专题04 直线与圆锥曲线位置关系（4大题型）（专项训练）高二数学北师大版2019必修第一册

专题04 直线与圆锥曲线的位置关系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、圆锥曲线的离心率（重点） 5 题型二、圆锥曲线定置问题 15 题型三、圆锥曲线定点问题（常考点） 22 题型四、圆锥曲线最值问题（难点） 28 B综合攻坚・能力跃升 题型一、圆锥曲线的离心率（重点） 1．设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B．2 C． D． 2．设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 3.（多选）已知分别是双曲线的左、右焦点，是该双曲线右支上一点，在线段上，，离心率为，则下列结论正确的为（    ） A．实轴长为4 B． C．的面积为3 D． 4.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，，，则双曲线的离心率为 ． 题型二、圆锥曲线中定值问题 6．（多选）已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，两点，直线与椭圆相交于，两点，则（    ） A．椭圆的焦距为2 B．为定值 C．当以，，，四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 D．直线和的斜率的乘积为 7.已知椭圆：过点，其离心率为．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线，交点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)若，的斜率存在且分别为，，求证：为定值； (3)过点作，垂足为，求的最大值． 8.已知抛物线的焦点为是上第一象限内的点.且到距离与到的距离相等.过作的切线交轴于点. (1)求的标准方程； (2)求证：； (3)记关于轴的对称点为关于轴的对称直线为为上第四象限的点（与不重合），过做的切线，分别交于两点，若，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若为定值，求的值，若不为定值，请说明理由. 9.已知椭圆：的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线：与交于A，B两点，过上的点（与A，B不重合且不在坐标轴上）作轴的平行线交线段于点（与A，B不重合），直线的斜率为（为坐标原点），的面积为，的面积为，若，直线，的斜率都存在，分别记为，. （i）求证：； （ii）判断是否为定值？并说明理由. 10.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)直线（存在且不等于0）与椭圆交于，两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值并证明． 11.已知椭圆的离心率为，其短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点（均在第一象限），且直线的斜率分别为，且，证明：直线的斜率为定值. 12.已知椭圆：的四个顶点中有三个顶点可以构成等边三角形，其面积为.直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，设直线，，的斜率分别为（其中）记的面积为，以，为直径的圆的面积为 (1)求曲线的标准方程； (2)若恰好构成等比数列． ①证明为定值； ②求的范围． 题型三、圆锥曲线中定点（常考点） 13．（多选）已知抛物线C：的焦点为F，若抛物线C在，两点处的切线交于点，与x轴分别交于点M，N．则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．若，则直线过点F D．若，则直线过点F 14.已知直线与抛物线交于两点，且分别在第一、二象限，为线段的中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点． (1)证明： ①直线轴； ②四边形的面积为定值； (2)设的外接圆为圆，问：圆是否过定点（点除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由． 15.已知抛物线的焦点到直线的距离为，直线与交于两点. (1)求的准线方程； (2)若直线的方程为，求； (3)过两点分别作的切线，且相交于点，若点的纵坐标为，证明：直线过定点. 16.已知抛物线仅经过中的一点. (1)求的方程； (2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 17.已知椭圆，其中，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程及上顶点的坐标； (2)过点的直线交椭圆于两点，直线与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点． 18．已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 题型四、圆锥曲线中最值问题（难点） 19.已知双曲线：的离心率为，且过点．抛物线C：的焦点与双曲线的右焦点重合． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线l：与抛物线C交于A，B两点，与双曲线的左、右两支分别交于C，D两点． （ⅰ）探究是否存在实数m，使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由； （ⅱ）求的最小值． 20.已知椭圆的长轴长为短轴长的倍，焦距为4. (1)求椭圆的方程； (2)若坐标原点为，平行四边形的四个顶点，，，均在椭圆上，且圆内切于四边形. （i）证明：四边形为菱形； （ii）求四边形面积的最大值. 21．已知满足，，，且是锐角. (1)求； (2)设，所在直线分别为直线，，A，B分别在，上，过A，B分别作的角平分线的垂线，垂足为M，N，且为定值，以，为邻边作平行四边形. （i）请建立适当的坐标系求出R点轨迹方程C； （ⅱ）若直线交C于P，Q两点，以线段，为直径的两圆的另一个交点为G，且，求的最大值. 1．（25-26高三上·山西大同·开学考试）（多选）我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系xOy中，双曲线，且为常数）的左、右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两渐近线于点，则（   ）    A．的离心率 B．线段AB长度的最小值是 C．一定是线段AB的中点 D．的面积是定值 2．（25-26高三上·广西·模拟）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，.为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且.过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，.则（    ） A．双曲线的离心率为2 B．的取值范围为 C．内切圆圆心始终在直线上运动 D．的最小值为 3．（25-26高二上·重庆·模拟）（多选）已知椭圆的上、下顶点分别为，，焦距为，P是椭圆上不与A，B重合的一点.若椭圆内有一点满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆方程为 C．若，分别是直线，的斜率，则有 D．当直线的斜率时，点落在轴上 4.（2025·福建漳州·模拟预测）已知椭圆：的焦距为2，且过点. (1)求C的标准方程； (2)过点作两条斜率存在且不为零的直线，分别交于和，满足. （i）证明：，的斜率之和为定值； （ii）求四边形面积的最大值. 5．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·模拟）已知椭圆的离心率为，过点，为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交曲线于，两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值. 6.（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线：的实轴长为2，右焦点F到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，连接并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求的面积的最小值； (3)设定点，过点T的直线交双曲线于M，N两点，M，N不是双曲线的顶点，若在双曲线上存在一点S，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数t的取值范围. 7．（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆：的右焦点为，上两点满足（），且.若椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，记四边形的内切圆为. (1)求圆的标准方程； (2)求证：以为直径的圆恒过异于点的一个定点； (3)已知为椭圆上任意一点，过点作圆的切线分别交椭圆于，两点，试求三角形面积小值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线与圆锥曲线的位置关系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、圆锥曲线的离心率（重点） 5 题型二、圆锥曲线定置问题 15 题型三、圆锥曲线定点问题（常考点） 22 题型四、圆锥曲线最值问题（难点） 28 B综合攻坚・能力跃升 题型一、圆锥曲线的离心率（重点） 1．设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为， 如图，设双曲线的焦距为，以为直径的圆的方程为：， 即，联立， 解得，即由对称性可得，，且， 则，可得，故离心率. 故选：B 2．设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，令，故，， 所以，故①， 由，令，则， 由，则， 所以，整理得， 由，则， 所以，整理得， 所以，整理得②， 联立①②，得，，故，即， 所以. 故选：D 3.（多选）已知分别是双曲线的左、右焦点，是该双曲线右支上一点，在线段上，，离心率为，则下列结论正确的为（    ） A．实轴长为4 B． C．的面积为3 D． 【答案】ACD 【详解】由题意知，，解得，所以实轴长为4，故A正确； 因为，所以是线段的中点， 因为是线段的中点，所以， 由双曲线定义知，， 所以，故B错误； 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以， 所以的面积为，故C正确； 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 4.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，，，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】设，则，，故，    在等腰中，，则， 又，可得， 所以，则，， 在中，可得， 所以. 故答案为： 5.已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是钝角三角形，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】作出示意图如图所示：不妨设在第一象限， 因为关于原点对称的两点均在上，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为，所以， 又，所以， 因为是钝角三角形，所以或为钝角， 若是钝角，由余弦定理可得， 则可得，所以， 所以，所以，所以， 又，所以，即，所以， 当是钝角，由余弦定理可得， 则可得，所以， 所以，所以，所以， 又，所以，即，所以， 所以的离心率的取值范围为. 题型二、圆锥曲线中定值问题 6．（多选）已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，两点，直线与椭圆相交于，两点，则（    ） A．椭圆的焦距为2 B．为定值 C．当以，，，四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 D．直线和的斜率的乘积为 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得到， 可得椭圆C的焦距为2，故A正确； 对于B，如图，设椭圆的左焦点为，连接 由椭圆的对称性有，故B正确； 对于C，由题意得，且， 又因为四边形为平行四边形，有， 可得点的坐标为，代入椭圆中，得到， 解得，即的坐标为， 则平行四边形的面积为，故C错误； 对于D，由，设点的坐标分别为， 代入椭圆中有．又由， ，故D正确． 故选：ABD． 7.已知椭圆：过点，其离心率为．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线，交点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)若，的斜率存在且分别为，，求证：为定值； (3)过点作，垂足为，求的最大值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）由已知得，即，得， 故， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可得， 由题意知均存在且不等于0， 则设直线的方程为：， 则． 设直线方程为： 与椭圆方程联立得：，， 所以，因为， 故，因此． 同理． 斜率为 ， 故. （3）由（2）知：直线的方程为：， 即 所以直线过定点． 因为，由几何意义知：， 故的最大值为．    8.已知抛物线的焦点为是上第一象限内的点.且到距离与到的距离相等.过作的切线交轴于点. (1)求的标准方程； (2)求证：； (3)记关于轴的对称点为关于轴的对称直线为为上第四象限的点（与不重合），过做的切线，分别交于两点，若，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若为定值，求的值，若不为定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)为定值， 【详解】（1）由题意，抛物线准线方程为，故， 所以抛物线的标准方程为. （2）设，由于在第一象限，故斜率存在， 设直线的方程为， 由于在第一象限，可得，， 所以切线斜率为，即直线的方程为， 令得，由题意知， 故，， 故 （3）如图，    设， 由关于轴对称，可得， 由，，可得， 所以，即， 联立与，，解得 同理，故， 设直线与轴交于，则关于点对称，即， 由，令，得，所以， 故，则， 可得垂直于，故，可得， 延长交轴于，则， 又，故，从而与重合，即共线， 进而，注意到，故. 9.已知椭圆：的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线：与交于A，B两点，过上的点（与A，B不重合且不在坐标轴上）作轴的平行线交线段于点（与A，B不重合），直线的斜率为（为坐标原点），的面积为，的面积为，若，直线，的斜率都存在，分别记为，. （i）求证：； （ii）判断是否为定值？并说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii），理由见解析 【详解】（1）由题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）因为， 则， 因此， 而，有，即平分， 故直线的斜率互为相反数，则. （ii）设， 由，得， 因，设 则有，而， 化简得， 即 ， 于是， 故， 化简得， 又因在椭圆上，则，即则， 从而， 整理得， 又因不在直线上，即， 则得，即，因， 于是，故为定值． 10.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)直线（存在且不等于0）与椭圆交于，两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【详解】（1）由题意，解得， 故椭圆的方程为； （2）设，由对称性可知，，两点关于原点对称，即， 由（1）可知，， 联立，得，所以， 直线的斜率存在，其方程为：， 令得，即， 直线的斜率存在，其方程为：， 令得，即， 所以 ， 所以为定值.    11.已知椭圆的离心率为，其短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点（均在第一象限），且直线的斜率分别为，且，证明：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意可得解得 故椭圆的方程为． （2）证明：由题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为， 由消去后整理得， 直线与椭圆交于两点， . 设点，的坐标分别为，， 则，， ，， 整理得， ，又， ， 点，都在第一象限， ，即， 故直线的斜率为定值． 12.已知椭圆：的四个顶点中有三个顶点可以构成等边三角形，其面积为.直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，设直线，，的斜率分别为（其中）记的面积为，以，为直径的圆的面积为 (1)求曲线的标准方程； (2)若恰好构成等比数列． ①证明为定值； ②求的范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）由于，若椭圆的四个顶点中有3个可以构成等边三角形，则这3个点是短轴的两个端点以及长轴的一个端点， 由题意得: . 所以椭圆的标准方程为：. （2）（i）如图： 由题意知，设直线的方程为，， 联立得， 又因为，由成等比数列， 所以，所以， 所以， 所以，所以， 所以为定值. （ii）设点到直线的距离为， 则. 又因为，所以， 所以 为定值， 所以 当且仅当时等号成立，所以. 题型三、圆锥曲线中定点（常考点） 13．（多选）已知抛物线C：的焦点为F，若抛物线C在，两点处的切线交于点，与x轴分别交于点M，N．则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．若，则直线过点F D．若，则直线过点F 【答案】ABD 【详解】，求导可得，则直线，直线， 联立直线方程，消可得，， 即，故A正确； 由直线，令，可得，所以， 又，所以，， ，所以，即，故B正确； 由，可得， 化简得，，所以， 设直线斜率为，则，则直线的方程为：， 令，可得，故直线过点，不过点，故C错误； 在直线中，令，可得，即， 又，所以，即，同理代入直线方程，可得直线过点，即过点，故D正确. 故选：ABD. 14.已知直线与抛物线交于两点，且分别在第一、二象限，为线段的中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点． (1)证明： ①直线轴； ②四边形的面积为定值； (2)设的外接圆为圆，问：圆是否过定点（点除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)过定点， 【详解】（1）证明：①依题意，联立直线方程和得， 解得或4，所以，则. 由得，所以直线的斜率为， 则的方程为，同理可得的方程为， 联立，从而可得，而，因此轴. ②设，可得直线的方程为， 即， 联立，可得， 同理联立，，可得， 而， 故四边形的面积为，为定值. （2）由（1）得， 线段的垂直平分线的斜率为，则其方程为，即； 同理可得线段的垂直平分线的方程为， 联立，消去，得， 所以点在直线上. 设关于直线的对称点为，则， 解得，即关于直线的对称点为， 由于在圆上，故圆也过点，因此圆过定点. 15.已知抛物线的焦点到直线的距离为，直线与交于两点. (1)求的准线方程； (2)若直线的方程为，求； (3)过两点分别作的切线，且相交于点，若点的纵坐标为，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）根据题意作图如下：    由题意知.因为点到直线的距离为，所以， 解得或，又因为，所以， 所以抛物线的准线方程为. （2）根据题意作图如下：    将代入，得， 则， 所以. （3）证明：根据题意作图如下：    由已知，直线与抛物线有两个交点，则其斜率一定存在. 设. 由，得， 所以. 由，得，则， 所以过点的切线方程为，即， 同理过点的切线方程为， 由，得，即， 又点的纵坐标为，所以，又， 所以， 解得，所以直线过定点. 16.已知抛物线仅经过中的一点. (1)求的方程； (2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）抛物线关于轴对称，而点关于轴对称， 若点之一在抛物线上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意， 因此点必在抛物线上，，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，抛物线的焦点，显然直线都不垂直坐标轴， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由消去得，设， 则，线段的中点， 同理得线段的中点，当时，直线斜率， 直线方程为，整理得，直线过定点， 当时，或，直线过定点， 所以直线过定点.    17.已知椭圆，其中，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程及上顶点的坐标； (2)过点的直线交椭圆于两点，直线与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点． 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意可得，解得. 所以椭圆方程为. 上顶点的坐标为； （2）由题意可知：直线的斜率存在且不为0， 设， 联立方程，消去得： ， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 所以线段的中点是定点. 18．已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）由题可知， 则， 由轴时，，可令， 代入双曲线得， 解得， 则所求方程为； （2）①证明：设，则， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则，， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得， 因为，所以， 而，所以，则， 所以过定点； ②， 由①得，解得， 令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. 题型四、圆锥曲线中最值问题（难点） 19.已知双曲线：的离心率为，且过点．抛物线C：的焦点与双曲线的右焦点重合． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线l：与抛物线C交于A，B两点，与双曲线的左、右两支分别交于C，D两点． （ⅰ）探究是否存在实数m，使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由； （ⅱ）求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）存在，；（ⅱ） 【详解】（1）由已知可得，，， 又双曲线过点，，，， 双曲线的标准方程为：. （2）（ⅰ）由（1）可知双曲线的右焦点为， 抛物线C：，设，，如图所示： 由，得，，，， ， 设，，由，得， 直线l与双曲线的左、右两支分别交于，两点，，， ，，， 由，可得，，， ，，，， 故存在实数满足条件，且. （ⅱ）设点到直线l的距离为，则， 令，由（ⅰ）知，， 令，， 故当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增，， 的最小值为. 20.已知椭圆的长轴长为短轴长的倍，焦距为4. (1)求椭圆的方程； (2)若坐标原点为，平行四边形的四个顶点，，，均在椭圆上，且圆内切于四边形. （i）证明：四边形为菱形； （ii）求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）由题意可知，，则， 又，则，所以，解得，， 故椭圆的方程为； （2）（i）当直线的斜率不存在或为零时，圆内切于正方形， 四个顶点为，显然满足椭圆的方程，符合题意， 此时四边形为菱形； 当直线的斜率存在且不为零时，设其方程为，，， 由得， 则， ，， 所以， 因为圆内切于平行四边形，所以到直线的距离为， 则，整理得， 所以， 则，此时平行四边形为菱形. 综上可知，四边形为菱形. （ii）由（i）知，当四边形为正方形时，； 当四边形不为正方形，而为菱形时， 因为， 所以的面积为， 令，则，， 所以， 当，即时，取得最大值. 因为菱形的面积等于，所以菱形的面积的最大值为， 因为，所以菱形的面积最大为. 21．已知满足，，，且是锐角. (1)求； (2)设，所在直线分别为直线，，A，B分别在，上，过A，B分别作的角平分线的垂线，垂足为M，N，且为定值，以，为邻边作平行四边形. （i）请建立适当的坐标系求出R点轨迹方程C； （ⅱ）若直线交C于P，Q两点，以线段，为直径的两圆的另一个交点为G，且，求的最大值. 【答案】(1)； (2)（i）R点轨迹方程C为；（ⅱ）2. 【详解】（1）由题可得； （2）（i）以O为原点、的角平分线所在直线为x轴建立如图所示平面直角坐标系， 由题意，则， 又由（1）得， ，即， 所以可设， 则， 设，由题意，所以， 所以，所以，即， 所以R点轨迹方程C为. （ⅱ）由题意可得，所以三点共线，且， 因为，所以原点到直线l的距离为1， 当直线l的斜率不存在时，即直线轴时，直线l的方程为，代入得， 所以； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 所以原点到直线l的距离为，即， 联立， 设，则， 因为， 所以， 令，则且， 因为，所以当即时有， 综上，的最大值为2. 1．（25-26高三上·山西大同·开学考试）（多选）我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系xOy中，双曲线，且为常数）的左、右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两渐近线于点，则（   ）    A．的离心率 B．线段AB长度的最小值是 C．一定是线段AB的中点 D．的面积是定值 【答案】ACD 【详解】设双曲线的半焦距为，当时，，解得， 由双曲线的通径为，得，解得，双曲线， 对于A，，因此的离心率，故A正确； 对于B，设，不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）， 由得，所以， 则在点处的切线斜率为， 所以在点处的切线方程为， 又因为，所以在点处的切线方程为，该方程具有一般性， 设是切线与渐近线在第一象限的交点，是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程为， 由，解得，所以点， 同理可得， 则， 又因为，所以，即，故B错误； 对于C，由B知，， 所以是线段AB的中点，故C正确； 对于D，如图，设交轴于点，因为在点处的切线方程为， 令，得，所以点， 则，是定值，故D正确.    故选：ACD 2．（25-26高三上·广西·模拟）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，.为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且.过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，.则（    ） A．双曲线的离心率为2 B．的取值范围为 C．内切圆圆心始终在直线上运动 D．的最小值为 【答案】AB 【详解】对于A，双曲线的左顶点为，右顶点为， 由，则， 所以， 即，故A正确； 对于B，显然，且，，故B正确； 对于C，设内切圆的圆心为，内切圆与相切于点，，，如图所示， 则，且，，， 由于，所以. 而，所以，所以. 所以内切圆圆心始终在直线上运动，由，，则，C选项错误； 对于D，由上知，，所以， 故双曲线，其渐近线方程为， 设，，则，，故. 因为点在双曲线上，所以，则. 因为渐近线的倾斜角为，所以，故， 在中，由余弦定理可得 ， 当且仅当等号成立，此时P与A重合，不合题意， 则，即无最小值.故D不正确. 故选：AB 3．（25-26高二上·重庆·模拟）（多选）已知椭圆的上、下顶点分别为，，焦距为，P是椭圆上不与A，B重合的一点.若椭圆内有一点满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆方程为 C．若，分别是直线，的斜率，则有 D．当直线的斜率时，点落在轴上 【答案】ACD 【详解】对于A，由，可得， 即，故A正确； 对于B，由题意可得，，，， 所以椭圆方程为，故B错误； 对于C，设直线， 联立，可得，从而， 则，则， 则，所以，故C正确； 对于D，若，则， 联立，可得，所以，，，则， 由，可得，， 联立，解得，所以当直线的斜率时，点落在轴上，故D正确. 故选：ACD.    4.（2025·福建漳州·模拟预测）已知椭圆：的焦距为2，且过点. (1)求C的标准方程； (2)过点作两条斜率存在且不为零的直线，分别交于和，满足. （i）证明：，的斜率之和为定值； （ii）求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）由焦距，即，可知两焦点坐标分别为，， 则， 即，， 所以的标准方程为. （2） （i）设P，Q的坐标分别为，，设的方程为， 联立，整理得， 所以， ，， ， 设的方程为，同理有， 所以，即， 由于，所以，即，所以，的斜率之和为定值0. （ⅱ）不妨设的斜率，其倾斜角为， 则四边形的面积为， ， 同理得， 由，得， 又， 所以. 设，由基本不等式得， 当且仅当等号成立， 设，，， 所以在区间上单调递减， 当时，取得最大值， 所以四边形的面积最大值为. 或 设，由基本不等式得，当且仅当等号成立， 设， 可知在区间上单调递增，当时，取得最大值， 所以四边形的面积最大值为. 5．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·模拟）已知椭圆的离心率为，过点，为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交曲线于，两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）由题意可得，，，， 解得， 故椭圆的标准方程为； （2）（i）由题意可知，直线斜率存在且不为，则设， 故， 联立，得，， 设， 则，， 则，， 则，， 则直线的斜率的倒数为， 则直线的方程为 ， 则直线恒过定点； （ii）由（i）可得， 令，则，求导得 令，则 对称轴为，，故存在使得， 则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 因， 则当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 因此，当时，面积有最大值. 6.（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线：的实轴长为2，右焦点F到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，连接并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求的面积的最小值； (3)设定点，过点T的直线交双曲线于M，N两点，M，N不是双曲线的顶点，若在双曲线上存在一点S，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为2，故， 而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线的方程为：. （2） 显然直线与轴不垂直，设：，，， 由双曲线的对称性知的中点为，故，    联立 故，， 由于A，均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上：的面积的最小值为12. （3）不妨设，，， 若直线的斜率为，则直线与双曲线的交点为双曲线的顶点，与条件矛盾， 所以可设直线的方程为，且， 联立，消可得， 方程的判别式， 所以， 所以，， 所以， ， ， ， 所以 所以 所以， 因为直线的斜率与直线的斜率之和为定值， 所以，故， 故为定值， 所以， 因为或，，， 所以或，存在双曲线上的点满足， 使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，定值为， 所以的范围为. 8．（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆：的右焦点为，上两点满足（），且.若椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，记四边形的内切圆为. (1)求圆的标准方程； (2)求证：以为直径的圆恒过异于点的一个定点； (3)已知为椭圆上任意一点，过点作圆的切线分别交椭圆于，两点，试求三角形面积小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【详解】（1））因为椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，， 所以四边形为菱形，为其中心点， 又，坐标分别为，，可得直线方程为， 则原点到直线的距离为， 即圆的半径，故圆的标准方程为. （2）设，， 则, 又，所以. 结合（）可得，， 设以为直径的圆上的点， 则， ， 化简得， 令，则，解得或， 所以该圆过. （3）设直线方程为，由直线与圆相切，可知原点到直线的距离，整理可得. 将直线方程代入椭圆可得，. 整理即有，. 则. 即，故. 同理，，故、、三点共线，则. 设：代入椭圆方程可得，则， 故. 同理，. 从而，. 所以，，得， 因此，，当且仅当时等号成立. 故三角形面积的最小值为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $