江苏省南通市2025-2026学年九年级上学期10月月考模拟数学试卷

答案与解析 1.【答案】  【解析】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：． 根据的顶点式即可得到答案． 本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：是半圆的直径， ， ， ， ． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：是的直径，弦， ，，，故B，D正确，不符合题意； ，故A正确，不符合题意； 而无法比较，的大小，故C错误，符合题意； 故选：． 4.【答案】  【解析】解：将抛物线向下平移个单位长度，所得到的抛物线为，即为，再向右平移个单位长度，所得到的抛物线为， 故选：． 直接根据二次函数图象的平移规律即可得． 本题考查了二次函数图象的平移“左加右减、上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键． 5.【答案】  【解析】解：二次函数开口向上，与轴交于负半轴， ，， 抛物线的对称轴是直线， ， ， ，故A错误，不符合题意； 二次函数与轴有个交点， ，故B结论错误，不符合题意； 当时，， ， ， 故D结论错误，不符合题意； 二次函数经过点，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点坐标为， 当时，， 故C结论正确，符合题意； 故选：． 6.【答案】  【解析】解：根据二次函数图象开口向下，与轴的交于正半轴， ，， 顶点坐标为， 对称轴为， ， ，故A正确； 二次函数的顶点坐标为，即与只一个交点， 有两个相等的实数根，，故B正确； 根据图示可得，当时，，故C不正确； 二次函数的对称轴为，与轴的一个交点坐标为， 另一个交点的横坐标为， 抛物线与轴的另一个交点是，故D正确； 故选：． 7.【答案】  【解析】解：由条件可知： ， ， ， 在中，， 故选：． 根据圆周角定理得到，由垂直得到，根据直角三角形两锐角互余即可求解． 本题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余，掌握圆周角定理是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：该地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作， 第二天销售额为万元，第三天销售额为万元． 根据题意得：． 故选：． 由第一天的销售额及以后每天销售额的增长率，可得出第二、三天的销售额，再将三天的销售额相加，即可找出关于的函数关系式． 本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可． 【解答】 解：如图所示， A.由图象可知，当时，，故选项错误，不符合题意； B.由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； C.由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； D.由图象可知，当时，，故选项正确，符合题意； 故选：． 10.【答案】  【解析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，熟知二次函数的图象和性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．分别过，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， 所以，，，． 因为四边形是正方形， 所以，， 所以， 所以． 在和中， 所以， 所以，， 所以， 又因为， 所以， 即， 因为， 所以， 所以． 故选：． 11.【答案】  【解析】解：抛物线， 该抛物线的对称轴为直线， 点和点都在抛物线上，轴， 点的坐标为， 故答案为：． 先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数具有对称性，即可写出点的坐标． 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 12.【答案】  【解析】解：方程的两个根为和， 抛物线与轴的交点横坐标分别为和， 抛物线的对称轴为直线． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：四边形内接圆，， ， ， ， ， 与是同弧所对的圆周角与圆心角， ． 14.【答案】  【解析】解：， 该抛物线的对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围为：， 故答案为：． 先求出二次函数的对称轴，再分别求解，，时的函数值，即可得出结论． 本题主要考查二次函数的增减性，关键是要牢记抛物线的对称轴的公式，理解抛物线的增减性． 15.【答案】  【解析】解：如图，连接，设圆的半径为，则， ， ，且过圆心， ， ， ， ， 此圆的半径长为， 故答案为：． 16.【答案】  【解析】解：设该涵洞的截面边缘对应的抛物线解析式为， 当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离是， ， ， 解得：， 物线解析式为， 由题意可知点的纵坐标为：， 当时，得：， 解得：或， ，， ， 涵洞的宽度是． 故答案为：． 17.【答案】或  【解析】解：关于的函数的图象与轴仅有一个公共点， 当时， ， 解得， 当时，是一次函数，图象与轴仅有一个公共点， 故答案为：或． 分和两种情况解答，当时，是一次函数；当时，，解方程即可． 此题考查了函数图象与轴只有一个公共点，熟练掌握二次函数根的判别式为，分类讨论是解题关键． 18.【答案】  【解析】解：， 令，得到， 令，， ，， ，． 对称轴是直线， ， ，，， ， 在中，， ， ， 过点作，则， 当，，共线时，的值最小，最小值． 故答案为：． 过点作，则，当，，共线时，的值最小，最小值． 19.【答案】证明：，为直径， ， ， ， ， 即， ；     【解析】证明：，为直径， ， ， ， ， 即， ； 解：由条件可知的度数为， 的度数为， 的度数为， 的度数为． 20.【答案】二次函数的表达式；   抛物线的解析式为：  【解析】由题意，设二次函数的表达式， 把，和代入得， ． 二次函数的表达式． 由题意，设抛物线的解析式为：， 把代入解析式得， 抛物线的解析式为：． 21.【答案】为的直径， ， 即， ， ， ， 同角的余角相等， 已知， 等边对等角， 等量代换；     【解析】证明：为的直径， ， 即， ， ， ， 同角的余角相等， 已知， 等边对等角， 等量代换； 解：， ， ，， ， ，， 在中，， ． 22.【答案】，；   ；   当时，的取值范围为．  【解析】二次函数的图象与轴交于、， 抛物线与的另一个交点为， 的根为：，； 故答案为：，； 因为二次函数的图象与轴交于、， 观察图象可知：当时，图象总在轴的下方． 所以不等式的解集为：， 故答案为：； 二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为， ， 解得， 二次函数的解析式为， 抛物线与轴的交点坐标为， 当时，的取值范围为． 23.【答案】【小题】 证明：， ， ，， ， ， ； 【小题】 解：连接， 为直径， ， 由知， ，， ， ， ， ， ， ．   24.【答案】；   由题可知， ， ， ， 该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点；   或  【解析】将代入， 得：， 解得， 故答案为：； 由题可知， ， ， ， 该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点； 的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图象开口向上， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 即， 或． 25.【答案】【小题】 解：过水面宽度的中点作水面宽度的垂线，以的水面所在直线为轴，交于点，以点为原点，建立平面直角坐标系，； 水面宽，拱顶离水面， 顶点的坐标为，且抛物线经过点， 设该抛物线的函数解析式为代入得 解得： 抛物线的解析式为； 【小题】 解：根据题意，得  危险高度，安全最低高度为， ， 当时，， 解得，； 匾额的最大长度为， ， 牌匾悬挂能成功挂上； 【小题】 解：设圆弧所在圆的圆心为点，水面宽度为，过点作于点，交圆弧于点， ， ，设圆的半径为，则，， 根据勾股定理，得， 解得， 在上截取，过点作，交圆于点，两点， 连接，则，， ， ， 方案的设计宽度为长度缩短为，宽仍然为， 故牌匾悬挂能成功．   26.【答案】解：， 一次函数中随增大而增大， 一次函数存在“翻倍取值范围“， 当时，，当时，， 即一次函数的图象过点、， ， 解得， ，； ， ， 两点和在抛物线上且为对称点，， ， ， 抛物线解析式为， ，实数、到的取值范围为函数的“翻倍取值范围”， 是方程的两个根， ， ，．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市2025-2026学年九年级（上）10月月考模拟数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线的顶点坐标为(    ) A. B. C. D. 2.如图，是半圆的直径，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.如图，是的直径，弦，垂足为，下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 4.将抛物线向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得到的抛物线为(    ) A. B. C. D. 5.如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 6.如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点的坐标是，与轴的一个交点的坐标为，直线经过，两点下列结论错误的是(    ) A. B. 方程有两个相等的实数根 C. 当时， D. 抛物线与轴的另一个交点是 7.如图，在中，，，垂足为点，则(    ) A. B. C. D. 8.黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为(    ) A. B. C. D. 9.已知，设函数，，直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10.如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知点和点都在抛物线上，如果轴，那么点的坐标为______． 12.已知方程的两个根为和，则抛物线的对称轴为直线      ． 13.如图所示，是的外接圆，是弧上一点，连接，并延长至，连接，若，，则      ． 14.已知二次函数，当时，则的取值范围是      ． 15.如图，一个隧道的横截面是以为圆心的圆的一部分，路面，高，则此圆的半径长为       16.一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示现测得当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为这时，离开水面处，涵洞的宽度是      ． 17.若函数的图象与轴只有一个公共点，则实数的取值是      ． 18.已知抛物线交轴于、在的左侧，交轴于，其对称轴交轴于，点是轴上一动点则最小值是______． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，，为直径，弦，分别与半径，相交，且． 求证：； 若，且，求的度数． 20.本小题分 求满足下列条件的二次函数的解析式： 图象经过点，和； 图象顶点坐标为，且经过点． 21.本小题分 如图，为的直径，且于点连接，，． 求证：； 若，，求弦的长． 22.本小题分 如图，二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： 方程的两个根为______； 不等式的解集为______； 若当时，求的取值范围． 23.本小题分 如图，已知，以为直径的分别交于点，，连接，且． 求证：； 若，求的长． 24.本小题分 已知二次函数为常数． 若点在该函数图象上，则______； 证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点； 若该函数图象上有两个点、，当时，直接写出的取值范围． 25.本小题分 【提出问题】 某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？ 拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料 素材 图是一座拱桥，图是桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面每年夏季，该河段水位在此基础上会再涨 达到最高． 素材 国庆节，拟在图所示的桥拱上悬挂“庆祝国庆”四个大字的长方形牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾长宽，下沿与水面平行，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于． 【解决问题】 若桥拱所构成的曲线是抛物线，建立如图的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 请你设计方案：在的基础上，牌匾悬挂能否成功？请说明理由； 若素材中的桥拱形状是圆弧，其他条件不变，素材中的牌匾长度缩短为，宽仍然为，其他悬挂条件不变，请你通过计算判断方案是否可行． 26.本小题分 任意关于的函数对于实数、，若当时，函数值的取值范围为，则称到含、这段取值范围为该函数的一个“翻倍取值范围”． 若一次函数存在“翻倍取值范围”，求、的值； 已知二次函数的图象上有两点和，其中，，若实数、从到含、的取值范围为函数的“翻倍取值范围”，求、的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $