第21章 一元二次方程提分重点-2025-2026学年九年级数学上册单元复习提分（人教版）

第21章一元二次方程 全章提分重点 重点1一元二次方程的定义及解 1.将方程2x2+7=9x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为() A.2,-9 B.2,7 C.2,9 D.2x2,-9x 2.已知关于x的方程(k-3)xk-1+(2k-3)x+4=0是一元二次方程，则k的值为() A.+3 B.3 C.-3 D.不能确定 3.关于x的方程ax2+bx+c=0的两根分别为-3,7，则关于x的方程a(x+1)2+b(x+1)+c =0的两根为() A.-4,6 B.-2,8 C.3,-7 D.-3,7 4.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0的常数项为0，则m的值为_ 5.若m是方程x2+3x-1=0的解，则式子2m2+6m+2024的值为 重点2解一元二次方程 6.用适当的方法解下列方程： (1)2x2-5x-1=0. (2)x2+15=8x. (3)x2+4x-9=2x-11. (4)3(x-1)2-12=0. (5)2x(x-3)-5(3-x)=0. (6)(4x-1)2-10(4x-1)-24=0. 3/40 第21章一元二次方程 7.已知关于x的一元二次方程x2-(m+4)x+4m=0. (1)求证：该方程总有两个实数根 (2)若该方程有一个根小于1，求m的取值范围 8.对任意实数m,n(m≠0)规定一种新运算：m☒n=mn+mn-3,例如：3☒2=32+3 ×2-3=12. (1)计算：(-2)☒3： (2)若(-y)⑧2的值为4，求y的值， 重点3一元二次方程的应用 9.在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm,BC=8cm,动点P从点A沿线段AB向点B移动， 一动点Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为1c/s,点Q的速度 为2cm/s,当点Q到达点C时两点同时停止运动.若使△PBQ的面积为5cm2,则点P运动的时 间是() A.1s B.4s C.5s或1s D.4s或1s 10.定义运算：m&n=m2-mn+2.例如1&2=12-1×2+2=1，则方程x&3=0的根的 情沉况为 4/40 第21章一元二次方程 11.已知A=2x2+7x-1,B=4x+1,若2A的值比3B的值大1，求满足条件的x的值 重点4实际问题与一元二次方程 12.在一幅长80cm、宽50cm的刺绣风景画的四周镶上金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所 示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽度为xcm（风景画四周的金色 纸边宽度相同)，则列出的方程为() 80 50 A.(50+x)(80+x)=5400 B.(50-x)(80-x)=5400 C.(50+2x)(80+2x)=5400 D.(50-2x)(80-2x)=5400 13.运城市位于山西省西南部，生产水果的自然条件得天独厚.某农村合作社2022年苹果储存量 为350吨，2024年苹果储存量达到423.5吨，则这两年苹果储存量的年平均增长率为() A.10% B.10.5% C.11% D.21% 14.小赵根据市场需求，从某批发市场购进了进价为每个15元的纪念品，第一天以每个25元 的价格售出了30个.为了让更多的消费者拥有该种纪念品，从第二天起降价销售，根据市场调 查，每个纪念品的售价每降低1元，可多售出3个.如果前两天共获利525元，则第二天每个 纪念品的售价为多少元？ 5/40 第21章一元二次方程 提分专题1根的判别式或根与系数的关系的应用 类型1求方程中字母参数的值 1.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值. (2)若该方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值 2.已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根.设方程的两个实数根分别为x1,x2, 若(x1+1)(x2+1)=-1,求k的值. 3.已知x1,x2是关于x的方程x2+m2x+n=0(n<0)的两个实数根，y1,y2是关于y的方程 y2+5my+7=0的两个实数根，且x1-y1=2,x2-y2=2,求m的值. 4.已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2+2=2(1-x)有两个实数根x1,x2.若方程的两实 数根x1,x2满足x1十x2=x1x2-22,求k的值. 6/40 第21章一元二次方程 类型2解决存在性问题 5.已知x1,x2是关于x的一元二次方程kx2+4x一3=0的两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围 (2)是否存在这样的实数，使2+2x2-=2成立？若存在，求k的值： 若不存在，请说明理由 6.关于x的方程x2一(2k一1)x+k2-2k+3=0有两个不相等的实数根.设方程的两个实数 根分别为x1,x2,是否存在这样的实数k,使得x1-x2=V5？若存在，求出k的值；若不 存在，说明理由. 7.已知关于x的方程kx2+(k+1)x+=0有实数根. (1)当k=4时，求解上述方程 (2)求k的取值范围 (3)是否存在实数k,使方程两实数根的倒数和为1？若存在，请求出k的值：若 不存在，请说明理由， 7/40 第21章一元二次方程 类星3解决几何图形问题 8.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根 (1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值 (2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1,x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形 的周长 9.已知关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2=0有两个不相等的实数根.若该方程的 两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形的对角线长为4，求实数m的值. 10.已知关于x的一元二次方程x2-2(k+1)x+k2+k+3=0(k为常数). (1)若方程的两根为菱形相邻的两边长，求k的值 (2)是否存在满足条件的常数k,使该方程的两根等于边长为2的菱形的两对角线长？若存 在，求k的值：若不存在，说明理由 8/40第21章一元二次方程 全章提分重点 重点1一元二次方程的定义及解 1.将方程2x2+7=9x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为( A.2,-9 B.2,7 C.2,9 D.2x2,-9x 答案：A 解析：将方程2x2+7=9x化成一般形式为2x2-9x+7=0,所以二次项系数为2，一次项 系数为-9，故选A 2.已知关于x的方程(k-3)xk-1+(2k-3)x+4=0是一元二次方程，则k的值为() A.±3 B.3 C.-3 D.不能确定 答案：C 解析：关于x的方程(k-3)x-1+(2k-3)x+4=0是一元二次方程， ·k-1=2且k-3≠0，解得k=-3.故选C 3.关于x的方程ax2+bx+c=0的两根分别为-3,7，则关于x的方程a(x+1)2+b(x+1)+c =0的两根为() A.-4,6 B.-2,8 C.3,-7 D.-3,7 答案：A 解析：关于x的方程ax2+bx+c=0的两根分别为-3,7，·关于x的方程 a(x+1)2+b(x+1)+c=0的两根满足x+1=-3或x+1=7,解得x1=-4, x2=6，故选A 4.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0的常数项为0，则m的值为 答案：-2 解析：：关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0的常数项为0， m2-4=0且m-2≠0，解得m=-2.故答案为-2. 5.若m是方程x2+3x-1=0的解，则式子2m2+6m+2024的值为 答案：2026 解析：：m是方程x2+3x-1=0的解，m2+3m-1=0,.m2+3m=1, 2m2+6m+2024=2(m2+3m)+2024=2026,故答案为2026 3/64 第21章一元二次方程 重点2解一元二次方程 6.用适当的方法解下列方程： (1)2x2-5x-1=0 解：2x2-5x-1=0,a=2,b=-5,c=-1, 4,“名=5+ △=(-5)2-4×2×(-1)=25+8=33>0，x=±厘， 4 ,=5-团 4 (2)x2+15=8x. 解：x2+15=8x,x2-8x=-15,x2-8x+16=-15+16,即 x-4)2=1,X-4=±1，x1=3,x2=5. (3)x2+4x-9=2x-11. 解：原方程化为x2+2x+2=0.:a=1,b=2,c=2, ·△=22-4×1×2=一4<0，÷此方程无实数根 (4)3(x-1)2-12=0. 解：3(x-1)2-12=0,÷3(x-1)2=12,则(x-1)2=4,÷x-1=±2， 解得x1=3,x2=-1 (5)2x(x-3)-5(3-x)=0· 解：原方程化为2x(x-3)+5(x-3)=0,÷(x-3)(2x+5)=0,÷x-3=0 或2x+5=0,解得x=3或x=- (6)(4x-1)2-10(4x-1)-24=0 解：令4x-1=y,得y2-10y-24=0,÷(y-12)y+2)=0, ÷y-12=0或y+2=0,÷y1=12,y2=-2.当y=12时，4x-1=12, x=号当y=-2时，4比-1=-2，x=一号综上，原方程的解为x:=号，为=-号 7.已知关于x的一元二次方程x2-(m+4)x+4m=0. (1)求证：该方程总有两个实数根， 证明： :△=b2-4ac=[-(m+4)]2-4×4m=m2-8m+16=(m-4)2≥0，该 方程总有两个实数根 （2)若该方程有一个根小于1，求m的取值范围， 解：用因式分解法解方程x2-(m+4)x+4m=0,可得(x-4)(x-m)=0, 4/64 第21章一元二次方程 解得x1=4,x2=m,若该方程有一个根小于1，则m<1. 8.对任意实数m,n(m≠0)规定一种新运算：m⑧n=mn+mn-3,例如：3☒2=32+3 ×2-3=12. (1)计算：(-2)⑧3： 解：(-2)⑧3=(-2)3+(-2)×3-3=-8+(-6)-3=-14-3=-17 (2)若(-y)⑧2的值为4，求y的值 解：由题意得(-y)⑧2=4，(-y)2+2(-y)-3=4,整理得 y2-2y-7=0,解得y1=1+2√2，y2=1-2W2. 重点3一元二次方程的应用 9.在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm,BC=8cm,动点P从点A沿线段AB向点B移动， 一动点Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为1c/s,点Q的速度 为2cm/s,当点Q到达点C时两点同时停止运动.若使△PBQ的面积为5cm2,则点P运动的时 间是( A.1s B.4s C.5s或1s D.4s或1s 答案：A 解析：设点P运动的时间为ts,则BP=(6-t)cm,BQ=2tcm.依题意得 (6-)×2t=5,整理得t2-6t+5=0,解得t1=1,t2=5.:当点Q到达点C 时两点同时停止运动，2t≤8，t≤4，“t=1.故选A 10.定义运算：m&n=m2-mn+2.例如1&2=12-1×2+2=1，则方程x&3=0的根的 情况为 答案：有两个不相等的实数根 解析：m&n=m2-mn+2,x&3=0,÷x2-3x+2=0.a=1,b=-3, c=2,△=(-3)2-4×1×2=1>0，·方程x&3=0有两个不相等的实数根， 故答案为有两个不相等的实数根 11.已知A=2x2+7x-1,B=4x+1,若2A的值比3B的值大1，求满足条件的x的值， 解：根据题意得2(2x2+7x-1)=3(4x+1)+1，整理得 2x2+x-3=0.a=2,b=1,c=-3,△=12-4×2×(-3)=25>0， =二15 =1,2=一是即清足条件的x的值为1或-月 5/64 第21章一元二次方程 重点4实际问题与一元二次方程 12.在一幅长80cm、宽50cm的刺绣风景画的四周镶上金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所 示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽度为xcm(风景画四周的金色 纸边宽度相同)，则列出的方程为() 80 A.(50+x)(80+x)=5400 B.(50-x)(80-x)=5400 C.(50+2x)(80+2x)=5400 D.(50-2x)(80-2x)=5400 答案：C 解析：根据题意得(50+2x)(80+2x)=5400故选C 13.运城市位于山西省西南部，生产水果的自然条件得天独厚.某农村合作社2022年苹果储存量 为350吨，2024年苹果储存量达到423.5吨，则这两年苹果储存量的年平均增长率为() A.10% B.10.5% C.11% D.21% 答案：A 解析：设这两年苹果储存量的年平均增长率为x.根据题意得350(1+x)2=423.5, 解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(舍)，即这两年苹果储存量的年平均增长率为10%.故选A. 14.小赵根据市场需求，从某批发市场购进了进价为每个15元的纪念品，第一天以每个25元 的价格售出了30个为了让更多的消费者拥有该种纪念品，从第二天起降价销售，根据市场调 查，每个纪念品的售价每降低1元，可多售出3个.如果前两天共获利525元，则第二天每个 纪念品的售价为多少元？ 解：设第二天每个纪念品的售价为x元根据题意得 (25-15)×30+(x-15)[30+(25-x)×3]=525,整理得x2-50x+600=0, 解得x1=20,x2=30(不合题意，舍去). 答：第二天每个纪念品的售价为20元 6/64 第21章一元二次方程 提分专题1根的判别式或根与系数的关系的应用 类型1求方程中字母参数的值 1.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值， 解：根据题意得△=(2m+1)2-4m2-2)≥0，解得m≥-景m的最小整数值为-2. （2)若该方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值. 解：根据题意得，x1+x2=-(2m+1)，x1x2=m2-2. (x1-x2)2+m2=21,.(x1+x2)2-4x1x2+m2=21, (2m+1)2-4(m2-2)+m2=21,整理得m2+4m-12=0,解得m1=2,m2=-6 由(1)得，方程有两个实数根时，m之-？六m的值为2 2.已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根.设方程的两个实数根分别为x1,x2, 若(x1+1)(x2+1)=-1,求k的值 解：：方程x2+3x+k-2=0的两个实数根分别为x1,x2,·x1+x2=-3， x￥2=k-2,32-4k-2)≥0，即k≤￥6x1+1)0x2+1)=-1, x1x2+(x1+x2)+1=-1,÷k-2+(-3)+1=-1,解得k=3,即k的值是3 3.已知x1,x2是关于x的方程x2+m2x+n=0(n<0)的两个实数根，y1,y2是关于y的方程 y2+5my+7=0的两个实数根，且x1-y1=2,x2-y2=2,求m的值， 解：根据题意得，x1+x2=-m2,y1+y2=-5m.“x1一y1=2,x2-y2=2, x1+x2-(y1+y2)=4,.-m2+5m=4,整理得m2-5m+4=0,解得m=4或m=1. 当m=1时，方程y2+5y+7=0没有实数根，故m=1舍去，·m的值为4. 4.已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2+2=2(1-x)有两个实数根x1,x2.若方程的两实 数根x1,x2满足x1+x2=x1x2-22,求k的值. 解：x2-2kx+k2+2=2(1-x),整理得x2-(2k-2)x+k2=0,则 x+x2=2k-2,x1x2=k3,(2k-22-4k2≥0，即k≤主 又：lm1+x2l=x1x2-22,2k-2=k2-22.k≤32k-2<0, |2k-2=k2-22可化简为k2+2k-24=0,解得k=4(不合题意，舍去) 或k=-6,÷.k的值为-6. 7/64 第21章一元二次方程 类型2解决存在性问题 5.已知x1,x2是关于x的一元二次方程kx2+4x一3=0的两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围 解：由题意知，k≠0且△=42-4k×(-3)>0,÷k>-且k≠0. 3 (2)是否存在这样的实数k,使2x+22-=2成立？若存在，求k的值： 若不存在，请说明理由 解：在在+=京双=是2+2西高=2是+k=2, 解得k1=4,k2=-2(不符合题意，舍去)，k的值为4 6.关于x的方程x2-(2k-1)x+k2-2k+3=0有两个不相等的实数根.设方程的两个实数 根分别为x1,x2,是否存在这样的实数k,使得引x1-x2=V5？若存在，求出k的值；若不 存在，说明理由 解：存在.由题意得x1+x2=2k-1,x1x2=k2-2k+3=(k-1)2+2>0, (2k-1)2-4(k2-2k+3)>0,即k>号将x-x=V5两边同时平方可得 x子-2x1x2+x3=5,即(x1+x2)2-4x1x2=5，则(2k-1)2-4(k2-2k+3)=5, 整理得4k-11=5,解得k=4: 7.已知关于x的方程kx2+(k+1)x+=0有实数根 (1)当k=4时，求解上述方程 解：当k=4时，方程化为4x2+5x+1=0,(4x+1)(x+1)=0, ǒ4x+1=0或x+1=0,解得x1=-年2=-1· (2)求k的取值范围 解：当k=0时，方程化为x=0,方程有实数根；当k≠0时，根据题意得 △=(k+1)2-4k×≥0，解得k之且k≠0综上所述，k的取值范围为k≥一-三 (3)是否存在实数k,使方程两实数根的倒数和为1？若存在，请求出k的值：若 不存在，请说明理由 解：不存在理由如下：设方程的两实数根分别为α，b根据根与系数的关系得 a+b=-告b=+片=1，即=1，a+b=ab,-告=，解得 ab 8/64 第21章一元二次方程 k=一k之-担k≠0，小不存在实数k，使方程两实数根的倒数和为1 类型3解决几何图形问题 8.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根 (1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值 解：根据题意得△=4(m+1)2-4(m2+5)≥0，解得m≥2.由根与系数的关 系得x1+x2=2(m+1),x1x2=m2+5.(x1-1)(x2-1)=28，即 x1x2-(x1+x2)+1=28,m2+5-2(m+1)+1=28,整理得 m2-2m-24=0,解得m1=6,m2=-4.m≥2，m的值为6 (2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1,x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形 的周长 解：分两种情况讨论：①当腰长为7时，x=7是一元二次方程 x2-2(m+1)x+m2+5=0的一个根.令x1=7,代入方程得 49-14(m+1)+m2+5=0,整理得m2-14m+40=0,解得m1=10, m2=4.当m=10时，x1+x2=2(m+1)=22,解得x2=15,而7+7<15，故 舍去：当m=4时，x1+x2=2(m+1)=10,解得x2=3,此时3+7>7，能构 成三角形，三角形周长为3+7+7=17.②当底边长为7时，x1=x2.由(1)得 m=2,方程化为x2-6x+9=0,解得x1=x2=3,而3+3<7，故舍去综上， 这个三角形的周长为17. 9.已知关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2=0有两个不相等的实数根.若该方程的 两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形的对角线长为4，求实数的值， 解：设该方程的两个实数根为x1,x2,x1+x2=2(m+1)=2m+2,x1x2=m2 由题意得4m+1)2-4m2>0,则m>-款该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩 形的对角线长为4，.由矩形的性质和勾股定理可得x?+x子=4， (x1+x2)2-2x1x2=16,4m2+8m+4-2m2=16, m2+4m-6=0,解得m=-2+v10或m=-2-v10(舍去)，.m的值为-2+√10 10.已知关于x的一元二次方程x2-2(k+1)x+k2+k+3=0(k为常数). (1)若方程的两根为菱形相邻的两边长，求k的值， 9/64 第21章一元二次方程 解：：方程的两根为菱形相邻的两边长，。此方程有两个相等的实数根， ·△=0，即[-2(k+1)]2-4(k2+k+3)=0,整理得4k-8=0,解得k=2. (2)是否存在满足条件的常数k,使该方程的两根等于边长为2的菱形的两对角线长？若存 在，求k的值；若不存在，说明理由 解：不存在理由如下：设菱形的两对角线长为α，b.:该方程的两根是菱形的 两对角线长，a+b=2(k+1),ab=k2+k+3.:菱形的两对角线互相垂直平 分，÷由勾股定理得分2+分2=4，整理得b2+a2=16,(a+b)2-2ab=16, 即2(k+1)P-2k2+k+3)=16,解得k=-35:△=4k-8, 2 4k-8≥0，k≥2.3+35<2，-3-35<2，不存在满足条件的常数k. 2 2 10/64