精品解析：陕西省宝鸡市某校2024-2025学年高三上学期第一次模拟数学试卷

凤翔中学2024－2025学年第一学期高三数学科 第一次模拟试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有1440名学生喜欢足球或游泳，900名学生喜欢足球，1230名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为（ ） A. 630 B. 690 C. 840 D. 936 2. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 4. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数有四个不同的零点，，，，若，，，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. －1 D. －2 6. 已知向量，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 已知正三棱台的上底面积为，下底面积为，高为2，则该三棱台的表面积为（ ） A. B. C. D. 18 8. 定义集合运算：.若集合， ，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列运算结果为1的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，，为非零向量，下列说法正确的有（ ） A. 若，，则 B. 已知向量，，则 C. 若，则和在上的投影向量相等 D. 已知，，，则点A，B，D一定共线 11. 设a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则（ ） A. ab的最大值为 B. a2＋4b2的最小值为 C. 的最小值为8 D. 2a＋4b的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设等差数列的公差为，前项和为，若，则的最小值________． 13. 已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则______. 14. 定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为. （1）求的解析式； （2）设，若在上是单调函数，求实数的取值范围. 16. 如图，在平面四边形中，已知，，，为线段上一点. （1）求的值； （2）若为线段的中点，求的值； （3）试确定点的位置，使得最小. 17. 已知等比数列满足：． （1）求的通项公式； （2）令，其前项和为，若恒成立，求的最小值． 18. 设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 19. 已知函数． （1）若函数存在单调递减区间，求a的取值范围； （2）若函数在上单调递减，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤翔中学2024－2025学年第一学期高三数学科 第一次模拟试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有1440名学生喜欢足球或游泳，900名学生喜欢足球，1230名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为（ ） A. 630 B. 690 C. 840 D. 936 【答案】B 【解析】 【分析】喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为，再利用容斥原理计算作答. 【详解】解：喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为， 依题意，集合，中元素个数分别为：， 则， 所以中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有名. 故选：B 2. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 3. 若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，根据存在性问题结合配方法分析求解. 【详解】因为，即， 又因为，当且仅当时，等号成立， 若，，即， 所以实数a可取的最小整数值是. 故选：A. 4. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 5. 已知函数有四个不同的零点，，，，若，，，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. －1 D. －2 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为与的交点问题，再根据数形结合思想可求解. 【详解】函数有四个不同的零点，即方程有四个不同的解， 令，，即函数的图象与有四个不同的交点， 两函数图象在同一个直角坐标系下的图象如下图所示： 所以， 不妨设， 则， 所以. 故选：D 6. 已知向量，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】对两边平方化简可得，再对平方化简后再开方即可. 【详解】由两边平方得，， 所以， 所以， 所以， 故选：D. 7. 已知正三棱台的上底面积为，下底面积为，高为2，则该三棱台的表面积为（ ） A. B. C. D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】由上下底面的面积可求出上下底面边长，构造直角三角形结合棱台的高求出侧面梯形的高，求出侧面积后得表面积. 【详解】由面积公式可得正三棱台上下底面边长分别为和， 设在底面内的射影为，作于， 平面，平面，则有， 又，，平面，所以平面， 平面，所以， 由，，，则， 又，所以，则， 故三棱台的侧面积为，表面积为. 故选：A. 8. 定义集合运算：.若集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出后可求得，故可得正确的选项 【详解】由题设可得，， 因为，，，， 故， 故选：D. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列运算结果为1的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AC：根据指数运算分析判断；对于B：根据对数运算分析判断；对于D：利用换底公式分析判断. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知向量，，为非零向量，下列说法正确的有（ ） A. 若，，则 B. 已知向量，，则 C. 若，则和在上的投影向量相等 D. 已知，，，则点A，B，D一定共线 【答案】CD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算、投影向量的意义和向量共线定理即可判断出正确答案. 【详解】对于A，若，，则与可能平行，故A错误； 对于B，设，则，解得，所以，故B错误； 对于C，若，则，所以，所以和在上的投影向量相等，故C正确； 对于D，因为，，所以,所以点A，B，D一定共线，故D正确. 故选：CD. 11. 设a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则（ ） A. ab的最大值为 B. a2＋4b2的最小值为 C. 的最小值为8 D. 2a＋4b的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用均值不等式对选项进行逐一求解，可判断出正误，得出答案. 【详解】，得，当且，时取等号，故正确； ，当且仅当，时取等号，故正确； ，当且仅当时取等号，故错误； ，当且仅当，时取等号，故正确， 故选：ABD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设等差数列的公差为，前项和为，若，则的最小值________． 【答案】 【解析】 【分析】求出等差数列的和与通项公式，然后化简表达式，利用基本不等式求解即可． 【详解】解：等差数列的公差为，前项和为，若， ，， ．当且仅当时取等号． 故答案为． 【点睛】本题考查数列与不等式的应用，等差数列的通项公式以及求和是的应用，考查转化思想以及计算能力． 13. 已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】借助平面向量的三角形法则，用作为基底，分别表示向量，然后用平面向量的线性运算和数量积即可得解. 【详解】因为在单位正方形，点是边上一点，又，所以，， 所以. 故答案为： 14. 定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用给定定义构造不等式，按分类讨论并结合函数大致图象，建立关系式求解即得. 【详解】由给定的定义知，为满足的整数解的和， 当时，在同一坐标系内作出函数和的大致图象，如图： ，， 因此的解集包含，，不符合题意； 当时，，由，解得或， 在内有3个整数解，即，因此，符合题意； 当时，作出函数和的大致图象，如图， 若，又，且，所以不等式的整数解为． 只需满足，即，解得． 所以时，实数的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为. （1）求的解析式； （2）设，若在上是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，代入点的坐标求出的值，即可求出函数解析式； （2）首先表示出，从而确定其对称轴，依题意得到或，解得即可. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以和为关于的方程的两根，且二次函数的开口向上， 则可设，， 即， 由的图象过点，可得，解得， 所以，即. 【小问2详解】 因为，对称轴， 因为在上是单调函数，所以或，解得或， 即实数的取值范围. 16. 如图，在平面四边形中，已知，，，为线段上一点. （1）求的值； （2）若为线段的中点，求的值； （3）试确定点的位置，使得最小. 【答案】（1） （2） （3）时，最小 【解析】 【分析】（1）根据平面向量夹角公式计算即可； （2）将向量转化为已知向量等，进行运算； （3）法一：设()，利用基底法计算，结合二次函数求最值； 法二：建立平面直角坐标系，设()，利用数量积的坐标运算，再求最值. 【小问1详解】 ，，，， ，， ， ； 【小问2详解】 【小问3详解】 法一：设()，则， ， 当时，即时，最小. 法二：建立如图平面直角坐标系，则，， ，， 设()，则， 当时，即时，最小． 17. 已知等比数列满足：． （1）求的通项公式； （2）令，其前项和为，若恒成立，求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义即可求解； （2）先求出，再利用对勾函数求出的最大值，即可求出的最小值． 【详解】解：（1）由题意可得：， 解得：，， 故的通项公式为，； （2）， ，， 令， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 又， ， 又， ， 即， 故， 故的最小值为. 18. 设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解； （2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】（1）由辅助角公式得， 则， 所以该函数的最小正周期; （2）由题意， ， 由可得， 所以当即时，函数取最大值. 19. 已知函数． （1）若函数存在单调递减区间，求a的取值范围； （2）若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】（1），且 （2），且 【解析】 【分析】（1）对求导，使有解即可； （2）在上单调递减，转化为时，恒成立，计算其最值即可 【小问1详解】 ， ． 在上存在单调递减区间， 当时，有解，即有解．设只要即可． 而． 故a的取值范围是，且． 【小问2详解】 在上单调递减， 时，恒成立， 即恒成立，，而， ．． 故a的取值范围是，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $