直角三角形， 证明：∵GH∥EF， ∴∠GAB+∠EBA＝180°， ∵∠GAC＝∠CAB，∠CBE＝∠ABC， ∴∠CAB∠GAB，∠CBA∠ABE， ∴∠CAB+∠CBA（∠GAB+∠EBA）＝90°， ∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝90°， ∴△ABC为直角三角形； （3）延长AC交EF于D， 当C在AB左侧时，如图： ∵GH∥EF， ∴∠ADB＝∠GAC， ∵∠ACB＝120°， ∴∠BCD＝60°， ∵∠BCD+∠ADB+∠EBC＝180°， ∴∠GAC+∠EBC＝120°； 当C在AB右侧时，如图： ∴∠GAC＝∠ADF，∠BCD＝60°， ∴∠CBD＝180°﹣∠EBC，∠CDB＝180°﹣∠CDF＝180°﹣∠GAC， ∵∠BCD+∠CBD+∠CDB＝180°， ∴60°+180°﹣∠EBC+180°﹣∠GAC＝180°， ∴∠GAC+∠EBC＝240°； 综上所述，∠GAC+∠EBC＝120°或240°． 17．在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形．例如，图1四边形ABCD中，AC＝BD且AC⊥BD，那么四边形ABCD就叫作对等垂美四边形． （1）如图2，在对等垂美四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OD，OB＝OC，将△COB绕点O逆时针旋转（点B′在点A的顺时针方向，0°＜∠AOB′≤90°）B、C的对应点分别为B′、C′．请判断如图3中四边形AB′C′D是否为对等垂美四边形，并说明理由（仅就图3的情况证明即可）； （2）在（1）的条件下，若OB＝3，OA＝5，当△OAB为直角三角形时，则四边形AB′C′D的面积是 　32或29　 ． 【答案】（1）四边形AB′C′D是对等垂美四边形，理由见解答． （2）32或29． 【解答】解：（1）四边形AB′C′D是对等垂美四边形，理由如下： 连接AC′，BD′，交于点N，设OA与BD交于点E，由题意知OA＝OD，OB′＝OC′，∠AOD＝∠B'OC'＝90°， ∴∠AOD+∠AOB'＝∠B'OC'+∠AOB'，即∠DOB'＝∠AOC'， ∴△AOC'≌△DOB'（SAS）， ∴AC′＝DB′，∠C′AO＝∠B′DO． ∵∠DEO＝∠AEN， ∴∠AOD＝∠AND＝90°， ∴AC′⊥B′D，在四边形ABCD中，AC′⊥B′D，AC′＝DB′， ∴四边形AB′C′D是对等垂美四边形； （2）①当∠AOB是直角时，如图， ∵OB＝3，OB＝OC， ∴OC＝3． ∴ 32； 当∠ABO为直角时，如图，过点D作OC的垂线，垂足为H， ∵OD＝OA，∠OHD＝∠ABO，∠AOB'+∠HOA＝90°，∠DOH+∠AOH＝90°， ∴∠DOH＝∠AOB， ∴△DOH≌△AOB（AAS）， ∴DH＝AB． ∵OB＝3，OA＝5， ∴， ∴四边形ABCD的面积OC′•OB′B′A•OB′OD•OAOC′•DH 29． 综上所述，四边形AB′C′D的面积是32或29． 故答案为：32或29． 18．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD＝5，BE＝2，求线段DE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； ②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∵DC+CE＝DE， ∴AD+BE＝DE； （2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠EBC+∠ECB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECB+∠ACE＝90°， ∴∠ACD＝∠EBC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE＝5﹣2＝3． 19．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°． （1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数； （2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 　9或27　 秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第 　12或30　 秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．（直接写出结果）； （3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠AOC＝60°， ∴∠BOC＝120°， 又∵OM平分∠BOC， ∴∠COM∠BOC＝60°， ∴∠CON＝∠COM+90°＝150°； （2）∵∠OMN＝30°， ∴∠N＝90°﹣30°＝60°， ∵∠AOC＝60°， ∴当ON在直线AB上时，MN∥OC， 旋转角为90°或270°， ∵每秒顺时针旋转10°， ∴时间为9或27， 直线ON恰好平分锐角∠AOC时， 旋转角为90°+30°＝120°或270°+30°＝300°， ∵每秒顺时针旋转10°， ∴时间为12或30； 故答案为：9或27；12或30． （3）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°， ∴∠AON＝90°﹣∠AOM， ∠AON＝60°﹣∠NOC， ∴90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC， ∴∠AOM﹣∠NOC＝30°， 故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°． 20．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，将△ABC绕着点A旋转． （1）当△ABC旋转到图1位置时，正好使得D、B、C三点共线时，求此时∠ACE的度数； （2）当△ABC旋转到图2位置时，连接CD、BE，并延长BA交CD于点F，若∠ABE＝90°，求证：CF＝DF； （3）当△ABC旋转到图3位置时，连接CD、BE，取CD中点F，连接FA并延长交BE于点H，求证：FH⊥BE． 【答案】（1）135°； （2）证明见解答过程； （3）证明见解答过程． 【解答】（1）解：∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC， ∴∠DAB＝∠EAC， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ABD＝135°， ∴∠ACE＝135°； （2）证明：过点D作DP⊥BF，交BF的延长线于点P，如图2所示： ∴∠P＝90°， ∵∠ABE＝90°， ∴∠P＝∠ABE＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠DAE＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠3＝∠2， 在△ADP和△EAB中， ， ∴△ADP≌△EAB（AAS）， ∴PD＝AB， ∵AB＝AC， ∴AC＝PD， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAF＝∠P＝90°， 在△CAF和△DPF中， ， ∴△DPF≌△CAF（AAS）， ∴CF＝DF； （3）证明：延长AF到K，使FK＝FA，连接DK，如图3所示： ∵点F是CD的中点， ∴DF＝CF， 在△DKF和△CAF中， ， ∴△DKF≌△CAF（SAS）， ∴DK＝AC，∠K＝∠CAF， ∵AB＝AC， ∴DK＝AB， ∵∠K＝∠CAF， ∴DK∥AC， ∴∠ADK+∠CAD＝180°， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAE+∠CAD＝180°， ∴∠ADK＝∠BAE， 在△ADK和△EAB中， ， ∴△ADK≌△EAB（SAS）， ∴∠DAK＝∠AEB， ∵∠DAE＝90°， ∴∠DAK+∠EAH＝90°， ∴∠AEB+∠EAH＝90°， 在△AEH中，∠AHE＝180°﹣（∠AEB+∠EAH）＝90°， ∴AH⊥BE， 即FH⊥BE． 21．在几何软件中，将△ABC和△DEF按图1所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，∠D＝45°，∠ABC＝30°，点D，A，F，B在同一条直线上，E在B的正上方，且EB＜ED． （1）如图1，将△DEF绕点F顺时针旋转，当BC第一次与DE平行时，∠DFA＝ 　15　 °； （2）如图2，将图1中的△DEF绕点E逆时针旋转一定角度使点D落在边BC上，过E作EG∥BC，直线DM平分∠FDB，直线EN平分∠GED交直线DM于点N．求∠END的度数． （3）如图3，将图1中的△ABC绕点B逆时针旋转（点D，F，B在同一条直线上）． ①当BC∥DE时，连接AF，BF，求∠DBA的度数； ②若∠E与∠ABC的角平分线所在直线相交于点Q，∠EQB＝30°，直接写出∠DBA的度数． 【答案】（1）15； （2）22.5°； （3）①15°或165°； ②82.5°或97.5°或22.5°或157.5°． 【解答】解：（1）将△DEF绕点F顺时针旋转至第一次BC∥DE，延长DF交BC于点M，如图， ∵BC∥DE，∠D＝45°， ∴∠BMF＝180°﹣45°＝135°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠BFM＝180°﹣135°﹣30°＝15°， ∴∠DFA＝∠BFM＝15°， 故答案为：15； （2）如图，过点N作NQ∥BC， 设∠END＝α，∠DNQ＝β， 则∠ENQ＝α+β， ∵EG∥BC， ∴EG∥BC∥NQ， ∴∠GEN＝∠ENQ＝α+β，∠MDB＝∠DNQ＝β， ∵EN为∠GED的平分线，DM为∠FDB的平分线， ∴∠GED＝2∠GEN＝2（α+β），∠FDB＝2∠MDB＝2β， ∵∠EDF＝45°， ∴∠EDB＝∠EDF+∠FDB＝45°+2β， ∵EG∥BC， ∴EG∥BC∥NQ， ∴∠GEN＝∠ENQ＝α+β，∠MDB＝∠DNQ＝β， ∵EN为∠GED的平分线，DM为∠FDB的平分线， ∴∠GED＝2∠GEN＝2（α+β），∠FDB＝2∠MDB＝2β， ∵∠EDF＝45°， ∴∠EDB＝∠EDF+∠FDB＝45°+2β， ∵EG∥BC， ∴∠GED＝∠EDB， ∴2（α+β）＝45°+2β， 解得α＝22.5°， ∴∠END＝α＝22.5°； （3）①当△ABC绕点B逆时针旋转至第一次BC∥DE，且D，F，B同一条直线上，如图， ∵ED∥BC，∠D＝45°， ∴∠CBD＝45°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠ABF＝15°， ∴∠DFA﹣∠FAB＝∠ABF＝∠DBA＝15°； 当△ABC绕点B逆时针旋转至第二次BC∥DE时，且D，F，B同一条直线上，如图， ∵ED∥BC，∠D＝45°， ∴∠CBD＝180°﹣45°＝135°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠ABF＝135°+30°＝165°， ∴∠DFA﹣∠FAB＝∠ABF＝∠DBA＝165°； 综上，∠DBA的度数为15°或165°； ②当Q在两条角平分线左下侧时，当△ABC绕点B逆时针旋转会有两种情况，如图， ∵∠ACB＝∠DFE＝90°，∠D＝45°， ∴∠DEF＝45°， ∵QE是∠DEF的角平分线， ∴， ∴∠DMQ＝45°+22.5°＝67.5°， 又∵∠EQB＝30°， ∴∠MBQ＝∠DMQ﹣∠EQB＝67.5°﹣30°＝37.5°， ∵QB是∠ABC的角平分线，∠ABC＝30°， ∴， ∴∠DBA＝∠MBQ﹣∠ABQ＝37.5°﹣15°＝22.5°， 同理可得∠DBA'＝157.5°； 当Q在两条角平分线右上侧时，当△ABC绕点B逆时针旋转会有两种情况，如图， ∵∠ACB＝∠DFE＝90°，∠D＝45°， ∴∠DEF＝45°， ∵QE是∠DEF的角平分线， ∴， ∴∠DMQ＝45°+22.5°＝67.5°， 又∵∠EQB＝30°， ∴∠MBQ＝180°﹣∠DMQ﹣∠EQB＝180°﹣67.5°﹣30°＝82.5°， ∵QB是∠ABC的角平分线，∠ABC＝30°， ∴， ∴∠DBA＝∠MBQ+∠ABQ＝82.5°+15°＝97.5°， 同理可得∠DBA'＝82.5°， 综上，∠DBA的度数为82.5°或97.5°或22.5°或157.5°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$