精品解析：江苏省锡山高级中学2025-2026学年高三(基地班)上学期9月检测数学试卷

省锡中高三数学（基地班）检测试卷 2025.09.14 一、单选题 1. 设，其中i为虚数单位．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则，复数模的计算，结合充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】因为，所以．令，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 2. 已知数列的通项公式为，那么是这个数列的第（ ）项． A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，令，得到，求得的值，即可得到答案. 【详解】由数列的通项公式为， 令，即，可得，解得或， 即，所以是数列的第项. 故选：B. 3. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵，，，， ∴，， ，， 所以 . 故选：B. 4. 作边长为的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆.如此下去，则前个内切圆的面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的，每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，则可得内切圆半径是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列通项公式以及求和公式即可求解. 【详解】设第个正三角形的内切圆半径为， 因为从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的，每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的， 所以，，，，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 设前个内切圆的面积和为， 则， 故选：B. 5. 已知函数为偶函数，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为，若最小正周期为，且，则（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意根据三角函数的图象的对称性求出φ，由周期求出ω，由三角函数的值求出A，可得函数的解析式，从而求得． 【详解】∵为偶函数，故，所以， 整理得到， 所以对任意的恒成立，所以，即. 因为，故.所以， 将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为. 因为最小正周期为，则有＝2π，∴ω＝2，g（x）＝Acos x，f（x）＝Acos2x． 且，故，解得，所以，所以. 故选C. 【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题． 6. 将自然数，，，，，，按照如图排列，我们将，，，，，都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题中规律找到拐角数的通项公式，进而可得. 【详解】由题意得第1个“拐角数”为，第2个“拐角数”为， 第3个“拐角数”为，第4个“拐角数”为， 则第个“拐角数”为． 对于A：第6个“拐角数”是，故A不合题意； 对于B、C：第7个“拐角数”是，第8个“拐角数”是， 因在上单调递增，则30不是“拐角数”，故B符合题意，C不合题意； 对于D：第9个“拐角数”是，故D不合题意． 故选：B. 7. 在中，角的对边分别是，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理化角为边，再通过换元转化为分式函数，变形后利用基本不等式求最值求解可得. 【详解】由余弦定理得，代入得， ， 则，即， ， 令，， 则， 当且仅当时， ，即时等号成立， 此时，，即，为等腰直角三角形时， 取到最小值. 故选：B. 8. 在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差中项和三角恒等变换化简得，然后结合和差公式将所求化简为关于的表达式，利用基本不等式可得. 【详解】由题知，由正弦定理得， 即， 因为，所以， 又， 所以，得， 所以最多有一个是钝角，所以， 因为 ， 由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3. 故选：A 【点睛】关键点睛：本题主要在于利用三角恒等变换和三角形内角和定理，将已知和所求转化为的表达式，即可利用基本不等式求解. 二、多选题 9. 已知分别是三个内角的对边，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是所在平面内的一点，且，则是直角三角形 D. 若，则的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理边角关系判断A；利用正弦定理解三角形求角C判断B；由已知可得，由其几何意义可知边上的中线长等于的一半，即可判断C；由余弦定理和基本不等式求出，再由数量积的定义将的最大值转化为求的最大值，由求解可判断D. 【详解】对于A，因为在上单调递减， 所以，则，故A正确 对于B，由，则， 而，故或，因为，所以， 所以或，故B错误； 对于C，由、，， 故，所以在中边上的中线长等于的一半， 即是为直角的直角三角形，故C正确. 对于D， 而， 当时，取最大值，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，对，且都有，满足的实数有且只有3个，则下列选项中正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 的最小值为 C. 满足条件的实数有且只有2个 D. 满足条件的实数有且只有2个 【答案】AD 【解析】 【分析】由，可得在上的最小值为，最大值为 ，又在上，有且只有3个零点，则函数的最大值为2，最小值为-2，即可判断B；设，作的图象，可判断C、D选项的正误；由时，，结合图象可得，即可解得，即可判断A. 【详解】因为函数， 对，且都有， 所以的最小值为，最大值为 ， 因为满足的实数有且只有3个， 所以在上，有且只有3个零点， 所以函数的最大值为2，最小值为-2，故B错误； 设，当时，， 作的图象如图所示： ，求得，故A正确； 满足条件的实数可能有1个，也可能有2个，故C错误； 结合函数的图象可得，满足条件的实数有且只有2个，故D正确. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：求解与或相关的图象与性质问题时，经常用到换元法，已知，可得的取值范围，进而利用正弦函数或余弦函数的图象进行讨论即可.需要注意的是求的取值范围时，要注意的正负. 11. 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 在方向上的投影向量为 D. 若函数则函数的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】以AE为y轴，GC为x轴建立平面直角坐标系，根据向量线性运算可判断A；对于B，取AB的中点为M，则，两式平方相减，结合正八边形的对称性取最大值时点P位置，然后利用坐标求解；对于C，根据投影向量公式求解可得；对于D，利用坐标运算表示出函数，根据二次函数性质可得. 【详解】如图所示，以AE为y轴，GC为x轴建立平面直角坐标系， 设，则在中，由余弦定理可得， 整理得， 因为 . 对于A，因为， 所以，A错误； 对于B，取AB的中点为M，则， 则， 两式相减得， 由正八边形的对称性可知，当点P与点E或点F重合时，最大， 又，所以， 所以， 所以，的最大值为，B正确； 对于C，， 所以， 所以在方向上的投影向量为，C错误； 对于D，因为，， 所以， 所以 ， 当时，函数取得最小值，D正确. 故选：BD 【点睛】关键点睛：本题解答的关键在于：第一，建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解；第二，设，利用a表示坐标，到最后再进行代换，减少计算量；第三，利用对称性分析点P位置. 三、填空题 12. 已知，则的值为__. 【答案】1 【解析】 【分析】根据诱导公式及二倍角公式可得，然后根据降幂公式可得，进而即得. 【详解】由，得， 再由，得，可得， ． 故答案为：1. 13. 已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标依次记为，记它们的和为，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】令，求得或，得到的值，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由函数， 令，即，可得或， 解得或， 所以， 所以 . 故答案为：. 14. 已知为所在平面内一点，且点满足，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】应用向量的数量积的定义计算即可求出夹角. 【详解】因为，所以, 所以， 所以,所以 所以, 所以. 故答案为：. 四、解答题 15. （1）化简； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由诱导公式化简，即可得到； （2）根据题意，由角的变换可得，再由和差角公式展开，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 ，则， ，， 则 ， ， 因此. 16. 已知函数，对，有 （1）求的值及的单调递增区间： （2）在中，已知，其面积为，求； （3）将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若，求实数的取值范围 【答案】（1），单调递增区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简得到，根据对，有，求出，，整体法求出函数单调递增区间； （2）由求出，由三角形面积得到，再由余弦定理求出； （3）先根据平移和伸缩变换得到，分离参数，令，则，换元得到，求出最小值为，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 ， 对，有，故， 所以，解得， 因为，故只有当时，满足要求，故， ，令， 解得， 的单调递增区间为； 【小问2详解】 ， 因为，所以，故，解得， ，即，解得， 由余弦定理得， 故； 【小问3详解】 图象上的所有点，向右平移个单位后，得到， 再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到， ， 即， 令，则， 则， 故， 其中，当时，取得最小值，最小值为-1， 所以，解得或， 故实数的取值范围为 【点睛】关键点点睛：三者的关系如下： ，， ， 当题目中同时出现三者或三者中的两者时，通常用换元思想来解决. 17. 已知等比数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 【答案】（1）； （2）不存在，理由如下： 由（1）得，， 在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，则， 即，则， 假设在数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列， 则，，即， 因为成等差数列，所以，所以， 即，即， 联立解得，与题设矛盾， 故在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列. 【解析】 【分析】（1）退位作差得到公比，令求得，进而得到数列的通项公式； （2）反证法，假设存在，由等差中项性质得到，等比中项性质得到，联立解得，与题设矛盾，假设不成立，则不存在. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， ，时，，两式相减得， 即，所以， 令得，即，解得， 所以. 【小问2详解】 略 18. 对于平面向量，定义“变换”：， （1）若向量，，求； （2）求证：； （3）已知，，，，求证：． 【答案】（1）； （2）证明如下： 因为向量，， 所以， 所以； （3）证明如下： 因为，，，， 则， ， 故，所以， ， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据定义，直接代入公式，即可求解； （2）计算得，，，再展开计算，即可证明； （3）根据定义，可得向量，，再结合向量的减法运算，可求得向量，，根据向量的模的公式计算，即可得证. 【小问1详解】 因为向量，， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 省锡中高三数学（基地班）检测试卷 2025.09.14 一、单选题 1. 设，其中i为虚数单位．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知数列的通项公式为，那么是这个数列的第（ ）项． A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 作边长为的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆.如此下去，则前个内切圆的面积之和为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数为偶函数，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为，若最小正周期为，且，则（ ） A. -2 B. 2 C. D. 6. 将自然数，，，，，，按照如图排列，我们将，，，，，都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别是，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多选题 9. 已知分别是三个内角的对边，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是所在平面内的一点，且，则是直角三角形 D. 若，则的最大值是 10. 已知函数，对，且都有，满足的实数有且只有3个，则下列选项中正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 的最小值为 C. 满足条件的实数有且只有2个 D. 满足条件的实数有且只有2个 11. 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 在方向上的投影向量为 D. 若函数则函数的最小值为 三、填空题 12. 已知，则的值为__. 13. 已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标依次记为，记它们的和为，则______． 14. 已知为所在平面内一点，且点满足，，则___________. 四、解答题 15. （1）化简； （2）若，求的值． 16. 已知函数，对，有 （1）求的值及的单调递增区间： （2）在中，已知，其面积为，求； （3）将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若，求实数的取值范围 17. 已知等比数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 18. 对于平面向量，定义“变换”：， （1）若向量，，求； （2）求证：； （3）已知，，，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $