专题02 数轴、相反数与绝对值12题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材华东师大版

专题02 数轴、相反数与绝对值 题型1数轴上的距离问题 题型7涉及绝对值的非负性（常考点） 题型2 数轴上的动点问题（难点） 题型8 绝对值的几何意义（重点） 题型3 数轴上的规律探究（重点） 题型9 与绝对值的应用相关 题型4 相反数的定义 题型10 绝对值的化简求值（常考点） 题型5 相反数的应用（常考点） 题型11 与数轴有关的新定义问题（难点） 题型6 求一个数的绝对值（重点） 题型12 运用绝对值求范围与最值（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数轴上的距离问题（共4小题） 1．数轴上到表示的点的距离等于的点表示的数是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题关键是掌握数轴上两点之间的距离并能运用求解． 数轴上到表示的点的距离等于的点有两个，分别位于表示的点左、右两侧，由此求得这两个点表示的数． 【详解】解：数轴上到表示的点的距离等于的点有两个，分别位于表示的点左、右两侧，表示的数为或， 故选：D． 2．如图，数轴上的点、分别表示数、，若点是的中点，则点所表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离． 设点所表示的数是，根据题意得，解方程即可得点所表示的数． 【详解】解：设点所表示的数是， 根据题意得， 解得， ∴点所表示的数是． 故选：C． 3．如图，点，分别表示数与，点在线段上，且，则点对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离公式，熟练掌握数轴上两点间距离的计算方法是解题的关键． 先求出线段的长度，再根据与的关系求出的长度，最后结合点表示的数求出点表示的数． 【详解】解：， ， ， 点表示的数为， 故答案为：． 4．点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数互为相反数，若点B所表示的数为n，点A与点B之间的距离为2，则点D所表示的数为 ．（请用含有n的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查数轴上点之间的距离，根据给定点B和点与点之间距离求得点A，利用点、表示的数互为相反数即可求得点D． 【详解】解：∵点所表示的数为，点与点之间的距离为2， ∴点A所表示的数为， ∵点、表示的数互为相反数， ∴点所表示的数为． 故答案为：． 题型二 数轴上的动点问题（共6小题） 5．如图，圆的周长是4个单位长度，均匀分布0、1、2、3四个数字，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查数轴，理解数轴表示数的方法以及圆周上数字与数轴上的数的对应关系是正确解答的关键．根据数轴表示的方法以及所呈现的规律进行解答即可． 【详解】解：起始时，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合， 顺时针旋转1周，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，即， 顺时针旋转2周，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，即， 顺时针旋转3周，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，即， 顺时针旋转4周，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，即， 由于， 所以数轴上的数将与圆周上的数字2重合， 故选：C． 6．如图，数轴上点对应的数为5，点对应的数为，点、分别从原点、同时出发，分别以、的速度沿数轴负方向运动（在、之间，在、之间），运动时间为，点为、之间一点，且，若、运动过程中的值固定不变，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．由题意可知，，，，得到，从而得出，则，再结合的值固定不变，得到，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，， ，， ， ， ， ， 、运动过程中的值固定不变， ， ， ， 故选：C 7．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1) (2) (3)点表示的数为或，或 (4)当在之间时，点表示的数为，；当在点左边时，点P表示的数为， 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）由题意可求出点表示的数是或，进而即可求出的值； （4）分两种情况讨论：当在之间时，，点表示的数为，此时；当在点左边时，，点P表示的数为，此时． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点到点的距离与点到点的距离之和为， ∴点为点、的“格距点”， ∴， 故答案为：； （2）解：∵整点为点、的“格距点”， ∴，即在线段上， ∴整点所表示的数是，，，，，，共个， 故答案为：； （3）解：∵点到点的距离为， ∴点表示的数为或， ①当点表示的数为时，点到点的距离与点到点的距离之和为， 此时； ②当点表示的数为时，点到点的距离与点到点的距离之和为， 此时； （4）解：①当在之间时，， 点表示的数为：， 此时； ②当在点左边时，， 点P表示的数为：， 此时． 8．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空：已知，都是数轴上的点． (1)若点表示数，将点向右移动个单位长度至点，则点表示的数是_________； (2)若点表示数，将点先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是_________； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数轴上动点平移问题，解题关键是掌握数轴上点往右移几就加几，往左移几就减几． （1）根据点表示的数是，向右平移了个单位长度，则平移后的点表示的数为； （2）根据点表示的数是，将点先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数为． 【详解】（1）解：根据题意可得：点表示的数为， 故答案为：； （2）解：根据题意可得：点表示的数为， 故答案为：． 9．定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或 (2)，，，，， 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，则， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，则， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，则， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图， 当时，则， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，则， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，则， 因此秒， 综上所述，的值为：，，，，，． 10．将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点A、B的距离．如果A、B两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，，如果A、B两点分别位于两个数轴上，定义．    利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“”或“”，例如，“”表示上层数轴中表示数“2”的点，“”表示下层数轴中表示数“”的点，“”“”分别表示上下两个数轴的原点． (1)在双轴系中与的距离为：______，与的距离为________； (2)在（1）的假设下，现有只电子蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、…，另有一只电子蚂蚁乙从“”所表示的点出发，然后跳跃到，接着又跳回其后再次跳到，下一步又跳回，按此规律在和之间来回跳动．假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致． ①当蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了多少次？ ②当甲乙两只蚂蚁的距离为时，请直接写出3个符合条件的跳跃次数． 【答案】(1)2；6 (2)①14；②当甲乙两只蚂蚁的距离为时，跳跃次数为38次、174次、410次 【分析】（1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）①根据跳跃规律，找出蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，蚂蚁跳跃的次数即可； ②设蚂蚁甲为，蚂蚁乙为，根据题意得出，分两种情况：当跳跃次数为奇数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为；当跳跃次数为偶数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为，然后求出跳跃次数即可． 【详解】（1）解：在双轴系中与的距离为：； 与的距离为：． 故答案为：2；6． （2）解：①蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、、、、、、、、…， ∴蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，蚂蚁甲共跳跃了14次； ②设蚂蚁甲为，蚂蚁乙为，根据题意得： ， ∴， 当跳跃次数为奇数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为， 则蚂蚁甲跳跃的次数为： （次）， 即此时蚂蚁甲跳跃的次数为偶数，不符合题意； 当跳跃次数为偶数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为， 蚂蚁甲第1次跳到时，跳跃次数为： （次）， 38是偶数，符合题意； 蚂蚁甲第2次跳到时，跳跃次数为： （次）， 174是偶数，符合题意； 蚂蚁甲第3次跳到时，跳跃次数为： （次）， 410是偶数，符合题意； 综上分析可知，当甲乙两只蚂蚁的距离为时，跳跃次数为38次、174次、410次． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，有理数混合运算的应用，用数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上两点间距离． 题型三 数轴上的规律探究（共4小题） 11．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1008，那么n的值是 ． 【答案】1009或1006 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． 根据点的运动情况，可知第奇数次移动的点表示的数是，第偶数次移动的点表示的数是，再分两种情况分别求n的值即可． 【详解】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是， 第偶数次移动的点表示的数是， ∵点与原点的距离等于1008， ∴当n是奇数时， ，解得， 当n是偶数时， ，解得， 故答案为：1009或1006． 12．正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是 ． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数字类的规律探索．根据点从1开始，每翻转6次一个循环，利用，根据余数的情况进行判断即可． 【详解】解：由题意，可知，点从1开始，每翻转6次一个循环， ∵， ∴数轴上数所对应的点是； 故答案为：C 13．如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点，第2次从点A向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去，则在数轴上表示的数为 ，如果点与原点的距离大于20，那么n的最小值是 ． 【答案】 7 14 【分析】此题考查规律型：数字变化类，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解题关键． 序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到表示的数为，表示的数为，则可判断点与原点的距离大于20时，n的最小值是． 【详解】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点，则表示的数，； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则表示的数为； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则表示的数为； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则表示的数为； 第5次从点向左移动15个单位长度至点，则表示的数为； …； 则表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 所以点An与原点的距离大于20，那么n的最小值是． 故答案为：7；14． 14．在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数的规律探索，计算出、、、，，这六个点表示的数，找到规律是，2，依次循环，由此即可求解． 【详解】解：点在数轴表示的数是，则点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是2，点在数轴表示的数是，……，由此得：三个数，2，依次循环； 而，则点在数轴上表示的数是2； 故答案为：2． 题型四 相反数的定义（共3小题） 15．的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了相反数，正确掌握相关定义是解题关键． 直接利用相反数的定义分析得出答案，相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 【详解】解：的相反数是． 故选：D 16．如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n与q互为相反数，则m，n，p，q四个数中负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查数轴的性质，相反数的几何意义以及负数的定义．题目中n与q互为相反数，因此原点是线段的中点，从数轴上看，N在Q的左侧，因此n是负数，q是正数，而数轴上原点左侧的数为负数，右侧的数为正数，通过观察数轴上的点：P，N，M均在原点左侧，因此m，n，p均为负数，Q在原点右侧，q为正数，最终得到负数共有3个． 【详解】解：∵n，q互为相反数， ∴原点的位置如下图所示： m，n，p，q四个数中，负数有m，n，p三个数． 故选：C． 17．有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，的大小关系是（ 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴比较大小，相反数，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相反数的意义在数轴上确定，，的位置，然后比较大小即可． 【详解】解析：与互为相反数，1与互为相反数，则，，的位置如图所示， ∴， 故选：C． 题型五 相反数的应用（共4小题） 18．已知与的值互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查代数式求值，相反数的性质，根据相反数的性质可得，进而得出，整体代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵与的值互为相反数， ∴ ∴ ∴ 故选：B． 19．用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了相反数，根据题意，先计算括号内的运算，再根据新定义运算的规则进行解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 20．若m、n互为相反数，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了代数式的求值和相反数的意义：先根据已知得：，化简所求式子并整体代入可得结论．准确对代数式进行变形是关键． 【详解】解：、互为相反数， ， ， ， ， ． 故答案为：0． 21．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b． (1)把这四个数用“”连接起来： ； (2)用“”或“”填空：______0，______0； (3)化简： ； (4)若互为相反数，互为倒数，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）由数轴可知，，，即可解答； （2）由数轴可知，，，进而完成解答； （3）先利用（2）的结论去绝对值，然后再运算即可； （4）由数轴可知从而确定a、b的值，再根据相反数、倒数的性质代入计算即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，，，即． 故答案为：． （2）解：由数轴可得：，，，，则，． 故答案为：，． （3）解：∵，， ∴． 故答案为：． （4）解：由数轴可知， ∵互为相反数，互为倒数， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了数轴、去绝对值、相反数、倒数代数式求值等知识点，掌握数轴的应用成为解题的关键． 题型六 求一个数的绝对值（共3小题） 22．绝对值是的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据正数的绝对值等于它本身、负数的绝对值等于它的相反数求解即可得． 【详解】解：绝对值是的数为， 故选：C． 23．绝对值小于3的整数有 个，绝对值等于7的数是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据绝对值的意义即可求解． 【详解】解：由于， 所以绝对值小于3的整数有，与0共5个； 因为，则绝对值等于7的数是； 故答案为：5；． 24．化简： （1） ； （2） ；    （3） ；     （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，相反数的意义，根据绝对值的意义，相反数的意义逐一求解即可，掌握绝对值的性质是解题的关键 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：；；；． 题型七 涉及绝对值的非负性（共4小题） 25．若a为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．的值是正数 B．的值是负数 C．的值是正数 D．的值小于1 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的非负性逐项判断即可． 【详解】解：A．，因此的值是正数或0，该选项说法错误； B．，因此的值是负数或0，该选项说法错误； C．，因此的值是正数，该选项说法正确； D．，因此的值小于或等于1，该选项说法错误； 故选：C． 26．（1）若，则 ， ． （2）已知，则 ． （3）已知与互为相反数，则 ． 【答案】 3 4 30 5 【分析】本题考查了绝对值的非负性质：几个绝对值的和为零，则它们全都为零，以及绝对值的计算. （1）根据绝对值的非负性质求a和b的值即可； （2）根据绝对值的非负性质先求出a，b，c的值再代入求解； （3）根据绝对值的非负性质得到x与y的值，代入求解. 【详解】解：（1） ； 故答案为：①3；②4； （2） 故答案为：30； （3）∵与互为相反数， ∴， ∴. 故答案为： 5． 27．已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了绝对值非负性和解一元一次方程等知识点，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性求出x、y的值； （2）先根据绝对值的性质得出，再结合（1）中的结果即可求出z的值； 【详解】（1）解：∵，又，， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴ 由（1）知， ， ∴与互为相反数 ∴． 28．已知为整数． （1）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （2）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （3）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （4）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （5）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． 【答案】 （1）小， ，；（2）小，，；（3）大，，；（4）小，，；（5）大，， 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键； （1）根据绝对值的非负性可以得到的取值范围以及最值； （2）根据绝对值的非负性可以得到的取值范围和最值，根据的取值范围可以得到的取值范围和最值； （3）根据的取值范围和最值确定的范围和最值然后就可以确定的取值范围和最值； （4）根据的取值范围和最值确定的取值范围和最值； （5）根据的取值范围和最值确定的取值范围和最值然后就可以确定的取值范围和最值. 【详解】解：（1）根据绝对值的非负性可知， 有最小值是，此时； （2） 则有最小值是，此时； （3）， ， ； 则有最大值是，此时； （4）， 则有最小值是，此时； （5） ； 则有最大值是，此时 故答案为：（1）小，，；（2）小，，；（3）大，，；（4）小，，；（5）大，， ． 题型八 绝对值的几何意义（共5小题） 29．已知a、b是有理数，，且，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，数轴表示数，理解绝对值的定义，掌握数轴表示数的方法是正确解答的前提．根据绝对值的意义，结合两数的大小关系，进行判断即可． 【详解】解：由于，即a为非正数，b为非负数， 又∵， ∴，且， 在数轴上表示a、b大致如下： 故选：C． 30．式子的最小值是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了绝对值．熟练掌握绝对值的化简，分类讨论，是解决问题的关键． 由绝对值的几何意义可知当时，有最小值，同理可知当时，有最小值，当时，有最小值，最小值为0，则当时，，，能同时取到最小值，进而可得当时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：由绝对值的几何意义可知，表示的是数轴上表示x的点到表示1和5的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， 同理可知当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为0， 综上所述，当时，，，能同时取到最小值， ∵ ， ∴当时，有最小值，最小值为； 故答案为：8． 31．大家知道，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子在数轴上的意义是 ． 【答案】表示数a的点与表示的点之间的距离 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，根据，结合题意可得答案． 【详解】解：∵， ∴在数轴上的意义是表示数a的点与表示的点之间的距离． 故答案为：表示数a的点与表示的点之间的距离． 32．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离， 例如：数轴上表示与的两点间的距离； 而，所以表示与 两点间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和5两点之间的距离． (2)若数轴上表示点x的数满足，那么． (3)若数轴上表示点x的数满足，则． 【答案】(1)7 (2)或4 (3)6 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式以及绝对值的化简，解题的关键是熟练运用距离公式和绝对值的性质进行计算． （1）利用数形结合思想和题干中的结论解答即可； （2）由表示的意义为：在数轴上表示表示和1的点的距离为3，据此解答可得； （3）根据，可知表示：在数轴上表示的点到表示2的点的距离加上到表示的点的距离之和，即2到之间的距离，据此解答可得． 【详解】（1）根据题意知数轴上表示-2和5两点之间的距离为， 故答案为：7； （2）∵，即在数轴上到表示1和的点的距离为3， 或， 故答案为：或4； （3）∵表示在数轴上表示的点到和2的点的距离之和，且位于-4到2之间， 故答案为：6． 33．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为． 问题1：点A、B、C在数轴上分别表示有理数：、、3，那么A到B的距离是_________，A到C的距离是_________．（直接填最后结果） 问题2：点A、B、C在数轴上分别表示有理数、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_________（用含绝对值的式子表示）． 问题3：利用数轴探究： ①找出满足的的所有值是_________； ②设，当的值取在不小于且不大于3的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是_________；当的值取在_________的范围时，的最小值是_________． 【答案】问题1：4，8；问题2：；问题3：①4，；②4；；2． 【分析】问题1：根据材料直接计算即可； 问题2：根据材料表示出来并化简即可； 问题3：①分三种情况讨论：x在之间（包含端点），x在3的右侧，x在左侧；②根据x的范围去掉绝对值符号即可得到最小值． 本题考查了绝对值的几何意义及数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的几何意义是解题关键． 【详解】解：问题1：A到B的距离是，A到C的距离是， 故答案为：4，8； 问题2：A到B的距离与A到C的距离之和可表示为， 故答案为：； 问题3：①设点A、B、C在数轴上分别表示数、、， 则表示A到B的距离与A到C的距离之和为6， 结合数轴可知，当A在B、C之间（包含B、C）时，不符合题意， 当A在B右侧时，，解得； 当A在C左侧时，，解得； 故答案为：4，； ②对于， 当的值取在不小于且不大于3的范围时， ； 对于， 当的值取在不小于且不大于2的范围时，的值保持不变，且为其最小值， 这个最小值为； 故答案为：4；；2． 题型九 与绝对值的应用相关（共3小题） 34．质检员抽查某零件的质量，超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，结果第一个，第二个，第三个，第四个，则抽查的这四个零件中，质量最好的零件是（   ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵， ∴质量最好的零件是第四个． 故选：D． 35．下面说法正确的有（    ） （1）互为相反数的两数的绝对值相等； （2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数； （3）若，则； （4）若，则． A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4） 【答案】A 【分析】依次分析每个说法，根据相反数、绝对值的性质判断其正确性．本题主要考查相反数和绝对值的性质，熟练掌握“互为相反数的两数绝对值相等、正数和的绝对值等于本身、负数的绝对值等于其相反数”是解题的关键． 【详解】解：（1）互为相反数的两个数到原点的距离相等，而绝对值是数在数轴上所对应点到原点的距离 互为相反数的两数的绝对值相等，（1）说法正确． （2）正数的绝对值是它本身，的绝对值是（也等于本身 ），负数的绝对值是它的相反数（不等于本身 ） 一个数的绝对值等于本身，这个数是正数或，即不是负数，（2）说法正确． （3）当时，；当时，（因为是负数，是正数，正数大于负数 ） 若，则，（3）说法正确． （4）当，时， ，但，， （4）说法错误． 故选：A ． 36．在活动课上，名同学用橡皮泥各做了个乒乓球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表所示： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 (1)哪些同学做的乒乓球是符合要求的？ (2)在符合要求的乒乓球中，哪名同学做的质量最好？这名同学中，哪名同学做的质量最差？ (3)请你对这名同学按照做的乒乓球质量从最好到最差排名； (4)请你用学过的绝对值知识来说明解答以上问题的依据． 【答案】(1)张兵和蔡伟做的乒乓球是符合要求的 (2)蔡伟做的乒乓球质量最好，李明做的乒乓球质量最差 (3)按照做的乒乓球质量从最好到最差的排名为蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明 (4)这是绝对值在实际生活中的应用，对于误差来说，绝对值越小越好 【分析】本题考查绝对值的应用、正负数的应用，理解绝对值的意义是解答的关键． （1）求出每个数据的绝对值，再与0.02比较大小即可得出结论； （2）比较绝对值的大小即可得出结论； （3）比较绝对值的大小即可得出结论； （4）根据绝对值的性质可得结论． 【详解】（1）解：，，，，，． 因为，， 所以张兵和蔡伟做的乒乓球是符合要求的． （2）解：绝对值越小，质量越好． 因为， 所以蔡伟做的乒乓球质量最好，李明做的乒乓球质量最差． （3）解：因为， 所以这6名同学按照做的乒乓球质量从最好到最差的排名为蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明． （4）解：这是绝对值在实际生活中的应用，对于误差来说，绝对值越小越好． 题型十 绝对值的化简求值（共5小题） 37．若，则 ；若，则 ；若，则 ． 【答案】 或 【分析】此题考查了绝对值和绝对值方程，根据绝对值的定义和解绝对值方程进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴或 解得或， 故答案为：，，或 38．化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了相反数和绝对值，正确掌握相反数的定义和绝对值的意义是解题关键． （1）根据相反数的定义，化简多重符号； （2）根据相反数的定义，化简多重符号； （3）根据相反数的定义，化简多重符号，再求绝对值； （4）根据相反数的定义，化简多重符号，再求绝对值，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 39．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了绝对值的性质以及有理数的四则运算，掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据绝对值的性质“负数的绝对值是它的相反数”，然后根据绝对值的结果进行加法运算即可求解； （2）根据绝对值的性质“负数的绝对值是它的相反数”，然后根据绝对值的结果进行减法运算即可求解； （3）根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”，将带分数化为假分数，然后根据绝对值的结果进行乘法运算即可求解； （4）根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”，然后根据绝对值的结果进行除法运算即可求解； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 40．已知 ，且，，． (1)在数轴上标出a、b、、的大致位置； (2)用“”将a、b、、连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查有理数与数轴，绝对值，利用数轴比较有理数的大小，掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）由，，，可得，，由可得，由此可标出a、b、、的大致位置； （2）数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，由此可解． 【详解】（1）解：a、b、、的大致位置如下： （2）解：由数轴可知，． 41．已知有理数a，b，c在数轴上的位置：a在原点左边，b在原点右边但是靠近原点，c在b右边更远的位置，化简：． 【答案】0 【分析】本题主要考查了利用数轴比较大小，去绝对值等知识点，根据数轴上点的位置关系，可以判断出数的大小关系，从而确定绝对值内式子的正负性，再根据绝对值的性质：当时，；当时，；对绝对值进行化简即可． 【详解】解：由题意得：， ∴，，， ． 题型十一 与数轴有关的新定义问题（共4小题） 42．材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．    初步感知： (1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______； (2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系． 拓展运用： (3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立． 【答案】(1)， (2)；； (3)存在t为4或，使等式成立 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）根据材料阅读，即可求解； （2）根据材料阅读，可表示和，即可求解； （3）分两种情况：当点Q到达点A之前时，当点Q到达点A返回时，结合，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴， 故答案为：， （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； （3）解：当点Q到达点A之前时， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴，          解得：； 当点Q到达点A返回时，此时， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴               ∴                              ∴存在t的值为4或，使等式成立． 43．定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 【答案】(1)点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是 (2)①，；②当M点在N点的左侧时，；当点M在N点的右侧时， (3)9秒或13秒 【分析】（1）根据，，，，推出， ，得到，得到在数轴上点H表示的数是15，点A表示的数是； （2）①根据长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ， ，得到x秒后，M点表示的数：， N点表示的数：；②当M点在N点的左侧时，，当点M在N点的右侧时，； （3）根据两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12，得到重叠部分的长为4个单位长度，当点D运动到E点右边4个单位时，长方形运动的时间为9秒；当点A运动到H点左边4个单位时，长方形运动的时间为13秒． 【详解】（1）由题意得：，，，， ∴，∴， ∴， ∴点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是； （2）①∵，， ∴， ， ∵，， ∴，， ∵长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ∴M点表示的数为：， N点表示的数为：； 故答案为：，； ②当M点在N点的左侧时，， 当点M在N点的右侧时，； （3）∵两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12， ∴重叠部分的长为4个单位长度， 当点D运动到E点右边4个单位时， ； 当点A运动到H点左边4个单位时， ， 综上，长方形运动的时间为9秒或13秒时，两个长方形重叠部分的面积为12． 【点睛】本题主要考查了数轴动点问题，熟练掌握数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离，路程、速度和时间的关系，长方形面积公式等知识点，求数轴上两点间的距离用右边点对应的数减左边对应的数；路程等于速度乘时间；熟记长方形的面积是长乘宽是解题的关键． 44．对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7． (1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝　 　，d2（点D，线段AB）＝　 　； (2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值． 【答案】(1)1，6 (2)﹣4或6 【分析】（1）根据已知给出的定义，进行计算即可解答； （2）分两种情况，点E在点A的左侧，点E在点B的右侧． 【详解】（1）解：∵点D表示的数为﹣3， ∴d1（点D，线段AB）＝DA＝﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1， d2（点D，线段AB）＝DB＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6， 故答案为：1，6； （2）分两种情况： 当点E在点A的左侧， d2（点F，线段AB）＝BF＝3﹣（x+1）＝2﹣x， d1（点E，线段AB）＝AE＝﹣2﹣x， ∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍， ∴2﹣x＝3（﹣2﹣x）， ∴x＝﹣4， 当点E在点B的右侧， d2（点F，线段AB）＝AF＝x+1﹣（﹣2）＝x+3， d1（点E，线段AB）＝EB＝x﹣3， ∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍， ∴3+x＝3（x﹣3）， ∴x＝6， 综上所述：x的值为﹣4或6． 【点睛】本题考查了数轴，理解题目已知给出的定义是解题的关键． 45．已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的突点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的突点，点是的突点． (1)如图，数轴上点，表示的数分别为，，若点是的突点，则点表示的数是______；若点是的突点，则点表示的数是______； (2)如图，为数轴上两点，它们表示的数分别为，10，若点向数轴的负方向以每秒个单位长度运动,，同时点向数轴的正方向以每秒个单位长度运动，假设运动时间为秒，求使得原点是的突点的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3， (2)使得原点是的突点的值为4 【分析】（1）根据题意设出未知数，利用突点的定义，可写出和，则可列出方程，分别解出方程即可求出； （2）先根据题中点、点的运动方向和运动速度分别写出运动后点、点所表示的数，即可用含有的式子表示出、的长，根据原点是的突点，可得，列出方程，解出即可求出的值． 【详解】（1）解：设点表示的数为， 点是的突点， 点在点、之间且， ， 解得：； 设点表示的数为， 点是的突点， 点在点、之间且， ， 解得：； 综上所述：点表示的数是3，点表示的数是； 故答案为：3，； （2）解：点向数轴的负方向以每秒个单位长度运动，同时点向数轴的正方向以每秒个单位长度运动， 此时点表示的数为，点表示的数为， ，， 原点是的突点， ， ， 解得：， 综上所述：使得原点是的突点的值为4． 【点睛】本题考查了数轴新定义题型，解题关键是：一是理解题中什么叫做突点，二是根据题中给出的突点情况列出方程． 题型十二 运用绝对值求范围与最值（共5小题） 46．已知实数a，b满足，且，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，即，也就是，所以，因此选项A不符合题意； B．若，则，即，所以，因此选项B不符合题意； C．若，则，即，所以，因此选项C符合题意； D．若，则，即，所以，，因此选项D不符合题意． 故选：C． 47．请解答下列问题： ①当代数式取最小值时，的取值范围是 ，最小值为 ． ②求的最小值为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了绝对值的几何应用，数轴上两点距离计算，①由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数1和数的点的距离之和，设点A，点B，点C表示的数分别为，，x，则，分点C在点A左侧，点C在点A和点B之间时（包括A和B），点C在点B右侧，三种情况结合数轴可得当点C在点A和点B之间时（包括A和B），有最小值，最小值为的长；则当时，取最小值，据此求解即可；②同①可知当时，有最小值，当时，有最小值，当时，有最小值，……，当时，有最小值，则当时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：①由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数1和数的点的距离之和， 设点A，点B，点C表示的数分别为，，x，则， 当点C在点A左侧时， ； 当点C在点A和点B之间时（包括A和B），则； 当点C在点B右侧时，则； 综上所述，当点C在点A和点B之间时（包括A和B），有最小值，最小值为的长； ∴当时，取最小值，最小值为， 故答案为：；； ②同①可知当时，有最小值， 当时，有最小值， 当时，有最小值， ……， 当时，有最小值， 综上所述，当时，，，，…，能同时取得最小值， 即当时，有最小值， 最小值为， 故答案为：． 48．设由1到6的六个自然数写成的序列是，则的最大值是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，熟练应用数轴将绝对值具象化是解题的关键．画出数轴，依次让，，，，，最大，那么可知，，，，，，从而算得答案． 【详解】解：如图所示：依次让，，，，，最大， 那么 故答案为：18． 49．已知对一切实数恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的几何意义： 表示数轴上两点间的距离，利用数形结合的思想是解题的关键．根据绝对值的几何意义， 表示数轴上两点间的距离，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 则表示点x到 ，两点间距离的和， ∴当x在和之间时距离和最小， 最小值为 ， ∴， 故答案为：． 50．已知为有理数，记，当的值变化时，的值随之变化，若的值最小，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义．根据绝对值的几何意义可得到表示数轴上表示数x的点，到表示数的距离之和，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：表示数轴上表示数x的点，到表示数的距离之和， 要使这个距离之和S最小，只有当时，的值最小． 故答案为：． $专题02 数轴、相反数与绝对值 题型1数轴上的距离问题 题型7涉及绝对值的非负性（常考点） 题型2 数轴上的动点问题（难点） 题型8 绝对值的几何意义（重点） 题型3 数轴上的规律探究（重点） 题型9 与绝对值的应用相关 题型4 相反数的定义 题型10 绝对值的化简求值（常考点） 题型5 相反数的应用（常考点） 题型11 与数轴有关的新定义问题（难点） 题型6 求一个数的绝对值（重点） 题型12 运用绝对值求范围与最值（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数轴上的距离问题（共4小题） 1．数轴上到表示的点的距离等于的点表示的数是（   ） A．或 B． C． D．或 2．如图，数轴上的点、分别表示数、，若点是的中点，则点所表示的数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，点，分别表示数与，点在线段上，且，则点对应的数是 ． 4．点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数互为相反数，若点B所表示的数为n，点A与点B之间的距离为2，则点D所表示的数为 ．（请用含有n的式子表示）． 题型二 数轴上的动点问题（共6小题） 5．如图，圆的周长是4个单位长度，均匀分布0、1、2、3四个数字，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图，数轴上点对应的数为5，点对应的数为，点、分别从原点、同时出发，分别以、的速度沿数轴负方向运动（在、之间，在、之间），运动时间为，点为、之间一点，且，若、运动过程中的值固定不变，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 8．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空：已知，都是数轴上的点． (1)若点表示数，将点向右移动个单位长度至点，则点表示的数是_________； (2)若点表示数，将点先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是_________； 9．定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 10．将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点A、B的距离．如果A、B两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，，如果A、B两点分别位于两个数轴上，定义．    利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“”或“”，例如，“”表示上层数轴中表示数“2”的点，“”表示下层数轴中表示数“”的点，“”“”分别表示上下两个数轴的原点． (1)在双轴系中与的距离为：______，与的距离为________； (2)在（1）的假设下，现有只电子蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、…，另有一只电子蚂蚁乙从“”所表示的点出发，然后跳跃到，接着又跳回其后再次跳到，下一步又跳回，按此规律在和之间来回跳动．假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致． ①当蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了多少次？ ②当甲乙两只蚂蚁的距离为时，请直接写出3个符合条件的跳跃次数． 题型三 数轴上的规律探究（共4小题） 11．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1008，那么n的值是 ． 12．正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是 ． 13．如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点，第2次从点A向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去，则在数轴上表示的数为 ，如果点与原点的距离大于20，那么n的最小值是 ． 14．在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是 ． 题型四 相反数的定义（共3小题） 15．的相反数是（   ） A． B． C． D． 16．如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n与q互为相反数，则m，n，p，q四个数中负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，的大小关系是（ 　） A． B． C． D． 题型五 相反数的应用（共4小题） 18．已知与的值互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 19．用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则 ． 20．若m、n互为相反数，则 ． 21．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b． (1)把这四个数用“”连接起来： ； (2)用“”或“”填空：______0，______0； (3)化简： ； (4)若互为相反数，互为倒数，求的值． 题型六 求一个数的绝对值（共3小题） 22．绝对值是的数是（    ） A． B． C． D． 23．绝对值小于3的整数有 个，绝对值等于7的数是 ． 24．化简： （1） ； （2） ；    （3） ；     （4） ． 题型七 涉及绝对值的非负性（共4小题） 25．若a为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．的值是正数 B．的值是负数 C．的值是正数 D．的值小于1 26．（1）若，则 ， ． （2）已知，则 ． （3）已知与互为相反数，则 ． 27．已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求的值． 28．已知为整数． （1）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （2）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （3）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （4）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （5）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． 题型八 绝对值的几何意义（共5小题） 29．已知a、b是有理数，，且，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（　　） A． B． C． D． 30．式子的最小值是 ． 31．大家知道，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子在数轴上的意义是 ． 32．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离， 例如：数轴上表示与的两点间的距离； 而，所以表示与 两点间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和5两点之间的距离． (2)若数轴上表示点x的数满足，那么． (3)若数轴上表示点x的数满足，则． 33．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为． 问题1：点A、B、C在数轴上分别表示有理数：、、3，那么A到B的距离是_________，A到C的距离是_________．（直接填最后结果） 问题2：点A、B、C在数轴上分别表示有理数、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_________（用含绝对值的式子表示）． 问题3：利用数轴探究： ①找出满足的的所有值是_________； ②设，当的值取在不小于且不大于3的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是_________；当的值取在_________的范围时，的最小值是_________． 题型九 与绝对值的应用相关（共3小题） 34．质检员抽查某零件的质量，超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，结果第一个，第二个，第三个，第四个，则抽查的这四个零件中，质量最好的零件是（   ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 35．下面说法正确的有（    ） （1）互为相反数的两数的绝对值相等； （2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数； （3）若，则； （4）若，则． A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4） 36．在活动课上，名同学用橡皮泥各做了个乒乓球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表所示： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 (1)哪些同学做的乒乓球是符合要求的？ (2)在符合要求的乒乓球中，哪名同学做的质量最好？这名同学中，哪名同学做的质量最差？ (3)请你对这名同学按照做的乒乓球质量从最好到最差排名； (4)请你用学过的绝对值知识来说明解答以上问题的依据． 题型十 绝对值的化简求值（共5小题） 37．若，则 ；若，则 ；若，则 ． 38．化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4) 39．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 40．已知 ，且，，． (1)在数轴上标出a、b、、的大致位置； (2)用“”将a、b、、连接起来． 41．已知有理数a，b，c在数轴上的位置：a在原点左边，b在原点右边但是靠近原点，c在b右边更远的位置，化简：． 题型十一 与数轴有关的新定义问题（共4小题） 42．材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．    初步感知： (1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______； (2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系． 拓展运用： (3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立． 43．定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 44．对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7． (1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝　 　，d2（点D，线段AB）＝　 　； (2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值． 45．已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的突点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的突点，点是的突点． (1)如图，数轴上点，表示的数分别为，，若点是的突点，则点表示的数是______；若点是的突点，则点表示的数是______； (2)如图，为数轴上两点，它们表示的数分别为，10，若点向数轴的负方向以每秒个单位长度运动,，同时点向数轴的正方向以每秒个单位长度运动，假设运动时间为秒，求使得原点是的突点的值；若不存在，请说明理由． 题型十二 运用绝对值求范围与最值（共5小题） 46．已知实数a，b满足，且，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 47．请解答下列问题： ①当代数式取最小值时，的取值范围是 ，最小值为 ． ②求的最小值为 ． 48．设由1到6的六个自然数写成的序列是，则的最大值是 ． 49．已知对一切实数恒成立，则实数a的取值范围是 ． 50．已知为有理数，记，当的值变化时，的值随之变化，若的值最小，则 ． $