专题02 等式和方程（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材北京版

专题02 等式和方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律  用字母表示数 1. 熟练运用字母表示实际问题中的数量关系（如路程、价格、面积等公式）。 2. 准确理解字母的取值范围（实际意义），如人数为正整数。 【易错点】 • 书写不规范：如省略乘号时数字写在字母后面（2×a 应写成 2a，而非 a2）。 • 意义不清晰：未能说明字母所代表的实际意义。 【命题趋势】 常与生活情境结合，在选择题或填空题中考查列代数式的能力。  整式（单项式、多项式） 1. 准确判断单项式、多项式和整式，能指出单项式的系数和次数，以及多项式的项和次数。 2. 熟练进行整式的加、减运算，并能对多项式按某个字母进行升幂或降幂排列。 【易错点】 • 概念混淆：误认为是整式（它其实是分式）。 • 系数与次数判断错误：如 --的系数是 ，次数是 3。 • 去括号时符号错误：括号前是负号时，忘记变号。 【命题趋势】 • 期中必考：多以概念判断题（选择题）、计算题（填空或解答）形式出现。 • 基础性：整式的加减运算是解方程的基础，计算能力是考查重点。 等式与方程 1. 准确区分等式与代数式、方程与等式的区别与联系。 2. 能判断一个数值是否为给定方程的解（验根）。 3. 能够根据具体问题情境，设未知数并列出方程。 【易错点】 • 概念不清：认为“等式就是方程”（方程是含有未知数的等式）。 • 验根格式错误：检验过程书写不规范，未能清晰体现“左边=右边”的逻辑。 【命题趋势】 • 对方程解的概念的考查常出现在选择题。 • 列方程解决简单实际问题是应用题的基础，期中考试中会有一道小题。 等式的基本性质 1. 完整叙述等式的两条基本性质。 2. 熟练运用性质进行等式的变形，并说明变形的依据。 3. 应用性质解简单的一元一次方程（此为重中之重）。 【易错点】 • 性质应用不当：在方程两边除以一个数时，忘记改变每一项的符号（实质是性质运用不熟）。 • 步骤跳跃：解方程时跳步，导致符号错误或计算失误。 【命题趋势】 • 核心考点：解方程是期中考试的绝对重点，100% 会在大题中考查。 • 综合性：常与整式的加减运算结合，要求先化简再解方程。正确应为 -(a-b) = -a+b）。 知识点01用字母表示数 · 核心概念：用字母可以表示任意数（在特定情境下有取值范围），从而将具体的数量关系一般化、抽象化，为建立方程打下基础。 · 主要法则与要求： 0. 书写规范：在含有字母的式子里，数字和字母、字母和字母中间的乘号可以记作“·”或者省略不写。数字要写在字母前面。 0. 实际意义：在用字母表示数量关系时，要明确字母所代表的具体含义。 · 示例： · 一本书的价格是 a 元，买5本这样的书总价是 5a 元。 · 小明的速度是 v 米/秒，跑步 t 秒后所走的路程是 vt 米。 · 易错点： · 错误书写：将 5 × a 写成 a5 或 5a（5a是正确的，a5是错误的）。 · 忽略取值范围：如用 n 表示人数，则 n 应为正整数。 知识点02整式（单项式与多项式） · 核心概念：单项式和多项式统称为整式。整式是代数式中最基本的形式，是进行代数运算的基础。 · 1. 单项式 · 定义：由数与字母的积组成的代数式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 · 系数：单项式中的数字因数。例如，-3x²y 的系数是 -3。 · 次数：一个单项式中，所有字母的指数之和。例如，-3x²y 的次数是 3 (2+1=3)。 · 2. 多项式 · 定义：几个单项式的和。 · 项：组成多项式的每个单项式。例如，多项式 2x² - 3x + 1 的项是 2x², -3x, +1。 · 次数：多项式中次数最高项的次数。例如，2x² - 3x + 1 的次数是 2。 · 常数项：多项式中不含字母的项。例如，2x² - 3x + 1 的常数项是 1。 · 3. 整式的加减法 · 法则：去括号 → 合并同类项。 · 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。几个常数项也是同类项。 · 合并同类项：将同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 · 示例： · πr² 是单项式，系数是 π，次数是 2。 · 2x - 3y + 1 是多项式，是三次三项式。 · 计算 (3a² - 2ab) - (ab + b²)： · = 3a² - 2ab - ab - b² （去括号，注意符号变化） · = 3a² - 3ab - b² （合并同类项 -2ab 和 -ab） · 易错点： · 混淆单项式次数和系数：-x²y³ 的系数是 -1，次数是 5。 · 判断整式时，分母中含有字母的式子（如 ）不是整式。 · 去括号时符号错误：括号前是负号时，去掉括号后括号内每一项都要变号。这是整式加减和最常出错的地方。 知识点03 等式与方程 · 核心概念： · 等式：用等号“=”来表示相等关系的式子。 · 方程：含有未知数的等式。 · 方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值。 · 解方程：求方程的解的过程。 · 关系： · 方程一定是等式，但等式不一定是方程。（方程是等式的子集） · 示例： · 1+2=3 是等式，但不是方程。 · x + 5 = 7 既是等式，也是方程。 · x = 2 是方程 x + 5 = 7 的解。 · 易错点： · 概念混淆，认为所有等式都是方程。 · 检验方程的解时，格式不规范。正确格式是：将解代入原方程左边和右边分别计算，再看两边是否相等。 知识点04 等式的基本性质 · 核心概念：等式性质是解方程的理论依据，所有解方程的步骤都是由它推导出来的。 · 性质内容： 0. 性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 · 如果 a = b，那么 a ± c = b ± c 0. 性质2：等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式。 · 如果 a = b，那么 a × c = b × c，a ÷ c = b ÷ c (c ≠ 0) · 应用（解方程）： · 移项：利用性质1，将方程中的项改变符号后，从等式的一边移到另一边。 · 系数化为1：利用性质2，将方程未知数的系数变成1。 · 示例（解方程 2x - 1 = 5）： 0. 两边都加1（性质1）： 2x - 1 + 1 = 5 + 1 → 2x = 6 0. 两边都除以2（性质2）： 2x ÷ 2 = 6 ÷ 2 → x = 3 · 易错点： · 移项忘记变号：这是解方程中最常见的错误。例如，将 3x + 2 = 5x 移项得 3x - 5x = +2（正确）而不是 3x - 5x = -2（错误）。 · 利用性质2时，两边同时除以一个负数后，符号忘记改变。例如，-3x = 6 的解是 x = -2。 题型一 代数式的意义与规范书写 解｜题｜技｜巧 意义理解：说清代数式意义时，需明确每个字母及运算关系代表的实际含义，遵循“先读运算，后读字母”的顺序。 书写规范：数字与字母相乘时，数字在前，乘号省略；带分数与字母相乘时，带分数要化为假分数；除法运算一般写成分数形式。 易错点：忽略实际背景中字母的取值范围（如人数为正整数）。 【典例1】请你用数学语言解释 5m + 2n 的意义，并指出在“m代表铅笔单价，n代表笔记本单价”的前提下，该式子的具体含义。 【变式1】将下列语言叙述用代数式表示：“比 a 的平方的2倍小1的数”。 【变式2】判断下列代数式书写是否规范，若不规范，请改正： a÷(b-2), 5·(m+n)。 题型二 整式的概念辨析（归纳思想） 解｜题｜技｜巧 判断三步法： · 是否是代数式？ · 分母中是否含有字母？(有则不是整式) · 是否只包含数字和字母的加、减、乘、乘方运算？ 系数与次数： · 系数：单项式中的数字因数（包含符号）。π是数字，不是字母。 · 次数：所有字母的指数之和。单独一个非零数字的次数是0。 【典例1】下列式子中，哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？并指出单项式的系数和次数。 a, -2x²y, πr², , , 0, 3a - b² 【变式1】 下列说法错误的是（ ）。 A. -xy² 的次数是3 B. 2πR 的系数是2π C. a - 1 是单项式 D. x² - 2x + 1 是二次三项式 【变式2】多项式 3x²y - 2xy³ + 5x - 7 是__次__项式，按字母x的降幂排列为______。 题型三 等式与方程的概念辨析 解｜题｜技｜巧 关系图：方程 ⇒ 等式，但等式 ⇏ 方程。 判断关键：看两个条件：①是否是等式（有“=”）；②是否含有未知数。 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。检验是唯一方法。 【典例1】下列各式中，是等式的有____，是方程的有____。（填序号） ① 3+5=8； ② 2x-1； ③ a+b=b+a； ④ 2y+1=3y； ⑤ S=ab 【变式1】：检验 x = 2 是否为方程 3x - 5 = 2(x-1) 的解。 【变式2】根据条件“某数x的3倍比它的一半大5”列出方程。 题型四 等式基本性质的理解与应用 解｜题｜技｜巧 性质核心：等式像天平，两边进行相同的运算（加减乘除，除法时除数不为0），结果仍相等。 应用场景：主要用于说明等式变形或解方程步骤的依据。 易错点：忽略性质2中“除数不为0”的条件；运用性质时未能同时作用于两边全体。 【典例1】判断下列变形是否正确，若正确，指出依据的等式性质。 (1) 如果 x = y，那么 x + 3 = y + 3。 (2) 如果 -2a = -2b，那么 a = b。 (3) 如果 a = b，那么 ac = bc。 (4) 如果  = ，那么 x = y。 【变式1】用适当的数或式子填空，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的。 如果 3x = 2x - 5，那么 3x - ___ = -5。 【变式2】下列变形中，错误的是（ ）。 A. 若 a = b，则 a + c = b + c B. 若 a = b，则  =  C. 若 a = b，则 a - 3 = b - 3 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 2．宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数．首先要“立天元一”，相当于“设未知数x”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，进而得到一个等式．“天元术”指的是我们所学的（    ） A．函数 B．有理数 C．代数式 D．方程 3．下列有理数中，不可能是关于的方程的解的是（    ） A．0 B．1 C． D．－3 4．多项式和（、为实数，且）的值随的取值不同而变化，下表是当取不同值时分别对应的两个多项式的值，则关于的方程：的解是 ． 0 1 2 5 3 1 5．方程2x+▲=3x，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x=2，那么▲处的常数是 ． 6．已知为自然数，请尝试用检验的方法解方程：． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为，则______． A．2 B．3 C．1 D．2020 2．小马虎在做作业，不小心将方程中的一个常数污染了，被污染的方程是，怎么办呢？他想了想便翻看书后的答案，方程的解是，请问这个被污染的常数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若方程的解比关于的方程的解小1，则的值为（    ） A． B． C．5 D．3 4．若是关于的方程的解，则的值为 ． 5．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是 ． x 0 2 0 6．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等式和方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律  用字母表示数 1. 熟练运用字母表示实际问题中的数量关系（如路程、价格、面积等公式）。 2. 准确理解字母的取值范围（实际意义），如人数为正整数。 【易错点】 • 书写不规范：如省略乘号时数字写在字母后面（2×a 应写成 2a，而非 a2）。 • 意义不清晰：未能说明字母所代表的实际意义。 【命题趋势】 常与生活情境结合，在选择题或填空题中考查列代数式的能力。  整式（单项式、多项式） 1. 准确判断单项式、多项式和整式，能指出单项式的系数和次数，以及多项式的项和次数。 2. 熟练进行整式的加、减运算，并能对多项式按某个字母进行升幂或降幂排列。 【易错点】 • 概念混淆：误认为是整式（它其实是分式）。 • 系数与次数判断错误：如 --的系数是 ，次数是 3。 • 去括号时符号错误：括号前是负号时，忘记变号。 【命题趋势】 • 期中必考：多以概念判断题（选择题）、计算题（填空或解答）形式出现。 • 基础性：整式的加减运算是解方程的基础，计算能力是考查重点。 等式与方程 1. 准确区分等式与代数式、方程与等式的区别与联系。 2. 能判断一个数值是否为给定方程的解（验根）。 3. 能够根据具体问题情境，设未知数并列出方程。 【易错点】 • 概念不清：认为“等式就是方程”（方程是含有未知数的等式）。 • 验根格式错误：检验过程书写不规范，未能清晰体现“左边=右边”的逻辑。 【命题趋势】 • 对方程解的概念的考查常出现在选择题。 • 列方程解决简单实际问题是应用题的基础，期中考试中会有一道小题。 等式的基本性质 1. 完整叙述等式的两条基本性质。 2. 熟练运用性质进行等式的变形，并说明变形的依据。 3. 应用性质解简单的一元一次方程（此为重中之重）。 【易错点】 • 性质应用不当：在方程两边除以一个数时，忘记改变每一项的符号（实质是性质运用不熟）。 • 步骤跳跃：解方程时跳步，导致符号错误或计算失误。 【命题趋势】 • 核心考点：解方程是期中考试的绝对重点，100% 会在大题中考查。 • 综合性：常与整式的加减运算结合，要求先化简再解方程。正确应为 -(a-b) = -a+b）。 知识点01用字母表示数 · 核心概念：用字母可以表示任意数（在特定情境下有取值范围），从而将具体的数量关系一般化、抽象化，为建立方程打下基础。 · 主要法则与要求： 0. 书写规范：在含有字母的式子里，数字和字母、字母和字母中间的乘号可以记作“·”或者省略不写。数字要写在字母前面。 0. 实际意义：在用字母表示数量关系时，要明确字母所代表的具体含义。 · 示例： · 一本书的价格是 a 元，买5本这样的书总价是 5a 元。 · 小明的速度是 v 米/秒，跑步 t 秒后所走的路程是 vt 米。 · 易错点： · 错误书写：将 5 × a 写成 a5 或 5a（5a是正确的，a5是错误的）。 · 忽略取值范围：如用 n 表示人数，则 n 应为正整数。 知识点02整式（单项式与多项式） · 核心概念：单项式和多项式统称为整式。整式是代数式中最基本的形式，是进行代数运算的基础。 · 1. 单项式 · 定义：由数与字母的积组成的代数式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 · 系数：单项式中的数字因数。例如，-3x²y 的系数是 -3。 · 次数：一个单项式中，所有字母的指数之和。例如，-3x²y 的次数是 3 (2+1=3)。 · 2. 多项式 · 定义：几个单项式的和。 · 项：组成多项式的每个单项式。例如，多项式 2x² - 3x + 1 的项是 2x², -3x, +1。 · 次数：多项式中次数最高项的次数。例如，2x² - 3x + 1 的次数是 2。 · 常数项：多项式中不含字母的项。例如，2x² - 3x + 1 的常数项是 1。 · 3. 整式的加减法 · 法则：去括号 → 合并同类项。 · 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。几个常数项也是同类项。 · 合并同类项：将同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 · 示例： · πr² 是单项式，系数是 π，次数是 2。 · 2x - 3y + 1 是多项式，是三次三项式。 · 计算 (3a² - 2ab) - (ab + b²)： · = 3a² - 2ab - ab - b² （去括号，注意符号变化） · = 3a² - 3ab - b² （合并同类项 -2ab 和 -ab） · 易错点： · 混淆单项式次数和系数：-x²y³ 的系数是 -1，次数是 5。 · 判断整式时，分母中含有字母的式子（如 ）不是整式。 · 去括号时符号错误：括号前是负号时，去掉括号后括号内每一项都要变号。这是整式加减和最常出错的地方。 知识点03 等式与方程 · 核心概念： · 等式：用等号“=”来表示相等关系的式子。 · 方程：含有未知数的等式。 · 方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值。 · 解方程：求方程的解的过程。 · 关系： · 方程一定是等式，但等式不一定是方程。（方程是等式的子集） · 示例： · 1+2=3 是等式，但不是方程。 · x + 5 = 7 既是等式，也是方程。 · x = 2 是方程 x + 5 = 7 的解。 · 易错点： · 概念混淆，认为所有等式都是方程。 · 检验方程的解时，格式不规范。正确格式是：将解代入原方程左边和右边分别计算，再看两边是否相等。 知识点04 等式的基本性质 · 核心概念：等式性质是解方程的理论依据，所有解方程的步骤都是由它推导出来的。 · 性质内容： 0. 性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 · 如果 a = b，那么 a ± c = b ± c 0. 性质2：等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式。 · 如果 a = b，那么 a × c = b × c，a ÷ c = b ÷ c (c ≠ 0) · 应用（解方程）： · 移项：利用性质1，将方程中的项改变符号后，从等式的一边移到另一边。 · 系数化为1：利用性质2，将方程未知数的系数变成1。 · 示例（解方程 2x - 1 = 5）： 0. 两边都加1（性质1）： 2x - 1 + 1 = 5 + 1 → 2x = 6 0. 两边都除以2（性质2）： 2x ÷ 2 = 6 ÷ 2 → x = 3 · 易错点： · 移项忘记变号：这是解方程中最常见的错误。例如，将 3x + 2 = 5x 移项得 3x - 5x = +2（正确）而不是 3x - 5x = -2（错误）。 · 利用性质2时，两边同时除以一个负数后，符号忘记改变。例如，-3x = 6 的解是 x = -2。 题型一 代数式的意义与规范书写 解｜题｜技｜巧 意义理解：说清代数式意义时，需明确每个字母及运算关系代表的实际含义，遵循“先读运算，后读字母”的顺序。 书写规范：数字与字母相乘时，数字在前，乘号省略；带分数与字母相乘时，带分数要化为假分数；除法运算一般写成分数形式。 易错点：忽略实际背景中字母的取值范围（如人数为正整数）。 【典例1】请你用数学语言解释 5m + 2n 的意义，并指出在“m代表铅笔单价，n代表笔记本单价”的前提下，该式子的具体含义。 【详解】 一般意义：5m + 2n 可以表示为 5 与 m 的积加上 2 与 n 的积的和。 具体意义：在该背景下，它表示购买5支铅笔和2本笔记本的总费用。 【变式1】将下列语言叙述用代数式表示：“比 a 的平方的2倍小1的数”。 【详解】： 1. 分清运算顺序：“a的平方” -> a²；“2倍” -> 2a²；“小1” -> 2a² - 1。 1. 答案：2a² - 1。 1. 易错点：容易错误写成 (2a)² - 1，混淆了“a的平方的2倍”与“a的2倍的平方”。 【变式2】判断下列代数式书写是否规范，若不规范，请改正： a÷(b-2), 5·(m+n)。 【详解】： 1. a÷(b-2)：不规范。除法运算应写成分数形式。改正： 。 1. 5·(m+n)：规范。数字与括号相乘，乘号可省略也可用点号表示。 题型二 整式的概念辨析（归纳思想） 解｜题｜技｜巧 判断三步法： · 是否是代数式？ · 分母中是否含有字母？(有则不是整式) · 是否只包含数字和字母的加、减、乘、乘方运算？ 系数与次数： · 系数：单项式中的数字因数（包含符号）。π是数字，不是字母。 · 次数：所有字母的指数之和。单独一个非零数字的次数是0。 【典例1】下列式子中，哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？并指出单项式的系数和次数。 a, -2x²y, πr², , , 0, 3a - b² 【详解】： 1. 整式：a, -2x²y, πr², , 0, 3a - b²。（分母不含字母） 1. 单项式：a（系数1，次数1）, -2x²y（系数-2，次数3）, πr²（系数π，次数2）, 0（系数0，次数不确定）。 1. 多项式：m+n/5（一次二项式）, 3a - b²（二次二项式）。 1. 非整式：（分母含字母）。 【变式1】 下列说法错误的是（ ）。 A. -xy² 的次数是3 B. 2πR 的系数是2π C. a - 1 是单项式 D. x² - 2x + 1 是二次三项式 【详解】： 1. 分析： · A：x指数1，y指数2，和是3，正确。 · B：π是圆周率，是数字，系数是 2π，正确。 · C：a - 1 是两个单项式的差，是多项式，不是单项式。错误。 · D：三项，最高次项 x² 是2次，正确。 1. 答案：C。 【变式2】多项式 3x²y - 2xy³ + 5x - 7 是__次__项式，按字母x的降幂排列为______。 【详解】： 1. 次数由最高次项决定：-2xy³ 次数是1+3=4，3x²y次数是2+1=3。所以是四次四项式。 1. 按x的指数从高到低排列：-2xy³ (x指数1), 3x²y (x指数2), 5x (x指数1), -7 (x指数0)。注意：排列时不能改变每一项的符号。 1. 答案：3x²y - 2xy³ + 5x - 7。（或按某项排列，但题目要求按x，需观察） 题型三 等式与方程的概念辨析 解｜题｜技｜巧 关系图：方程 ⇒ 等式，但等式 ⇏ 方程。 判断关键：看两个条件：①是否是等式（有“=”）；②是否含有未知数。 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。检验是唯一方法。 【典例1】下列各式中，是等式的有____，是方程的有____。（填序号） ① 3+5=8； ② 2x-1； ③ a+b=b+a； ④ 2y+1=3y； ⑤ S=ab 【详解】 1. 等式：必须含有“=”。所以是①、③、④、⑤。 1. 方程：既是等式，又含未知数。③不含未知数，是恒等式；⑤若S, a, b代表未知量则是方程，若代表公式则不是。在初中阶段，通常将⑤视为方程。保守判断：④和⑤。 1. 答案：等式：①③④⑤；方程：④⑤。 【变式1】：检验 x = 2 是否为方程 3x - 5 = 2(x-1) 的解。 【详解】 1. 规范格式： · 当 x=2 时， · 左边 = 3×2 - 5 = 6 - 5 = 1， · 右边 = 2×(2-1) = 2×1 = 2。 · ∵ 左边 (1) ≠ 右边 (2)， · ∴ x = 2 不是原方程的解。 1. 易错点：计算错误或逻辑表述不清（不说“当x=2时”）。 【变式2】根据条件“某数x的3倍比它的一半大5”列出方程。 【详解】 1. “某数x的3倍” -> 3x。 1. “它的一半” -> x 或。 1. “比...大5” -> 前者 - 后者 = 5。 1. 列出方程：3x -  = 5。 题型四 等式基本性质的理解与应用 解｜题｜技｜巧 性质核心：等式像天平，两边进行相同的运算（加减乘除，除法时除数不为0），结果仍相等。 应用场景：主要用于说明等式变形或解方程步骤的依据。 易错点：忽略性质2中“除数不为0”的条件；运用性质时未能同时作用于两边全体。 【典例1】判断下列变形是否正确，若正确，指出依据的等式性质。 (1) 如果 x = y，那么 x + 3 = y + 3。 (2) 如果 -2a = -2b，那么 a = b。 (3) 如果 a = b，那么 ac = bc。 (4) 如果  = ，那么 x = y。 【详解】 (1) 正确。等式两边都加上同一个数(3)，结果仍相等。依据：等式性质1。 (2) 正确。等式两边都除以同一个不为0的数(-2)，结果仍相等。依据：等式性质2。 (3) 正确。等式两边都乘同一个数(c)，结果仍相等。依据：等式性质2。 (4) 不一定正确。等式两边都乘同一个数(a)，必须强调a≠0。若a=0，则变形无意义。结论：只有当a≠0时正确，依据是性质2。 【变式1】用适当的数或式子填空，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的。 如果 3x = 2x - 5，那么 3x - ___ = -5。 【详解】 观察：原等式右边是 2x - 5，目标空后是 -5。可见需要让右边的 2x 消失。 操作：根据等式性质1，等式两边同时减去 2x。 · 即 3x - 2x = 2x - 5 - 2x，得到 x = -5。 填空：因此，空格处应填 2x。 说明：根据等式性质1，等式两边同时减去 2x。 【变式2】下列变形中，错误的是（ ）。 A. 若 a = b，则 a + c = b + c B. 若 a = b，则  =  C. 若 a = b，则 a - 3 = b - 3 【详解】 分析： · A: 性质1，正确。 · B: 性质2，但未说明 c≠0，错误。 · C: 性质1（两边同减3），正确。 答案：B 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的知识，解题的关键在于熟练掌握解方程的方法． 分别解出各方程，即可得答案． 【详解】解：A、的解为，故A不符合题意； B、的解为，故B不符合题意； C、的解为，故C符合题意； D、的解为，故D不符合题意； 故选C． 2．宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数．首先要“立天元一”，相当于“设未知数x”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，进而得到一个等式．“天元术”指的是我们所学的（    ） A．函数 B．有理数 C．代数式 D．方程 【答案】D 【分析】本题主要考查了数学常识和方程的概念，利用题干中的信息结合数学常识解答即可． 【详解】解：∵用“天元”表示未知数，解题先要“立天元为某某”，相当于“设x为某某”， 又∵含有未知数的等式是方程， ∴“天元术”是中国数学史上的一项杰出创造，它指的是我们所学的方程． 故选：D． 3．下列有理数中，不可能是关于的方程的解的是（    ） A．0 B．1 C． D．－3 【答案】A 【分析】把x的值代入方程ax+4=1，求出所得方程的解，再得出选项即可． 【详解】A．当x=0时，a•0+4=1，即4=1，此时不成立，即x=0不是方程ax+4=1的解，故本选项符合题意； B．当x=1时，a•1+4=1，解得：a=-3，即x=1可以是方程的解，故本选项不符合题意； C．当x=时，a•+4=1，解得：a=-2，即x=可以是方程的解，故本选项不符合题意； D．当x=-3时，a•（-3）+4=1，解得：a=1，即x=-3可以是方程的解，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键． 4．多项式和（、为实数，且）的值随的取值不同而变化，下表是当取不同值时分别对应的两个多项式的值，则关于的方程：的解是 ． 0 1 2 5 3 1 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，通过观察找出变形后的方程的表中对应值是解题的关键． 首先将方程变形为，观察表格可知，当时，，即可得出方程的解． 【详解】解：∵方程可以变形为， 而由表格中的对应值可知，当时，， ∴是方程的解， 故答案为：． 5．方程2x+▲=3x，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x=2，那么▲处的常数是 ． 【答案】2 【分析】把x=2代入已知方程，可以列出关于▲的方程，通过解该方程可以求得▲处的数字． 【详解】解：把x=2代入方程，得4+▲=6， 解得▲=2． 故答案为：2． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 6．已知为自然数，请尝试用检验的方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，能理解方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解）是解此题的关键． 根据为自然数，取、、、，分别代入方程，再看看方程两边是否相等即可． 【详解】解：当时，等号左边，等号右边，左边右边； 当时，等号左边，等号右边，左边右边； 当时，等号左边，等号右边，左边右边； 当时，等号左边，等号右边，左边右边； 所以是方程的解． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为，则______． A．2 B．3 C．1 D．2020 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据已知条件得出方程是解题的关键． 【详解】解：解：∵的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程中， 解得：， 故选C． 2．小马虎在做作业，不小心将方程中的一个常数污染了，被污染的方程是，怎么办呢？他想了想便翻看书后的答案，方程的解是，请问这个被污染的常数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设这个被污染的常数是a，把代入方程求出a的值即可． 【详解】解：设这个被污染的常数是a，即， 把代入方程可得， ， 解得：． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，解题的关键是掌握一元一次方程的解的定义． 3．若方程的解比关于的方程的解小1，则的值为（    ） A． B． C．5 D．3 【答案】A 【分析】先求出的解为，进而可得方程的解为，代入方程即可求出答案. 【详解】解：解方程，得， 则方程的解为， 代入方程可得：， 解得； 故选：A. 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键. 4．若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程解的定义，把代入方程即可求解，理解方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得， 故答案为：． 5．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是 ． x 0 2 0 【答案】 【分析】根据表格提供的数据可直接得出方程的解． 【详解】解：根据表格得：当时，， 故的解为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，以及代数式求值，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 6．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可； （3）求得方程的解，利用“美好方程”的定义得到方程的解，将关于y的方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解． 【详解】（1）方程与方程是互为“美好方程”，理由： 解方程得： ， 方程的解为： ． ∵， ∴方程与方程是互为“美好方程”； （2）关于x的方程的解为：， 方程的解为：， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴； （3）方程的解为：， ∵关于x的方程与是“美好方程”， ∴关于x的方程的解为：． ∵关于y的方程就是：, ∴， ∴． ∴关于y的方程的解为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $