第39讲 带电粒子在电场中运动的综合问题（复习讲义）（北京专用）2026年高考物理一轮复习讲练测

第39讲 带电粒子在电场中运动的综合问题 目录 01 考情解码·命题预警 2 02 体系构建·思维可视 3 03 核心突破·靶向攻坚 3 考点一 带电粒子在力电等效场中的圆周运动 3 知识点 方法概述及应用 3 考向1 竖直电场中的等效场问题 4 考向2 水平电场中的等效场问题 7 考点二 电场中的力、电综合问题 10 知识点1 力、电综合问题的分析 11 知识点2 力电综合问题的处理流程 11 考向1 用动力学和能量观点解决力电综合问题 11 考向2 用能量和动量观点解决力电综合问题 15 04 真题溯源·考向感知 20 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 力电等效场中的圆周运动 选择题 非选择题 \ \ \ 用力学三大观点处理带电粒子在电场中运动的综合问题 选择题 非选择题 \ \ \ 考情分析： 高考对带电粒子在电场中运动的综合问题的考查较为频繁，大多在综合性的计算题中出现，题目难度较大。 命题情境： 生活实践类：人体带点头发三开，尖端放电，避雷针，静电吸附，直线加速器，示波器，静电加速器 学习探究类：观察静电感应现象，探究电荷间的作用力的影响因素，库仑扭秤实验，模拟电场线，观察电容器的充、放电现象 复习目标： 目标一：会用等效法分析带电粒子在电场和重力场中的圆周运动。 目标二：会用动力学、能量和动量观点分析带电粒子的力电综合问题。 考点一 带电粒子在力电等效场中的圆周运动 知识点 方法概述及应用 1.等效重力场的对应概念及解释 （1）等效重力场：重力场、电场叠加而成的复合场。 （2）等效重力：重力、静电力的合力。 （3）等效重力加速度：等效重力与物体质量的比值，即_____________。 （4）等效“最低点”与等效“最高点”：物体做圆周运动时与等效重力平行的直径与圆的两个交点分别为等效“最低点”（等效重力指向的一侧交点）和等效“最高点”（背离等效重力方向一侧的交点） 2.等效重力法 将重力与电场力进行合成，如图所示，则F合为等效重力场中的“重力”，g'=为等效重力场中的“等效重力加速度”，F合的方向为等效“重力”的方向，即在等效重力场中的“竖直向下”方向。 3.“等效重力场”中圆周运动的等效“最高点”与“最低点”的确定方法 图中虚线圆周所示带电物体在“等效重力场”中做圆周运动的轨迹，过其圆心作“等效重力”的作用线： （1）沿着“等效重力”的反向延长线交于圆周上的那个点即为圆周运动的等效“最高点”。 （2）沿着“等效重力”的方向延长交于圆周上的那个点即为等效“最低点”。 考向1 竖直电场中的等效场问题 例1（2024·河北·模拟预测）如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E，A、B为两个固定的等量正点电荷，O点是AB连线的中点。有一质量为m的带电小球在两电荷连线的中垂面内做半径为R的匀速圆周运动，圆心为O，带电小球和电荷A的连线与AB连线夹角为30°，两个点电荷所带电荷量均为，重力加速度为g，静电力常量为k。下列说法正确的是（　　） A．小球可能带正电 B．小球所带电荷量的大小为 C．小球运动的角速度为 D．从最高点运动到最低点的过程中，小球的电势能不变 【变式训练1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示，场强为E的匀强电场方向竖直向下，所带电荷量为、质量为m的带电小球用长为L的绝缘细线拴住，小球可以在竖直平面内绕O做圆周运动，A、B分别是轨迹的最高点和最低点。已知小球静止时的位置是A点，重力加速度大小为g，小球可以看成质点，下列说法正确的是（　　） A．若小球恰好可以做完整的圆周运动，则小球通过A点时速度最小值为 B．若小球恰好可以做完整的圆周运动，则小球通过A点时速度最小值为 C．若小球恰好可以做完整的圆周运动，则小球通过A点时速度最小值 D．若小球恰好可以做完整的圆周运动，则小球通过A点时速度最小值 【变式训练2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘轻质细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动，图中A、B分别为圆周上的最高点和最低点。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q（q>0）、质量为m，电场强度大小为E，重力加速度大小为g，求： (1)小球在A点的速度大小； (2)小球运动至B点时细线上拉力的大小。 考向2 水平电场中的等效场问题 例2（2025·河南·三模）如图所示，半径为R的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，是圆心，是水平方向的直径，是竖直方向的直径，整个圆环处在水平向右的匀强电场中。将质量为、电荷量为的小球套在圆环上，从A点由静止释放，小球运动到点时的动能最大，。已知重力加速度大小为g，取。下列说法正确的是（　　） A．小球可以沿圆环运动到点 B．匀强电场的电场强度大小为 C．两点间的电势差为 D．小球运动到点时，向心加速度大小为 【变式训练1】（2024·重庆·一模）如图，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m带电量为q的小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g。则（　　） A．匀强电场的电场强度大小为 B．小球获得初速度的大小为 C．小球从初始位置运动至轨迹的最左端增加的机械能为 D．小球从初始位置在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，其电势能先减小后增大 【变式训练2】8．（2024·山东东营·二模）如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为的小球，系在一根长为d的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度，下列说法正确的是（　　） A．若小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为 B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大 C．若将细线剪断，再将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，小球将不能到达B点 D．若将小球在A点由静止开始释放，则小球沿AC圆弧到达C点的速度为 考点二 电场中的力、电综合问题 知识点1 力、电综合问题的分析 电场中的力、电综合问题，是指带电物体受到重力、电场力等共同作用下的运动问题，解决该类问题，在正确受力分析的基础上，要正确建立带电物体在电场中的运动模型，并且与力学中的运动模型进行类比，根据其运动特点灵活应用动力学观点、能量观点和动量观点等多角度进行分析与研究。 1.动力学的观点 （1）由于匀强电场中带电粒子所受静电力和重力都是恒力，可用____________。 （2）综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑的问题。 2.能量的观点 （1）运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程还是对全过程使用动能定理。 （2）运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现。 3.动量的观点 （1）运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一个正方向。 （2）运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题目表述是否为某方向上动量守恒。 知识点2 力电综合问题的处理流程 考向1 用动力学和能量观点解决力电综合问题 例1（2025·福建厦门·二模）图示，足够长的倾角的光滑斜面固定在水平面上，斜面底端固定有垂直挡板。一劲度系数的轻弹簧一端与挡板连接，另一端连接绝缘物块A，A的上方放置着物块B，A、B质量均为且都可视为质点，A不带电，B带电量。初始时A、B均处于静止状态，某时刻起在空间施加方向平行斜面向上、大小为的匀强电场，A、B开始一起运动，一段时间后A、B分离。已知弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），重力加速度大小取。求： (1)施加电场的瞬间，物块B的加速度大小； (2)两物块从开始运动到分离时沿斜面上滑的距离； (3)物块A的最大动能。 【变式训练1】（2025·云南玉溪·三模）如图所示，一端固定的长为l的绝缘轻绳悬挂一质量为m的绝缘小球，小球带正电q，可视为质点。初始时，小球静止于P点，现给空间施加一大小为，水平向右的恒定匀强电场，小球恰能到达Q点（未画出），已知重力加速度为g，不计空气阻力，则（　　） A．小球处于Q点位置时轻绳与竖直方向的夹角为 B．P、Q两点的电势差大小为 C．轻绳对小球的拉力最大时，小球的电势能减少 D．轻绳对小球的拉力最大时，绳上的拉力大小为 【变式训练2】（2024·四川自贡·模拟预测）如图所示，完全相同的极板，其长度，平行正对相距，水平放置，外接电压为的恒压电源，为极板右边界，的右侧竖直放置着一个光滑绝缘圆弧轨道点在上，圆弧对应的圆心角为为四分之一的圆弧，圆弧半径，且半径水平，竖直半径的右侧有一足够大的水平向右的匀强电场，电场强度大小为。现有一带电小球以大小为的水平速度从极板左边界飞入极板之间，飞离极板时恰好从点沿圆弧切线方向进入轨道。已知小球质量，带电荷量，重力加速度取，，不计空气阻力。求：（结果可用根式表示） (1)求之间电压 (2)小球在右侧运动过程中离点多高的时候速度最小，最小速度为多少？ (3)小球在右侧运动过程中，将通过连线上的点（未画出），则小球通过点时的速度为多少？ 考向2 用能量和动量观点解决力电综合问题 例2（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图所示，倾角为的光滑绝缘斜面底端固定有一劲度系数为的轻质弹簧，弹簧上端连接一质量为不带电的滑块而处于静止状态，整个装置处于沿斜面向下的匀强电场中，场强大小。在的上方处由静止释放一质量为、电荷量为的滑块，运动一段时间后与发生碰撞，碰撞时间极短（可忽略不计），所带电荷量不会转移到。碰后、一起向下运动，到达最低点后又向上弹回。已知重力加速度为，弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能与形变量的关系为，弹簧振子的周期公式为，其中为弹簧的劲度系数，为振子的质量。 (1)求碰后瞬间、的共同速度； (2)求碰后、一起向下运动的最大位移； (3)试判断、碰后的运动过程中是否会分离。如果会分离，则求从释放到、第一次分离所用的时间；如果不会分离，则求从释放到、速度第二次减为零所用的时间。 【变式训练1】（2024·广西玉林·模拟预测）如图所示，在绝缘的光滑水平面（足够长）上M点左侧的区域有水平向右的匀强电场。小滑块A、B的质量均为m，其中B不带电，A的带电量为，O点到M点的距离为L，N点到O点的距离为，现将小滑块A在N点由静止释放，其向右运动至O点与静止的小滑块B发生弹性碰撞，设A、B均可视为质点，整个过程中，A的电荷量始终不变，B始终不带电，已知电场强度，重力加速度大小为g。求： （1）A与B发生第一次碰撞前瞬间，A的速率； （2）k的取值满足什么条件时，能使A与B发生第二次碰撞。 【变式训练2】（2025·湖北黄石·二模）如图所示，在光滑水平面上放置一右端带有挡板的长直绝缘木板A，A不带电，木板A左端上表面有一带正电小物块B，带电量为，其到挡板的距离为d=2m，A、B质量均为，不计一切摩擦。整个空间存在水平向右的匀强电场，场强为。从时刻B开始运动起，经过一段时间，B与A的挡板发生碰撞，碰撞过程中无机械能损失，碰撞时间极短（内力远大于电场力）。重力加速度g=10m/s2。求： (1)物块B与A的挡板发生第一次碰撞后的瞬间，物块B与木板A的速度大小； (2)由A、B静止开始经多长时间物块B与木板A的挡板发生第二次碰撞，并求出碰后瞬间A、B的速度大小； (3)从物块B开始运动到与木板A的挡板发生第n次碰撞时间内，物块B的电势能的改变量是多少？ 1．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A间距离为。原长为的轻质绝缘弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过A、B、C三点时的动能分别为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·高考真题）如图所示空间原有大小为E、方向竖直向上的匀强电场，在此空间同一水平面的M、N点固定两个等量异种点电荷，绝缘光滑圆环ABCD垂直MN放置，其圆心O在MN的中点，半径为R、AC和BD分别为竖直和水平的直径。质量为m、电荷量为+q的小球套在圆环上，从A点沿圆环以初速度v0做完整的圆周运动，则（　　） A．小球从A到C的过程中电势能减少 B．小球不可能沿圆环做匀速圆周运动 C．可求出小球运动到B点时的加速度 D．小球在D点受到圆环的作用力方向平行MN 3．（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求： （1）电场强度E的大小。 （2）小球在A、B两点的速度大小。 4．（2024·福建·高考真题）如图，木板A放置在光滑水平桌面上，通过两根相同的水平轻弹簧M、N与桌面上的两个固定挡板相连。小物块B放在A的最左端，通过一条跨过轻质定滑轮的轻绳与带正电的小球C相连，轻绳绝缘且不可伸长，B与滑轮间的绳子与桌面平行。桌面右侧存在一竖直向上的匀强电场，A、B、C均静止，M、N处于原长状态，轻绳处于自然伸直状态。时撤去电场，C向下加速运动，下降后开始匀速运动，C开始做匀速运动瞬间弹簧N的弹性势能为。已知A、B、C的质量分别为、、，小球C的带电量为，重力加速度大小取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终处在弹性限度内，轻绳与滑轮间的摩擦力不计。 (1)求匀强电场的场强大小； (2)求A与B间的滑动摩擦因数及C做匀速运动时的速度大小； (3)若时电场方向改为竖直向下，当B与A即将发生相对滑动瞬间撤去电场，A、B继续向右运动，一段时间后，A从右向左运动。求A第一次从右向左运动过程中最大速度的大小。（整个过程B未与A脱离，C未与地面相碰） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $基础知识必备 带电粒子在电场中 运动的综合问题 必考题型归纳 方法技巧与解题思路 (1)等效重力场：重力场、电场叠加而成的复合场。 (2)等效重力：重力、静电力的合力。 等效重力场的对应概念及解释 (3)等效重力加速度：等效重力与物体质量的比值，即 (4)等效“最低点”与等效"最高点”：物体做圆周运动时与等效重力平行的直径与圆的两个交点分别为等效“最低 点”（等效重力指向的一侧交点）和等效“最高点”（背离等效重力方向一侧的交点） 将重力与电场力进行合成，如图所示，则F合为等效重力场中的“重力”，g=后为等效重力场中的"等效重力加速度”，F合的方向为 m 等效“重力”的方向，即在等效重力场中的“竖直向下”方向。 等效重力法 图中虚线圆周所示带电物体在“等效重力场”中做圆周运动的轨迹，过其圆心作“等效重力”的作用线： (1)沿着“等效重力”的反向延长线交于圆周上的那个点即为圆周运动的等效“最高点”。 (2)沿着“等效重力”的方向延长交于圆周上的那个点即为等效“最低点”。 重力场与电场在一条 重力场与电场 直线上(qE>mg) 成一定夹角 E ,等效重力场 .E “等效重力场”中圆周运动的等效 等效“最低点 等效“最高点” ”最高点”与“最低点”的确定方法 力 0F, E-mg mg'等效重力 等效重力场 等效“最高点 等效“最低点”等效重力 等效重力加速度 等效重力加递度 (1)由于匀强电场中带电粒子所受静电力和重力都是恒力，可用 1动力学的观点 (2)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑的问题。 (1)运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程还是对全过程使用 力、 电综合问题的分析 2.能量的观点 动能定理。 (2)运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现。 ()运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一个正方向。 3.动量的观点 (2)运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题目表述是否为某方向上动量守恒。 竖直电场中的等效场问题 水平电场中的等效场问题 用动力学和能量观点解决力电综合问题 用能量和动量观点解决力电综合问题 单 处于平 整体法 受力 平衡寻找连接体间 隔离法 物 衡状态 分析 方程 的关联量 或 ①列牛顿第二定 力电综合问题的处理流程 受 连接 运 律方程 隔离法 力分析 ②列运动学方程 寻找体间 状 关系 ③列功能关系 方程 方程基础知识必备 带电粒子在电场中 运动的综合问题 必考题型归纳 方法技巧与解题思路 (1)等效重力场：重力场、电场叠加而成的复合场。 (2)等效重力：重力、静电力的合力。 等效重力场的对应概念及解释 (3) 等效重力加速度：等效重力与物体质量的比值，即9效=票。 (4)等效“最低点”与等效“最高点”：物体做圆周运动时与等效重力平行的直径与圆的两个交点分别为等效“"最低 点” (等效重力指向的一侧交点)和等效“最高点”（背离等效重力方向一侧的交点） 将重力与电场力进行合成，如图所示，则F合为等效重力场中的“"重力”，g=希为等效重力场中的"等效重力加速度”，F合的方向为 等效"重力”的方向，即在等效重力场中的“竖直向下”方向。 等效重力法 Eq 图中虚线圆周所示带电物体在“等效重力场”中做圆周运动的轨迹，过其圆心作"等效重力”的作用线： ()沿着“等效重力”的反向延长线交于圆周上的那个点即为圆周运动的等效“最高点”。 (2)沿着“等效重力”的方向延长交于圆周上的那个点即为等效"“最低点”。 重力场与电场在一条 重力场与电场 直线上gE>mg 成一定夹角 ,等效重力场 E “等效重力场”中圆周运动的等效 E+ 等效“最高点” “最高点”与“最低点”的确定方法 等效“最低点 mg'等效重力 mg mg 等效重力场 等效“最高点 等效“最低点”等效重力 等效重力加速度 等效重力加递度 (1)由于匀强电场中带电粒子所受静电力和重力都是恒力，可用正交分解法。 1动力学的观点 (2)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑的问题。 (1)运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程还是对全过程使用 力、电综合问题的分析 2能量的观点 动能定理。 (2)运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现。 ()运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一个正方向。 3动量的观点 (2)运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题目表述是否为某方向上动量守恒。 竖直电场中的等效场问题 水平电场中的等效场问题 用动力学和能量观点解决力电综合问题 用能量和动量观点解决力电综合问题 单 处于平 整体法 受力 平衡寻找连接体间 衡状态 隔离法 分析 方程 的关联量 物 或 ①列牛顿第二定 一力电综合问题的处理流程 受 连接 运 律方程 隔离法 状 力分析 ②列运动学方程 寻找体间 关系 ③列功能关系 方程 方程 第39讲 带电粒子在电场中运动的综合问题 目录 01 考情解码·命题预警 2 02 体系构建·思维可视 3 03 核心突破·靶向攻坚 3 考点一 带电粒子在力电等效场中的圆周运动 3 知识点 方法概述及应用 3 考向1 竖直电场中的等效场问题 4 考向2 水平电场中的等效场问题 7 考点二 电场中的力、电综合问题 10 知识点1 力、电综合问题的分析 11 知识点2 力电综合问题的处理流程 11 考向1 用动力学和能量观点解决力电综合问题 11 考向2 用能量和动量观点解决力电综合问题 15 04 真题溯源·考向感知 20 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 力电等效场中的圆周运动 选择题 非选择题 \ \ \ 用力学三大观点处理带电粒子在电场中运动的综合问题 选择题 非选择题 \ \ \ 考情分析： 高考对带电粒子在电场中运动的综合问题的考查较为频繁，大多在综合性的计算题中出现，题目难度较大。 命题情境： 生活实践类：人体带点头发三开，尖端放电，避雷针，静电吸附，直线加速器，示波器，静电加速器 学习探究类：观察静电感应现象，探究电荷间的作用力的影响因素，库仑扭秤实验，模拟电场线，观察电容器的充、放电现象 复习目标： 目标一：会用等效法分析带电粒子在电场和重力场中的圆周运动。 目标二：会用动力学、能量和动量观点分析带电粒子的力电综合问题。 考点一 带电粒子在力电等效场中的圆周运动 知识点 方法概述及应用 1.等效重力场的对应概念及解释 （1）等效重力场：重力场、电场叠加而成的复合场。 （2）等效重力：重力、静电力的合力。 （3）等效重力加速度：等效重力与物体质量的比值，即。 （4）等效“最低点”与等效“最高点”：物体做圆周运动时与等效重力平行的直径与圆的两个交点分别为等效“最低点”（等效重力指向的一侧交点）和等效“最高点”（背离等效重力方向一侧的交点） 2.等效重力法 将重力与电场力进行合成，如图所示，则F合为等效重力场中的“重力”，g'=为等效重力场中的“等效重力加速度”，F合的方向为等效“重力”的方向，即在等效重力场中的“竖直向下”方向。 3.“等效重力场”中圆周运动的等效“最高点”与“最低点”的确定方法 图中虚线圆周所示带电物体在“等效重力场”中做圆周运动的轨迹，过其圆心作“等效重力”的作用线： （1）沿着“等效重力”的反向延长线交于圆周上的那个点即为圆周运动的等效“最高点”。 （2）沿着“等效重力”的方向延长交于圆周上的那个点即为等效“最低点”。 考向1 竖直电场中的等效场问题 例1（2024·河北·模拟预测）如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E，A、B为两个固定的等量正点电荷，O点是AB连线的中点。有一质量为m的带电小球在两电荷连线的中垂面内做半径为R的匀速圆周运动，圆心为O，带电小球和电荷A的连线与AB连线夹角为30°，两个点电荷所带电荷量均为，重力加速度为g，静电力常量为k。下列说法正确的是（　　） A．小球可能带正电 B．小球所带电荷量的大小为 C．小球运动的角速度为 D．从最高点运动到最低点的过程中，小球的电势能不变 【答案】C 【解析】AB．由于小球在两电荷连线的中垂面内做匀速圆周运动，则有 由此可知，小球受到竖直向上的匀强电场的电场力，小球带负电，且 故AB错误； C．由于带电小球和电荷A的连线与AB连线夹角为30°，则 可得 故C正确； D．小球在运动过程中，机械能和电势能之和保持不变，小球由最高点运动到最低点的过程中，机械能减小，电势能增大，故D错误。故选C。 【变式训练1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示，场强为E的匀强电场方向竖直向下，所带电荷量为、质量为m的带电小球用长为L的绝缘细线拴住，小球可以在竖直平面内绕O做圆周运动，A、B分别是轨迹的最高点和最低点。已知小球静止时的位置是A点，重力加速度大小为g，小球可以看成质点，下列说法正确的是（　　） A．若小球恰好可以做完整的圆周运动，则小球通过A点时速度最小值为 B．若小球恰好可以做完整的圆周运动，则小球通过A点时速度最小值为 C．若小球恰好可以做完整的圆周运动，则小球通过A点时速度最小值 D．若小球恰好可以做完整的圆周运动，则小球通过A点时速度最小值 【答案】A 【解析】若小球恰好可以做完整的圆周运动，则在B点有 根据动能定理有 解得 故选A。 【变式训练2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘轻质细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动，图中A、B分别为圆周上的最高点和最低点。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q（q>0）、质量为m，电场强度大小为E，重力加速度大小为g，求： (1)小球在A点的速度大小； (2)小球运动至B点时细线上拉力的大小。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）在A点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得 联立解得 （2）设最低点B点速度为v，A到B运动过程根据动能定理有 解得 此时细线上拉力为F，由牛顿第二定律有 联立得 考向2 水平电场中的等效场问题 例2（2025·河南·三模）如图所示，半径为R的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，是圆心，是水平方向的直径，是竖直方向的直径，整个圆环处在水平向右的匀强电场中。将质量为、电荷量为的小球套在圆环上，从A点由静止释放，小球运动到点时的动能最大，。已知重力加速度大小为g，取。下列说法正确的是（　　） A．小球可以沿圆环运动到点 B．匀强电场的电场强度大小为 C．两点间的电势差为 D．小球运动到点时，向心加速度大小为 【答案】C 【解析】B．小球运动到点时的动能最大，即重力和电场力的合力沿着方向，对小球受力分析有 解得，故B错误； A．假设小球能够沿圆环运动到点，根据动能定理有 分析上式可知，显然这是不可能的，即假设错误，故错误； C．两点间的电势差，故正确； D．小球从A点运动到B点，根据动能定理有 此时小球的向心加速度大小，故错误。故选。 【变式训练1】（2024·重庆·一模）如图，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m带电量为q的小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g。则（　　） A．匀强电场的电场强度大小为 B．小球获得初速度的大小为 C．小球从初始位置运动至轨迹的最左端增加的机械能为 D．小球从初始位置在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，其电势能先减小后增大 【答案】AB 【解析】A．小球静止时细线与竖直方向成角，对小球受力分析如图 小球受重力、拉力和电场力，三力平衡，根据平衡条件，有 解得 A正确； B．小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点A由重力和电场力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有 则小球从初始位置运动到A点的过程中，由动能定理可得 联立解得小球获得初速度的大小为 B正确； C．由功能关系和能量守恒定律可得小球从初始位置运动至轨迹的最左端电场力做负功，故机械能减小，减小的机械能为 C错误； D．小球从初始位置开始在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，电场力先做负功，后做正功，再做负功，则其电势能先增大后减小再增大，D错误。故选AB。 【变式训练2】8．（2024·山东东营·二模）如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为的小球，系在一根长为d的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度，下列说法正确的是（　　） A．若小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为 B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大 C．若将细线剪断，再将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，小球将不能到达B点 D．若将小球在A点由静止开始释放，则小球沿AC圆弧到达C点的速度为 【答案】BC 【解析】A．小球受到水平向右的电场力 合力为 方向斜向右下方，与竖直方向夹角为，设小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最小速度为v，有 联立解得 故A错误； B．由功能关系知，小球机械能的变化等于除重力或弹力之外的力所做的功，小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，运动到B点时，静电力做功最多，故运动到B点时小球的机械能最大，故B正确； C．小球将在竖直方向上做竖直上抛运动，水平方向做匀加速直线运动，当竖直方向位移为0时，有 水平位移有 由牛顿第二定律 解得 所以小球将不能到达B点，故C正确； D．设合力方向与电场线方向夹角为，有 得 所以将小球静止释放，小球将沿合力方向做匀加速直线运动，故D错误。故选BC。 考点二 电场中的力、电综合问题 知识点1 力、电综合问题的分析 电场中的力、电综合问题，是指带电物体受到重力、电场力等共同作用下的运动问题，解决该类问题，在正确受力分析的基础上，要正确建立带电物体在电场中的运动模型，并且与力学中的运动模型进行类比，根据其运动特点灵活应用动力学观点、能量观点和动量观点等多角度进行分析与研究。 1.动力学的观点 （1）由于匀强电场中带电粒子所受静电力和重力都是恒力，可用正交分解法。 （2）综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑的问题。 2.能量的观点 （1）运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程还是对全过程使用动能定理。 （2）运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现。 3.动量的观点 （1）运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一个正方向。 （2）运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题目表述是否为某方向上动量守恒。 知识点2 力电综合问题的处理流程 考向1 用动力学和能量观点解决力电综合问题 例1（2025·福建厦门·二模）图示，足够长的倾角的光滑斜面固定在水平面上，斜面底端固定有垂直挡板。一劲度系数的轻弹簧一端与挡板连接，另一端连接绝缘物块A，A的上方放置着物块B，A、B质量均为且都可视为质点，A不带电，B带电量。初始时A、B均处于静止状态，某时刻起在空间施加方向平行斜面向上、大小为的匀强电场，A、B开始一起运动，一段时间后A、B分离。已知弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），重力加速度大小取。求： (1)施加电场的瞬间，物块B的加速度大小； (2)两物块从开始运动到分离时沿斜面上滑的距离； (3)物块A的最大动能。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）对AB整体，由牛顿第二定律得 解得 （2）初始时，设弹簧的形变量为，对AB整体，由平衡关系得 解得 分离时，设弹簧形变量为，此时AB之间无挤压，加速度大小相等，对B有 对A有 联立解得 故物体上滑距离 （3）对A、B以及弹簧组成的系统，设AB分离时速度大小为。由功能关系得 解得 AB分离后，当A的加速度为零时有最大动能，设此时弹簧的形变量为， 对A有 得 则 对A和弹簧组成的系统，由机械能守恒得 解得 【变式训练1】（2025·云南玉溪·三模）如图所示，一端固定的长为l的绝缘轻绳悬挂一质量为m的绝缘小球，小球带正电q，可视为质点。初始时，小球静止于P点，现给空间施加一大小为，水平向右的恒定匀强电场，小球恰能到达Q点（未画出），已知重力加速度为g，不计空气阻力，则（　　） A．小球处于Q点位置时轻绳与竖直方向的夹角为 B．P、Q两点的电势差大小为 C．轻绳对小球的拉力最大时，小球的电势能减少 D．轻绳对小球的拉力最大时，绳上的拉力大小为 【答案】B 【解析】A．题意可知小球恰能到达Q点时速度为0，设此时轻绳与竖直方向夹角为，由动能定理有 代入题中数据，解得 故A错误； B．由动能定理有 联立解得P、Q两点的电势差大小 故B正确； C．轻绳对小球的拉力最大时，小球速度最大，此时轻绳与竖直方向夹角为，该过程电场力做功 故小球的电势能减少，故C错误； D．小球速度最大时，由动能定理有 由牛顿第二定律有 联立解得绳上的拉力大小 故D错误。故选B。 【变式训练2】（2024·四川自贡·模拟预测）如图所示，完全相同的极板，其长度，平行正对相距，水平放置，外接电压为的恒压电源，为极板右边界，的右侧竖直放置着一个光滑绝缘圆弧轨道点在上，圆弧对应的圆心角为为四分之一的圆弧，圆弧半径，且半径水平，竖直半径的右侧有一足够大的水平向右的匀强电场，电场强度大小为。现有一带电小球以大小为的水平速度从极板左边界飞入极板之间，飞离极板时恰好从点沿圆弧切线方向进入轨道。已知小球质量，带电荷量，重力加速度取，，不计空气阻力。求：（结果可用根式表示） (1)求之间电压 (2)小球在右侧运动过程中离点多高的时候速度最小，最小速度为多少？ (3)小球在右侧运动过程中，将通过连线上的点（未画出），则小球通过点时的速度为多少？ 【答案】(1) (2)， (3) 【解析】（1）根据题意可知，小球过点时的竖直分速度 由 由牛顿第二定理得 在电场中 联立求得 （2）在点，有 从到，由机械能守恒定律知 从到，由动能定理知 右侧有电场，等效重力为 方向斜向右下方，则有 设速度最小时，小球在点，则从到，在竖直方向，根据速度一位移公式有 故 （3）从C到D，小球的运动时间为 由运动学知识可知 有C到D，由动能定理知 得 考向2 用能量和动量观点解决力电综合问题 例2（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图所示，倾角为的光滑绝缘斜面底端固定有一劲度系数为的轻质弹簧，弹簧上端连接一质量为不带电的滑块而处于静止状态，整个装置处于沿斜面向下的匀强电场中，场强大小。在的上方处由静止释放一质量为、电荷量为的滑块，运动一段时间后与发生碰撞，碰撞时间极短（可忽略不计），所带电荷量不会转移到。碰后、一起向下运动，到达最低点后又向上弹回。已知重力加速度为，弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能与形变量的关系为，弹簧振子的周期公式为，其中为弹簧的劲度系数，为振子的质量。 (1)求碰后瞬间、的共同速度； (2)求碰后、一起向下运动的最大位移； (3)试判断、碰后的运动过程中是否会分离。如果会分离，则求从释放到、第一次分离所用的时间；如果不会分离，则求从释放到、速度第二次减为零所用的时间。 【答案】(1) (2) (3)不会分离， 【解析】（1）设物块、碰撞前瞬间的速度为，根据动能定理有 解得 设碰后瞬间、的共同速度为，对、的碰撞过程，根据动量守恒定律 解得 （2）初始时刻弹簧的压缩量为，受力平衡 得 设碰后、一起向下运动的最大位移为，对、碰后瞬间到二者到达最低点的过程，根据能量守恒定律 解得 另一值（，不符合题意舍去） （3）、不会分离。 、分离的临界条件是二者之间弹力为零且加速度相同。假设、碰后的运动过程中未分离，即上升到最高点时弹簧仍处于压缩状态，设此时弹簧的压缩量为，从碰后瞬间到最高点，根据能量守恒定律 解得 说明弹簧回复到原长时，到达最高点，此时、速度均为零。此后做简谐运动。 振幅为 由此可知、碰撞位置距离平衡位置 根据三角函数知识，、一起运动 这段距离经历的时间（T为简谐运动周期） 设释放到、碰撞经历的时间为，根据动量定理 设、碰撞到第二次为零经历的时间为， 从释放到、速度第二次减为零所用的时间 【变式训练1】（2024·广西玉林·模拟预测）如图所示，在绝缘的光滑水平面（足够长）上M点左侧的区域有水平向右的匀强电场。小滑块A、B的质量均为m，其中B不带电，A的带电量为，O点到M点的距离为L，N点到O点的距离为，现将小滑块A在N点由静止释放，其向右运动至O点与静止的小滑块B发生弹性碰撞，设A、B均可视为质点，整个过程中，A的电荷量始终不变，B始终不带电，已知电场强度，重力加速度大小为g。求： （1）A与B发生第一次碰撞前瞬间，A的速率； （2）k的取值满足什么条件时，能使A与B发生第二次碰撞。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设A与B碰撞前的速率为，对，由动能定理得 将代入，解得 （2）由题意知，与B发生弹性碰撞，由动量守恒定律得 由能量守恒可知 联立解得 碰撞后，B以做匀速直线运动，在电场作用下，做匀加速直线运动，为使与B能发生第二次碰撞，则经电场加速后的最大速度"应满足的条件为 碰撞后，对由动能定理得 联立解得 【变式训练2】（2025·湖北黄石·二模）如图所示，在光滑水平面上放置一右端带有挡板的长直绝缘木板A，A不带电，木板A左端上表面有一带正电小物块B，带电量为，其到挡板的距离为d=2m，A、B质量均为，不计一切摩擦。整个空间存在水平向右的匀强电场，场强为。从时刻B开始运动起，经过一段时间，B与A的挡板发生碰撞，碰撞过程中无机械能损失，碰撞时间极短（内力远大于电场力）。重力加速度g=10m/s2。求： (1)物块B与A的挡板发生第一次碰撞后的瞬间，物块B与木板A的速度大小； (2)由A、B静止开始经多长时间物块B与木板A的挡板发生第二次碰撞，并求出碰后瞬间A、B的速度大小； (3)从物块B开始运动到与木板A的挡板发生第n次碰撞时间内，物块B的电势能的改变量是多少？ 【答案】(1)0，4m/s (2)3s，8m/s，4m/s (3) 【解析】（1）根据题意可知，B从A的左端开始运动到右端的过程，由动能定理有 解得 B与A第一次碰撞过程，由动量守恒定律和机械能守恒定律有， 解得， （2）第一次碰撞后A向右以速度做匀速直线运动，B做初速度为0、加速度为的匀加速直线运动，设第一次碰撞到第二碰撞历时，则有 解得 而从A、B静止开始运动到第一次碰撞的时间 故A、B静止开始经物块B与木板A的挡板发生第二次碰撞，此时B的速度为 A的速度为 第二次碰撞时，同样由动量守恒定律和机械能守恒定律有， 解得， （3）同理第三次碰撞时有 解得 此时B的速度为 由A、B静止开始到B与A的挡板发生3次碰撞时间内，物块B的速度v随时间t的变化图像如图所示 此后以此类推。由以上分析可知，从第二次碰撞后，到下一次碰撞，B向前运动的距离都比前一次多8m，由图像可知 从B开始运动到第1次碰撞，B运动的距离为2m； 从第1次碰撞到第2次碰撞，B运动的距离为8 m； 从第2次碰撞到第3次碰撞，B运动的距离为； 从第3次碰撞到第4次碰撞，B运动的距离为； 根据数学知识可知，从物块B开始运动到与木板A的挡板发生第n次碰撞时间内，物块B运动的距离： 则物块B的电势能的改变量为 代入数据可得 1．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A间距离为。原长为的轻质绝缘弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过A、B、C三点时的动能分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得A点弹簧伸长量为，B点和C点弹簧压缩量为，即三个位置弹簧弹性势能相等，则由A到B过程中弹簧弹力做功为零，电场力做正功，动能增加， 同理B到C过程中弹簧弹力和电场力做功都为零，重力做负功，则动能减小， 由A到C全过程则有 因此；故选C。 2．（2024·浙江·高考真题）如图所示空间原有大小为E、方向竖直向上的匀强电场，在此空间同一水平面的M、N点固定两个等量异种点电荷，绝缘光滑圆环ABCD垂直MN放置，其圆心O在MN的中点，半径为R、AC和BD分别为竖直和水平的直径。质量为m、电荷量为+q的小球套在圆环上，从A点沿圆环以初速度v0做完整的圆周运动，则（　　） A．小球从A到C的过程中电势能减少 B．小球不可能沿圆环做匀速圆周运动 C．可求出小球运动到B点时的加速度 D．小球在D点受到圆环的作用力方向平行MN 【答案】C 【解析】A．根据等量异种点电荷的电场线特点可知，圆环所在平面为等势面，匀强电场方向竖直向上，则小球从A到C的过程电势增加，电势能增加，故A错误； B．当场强满足 时，小球运动时受到的向心力大小不变，可沿圆环做匀速圆周运动，故B错误； C．根据动能定理 可求出小球到B点时的速度vB，根据 可得小球的向心加速度，再根据牛顿第二定律 可得小球的切向加速度，再根据矢量合成可得B点的加速度为 故C正确； D．小球在D点受到竖直向下的重力、竖直向上的匀强电场的电场力、平行MN方向的等量异种点电荷的电场力和圆环的作用力，圆环的作用力一个分力与等量异种点电荷的电场力平衡，其与MN平行，而另一分力提供向心力，方向指向圆心，故小球在D点受到圆环的作用力方向不平行MN，故D错误。故选C。 3．（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求： （1）电场强度E的大小。 （2）小球在A、B两点的速度大小。 【答案】（1）；（2）， 【解析】（1）在匀强电场中，根据公式可得场强为 （2）在A点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得 A到B过程根据动能定理得 联立解得 4．（2024·福建·高考真题）如图，木板A放置在光滑水平桌面上，通过两根相同的水平轻弹簧M、N与桌面上的两个固定挡板相连。小物块B放在A的最左端，通过一条跨过轻质定滑轮的轻绳与带正电的小球C相连，轻绳绝缘且不可伸长，B与滑轮间的绳子与桌面平行。桌面右侧存在一竖直向上的匀强电场，A、B、C均静止，M、N处于原长状态，轻绳处于自然伸直状态。时撤去电场，C向下加速运动，下降后开始匀速运动，C开始做匀速运动瞬间弹簧N的弹性势能为。已知A、B、C的质量分别为、、，小球C的带电量为，重力加速度大小取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终处在弹性限度内，轻绳与滑轮间的摩擦力不计。 (1)求匀强电场的场强大小； (2)求A与B间的滑动摩擦因数及C做匀速运动时的速度大小； (3)若时电场方向改为竖直向下，当B与A即将发生相对滑动瞬间撤去电场，A、B继续向右运动，一段时间后，A从右向左运动。求A第一次从右向左运动过程中最大速度的大小。（整个过程B未与A脱离，C未与地面相碰） 【答案】(1) (2)； (3) 【解析】（1）撤去电场前，A、B、C均静止，M、N处于原长状态，对A、B整体分析可知，此时绳中拉力为0，对C根据共点力平衡条件有 解得 （2）C开始做匀速直线运动后，对C和B根据共点力平衡条件分别有 ， 其中 解得 C开始匀速运动瞬间，A、B刚好发生相对滑动，此时A、B、C三者速度大小相等，M、N两弹簧的弹性势能相同，C下降的过程中，对A、B、C及弹簧M、N组成的系统，由能量守恒定律有 解得 （3）没有电场时，C开始匀速运动瞬间，A、B刚好发生相对滑动，所以此时A的加速度为零，对A根据共点力平衡有 当电场方向改为竖直向下，设B与A即将发生相对滑动时，C下降高度为，对A根据牛顿第二定律可得 对B、C根据牛顿第二定律可得 撤去电场后，由第（2）问的分析可知A、B在C下降时开始相对滑动，在C下降的过程中，对A、B、C及弹簧M、N组成的系统，由能量守恒定律有 此时A的速度是其从左向右运动过程中的最大速度，此后A做简谐运动，所以A第一次从右向左运动过程中的最大速度为 联立解得 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $