专题01 根的判别式的四种考法（高效培优专项训练）数学人教版九年级上册

专题1 根的判别式的四种考法 类型一：利用根的判别式判断不含字母的方程的根的情况 类型二：利用根的判别式判断含字母的方程的根的情况 类型三：根据方程的根的情况确定参数的值或范围 类型四：利用根的判别式判断三角形的形状 类型一：利用根的判别式判断不含字母的方程的根的情况 1．一元二次方程x2﹣2x＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．一元二次方程x2+2x+3＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 3．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 4．关于一元二次方程x2﹣4x﹣4＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 5．方程3x2﹣4x﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 6．关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 7．一元二次方程（x+3）（x﹣3）＝5（x+3）的根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 8．你能找到三个连续整数，使得前两个数的平方和等于第三个数的平方吗？如果将这三个连续整数中最小的数设为x，那么可得方程x2+（x+1）2＝（x+2）2，则该方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 类型二：利用根的判别式判断含字母的方程的根的情况 1．若k＜0，关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 2．k为实数，则关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+k＝0的根的情况是（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定根的情况 3．关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+k﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0（a是常数，a≠0）的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定有没有实数根 5．已知关于x的一元二次方程2x2﹣bx+c＝0，其中b，c在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 6．已知关于x的一元二次方程，其中a，b满足2a﹣b＝1，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 7．已知互不相等的实数a，b，c满足ab+a2＝c2，ab+b2＝c2，ab≠0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0根的情况为（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的存在情况 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）． （1）判断方程根的情况，并说明理由； （2）若方程一个根为﹣1，求m的值． 9．已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）判断方程的根的情况； （2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长． 类型三：根据方程的根的情况确定参数的值或范围 1．若关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．且m≠0 B．且m≠0 C． D． 3．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＞3 B．k≥﹣3 C．k＞﹣3且k≠﹣2 D．k≥﹣3且k≠﹣2 4．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k D．k且k≠2 5．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k B．k且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1 6．一元二次方程a2x2+2（a+1）x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A．a B．a，且a≠0 C．a D．a且a≠0 7．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值． 8．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3＝0（m为实数） （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根． 9．定义新运算“⊕”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]⊕[q，n]＝mn+pq，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：[4，5]⊕[2，6]＝4×6+5×2＝34． （1）求关于x的方程[x2，x﹣1]⊕[3，2]＝0的根； （2）若关于x的方程[x2+1，x]⊕[1﹣2k，k]＝0有两个实数根，求k的取值范围． 类型四：利用根的判别式判断三角形的形状 1．△ABC的三边长分别为a，b，c，关于x的一元二次方程（b﹣c）x2﹣4ax+4（b+c）＝0有两个相等的实数根，则△ABC的形状一定为（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．已知关于x的一元二次方程a（1+x2）+2bx＝c（1﹣x2），其中a、b、c分别为△ABC三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则△ABC的形状为（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，则以a，b，c为边长的三角形说法正确的是（　　） A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形 C．边长c所对的角是90° D．边长a所对的角是90° 4．已知a、b、c是△ABC的三边，并且关于x的方程x2﹣（a+b）x+2ab+c2＝0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，正确的结论是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 5．已知关于x的方程x2+bx+a2+c2＝0有两个相等的实数根，则以a、b、c为三边长的三角形的形状一定是 　 　 三角形． 6．已知a、b、c是△ABC的三边，关于x的方程c（x2+m）+b（x2﹣m）＝2ax＝0，当m＞0时有两个相等的实数根，则△ABC的形状是 　 　 三角形． 7．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 根的判别式的四种考法 类型一：利用根的判别式判断不含字母的方程的根的情况 类型二：利用根的判别式判断含字母的方程的根的情况 类型三：根据方程的根的情况确定参数的值或范围 类型四：利用根的判别式判断三角形的形状 类型一：利用根的判别式判断不含字母的方程的根的情况 1．一元二次方程x2﹣2x＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【解答】解：由条件可得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 2．一元二次方程x2+2x+3＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：由题意可知Δ＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0， 当Δ＜0时，方程没有实数根， ∴方程x2+2x+3＝0没有实数根． 故选：A． 3．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】C 【解答】解：∵一元二次方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝4﹣42＝0， ∴方程有两个相等的实数根， 故选：C． 4．关于一元二次方程x2﹣4x﹣4＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣4＝0判别式Δ＝b2﹣4ac＝32＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 5．方程3x2﹣4x﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【答案】B 【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0， ∴方程3x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根． 故选：B． 6．关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0， ∴方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根． 故选：A． 7．一元二次方程（x+3）（x﹣3）＝5（x+3）的根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【解答】解：由条件可得x2﹣9＝5x+15， 即x2﹣5x﹣24＝0， ∴根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×（﹣24）＝121＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 8．你能找到三个连续整数，使得前两个数的平方和等于第三个数的平方吗？如果将这三个连续整数中最小的数设为x，那么可得方程x2+（x+1）2＝（x+2）2，则该方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【解答】解：原方程可化为：x2﹣2x﹣3＝0， 则a＝1，b＝﹣2，c＝3， 所以b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0， 故原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 类型二：利用根的判别式判断含字母的方程的根的情况 1．若k＜0，关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【解答】解：kx2﹣x+1＝0， Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4k， ∵k＜0 ∴1﹣4k＞1， ∴该一元二次方程有两个不相等的根． 故选：B． 2．k为实数，则关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+k＝0的根的情况是（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定根的情况 【答案】A 【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2≥0． ∴方程有两个实数根． 故选：A． 3．关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+k﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：∵x2﹣（k+1）x+k﹣1＝0， Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4（k﹣1）＝k2﹣2k+5）＝k2+2k+1﹣4k+4＝k2﹣2k+1+4＝（k﹣1）2+4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4．一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0（a是常数，a≠0）的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定有没有实数根 【答案】A 【解答】解：一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0可化为﹣8x2﹣8x+a2﹣2＝0， ∵a＝﹣8，b＝﹣8，c＝a2﹣2，a≠0， ∴Δ＝（﹣8）2﹣4×（﹣8）×（a2﹣2）＝64+32a2﹣64＝32a2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5．已知关于x的一元二次方程2x2﹣bx+c＝0，其中b，c在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【解答】解：∵b＞0，c＜0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4×2×c＞0， ∴有两个不相等的实数根． 故选：B． 6．已知关于x的一元二次方程，其中a，b满足2a﹣b＝1，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：由题知， 因为一元二次方程为， 整理得，x2﹣2ax+ab0， 则Δ＝（﹣2a）2﹣4（ab）＝4a2﹣4ab+b2+4＝（2a﹣b）2+4． 又因为2a﹣b＝1， 则Δ＝12+4＝5＞0， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 7．已知互不相等的实数a，b，c满足ab+a2＝c2，ab+b2＝c2，ab≠0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0根的情况为（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的存在情况 【答案】C 【解答】解：ab+a2＝c2①，ab+b2＝c2②， ①﹣②，得a2﹣b2＝0， ∴（a+b）（a﹣b）＝0， ∵a，b互不相等， ∴a+b＝0， ∴b＝﹣a③， 把③代入①，得﹣a2+a2＝c2， ∴c2＝0， ∴c＝0， ∵ax2+bx+c＝0，ab≠0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣a）2﹣4a×0＝a2， ∵ab≠0， ∴a≠0， ∴Δ＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）． （1）判断方程根的情况，并说明理由； （2）若方程一个根为﹣1，求m的值． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根； （2）﹣3． 【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根． 理由如下：Δ＝（﹣2）2﹣4m＝4﹣4m， ∵m＜0， ∴﹣4m＞0， ∴4﹣4m＞0，即Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）把x＝﹣1代入方程x2﹣2x+m＝0得1+2+m＝0， 解得m＝﹣3． 9．已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）判断方程的根的情况； （2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根； （2）13或17． 【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）xm±1， ∴x1＝m+1，x2＝m﹣1， 当m+1＝5时，解得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3，△ABC的周长为5+5+3＝13； 当m﹣1＝5时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，△ABC的周长为5+5+7＝17； 综上所述，△ABC的周长为13或17． 类型三：根据方程的根的情况确定参数的值或范围 1．若关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：已知x2+x+k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×k＝1﹣4k＞0， ∴k． 故选：C． 2．已知关于x的方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．且m≠0 B．且m≠0 C． D． 【答案】A 【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根， ∴． 解得m且m≠0． 故选：A． 3．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＞3 B．k≥﹣3 C．k＞﹣3且k≠﹣2 D．k≥﹣3且k≠﹣2 【答案】D 【解答】解：由题意可知：Δ＝4+4（k+2）≥0， ∴解得：k≥﹣3， ∵k+2≠0， ∴k≥﹣3且k≠﹣2， 故选：D． 4．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k D．k且k≠2 【答案】B 【解答】解：根据题意得k﹣2≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣2）k≥0， 解得k≥0且k≠2． 故选：B． 5．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k B．k且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1 【答案】B 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根， ∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0， 解得：k且k≠1， 故选：B． 6．一元二次方程a2x2+2（a+1）x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A．a B．a，且a≠0 C．a D．a且a≠0 【答案】B 【解答】解： 因为一元二次方程a2x2+2（a+1）x+1＝0有实数根， 所以有，即，解得a，且a≠0， 故选：B． 7．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值． 【答案】（1）m＜2； （2）m＝1． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（m﹣1）2﹣4×12m+4＞0， 解得：m＜2， ∴m的取值范围为m＜2； （2）∵m为非负整数，且m＜2， ∴m可以为0或1． 当m＝0时，Δ＝﹣2m+4＝﹣2×0+4＝4，此时方程的根都是有理数，不符合题意，舍去； 当m＝1时，Δ＝﹣2m+4＝﹣2×1+4＝2，此时方程的根都是无理数，符合题意． ∴m的值为1． 8．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3＝0（m为实数） （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根． 【答案】（1）m≠3且m≠0； （2）见解析． 【解答】解：（1）Δ＝b2﹣4ac＝[﹣3（m﹣1）]2﹣4m（2m﹣3）＝（m﹣3）2， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴（m﹣3）2＞0且m≠0， ∴m≠3且m≠0， ∴m的取值范围是m≠3且m≠0； （2）由求根公式得： ， ∴， ， ∴无论m为何值，方程总有一个固定的根是1． 9．定义新运算“⊕”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]⊕[q，n]＝mn+pq，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：[4，5]⊕[2，6]＝4×6+5×2＝34． （1）求关于x的方程[x2，x﹣1]⊕[3，2]＝0的根； （2）若关于x的方程[x2+1，x]⊕[1﹣2k，k]＝0有两个实数根，求k的取值范围． 【答案】（1）x1，x2； （2）k且k≠0． 【解答】解：（1）∵[x2，x﹣1]⊕[3，2]＝0， ∴2x2+3（x﹣1）＝0， ∴2x2+3x﹣3＝0， ∴Δ＝32﹣4×2×（﹣3）＝33＞0， ∴x， ∴x1，x2； （2）∵[x2+1，x]⊕[1﹣2k，k]＝0， ∴（x2+1）k+x（1﹣2k）＝0， 整理得：kx2+（1﹣2k）x+k＝0， ∵方程有两个实数根， ∴Δ＝（1﹣2k）2﹣4k•k≥0，k≠0， 解得：k且k≠0． 类型四：利用根的判别式判断三角形的形状 1．△ABC的三边长分别为a，b，c，关于x的一元二次方程（b﹣c）x2﹣4ax+4（b+c）＝0有两个相等的实数根，则△ABC的形状一定为（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（b﹣c）x2﹣4ax+4（b+c）＝0有两个相等的实数根， ∴（﹣4a）2﹣4（b﹣c）•4（b+c）＝0， ∴a2+c2＝b2， ∴△ABC为直角三角形． 故选：A． 2．已知关于x的一元二次方程a（1+x2）+2bx＝c（1﹣x2），其中a、b、c分别为△ABC三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则△ABC的形状为（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解答】解：原方程可化为：（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0， ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0， ∴4b2﹣4a2+4c2＝0， ∴a2＝b2+c2， ∴△ABC是直角三角形． 故选：C． 3．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，则以a，b，c为边长的三角形说法正确的是（　　） A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形 C．边长c所对的角是90° D．边长a所对的角是90° 【答案】D 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根， ∴， ∴a2＝b2+c2， ∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形，且边长a所对的角是90°． 故选：D． 4．已知a、b、c是△ABC的三边，并且关于x的方程x2﹣（a+b）x+2ab+c2＝0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，正确的结论是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解答】解：∵a、b、c是△ABC三边，并且关于x的方程x2﹣（a+b）x+2ab+c2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝[﹣（a+b）]2﹣4（2ab+c2）＝0， ∴a2+b2＝c2， ∴∠C＝90°， 即△ABC是直角三角形， 故选：B． 5．已知关于x的方程x2+bx+a2+c2＝0有两个相等的实数根，则以a、b、c为三边长的三角形的形状一定是 　直角三角形　 三角形． 【答案】直角三角形． 【解答】解：∵关于x的方程x2+bx+a2+c2＝0有两个相等的实数根， ∴b2﹣4（a2+c2）＝0， 解得：b2＝a2+c2， ∴以a、b、c为三边长的三角形为直角三角形． 故答案为：直角三角形． 6．已知a、b、c是△ABC的三边，关于x的方程c（x2+m）+b（x2﹣m）＝2ax＝0，当m＞0时有两个相等的实数根，则△ABC的形状是 　直角　 三角形． 【答案】直角． 【解答】解：方程化为一般式为（b+c）x2﹣2ax﹣bm+cm＝0， ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2a）2﹣4（b+c）（﹣bm+cm）＝0， ∴4ma2﹣4m（b+c）（b﹣c）＝0， ∴a2﹣（b2﹣c2）＝0， ∴a2+c2＝b2， ∴△ABC为直角三角形． 故答案为：直角． 7．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下： ∵x＝﹣1是方程的根， ∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0， ∴a+c﹣2b+a﹣c＝0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）△ABC是直角三角形．理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0， ∴4b2﹣4a2+4c2＝0， ∴a2＝b2+c2， ∴△ABC是直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$