第二章 1 生活中的变量关系-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§1　生活中的变量关系 学习目标 1.通过认识和发现生活中的变量间的依赖关系,提升数学建模的核心素养. 2.在用变量之间的依赖关系描述函数的基础上通过利用图象研究变量间的关系,提升直观想象的核心素养. 问题1:某人坐摩天轮一圈用时8分钟.若摩天轮匀速转动,则他的海拔高度与摩天轮转动时间有依赖关系吗?当他位于摩天轮一半高度时,摩天轮转了多少分钟? 提示:此人的海拔高度与摩天轮转动时间有依赖关系.当他位于摩天轮一半高度时,摩天轮转了2分钟或6分钟. 1.依赖关系 在一个变化过程中,有两个变量,如果其中一个变量的值发生了变化,另一个变量的值也会随之发生变化,那么就称这两个变量具有依赖关系. 问题2:某人坐摩天轮一圈用时8分钟.若摩天轮匀速转动,把摩天轮的转动时间t作为自变量,他的海拔高度h作为因变量,则每取一个t值,有几个h值与之对应? 提示:每取一个t值,有唯一一个h值与之对应. 2.函数关系 两个变量具有依赖关系,如果对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应,那么就称这两个变量具有函数关系. 思考:从充分、必要条件来看,两变量之间具有依赖关系是具有函数关系的什么条件? 提示:由于具有依赖关系不一定具有函数关系,但是具有函数关系一定具有依赖关系,因此两变量之间具有依赖关系是具有函数关系的必要不充分条件. 两变量之间的依赖关系 [例1] 判断下列两变量之间是否具有依赖关系. (1)正方体的体积和它的棱长; (2)某人的体重与其饮食情况; (3)正三角形的面积和它的边长. 解:(1)正方体的体积V与它的棱长a存在V=a3的关系. (2)某人的体重与其饮食情况间存在依赖关系,但具有不确定性. (3)正三角形的面积S与其边长a之间存在S=a2的关系. 综上可知(1)(2)(3)中两个变量间都存在依赖关系. 判断两变量之间是否存在依赖关系的关键是看对于其中一个变量发生了变化,另一个变量是否也随之发生变化. 针对训练:判断下列两变量之间不具有依赖关系的是(　　) A.价格不变的情况下,商品销售额与销售量之间的关系 B.家庭收入越多,其消费支出也有增长的趋势 C.圆的面积与它的半径之间的关系 D.人的身高与视力 解析:在所给选项中,只有人的身高与视力无任何关系.故选D. 变量间的函数关系 [例2] 小明骑车上学,一路匀速行驶,只是在途中遇到了一次交通堵塞,耽搁了一些时间,则与以上事物吻合得最好的图象是(　　) 解析:由题意此运动过程对应的图象先是一条上升的线段,然后y不变化,此时图象与x轴平行,然后再匀速前进,图象是一条线段,A图符合此规律.故选A. 利用图象描述两变量之间的函数关系,主要是根据因变量与自变量的变化情况,结合图象的上升或下降,以及变化的趋势是逐渐增大还是逐渐减小等方面判断. 针对训练:向高为H的水瓶中注水,注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是(　　) 解析:通过图象反映的两个变量h与V的变化情况知,注水量随高度的变化是先快后慢,再结合选项中四个容器的形状来判断,只有B符合要求.故选B. 1.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是(　D　) A.大气层中的臭氧空洞的面积与时间(年份) B.圆的周长与半径 C.正n边形的内角和与边数 D.月份与年 解析:因为月份对应的年份不确定,不符合函数的关系,故月份与年两个变量之间的关系不是函数关系.故选D. 2.下列两个变量具有依赖关系但不是函数关系的是(　C　) A.正方体的体积与棱长 B.汽车匀速行驶时的路程与时间 C.举重运动员所能举起的最大重量与他的体重 D.出租车费与行驶的里程 解析:正方体的体积与棱长是函数关系,故选项A不符合题意;汽车匀速行驶时的路程与时间是函数关系,故选项B不符合题意;举重运动员所能举起的最大重量与他的体重之间具有依赖关系,但不是函数关系,故选项C符合题意;出租车费与行驶的里程是确定的函数关系,故D不符合题意.故选C. 3.某市管理部门以周为单位,记录的每周查处的酒驾人数与该周内出现的交通事故数量如表所示: 酒驾人数x 80 147 121 100 96 103 87 交通事 故数y 19 31 30 23 25 24 20 通过表中数据可知,酒驾人数x与交通事故数y之间是　　　　　　(填“依赖关系”或“函数关系”).  解析:由题中表格可以看出,酒驾人数越多,交通事故的次数也越多,但关系不确定,因此酒驾人数x与交通事故数y之间是依赖关系,但不是函数关系. 答案:依赖关系 4.已知集合A={1,2,3,4,5},集合B={2,4,6,8}.集合A中的元素乘2,若A中的元素为自变量,B中的元素为因变量,　　　　形成函数(填“能”或“不能”).  解析:因为A中的元素5的2倍为1