精品解析：青海省西宁市大通回族土族自治县2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试卷

数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数，则的实部､虚部和模分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的概念及模长公式即可求解. 【详解】由可得， 其实部为1，虚部为，模为． 故选：C 2. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集、补集的定义计算可得. 【详解】因为，又，， 所以，则. 故选：B 3. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：应用向量模长、数量积的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数值；法二：运用向量线性关系的坐标运算求出的坐标，再由向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】解法一：因为，所以， 因为，所以，即， 所以，解得； 解法二：因为，所以， 因为，所以， 即，解得． 故选：A 4. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. B. C. 112 D. 448 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式的展开式通项确定含的项的系数即可. 【详解】的展开式的通项为，， 令，得，所以含的项的系数为． 故选：A 5. 已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，列方程组求解即可. 【详解】由题意知， 所以，解得， 又， 所以，解得，所以. 故选：C. 6. 已知等差数列的公差为2，前n项和为，若成等比数列，则（ ） A. 10 B. 8 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比中项的定义，结合等差数列的通项公式可得，计算可求得，进而利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】因为成等比数列，所以， 又因为数列是公差为2的等差数列，所以，解得． 所以． 故选：A． 7. 设，函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，列出关于的不等式，求解即可. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，且在上恒成立， 所以，解得. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 已知一组数据：27，37，14，33，47，26，24，18，35，若去掉14和47，则剩下的数据与原数据相比，下列说法正确的是（ ） A. 中位数不变 B. 平均数不变 C. 方差不变 D. 第40百分位数不变 【答案】AD 【解析】 【分析】依次分别算出这组数据去掉14和47前后的平均数，方差，第40百分位数和中位数，对比即可得解. 【详解】将原数据按从小到大的顺序排列为14，18，24，26，27，33，35，37，47，其中位数为27，平均数为， 方差是， 由，得原数据的第40百分位数是第4个数26． 若去掉14和47，得到新的一组数据为：18，24，26，27，33，35，37，其中位数为27， 平均数是， 方差是，由，得新数据的第40百分位数是第3个数26， 故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故A，D正确，B，C错误． 故选：AD． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的图象的一个对称中心 C. 在区间上的值域为 D. 将的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析函数的图象和性质可得正确答案. 【详解】选项A：函数，最小正周期为，故选项A正确； 选项B：令，解得， 所以的图象的对称中心为.令，得， 所以是的图象的一个对称中心，故选项B正确； 选项C：当时，， 所以，即的值域为，故选项C错误； 选项D：设将的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数为， 则. 因为的定义域为，所以的定义域为，且， 所以是偶函数，故选项D正确． 故选：ABD． 10. 已知，是椭圆的左、右焦点，，是上位于第二象限内一点，为坐标原点，.为上一点，且，点为的中点，与交于点，且，则（ ） A. 点在以为直径的圆上 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的方程为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据即可判断选项A；由选项A及圆的性质可知，.设，则，分析可得为等腰直角三角形，所以，进一步可得，.在中利用勾股定理及即可求出离心率，可判断选项B；由椭圆离心率及，可求得椭圆的方程判断选项C；根据角平分线定理可知，即可判断选项D. 【详解】如图所示，因为，所以点在以为直径的圆上，故选项A正确；由圆的性质可知，.设，则. 因为点为的中点，为的中点，所以为的中位线，则，且，所以. 又，则为等腰直角三角形，所以. 因为为的中位线，则，即，解得，所以，. 在中，，则，整理得. 又，则，所以，故选项B错误； 由，得，所以，，故椭圆的方程为，故选项C正确； 由上可知，，.因为，所以，则， 所以，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知为抛物线的焦点，为上一点，若，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线焦半径公式即可求解． 【详解】由题意知，所以， 由及抛物线定义，得，解得． 故答案为：2． 12. 已知，且，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】借助二倍角公式与同角三角函数基本关系，结合所处象限计算即可得. 【详解】， 化简得，解得或（舍）， 又，所以． 故答案为：. 13. 若圆锥内半径最大的球的表面积为，则圆锥的侧面积的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，内切球半径为R，利用的面积建立等式，得出关系式，表示出，利用基本不等式进行求解即可． 【详解】设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，内切球半径为R，轴截面为， 则，因为圆锥内半径最大的球的表面积为， 所以，解得， 所以的内切圆半径也为． ， 即， 化简，得， 由，得，所以圆锥的侧面积， 令，则， 当且仅当， 即时，等号成立， 所以圆锥的侧面积的最小值为， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角的正弦公式可得，结合正弦定理得，由从而可得的值，进而可求的值，代入前式，即可求得的值； （2）由二倍角的余弦公式可得的值，由结合余弦定理求解的值，从而得a的值． 【小问1详解】 因为，所以， 由正弦定理，得， 又因，所以， 因为，所以， 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 由余弦定理，得，即， 整理得，解得（舍去）， 故. 15. 设双曲线的左､右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，过原点且斜率为的直线交于两点． （1）求的方程； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据弦长以及焦距计算可得，可求出的方程； （2）由对称性求得交点横坐标计算可得四边形的面积. 【小问1详解】 过点且垂直于轴的直线为， 将代入双曲线方程可得，解得； 因此可得，又，且， 解得， 故双曲线的方程为． 【小问2详解】 如下图所示： 联立，解得， 所以四边形的面积. 16. 如图1，在矩形ABCD中，，将沿着BD翻折到的位置，得到三棱锥，且平面ABP，如图2所示. （1）求证：平面平面ABD； （2）求直线AB与平面BPD所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面ABP可得，进而可证平面，即可得面面垂直； （2）利用等体积法求点到平面的距离，进而可求线面夹角. 【小问1详解】 因为平面ABP，平面ABP，可得，， 由题意可知：，且，平面， 可得平面，由平面ABD，所以平面平面ABD. 【小问2详解】 由题意可知：， 设点到平面的距离为， 因为，即，解得， 所以直线AB与平面BPD所成角的正弦值为. 17. 已知三次项为且不含常数项的三次函数的两个极值点分别为和3． （1）求的解析式； （2）若直线与曲线有且仅有两个公共点，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题设，由韦达定理可得，然后由导数运算法则可得答案； （2）由（1）可得有2根，设，随后由极大值等于0，极小值小于0或极大值大于0，极小值等于0可得答案. 【小问1详解】 由题设，则. 由题意，得和3是关于的方程的两根， 由韦达定理，得，解得， 此时． 当时，；当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点，符合题意． 综上，． 【小问2详解】 直线与曲线有且仅有两个公共点，等价于关于的方程仅有两个实根， 即关于的方程仅有两个实根． 设，则． 当时，；当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点， 且，． 根据题意，得或， 解得或． 18. 杜老师为了解学生“十一假期”的出行情况，在校内随机抽取了40名学生，对其出行情况进行调查，结果如下： 市外游 市内游 合计 男生 14 6 20 女生 8 12 20 合计 22 18 40 （1）依据小概率值的独立性检验，判断学生“十一假期”选择市外游或市内游是否与性别有关联； （2）在学校里，小林同学每次都从校内的甲、乙两个餐厅中选择一个就餐． ①已知小林同学第一次选择甲、乙两个餐厅的概率相同，若第一次就餐选择了甲餐厅，则第二次就餐选择乙餐厅的概率为；若第一次就餐选择了乙餐厅，则第二次就餐选择甲餐厅的概率为，求小林同学第二次就餐选择乙餐厅的概率； ②假设小林同学每次选择甲、乙两个餐厅就餐的概率分别为、，且每次选择互不影响．若选择甲餐厅就餐记2分，选择乙餐厅就餐记1分，小林同学选择甲、乙两个餐厅就餐累计得分恰为n分的概率为，求数列的通项公式． 参考公式：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）无关联 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）算出卡方值，再根据独立性检验提供的表格对照进行判断即可； （2）①记事件A：小林同学第一次就餐选择了甲餐厅，事件B：小林同学第二次就餐选择了乙餐厅，先求出，再利用全概率公式进行求解即可；②求出，根据当时，，证明出为常数数列，进一步证明是等比数列，即可求解． 【小问1详解】 解：零假设：选择市外游或市内游与性别无关联． 由列联表中的数据，得， 所以依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，故可推断成立， 即“十一假期”选择市外游或市内游与性别无关联． 【小问2详解】 解：①记事件A：小林同学第一次就餐选择了甲餐厅，事件B：小林同学第二次就餐选择了乙餐厅， 则， 所以， 即小林同学第二次就餐选择乙餐厅的概率为． ②由题得， 当时，， 所以，故为常数数列． 又，所以，故． 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数，则的实部､虚部和模分别是（ ） A. B. C. D. 2. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. B. C. 112 D. 448 5. 已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的公差为2，前n项和为，若成等比数列，则（ ） A. 10 B. 8 C. 0 D. 7. 设，函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 已知一组数据：27，37，14，33，47，26，24，18，35，若去掉14和47，则剩下的数据与原数据相比，下列说法正确的是（ ） A. 中位数不变 B. 平均数不变 C. 方差不变 D. 第40百分位数不变 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的图象的一个对称中心 C. 在区间上的值域为 D. 将的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数 10. 已知，是椭圆的左、右焦点，，是上位于第二象限内一点，为坐标原点，.为上一点，且，点为的中点，与交于点，且，则（ ） A. 点在以为直径的圆上 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的方程为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知为抛物线的焦点，为上一点，若，则_____． 12. 已知，且，则____________． 13. 若圆锥内半径最大的球的表面积为，则圆锥的侧面积的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若，求a的值． 15. 设双曲线的左､右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，过原点且斜率为的直线交于两点． （1）求的方程； （2）求四边形的面积． 16. 如图1，在矩形ABCD中，，将沿着BD翻折到的位置，得到三棱锥，且平面ABP，如图2所示. （1）求证：平面平面ABD； （2）求直线AB与平面BPD所成角的正弦值. 17. 已知三次项为且不含常数项的三次函数的两个极值点分别为和3． （1）求的解析式； （2）若直线与曲线有且仅有两个公共点，求的值． 18. 杜老师为了解学生“十一假期”的出行情况，在校内随机抽取了40名学生，对其出行情况进行调查，结果如下： 市外游 市内游 合计 男生 14 6 20 女生 8 12 20 合计 22 18 40 （1）依据小概率值的独立性检验，判断学生“十一假期”选择市外游或市内游是否与性别有关联； （2）在学校里，小林同学每次都从校内的甲、乙两个餐厅中选择一个就餐． ①已知小林同学第一次选择甲、乙两个餐厅的概率相同，若第一次就餐选择了甲餐厅，则第二次就餐选择乙餐厅的概率为；若第一次就餐选择了乙餐厅，则第二次就餐选择甲餐厅的概率为，求小林同学第二次就餐选择乙餐厅的概率； ②假设小林同学每次选择甲、乙两个餐厅就餐的概率分别为、，且每次选择互不影响．若选择甲餐厅就餐记2分，选择乙餐厅就餐记1分，小林同学选择甲、乙两个餐厅就餐累计得分恰为n分的概率为，求数列的通项公式． 参考公式：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $