2.1 生活中的变量关系 课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

第二章 函数 2.1 生活中的变量关系 32999 1.了解生活中两个变量之间的依赖关系；（重点） 2.了解生活中两个变量之间的函数关系； 3. 能辨析依赖关系与函数关系的区别与联系；(重、难点) 4.分段函数的概念、图像与性质. 学习目标 32999 情境：观看视频，说说你发现了哪些量不可以改变？哪些量可以改变？ 情景导入 32999 3 （1）瓶口的大小不可以改变，水的数量也不能改变； （2）瓶中水的高度可以改变，石块的数量可以改变，投的石块越多，水面越高. 情景导入 32999 问题1： 仔细观察下列函数，说说它们之间有什么共同的关系. 正比例函数：y = kx (k ≠ 0) 反比例函数：y = (k ≠ 0) 一次函数：y = kx + b (k ≠ 0) 二次函数： 它们都表示了自变量 x 与函数值 y 之间的一种对应关系，是解析式表示的函数. 问题探究 32999 问题 2 ：如图是某高速公路加油站的图片，加油站在地下常用圆柱体储油罐储存汽油等燃料. 储油罐的长度 d、截面半径 r 是常量；油面高度 h、油面宽度 w、储油量 V 是变量. 请问上述变量间分别存在什么对应关系？ 储油量 V 与油面高度 h 存在着依赖关系， 也与油面宽度 w 存在着依赖关系； 油面高度 h 的每一个取值，都有唯一的储油量 V 和它对应； 每一个油面宽度 w 的值，却对应着两个储油量 V . 问题探究 32999 在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系. 如果在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一确定的值和它对应，那么 y 就是 x 的函数，其中 x 是自变量，y 是因变量；表示两个变量关系的函数的代数式，叫函数解析式. 注意：凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都唯一确定的值和它对应”. 思考：依赖关系和函数关系有什么联系？是不是所有的依赖关系都是函数？ 知识梳理 32999 函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系. 要确定变量的函数关系，需先分清谁是自变量，谁是因变量. 并非所有依赖关系的两个变量都有函数关系，只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间有函数关系. x 和 y 无依赖 有依赖 有函数 无函数 对应类型 一对一 多对一 注意： 多对一， 不是函数 知识梳理 32999 练一练1：下列各组两个变量间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ （1）扇形的圆心角与它的面积； （2）某人的体重与其饮食情况； （2）水稻的亩产量与施肥量； （4）抛物线上的点与该点坐标间. 解： （1）存在依赖关系，是函数关系； （2）存在依赖关系； （2）存在依赖关系； （4）存在依赖关系，是函数关系； 注：要确定变量间的函数关系，需先分清谁是自变量，谁是因变量. 当堂检测 32999 问题3：国内某快递公司邮寄普通货物限重 30 kg，从 A 城市到 B 城市的快递资费标准是：质量 1 kg及以下收费 12 元，以后质量每增加 1 kg收费增加 8 元，质量不足1 kg 按 1 kg 计算．请写出邮件的质量 m kg 与邮资 M 元的函数解析式，并画出局部图象． 解：依题意知邮件的质量 m kg与邮资M 元的函数解析式为： O 1 2 3 4 5 12 20 36 28 44 M /元 m / kg 函数 M 局部图象 问题探究 32999 分段函数的概念： 思考：在生活中，有许多可用分段函数描述的实际问题，请你举出几个事例？ O 1 2 3 4 5 12 20 36 28 44 M /元 m / kg 函数 M 局部图象 形如上述的函数，一般叫作分段函数；如图，分段函数的两个变量之间仍然存在函数关系，即：对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应. 知识梳理 32999 根据今天所学，回答下列问题： （1）说说依赖关系和函数关系的概念是什么？ （2）请简述依赖关系与函数关系的区别与联系？ （3）如何判断两个变量间是否存在函数关系，有什么是需要注意的？ 课堂总结 32999 Lavf57.25.100 $