精品解析：四川省广安加德学校2024-2025学年高一（领航班）上学期开学考试数学试题

广安加德学校高2024级 2024-2025学年（上）入学考试 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的． 1. 设全集，集合，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用补集和并集的概念计算即可. 【详解】∵全集，集合，， ∴， ∴． 故选：D． 2. 命题“，”的否定得（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】将“”改为“”，只否定结论. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：A． 3. “x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件． 解：∵“x＜﹣1”⇒“x2﹣1＞0”， “x2﹣1＞0”⇒“x＜﹣1或x＞1”． ∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件． 故选A． 点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用，解题时要注意基本不等式的合理运用． 4. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】因为，， 令，则，， 所以，， 故，， 故选：C 5. 若实数、、满足,则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用取特殊值的方法和差比的比较法即可选出正确答案. 【详解】选项A：当时,显然满足,但是,显然不成立； 选项B：,因为, 所以,故本结论成立； 选项C：当时,显然不成立； 选项D：当时,不等式能成立,但是此时不成立. 故选B 【点睛】本题考查了利用已知不等式判断有关不等式是否成立问题,利用特殊值法、差比的比较法、不等式的性质是解决这类问题的常用方法. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 【答案】B 【解析】 分析】 利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解． 【详解】，，又，且， ， 当且仅当，解得，时等号成立， 故的最小值为10． 故选：B． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最和最值，考查“1”的巧妙运用，难度一般，灵活转化是关键. 7. 若，，定义且，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别解不等式，根据的定义直接计算即可. 【详解】由已知，， 则， 故或， 故选：B. 8. ，，若对任意的，存在，使，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出两个函数在上的值域，然后由条件可得的值域是值域的子集，即可建立不等式求解. 【详解】函数， 因为，所以在的值域为， 函数在的值域为， 因为对任意的，存在，使， 所以， 所以，解得． 故选：A． 二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分．每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选的得0分． 9. 集合，则下列关系正确的是（ ） A B. C. D.  【答案】C 【解析】 【分析】将两个集合化简后比较分子的关系可得两个集合的关系. 【详解】因为， 表示整数，表示奇数， 故，故选项A、B、D错误，选项C正确， 故选：C. 10. 已知函数关于函数的结论正确的是（ ） A. 的定义域为R B. 的值域为 C. 若，则x的值是 D. 的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出分段函数的定义域可判断A；求出分段函数的值域可判断B；分、两种情况令求出可判断C；分、两种情况解不等式可判断D. 【详解】函数的定义域是，故A错误； 当时，，值域为，当时，，值域为，故的值域为，故B正确； 当时，令，无解，当时，令，得到，故C正确； 当时，令，解得，当时，令，解得，故的解集为，故D错误． 故选：BC． 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则关于函数和的叙述中正确的是（ ） A. B. 函数的值域为 C. 方程的解集为R D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据高斯函数定义结合选项逐项分析即可得出结果. 【详解】根据高斯函数的定义：对于A，显然正确； 对于B，因为，函数的值域为[0，1），所以B错误； 对于C，因为函数的值城为[0，1），所以对任意的x，方程的解集为R.所以C正确； 对于D，∵.∴，即，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】 先求出，再求出的值即可 【详解】解：因为， 所以， 故答案为： 【点睛】此题考查分段函数求值，求值时要注意自变量的取值范围，属于基础题 13. 已知函数的定义域是，则的定义域是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，解出即可. 【详解】由函数的定义域是， 则对，有，解得， 故的定义域是. 故答案为：. 14. 已知的值域为R，那么a的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数在区间上的值域，再结合函数的值域为R，得出函数在上单调递增，可得出函数在区间上的值域，再由两段值域并集为R，可得出关于实数的不等式（组），解出即可. 【详解】当时，，则函数在区间上的值域为. 又函数的值域为R，则函数在上单调递增， 当时，， 所以，函数在区间上的值域为， 由题意可得，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）求; （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次方程求得集合，根据集合并集计算即可；（2）根据题意得，即可得到方程求出的值，验证即可. 【小问1详解】 由题知， 由，解得或，所以， 由，解得或，所以， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以，解得或， 当时，，与矛盾， 当时，，满足题意， 综上可得，， 所以的值. 16. 已知非空集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案. （2）先得到，由此列不等式来求得取值范围. 【小问1详解】 由题意，当时，可得集合，所以或， 又由集合，所以. 【小问2详解】 由集合， 因为“”是“”的充分不必要条件，即， 依题意可知，要使得，则满足且等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围. 17. 已知关于x的不等式的解集为或． （1）求的值； （2）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程与一元二次不等式的关系，根据解集建立方程组可得； （2）由（1）可得，然后直接使用基本不等式可得的最小值，然后可解. 【小问1详解】 由题知，1和b是方程的两根， 由韦达定理可得，解得 【小问2详解】 由（1）知，所以， 因为，所以 记，则，解得， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为8， 所以要使恒成立，则，得 所以k的取值范围为. 18. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，．每件产品售价为6元．假设小王生产的商品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）； （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时，取得最大值15（万元） 【解析】 【分析】根据年利润＝销售额﹣投入的总成本﹣固定成本，分和当两种情况得到的分段函数关系式；(2）当时根据二次函数求最大值的方法来求利润最大值，当时，利用基本不等式来求的最大值，最后综合即可． 【小问1详解】 因为每件产品售价为6元，则x（万件）商品销售收入为万元， 依题：当时， 当时，， 所以； 【小问2详解】 当时，， 此时，当时，取得最大值（万元）； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取得最大值15（万元）， 因为，所以当产量为10（万件）时，利润最大，为15万元. 19. 已知二次函数 （1）若在的最大值为，求的值； （2）若对任意实数，总存在，使得．求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】由解析式可知为开口方向向上，对称轴为的二次函数； （1）分别在和两种情况下，根据函数单调性可确定最大值点，由最大值构造方程求得结果； （2）将问题转化为对恒成立，分别在、、和，根据单调性可得，将看做关于的函数，利用恒成立的思想可求得结果. 【详解】由解析式知：为开口方向向上，对称轴为的二次函数， （1）当，即时，在上单调递减， ，不合题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ， 又，，在的最大值为， ，解得：； 综上所述：. （2）若对任意实数，总存在，使得， 则对恒成立， ①当时，在上单调递增， ， 当时，单调递增， ，； ②当，即时，在上单调递减， ， 当时，单调递减， ，； ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ， 当时，又，， 令，则在上单调递增， ，解得：； ④当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ， 当时，在上单调递减， ，解得：； 综上所述：的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据二次函数最值求解参数值、恒成立问题的求解，本题解题关键是能够将问题转化为对恒成立，从而通过对于函数单调性的讨论得到最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安加德学校高2024级 2024-2025学年（上）入学考试 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的． 1. 设全集，集合，，则（ ）. A. B. C. D. 2. 命题“，”否定得（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 若实数、、满足,则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 7. 若，，定义且，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. ，，若对任意的，存在，使，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分．每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选的得0分． 9. 集合，则下列关系正确是（ ） A. B. C. D.  10. 已知函数关于函数的结论正确的是（ ） A. 定义域为R B. 的值域为 C. 若，则x的值是 D. 的解集为 11. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则关于函数和的叙述中正确的是（ ） A. B. 函数的值域为 C. 方程的解集为R D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，则__________. 13. 已知函数的定义域是，则的定义域是___________． 14. 已知的值域为R，那么a的取值范围是_____________． 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）求; （2）若，求的值. 16. 已知非空集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 已知关于x不等式的解集为或． （1）求的值； （2）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 18. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，．每件产品售价为6元．假设小王生产的商品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）； （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 19. 已知二次函数 （1）若在的最大值为，求的值； （2）若对任意实数，总存在，使得．求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $