专题06 全等三角形常见模型专练（11大题型）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材华东师大版

专题06 全等三角形常见模型专练（11大题型） 题型1 全等三角形常考模型之“连接两点构造全等” 题型2 全等三角形常考模型之“角平分线的性质+截取等边构造全等” 题型3 全等三角形常考模型之“延长边+垂直构造直角三角形” 题型4 全等三角形常考模型之“延长直角边构造全等三角形” 题型5 全等三角形常考模型之“倍长中线模型” 题型6 全等三角形常考模型之“一线三垂直模型” 题型7 全等三角形常考模型之“一线三等角模型” 题型8 全等三角形常考模型之“截长补短模型” 题型9 全等三角形常考模型之“旋转模型” 题型10 全等三角形常考模型之“手拉手模型” 题型11全等三角形常考模型之“作垂线等平行构造全等三角形” 题型一 全等三角形常考模型之“连接两点构造全等”（共8小题） 1．(24-25八上·陕西西安蓝田县·期末)如图，在四边形中，，，且，，则线段的长为（　　） A． B．4 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，得到是解答本题的关键． 连接，证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：C． 2．(25-26八上·江苏如皋外国语初级中学·期中)如图，已知，，与交于点D，则对于下列结论：①；②；③D在的平分线上．其中正确的是 （    ） A．① B．② C．①和② D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．直接利用定理即可判断①正确；先根据全等三角形的性质可得，再利用定理即可判断②正确；连接，证出，由此即可判断③正确． 【详解】解：在和中， ， ，结论①正确； ， ∵，， ，即， 在和中， ， ，结论②正确； 如图，连接， ， ， 在和中， ， ， ， 即在的平分线上，结论③正确； 综上，正确的是①②③． 故选：D． 3．(24-25八上·湖南岳阳华容县·期末)如图，正五边形内接于圆O，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握正多边形的内角求解公式是解题的关键． 连接，可得，则，而，即可求解． 【详解】解：连接， ∵正五边形内接于圆O ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：B． 4．(24-25八上·河南项城第四初级中学·月考)如图，中，的平分线交于点，过点作，垂足分别为．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先证明得到，再同理得到，，最后根据得到 ，，据此列方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵的平分线交于点， ∴平分，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 5．(24-25八上·山西运城盐湖区·期末)如图1，四边形中，．小文同学以图1中的四边形为“基本图形”，无缝隙、无重叠的拼成了如图2所示的图案，其外围轮廓恰好是一个正十边形，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形内角和，全等三角形的判定和性质． 根据题意可知，求出，根据正多边形内角和求出，连接，可知，进而求出，，即可求出的度数． 【详解】解：由题意可知， 解得， ∵外围轮廓恰好是一个正十边形， ∴， 如图，连接， ∵ ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．(24-25八上·江苏宿迁沭阳县·期中)如图，在的斜边上截取，过点作交于点．若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．先证明，从而推出，最后利用求得答案． 【详解】解：连接，如图， ，，， ， ， ，， ， ∴． 故答案为：3． 7．(24-25八上·山西吕梁交城县·其中)如图，在长方形中，点E是的中点，将沿着折叠得到，延长交于点G，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，直角三角形全等的判定和性质，连接，证明，结合折叠前后对应边相等，可得，由此可解． 【详解】解：如图，连接， 在长方形中，点E是的中点， ，， 将沿着折叠得到， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 8．(24-25上·江苏淮安名校（文通，开明实验，淮文，涟水外国语，盱眙一中）联盟·期中)如图，在长方形中，是的中点，将折叠后得到，点在矩形内部．延长交于点，若，，则折痕的长为 ． 【答案】 【来源】江苏省淮安市名校（文通，开明实验，淮文，涟水外国语，盱眙一中）联盟2024—2025学年上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，先证明，得到，设，则有，，在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可得到的长，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：连接， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∵是的中点， ∴， ∵将折叠后得到， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ，， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 题型二 全等三角形常考模型之“角平分线的性质+截取等边构造全等”（共7小题） 1．(24-25八上·陕西咸阳永寿县马坊中学·期中)如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查最短路线问题，解答中涉及垂线段最短，能够根据相关知识得到的最小值为的长是解题的关键． 在上截取，连接，，证明，得到，由此得到，当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时，过点C作交于点F，根据面积求出的长即可解决问题． 【详解】解：在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时， 如图，过点C作交于点， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 2．(24-25八上·福建厦门集美区·期中)如图，平分，点在上，点在上，，，．若点在上，且，则的长度为 ． 【答案】3或5 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，含30度的直角三角形，解题的关键是掌握角平分线的性质．过点作于点，作于点，则，根据角平分线的定义可得，证明，再分两种情况讨论：①当点在上时；②当点在延长上时，通过，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点， 则， 平分， ， 又 ， ， ， ①如图，当点在上时， ，， ， ， ， 即， ②如图，当点在延长上时， ， ， 同理可证， ， ， ， 综合可知，的长度为3或5， 故答案为：3或5． 【点睛】，． 3．(24-25八上·福建泉州丰泽区·期中)如图，在中，平分交于点，，，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 在上截取，连接，则，证明和全等得，，进而可证明，据此得． 【详解】在上截取，连接，如图所示： ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 故答案为：5． 4．(24-25九上·广东佛山南海区桂城街道·期中)如图，在中，分别以B、C两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于M、N，连接交的平分线于点D，过点D作，F为垂足，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，根据基本作图，得直线是线段的垂直平分线，利用全等三角形的性质，垂直平分线的性质，角的平分线性质解答即可． 本题考查了全等三角形的性质，垂直平分线的性质，角的平分线性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】连接，根据基本作图，得直线是线段的垂直平分线， ∴， 过点D作于点G， ∵，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． ∴， 设， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得， 故． 故答案为：． 5．(24-25八上·贵州黔南布依族苗族·期末)如图，在中，，且点在外，且点在的垂直平分线上，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和含角直角三角形的性质，解题时要熟知等腰三角形的两个底角相等，需要作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的对应角相等．过作，交的延长线于，过作于，证明和，得，求出的度数，则根据等腰三角形的内角和，可求出的度数． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于，过作于， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 6．(24-25七下·河北张家口桥西区·期末)在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连结、，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键． 【详解】解：∵点是边的中点，， ∴， 在上取点，使得， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，，，（），与交于点，与交于点，连接．当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】根据，分两种情况讨论：当时，当时，设，过点作，垂足分别为，得出在的角平分线线上，进而根据三角形内角和定理，三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，当时，是等腰三角形， 设，过点作，垂足分别为， ∵， ∴对应边上的高相等，即， ∴在的角平分线上， ∵是的外角， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 如图所示，当时，是等腰三角形， 设 同理可得, ∴ ∵ ∴ 解得： ， 由于，不存在的情形， 综上所述，的度数为，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型三 全等三角形常考模型之“延长边+垂直构造直角三角形”（共6小题） 1．(24-25八下·江苏南京树人学校·月考)如图，点是等边三角形内一点，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理及其逆定理，作等边三角形，连接，作交的延长线于点N，证明得证明是直角三角形，得由勾股定理求出即可． 【详解】解：作等边三角形，连接，作交的延长线于点N， ∵为等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ 又 ∴, ∴是直角三角形，且 ∴ 在中， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∵ 故答案为：． 2．(24-25八下·河北保定高碑店·月考)如图，在等腰中，，是边的中点，过点作，连接．若，，则的度数为 ． 【答案】/77度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，过点A作交延长线于F，则可得到，进而得到，再证明得到的度数，进而求出的度数，据此可求出的度数． 【详解】解：如图所示，过点A作交延长线于F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．(24-25八上·广东佛山南海区翰林实验学校·期中)如图，在中，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质．延长交于点，作与点，利用角平分线的定义可证，可推出，，再根据三角形面积可求得，从而得到，最后利用三角形中线的性质可知，即可求得答案． 【详解】解：延长交于点，作与点，如图所示， ，是的角平分线， ，， 在和中， ， ， ，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．(24-25八上·江苏苏州工业园区金鸡湖学校·月考)如图，四边形中，，，，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，作，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】解：过点D作，交的延长线于点H， ， ∴， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 的面积， 故答案为：． 5．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末)如图，在中，，过点C作，且，连接， ，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法、三角形面积公式是解题的关键．过点D作交延长线于点M，证明（），则，所以，即可求． 【详解】解：过点D作交延长线于点M， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∴， 故答案为3． 6．(24-25八上·陕西西安曲江一中·期中)如图，在中，，，过点作，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，过点作交延长线于点，构造一线三垂直全等三角形是解决本题的关键，再根据三角形的面积公式计算即可求解； 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， ∵，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 故答案为：． 题型四 全等三角形常考模型之“延长直角边构造全等三角形”（共4小题） 1．(24-25八上·上海青浦区·期末)如图，点为内一点，平分，，连接，如果的面积为，那么的面积为 ．（用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质；延长交于点，证明得出，进而根据三角形中线的性质，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵的面积为， ∴的面积为 故答案为：． 2．(24-25八上·山东济南历下区·期中)如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积；延长交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，由三角形的中线得，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积的求法是解题的关键． 【详解】解：延长交于， 是的角平分线，， ， ， ， （）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．(24-25八上·河北保定莲池区·期末)如图，D是内一点，且平分，连接，若的面积为9，那么的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积． 延长交于点，证明，得到，和是等底等高的三角形，进而得到，即可求解． 【详解】解：延长交于点， 平分，， ，， 在和中， ， ， ，， 和是等底等高的三角形， ， ， 故答案为：． 4．(24-25八上·湖南永州冷水滩区京华中学·期中)如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．延长交于点，根据题意，证，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出． 【详解】解：如图所示，延长，交于点， ， ， ∵是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∵和同底等高， ， ， ， 故答案为： ． 题型五 全等三角形常考模型之“倍长中线模型”（共6小题） 1．(25-26八上·湖北武汉名校·期中)在中，，边，则中线的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系．熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； 延长到E，使，连接，证明，推出，再根据三角形的三边关系定理求解． 【详解】如图，延长到E，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， 又， 由三角形三边关系可得， 又， ． 故答案为：． 2．(24-25八上·山东德州第九中学·月考)如图，，，是边上的中线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，延长到E，使，由“”可证和全等，可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解． 【详解】解：如图，延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 3．(24-25八上·广东佛山南海区桂城街道·期末)如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查三角形中线的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 延长到点，使，连接，则，而，即可根据“”证明 ，得，，因为，，，所以，，推导出，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长到点，使，连接， 在中，为边的中线， ， 在和中， ， ， ，， 为上一点，连接并延长交于点，，，， ，， ， ， ， 故答案为：． 4．(24-25七·宁夏银川第三十八中学·期末)【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） 【答案】（1），（2）见解析，（3）18 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得 ， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3，由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． 5．综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 【答案】（1）C；（2）；（3）5 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长到M，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 6．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C． D． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，则的取值范围是______． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点E、F分别在上，且．试说明：． 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析 【分析】本题考查全等三角形中的倍长中线模型，掌握通过延长中线构造全等三角形的方法是解题的关键． （1）延长至点E，使，利用“边角边”可证； （2）延长到H，使，同（1）可证，再利用三角形三边关系求解； （3）延长到K，使，连接，依次证明，，再利用三角形三边关系求解． 【详解】（1）解：延长至点E，使，连接，如图1所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B； （2）解：延长到H，使，连接，如图2所示： ∴， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ∴， ∴， ∴， 故选：C； （3）证明：延长到K，使，连接，如图3所示： ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中，， ∴，. ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ∵， ∴． 题型六 全等三角形常考模型之“一线三垂直模型”（共7小题） 1．(25-26八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·期中)如图，中，，分别过点B、C作过点A的直线的垂线，垂足分别为D、E，若，则 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．首先证明，然后再根据定理证明，根据全等三角形的性质可得，，进而得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：7 2．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·月考)如图，且，且，点、、共线，并且点、、到直线的距离分别为5，2，1，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形全等的性质与判定，分别过点作的垂线，分别交直线于点，证明，，结合梯形面积公式及三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：分别过点作的垂线，分别交直线于点， 则， ∵，，， ∴，，， ∴， 在与中， ∴， ∴，，， 同理可得：， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 3．(24-25八上·北京第五十中学·期中)如图，中，，，分别过点作过点的直线的垂线，垂足分别为，，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，首先证明，然后再根据定理证明，根据全等三角形的性质可得，，进而得到答案，掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．(24-25八上·河南洛阳东升第二初级中学·月考)如图，，，，，垂足分别为，，，，则的长是 ． 【答案】1 【分析】先根据证明，则可得，，求出的长，则可知的长． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 5．(24-25八上·广东深圳龙华·期末)如图，中，，，为平面上一点，，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 过点作于点，证明和全等得，再根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为：． 故答案为：． 6．(24-25八上·江西景德镇·期末)如图，在中，，，，一直线经过点，动点从点出发沿路径向终点运动，动点从点出发沿路径向终点运动，点，分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过点，作，作于点，于点那么点运动 秒时，． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据题意分两种情况讨论，即在上以及在上两种情况，根据全等三角形的性质结合题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：当在上，在上时，如图 ∵ ∴ ∴ 解得： ∵运动到点需要的时间为， ∴当在上，在上时，如图，此时点已经停止运动，继续运动， ∵ ∴ ∴ 解得： 综上所述，点运动或秒时， 故答案为：或． 7．(25-26八上·上海位育中学·月考)如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以、为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．过点E作于点H，先证明，得到，结合题意可推得，再证明，可得，即得答案． 【详解】解：过点E作于点H， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：5． 题型七 全等三角形常考模型之“一线三等角模型”（共5小题） 1．(24-25八上·上海中国中学·月考)如图，在中，，，，若，则 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，先利用判定，从而得出对应角相等，再利用角与角之间的关系从而求得所求的角为，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 【详解】解：在中，， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．(24-25八上·山东烟台莱阳（五四制）·期末)如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， ，， ∴，， 解得，； ②当时， ，， ∴，， 解得，， 综上所述，的值是1或， 故答案为：1或． 3．(24-25八上·湖北宜昌宜都·期末)如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，则的长是 ． 【答案】9 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是证明三角形全等． 证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 4．(24-25八上·重庆綦江区·期末)通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)1012 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； （2）证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，， 由（2）知：点是的中点， 得， ， ， 即， ， 的值为1012． 5．如图（1），，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点在线段上由点B向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，或，． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系； （2）分，两种情况，根据全等三角形的性质列式计算． 【详解】（1）解：，理由如下： 当时，， 则， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． ， ； （2）当，或，时，与全等，理由如下： 若 ， 则，， ， 解得，， 则． 若 ， 则，， 则， 解得，， 则， 故当，或，时，与全等． 题型八 全等三角形常考模型之“截长补短模型”（共5小题） 1．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·期中)如图，在直角三角形中，，D在边上，E在边上，且，则 ． 【答案】5 【分析】在上截取，连接，先根据三角形的外角性质和直角三角形锐角互余证明，再根据全等三角形的性质证明，最后由求解即可． 【详解】解：在上截取，连接， 设，则由题意得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．(24-25八上·广东省深圳市·期中)如图，中，，点为的中点，交于． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等即可证明． （2）如图中，在线段上截取，连接，证明，再证明，即可证明． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型． 【详解】（1）证明：如图，设与相交于点， ， ， ， ， ，， ． （2）证明：如图，在线段上截取，连接． 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 3．(24-25八上·陕西西安高陵区·期中)如图1，在中，，的平分线BD，CE相交于点O． (1)试说明． (2)如图2，． ①的度数为__________； ②猜想的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析． (2)①，②，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，，再根据三角形内角和定理即可得出结论； （2）①先根据求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，根据三角形内角和定理即可得出答案； ②在边上截取，连接，只要证明，可得即可证明． 【详解】（1）解：∵分别为角平分线， ∴， ； （2）解：①， ， ∵分别为，角平分线， ∴， ； 故答案为：； ②，理由如下： 在边上截取，连接，如图： 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； ∴， ∴． 4．在中，． (1)如图1，当是的内角平分线时，交于点P，求证：； (2)如图2，当是的外角平分线时，连结和，猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理及其性质以及三角形三边的关系，解题的关键是作出合理的辅助图． （1）如图所示，在上取点D，使，证明出，得到，，然后利用三角形三边关系求解即可； （2）延长至点E，使，连接，求证，得出，再利用三角形三条边的关系即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，在上取点D，使 ∵是的内角平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴； （2）解：．理由如下： 如图所示，延长至点E，使，连接． 是的外角平分线， ． 在和中， ， ． ． 在，． ∴， ，， ． 5．(24-25八上·湖南吉首雅思实验学校·期末)如图，为等边三角形，在内作射线 ，点B关于射线的对称点为D，连接，作射线交于点E，连接． (1)依题意补全图形； (2)设，求的度数（用含的式子表示）； (3)判断，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析． 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）先得出，，再得出，，进而得出，，求出，即可得出结论； （3）如图2，在上取一点F，使，先判断出是等边三角形，得出，，再判断出，得出，即可得出结论； 【详解】（1）解：补全图形如图1所示： （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点B关于射线的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）； 证明：如图2，在上取一点F，使， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了对称性，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解（3）的关键． 题型九 全等三角形常考模型之“旋转模型”（共5小题） 1．(24-25八上·湖北武汉华一寄宿中学·期末)如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 2．实验班限制 如图，在中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则旋转角为 °． 【答案】60 【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是本题的关键．先结合平移的性质得，根据旋转性质得，运用有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形，得是等边三角形，即，进行作答． 【详解】解：∵，将沿射线的方向平移，得到， ∴， ∵将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即旋转角为， 故答案为：． 3．(24-25八上·江苏南通启秀中学·月考)（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的结论不成立，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型． （1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长到G，使，连接．在和中，已知了一组直角，，，因此两三角形全等，可得，，进而得．由此可证，即可得，进而可得结论． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】解：（1）延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴． ∵在与中， ， ∴， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， ． 4．(24-25八上·贵州黔东南苗族侗族·期末)【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍成立，理由见解答过程；（3）．理由见解答过程． 证明见解析 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）根据可判定，进而得出，，再根据判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先根据判定，进而得出，，再根据判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先根据判定，再根据判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，延长到点，使，连接， ， ， 又， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 即， ； 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ； （3）． 证明：如图3，延长到点，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 5．(24-25八上·山东济南莱芜区·期末)在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）证即可求解； （3）证即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：， ∵，， ∴ ∵，， 故答案为： （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， 即：， 在和中，， ； （3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下： 如图所示： ， ， 即：， 在和中，， 又， ． 题型十 全等三角形常考模型之“手拉手模型”（共5小题） 1．(25-26八上·湖南长沙师大附中梅溪湖中学·月考)如图，在等腰和等腰中．且，，．连接，，交于点．以下五个结论：；若，则；；平分，平分，其中结论一定正确的有 ．（写序号） 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的性质与判定．利用可证，根据全等三角形的性质可证 正确； 由全等三角形对应角相等，可知，根据对顶角相等，可知，根据三角形内角和定理可知，所以不成立；根据全等三角形的性质可知，根据三角形外角的性质可知，所以只有当点、、三点共线时， 成立，点、、不共线，则不成立；过点作，，根据全等三角形的性质可知，根据到角两边的距离相等的点在角平分线上，可知平分；无法证明，所以无法证明平分． 【详解】解：， ， ， 在和中，， ， ， 故正确； 当时，和均为等边三角形， ， 如下图所示， 由可知， ， 在和中，， ， 与不垂直， 故错误； 由可知， ， ， 如下图所示， 在中，， 只有当点、、三点共线时， 成立， 点、、不共线，则不成立， 故错误； 如下图所示，过点作，， 由可知， ， 平分， 故正确； 由可知， 又， ， ， 在和中，只有当时，， 没有理由能判断， 故错误． 综上所述，正确的有． 故答案为：． 2．(23-24九上·湖北武汉新洲区·期末)如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查了全等三角形中的旋转模型，掌握旋转的相关性质是解题关键． （1）推出，即可求证； （2）旋转角为旋转前后对应线段形成的角度，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， ，， ； （2）解：由题意可得：旋转中心是点， 旋转角为或， ∴旋转角的度数为． 故答案为：， 3．【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”，如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图1，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为 　 　；线段BE与AD之间的数量关系是 　 　． 【模型应用】 （2）如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD； （3）如图3，P为等边△ABC内一点，且PA：PB：PC＝3：4：5，以BP为边构造等边△BPM，这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连接CM，求∠APB的度数是 　 　． 【拓展提高】 （4）如图4，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图5，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，两线交于点P，请证明BD和CE的数量关系和位置关系． （6）如图6，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长． 【深化模型】 （7）如图7，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④BO＝OE；⑤∠AOB＝60°，恒成立的结论有　 　． 【答案】（1）60°，AD=BE，（2）证明见详解；（3）150°；（4）∠EAF= =；（5）BD⊥CE，证明见详解；（6）BD=；（7）①②③⑤． 【分析】（1）由△ACB和△DCE均为等边三角形，可证△ACD≌△BCE(SAS )，可得∠ADC=∠BEC，AD=BE，由点A、D、E在同一条直线上，可求∠AEB=60°即可； （2）连结AC，在BD上截取DE=DC，由∠BDC＝60°，可证△DEC为等边三角形，可得EC=EC，由AB＝BC，∠ABC＝60°，可证△ABC为等边三角形，可证△ADC≌△BEC（SAS），可得AD=BE即可； （3）由PA：PB：PC＝3：4：5，设PA=3m，PB=4m，PC=5m，由△ABC与△BPM都是等边三角形，可证△ABP≌△CBM（SAS），可得AP=CM=3m，∠APB=∠CMB，由PM=BP=4m,可证△PMC为直角三角形，且∠PMC=90°即可； （4）将△AEB绕着点A逆时针旋转m°得△AGC，连结EG，FG ，延长ED到M，使DM=ED，连结FM，CM，先证△EDB≌△MDC（SAS），再证△GCF≌△MCF（SAS），最后证△AEF≌△AGF（SSS），可得∠EAF=∠GAF=； （5）由两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，可证△DAB≌△EAC（SAS），可得∠DBA=∠ECA，再求∠BPC=90°即可； （6）将DA绕着点A顺时针旋转90°得EA，连结DE，CE，可证△EAC≌△DAB（SAS），可得EC=DB，由DA=EA=4，∠EAD=90°，可求∠EDA=45°，DE=可证∠EDC=90°，根据勾股定理求即可； （7）等边△ABC和等边△CDE，可证△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，故①AD＝BE正确；证△ACP≌△BCQ（ASA），可得CP=CQ，可证△PCQ为等边三角形，可得∠QPC=60°=∠BCA，故②PQ∥AE正确；③CP＝CQ正确；由∠OBP=∠PAC，∠BPO=∠APC，可得∠BOP=∠PCA=60°即∠AOB=60°，故⑤∠AOB＝60°，用举反例法可证点O不是BE中点，故④BO＝OE不恒成立． 【详解】解：（1）△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=∠CED=60°， ∵∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE=60°， ∴∠ACD =∠BCE， ∴△ACD≌△BCE(SAS )， ∴∠ADC=∠BEC，AD=BE， ∵点A、D、E在同一条直线上， ∴∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=180°-60°=120° ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°， 故答案为：60°，AD=BE， （2）连结AC，在BD上截取DE=DC， ∵∠BDC＝60°， ∴△DEC为等边三角形， ∴EC=DC， ∵AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴BC=AC， ∵∠BCE+∠ECA=∠ACD+∠ECA=60°， ∴∠BCE =∠ACD， ∴△ADC≌△BEC（SAS）， ∴AD=BE， ∴DB=BE+ED=AD+CD， ∴AD+CD＝BD； （3）∵PA：PB：PC＝3：4：5， 设PA=3m，PB=4m，PC=5m， ∵△ABC与△BPM都是等边三角形， ∴AB=CB，BP=BM，∠ABC=∠PBM=60°=∠PMB， ∴∠ABP+∠PBC=∠CBM+∠PBC=60°， ∴∠ABP =∠CBM， ∴△ABP≌△CBM（SAS）， ∴AP=CM=3m，∠APB=∠CMB， ∵PM=BP=4m， 在△PMC中，， ∴△PMC为直角三角形，且∠PMC=90°， ∴∠CMB=∠PMB+∠PMC=60°+90°=150°， ∴∠APB=∠CMB=150°， 故答案为150°； （4）将△AEB绕着点A逆时针旋转m°得△AGC，连结EG，FG ，延长ED到M，使DM=ED，连结FM，CM， ∵D为BC中点， ∴BD=CD，∠EDB=∠MDC，EM=DM， ∴△EDB≌△MDC（SAS）， ∴BE=CM，∠EBD=∠DCM， ∵∠ACF=∠EBA， ∴∠ACF-∠ACG=∠EBC-∠EBA=∠ABC=∠ACB， ∵∠ACG+∠GCD=∠DCF+∠GCD， ∴∠ACG=∠DCF， ∴∠FCM+∠DCF=∠GCF+∠ACG， ∴∠GCF=∠MCF，GC=MC，FC=FC， ∴△GCF≌△MCF（SAS）， ∴FG=FM， ∵ED⊥FD，ED=MD， ∴FE=FM=FG， ∵EA=GA，EF=GF，AF=AF， ∴△AEF≌△AGF， ∴∠EAF=∠GAF=； （5）∵两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠DAE+∠EAB=∠EAB+∠BAC， ∴∠DAB=∠EAC， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴∠DBA=∠ECA， ∵∠ABC+∠PCB+∠ACE=90°， ∴∠ABC+∠PCB+∠DBA=90°即∠PBC+∠PCB=90°， ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-90°=90°， ∴BD⊥CE； （6）将DA绕着点A顺时针旋转90°得EA，连结DE，CE， ∵∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC， ∴∠EAC=∠DAB，EA=DA，CA=BA， ∴△EAC≌△DAB（SAS）， ∴EC=DB， ∵DA=EA=4，∠EAD=90°， ∴∠EDA=45°，DE=， ∵∠CDA=45°， ∴∠EDC=∠EDA+∠CDA=45°+45°=90°， 在Rt△EDC中，EC=， ∴BD=； （7）∵等边△ABC和等边△CDE， ∴AC=BC ，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°， ∴∠ACD=180°-∠DCE=180°-60°=120°，∠BCE=180°-∠BCA=180°-60°=120° ∴∠ACD=∠BCE，AC=BC ，CD=CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE，故①AD＝BE正确； ∵△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠DAC=∠EBC， ∵∠BCQ=∠ACD-∠ACB=120°-60°=60°， ∴∠ACP=∠BCQ=60°，AC=BC， ∴△ACP≌△BCQ（ASA）， ∴CP=CQ， ∴△PCQ为等边三角形， ∴∠QPC=60°=∠BCA， ∴PQ∥AE，故②PQ∥AE正确；③CP＝CQ正确； ∵∠OBP=∠PAC，∠BPO=∠APC， ∴∠BOP=∠PCA=60°， ∴∠AOB=60°，故⑤∠AOB＝60°， ， 取AC=4，CE=2， 点B（2,2），D（5，）， OD解析式：， BE解析式：， ， 解得， ， ∴， 解得， ∵2×≠2， ∴点O不是BE中点， 故④BO＝OE不恒成立； 正确的结论有①②③⑤． 【点睛】本题考查等边三角形性质，图形旋转变换，三角形全等判定与性质，勾股定理，一次函数，掌握等边三角形性质，图形旋转变换，三角形全等判定与性质，勾股定理，一次函数，利用辅助线画出准确图形是解题关键． 4．(24-25八上·浙江宁波江北区宁波大学青藤书院·期中)（1）如图①，已知，以、为边向外分别作等边和等边，连接，．试探究与的数量关系，并说明理由． 问题探究： （2）如图②，四边形中，，，，，求BD的长． 问题解决： （3）如图③，中，，，是一个变化的角，以为边向外作等边，连接，试探究，随着的变化，的长是否存在最大值？若存在，求出长的最大值及此时的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2）120；（3）存在，的最大值为5，此时． 【分析】（1）求出，证明，可得结论； （2）如图②中，以为边向外作等腰直角，证明 ，推出，利用勾股定理求出即可； （3）存在，如图③中，以为边向外作等边，连接，证明，推出，可得结论． 【详解】解：（1）． 理由：∵，都是等边三角形， ∴ ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）如图②中，以AB为边向外作等腰直角，，连接． ∵， ∴， 在和中，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， ∴； （3）存在．如图③中，以为边向外作等边，连接． ∵，都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当A，C，F共线时，的值最大，最大值为5， ∴的最大值为5，此时． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 5．(24-25八上·浙江绍兴诸暨浣江初级中学·月考)【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明． 【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算； 【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，则CD＝　 　． 【答案】（1）BD＝CE；（2）BD2＝54；（3）8 【分析】（1）首先根据等式的性质证明∠EAC=∠BAD，则根据SAS即可证明△EAC≌△BAD，根据全等三角形的性质即可证明； （2）在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC，证明△EAC≌△BAD，证明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解； （3）先证明△ABC是等边三角形，再把△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE，则可得△CDE是等边三角形，再证△BDE是直角三角形，运用勾股定理求出DE的长，从而可得CD的长． 【详解】解：（1）BD＝CE．理由是： ∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD， 在△EAC和△BAD中， ， ∴△EAC≌△BAD， ∴BD＝CE； （2）如图2，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、EB、EC． ∵∠ACD＝∠ADC＝45°， ∴AC＝AD，∠CAD＝90°， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD， 在△EAC和△BAD中， ， ∴△EAC≌△BAD， ∴BD＝CE． ∵AE＝AB＝5， ∴BE＝，∠ABE＝∠AEB＝45°， 又∵∠ABC＝45°，   ∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°， ∴， ∴ ． （3）如图， ∵AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， 把△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE， 则BE＝AD，△CDE是等边三角形， ∴DE＝CD，∠CED＝60°， ∵∠ADC＝30°， ∴∠BED＝30°+60°＝90°， 在Rt△BDE中，DE＝＝＝8，   ∴CD＝DE＝8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确理解题目之间的联系，构造全等三角形是解决本题的关键． 题型十一 全等三角形常考模型之“作垂线得平行构造全等三角形”（共6小题） 1．(25-26八上·重庆南开中学校·期中)如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．(24-25七下·浙江杭州·期末)如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则 ． 【答案】3或7 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．分两种情况讨论，当为线段上时，作于点，证明，求得，，，再证明，求得，即可求解的长；当为线段上时，同理求解即可． 【详解】解：当为线段上时，作于点， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 当为线段上时，作交延长线于点， 同理， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为3或7． 故答案为：3或7． 3．(24-25八上·河北承德·期中)如图，过边长为2的等边的边上点作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则长为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．过做的平行线至于，通过求证和全等，推出，再通过证明是等边三角形和，推出，即可推出，可得，即可推出的长度． 【详解】解：过做的平行线至于， ， 等边， ，， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， ． 故答案为1． 4．(24-25七下·江苏盐城三校联考5月·月考)如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 【答案】6或3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键． 先证明，得出，①当点E在射线上移动时，，即可求出E移动了；②当点E在射线上移动时，，即可求出E移动了． 【详解】解：∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ①如图，当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； ②当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； 综上所述，当点E在射线上移动或时，； 故答案为：6或3． 5．(24-25八上·辽宁沈阳第七中学·期中)如图所示，在中，，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，分情况根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：①点B在上时，作，交的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 根据题意知，， 设，则， ∴， ∴, ∴； ②如图，点B在的延长线上，作于M， 用①中同样的解法可以得到， 设， ∴, ∴． 故答案为：3或． 6．(24-25八上·福建泉州南安·期末)如图，在中，，AD是中线，若，于点F，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．过点B作于H，延长至E，使，连接，利用AAS证明，，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：过点B作于H，延长至E，使，连接， ， ，， ， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 全等三角形常见模型专练（11大题型） 题型1 全等三角形常考模型之“连接两点构造全等” 题型2 全等三角形常考模型之“角平分线的性质+截取等边构造全等” 题型3 全等三角形常考模型之“延长边+垂直构造直角三角形” 题型4 全等三角形常考模型之“延长直角边构造全等三角形” 题型5 全等三角形常考模型之“倍长中线模型” 题型6 全等三角形常考模型之“一线三垂直模型” 题型7 全等三角形常考模型之“一线三等角模型” 题型8 全等三角形常考模型之“截长补短模型” 题型9 全等三角形常考模型之“旋转模型” 题型10 全等三角形常考模型之“手拉手模型” 题型11全等三角形常考模型之“作垂线等平行构造全等三角形” 题型一 全等三角形常考模型之“连接两点构造全等”（共8小题） 1．(24-25八上·陕西西安蓝田县·期末)如图，在四边形中，，，且，，则线段的长为（　　） A． B．4 C．3 D． 2．(25-26八上·江苏如皋外国语初级中学·期中)如图，已知，，与交于点D，则对于下列结论：①；②；③D在的平分线上．其中正确的是 （    ） A．① B．② C．①和② D．①②③ 3．(24-25八上·湖南岳阳华容县·期末)如图，正五边形内接于圆O，连接，，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·河南项城第四初级中学·月考)如图，中，的平分线交于点，过点作，垂足分别为．若，则 ． 5．(24-25八上·山西运城盐湖区·期末)如图1，四边形中，．小文同学以图1中的四边形为“基本图形”，无缝隙、无重叠的拼成了如图2所示的图案，其外围轮廓恰好是一个正十边形，则的度数为 ． 6．(24-25八上·江苏宿迁沭阳县·期中)如图，在的斜边上截取，过点作交于点．若，，则的长为 ． 7．(24-25八上·山西吕梁交城县·其中)如图，在长方形中，点E是的中点，将沿着折叠得到，延长交于点G，若，，则的长为 ． 8．(24-25上·江苏淮安名校（文通，开明实验，淮文，涟水外国语，盱眙一中）联盟·期中)如图，在长方形中，是的中点，将折叠后得到，点在矩形内部．延长交于点，若，，则折痕的长为 ． 题型二 全等三角形常考模型之“角平分线的性质+截取等边构造全等”（共7小题） 1．(24-25八上·陕西咸阳永寿县马坊中学·期中)如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为 ． 2．(24-25八上·福建厦门集美区·期中)如图，平分，点在上，点在上，，，．若点在上，且，则的长度为 ． 3．(24-25八上·福建泉州丰泽区·期中)如图，在中，平分交于点，，，，则的长为 ． 4．(24-25九上·广东佛山南海区桂城街道·期中)如图，在中，分别以B、C两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于M、N，连接交的平分线于点D，过点D作，F为垂足，若，则的长为 ． 5．(24-25八上·贵州黔南布依族苗族·期末)如图，在中，，且点在外，且点在的垂直平分线上，连接，若，，则的度数为 ． 6．(24-25七下·河北张家口桥西区·期末)在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连结、，则的最大值是 ． 7．如图，，，（），与交于点，与交于点，连接．当为等腰三角形时，的度数为 ． 题型三 全等三角形常考模型之“延长边+垂直构造直角三角形”（共6小题） 1．(24-25八下·江苏南京树人学校·月考)如图，点是等边三角形内一点，若，，，则 ． 2．(24-25八下·河北保定高碑店·月考)如图，在等腰中，，是边的中点，过点作，连接．若，，则的度数为 ． 3．(24-25八上·广东佛山南海区翰林实验学校·期中)如图，在中，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ． 4．(24-25八上·江苏苏州工业园区金鸡湖学校·月考)如图，四边形中，，，，则的面积为 ． 5．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末)如图，在中，，过点C作，且，连接， ，则的长为 ． 6．(24-25八上·陕西西安曲江一中·期中)如图，在中，，，过点作，且，则的面积为 ． 题型四 全等三角形常考模型之“延长直角边构造全等三角形”（共4小题） 1．(24-25八上·上海青浦区·期末)如图，点为内一点，平分，，连接，如果的面积为，那么的面积为 ．（用含的式子表示） 2．(24-25八上·山东济南历下区·期中)如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为 ． 3．(24-25八上·河北保定莲池区·期末)如图，D是内一点，且平分，连接，若的面积为9，那么的面积是 ． 4．(24-25八上·湖南永州冷水滩区京华中学·期中)如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于 ． 题型五 全等三角形常考模型之“倍长中线模型”（共6小题） 1．(25-26八上·湖北武汉名校·期中)在中，，边，则中线的取值范围是 ． 2．(24-25八上·山东德州第九中学·月考)如图，，，是边上的中线，则的取值范围是 ． 3．(24-25八上·广东佛山南海区桂城街道·期末)如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 4．(24-25七·宁夏银川第三十八中学·期末)【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） 5．综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 6．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C． D． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，则的取值范围是______． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点E、F分别在上，且．试说明：． 题型六 全等三角形常考模型之“一线三垂直模型”（共7小题） 1．(25-26八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·期中)如图，中，，分别过点B、C作过点A的直线的垂线，垂足分别为D、E，若，则 ． 2．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·月考)如图，且，且，点、、共线，并且点、、到直线的距离分别为5，2，1，则四边形的面积为 ． 3．(24-25八上·北京第五十中学·期中)如图，中，，，分别过点作过点的直线的垂线，垂足分别为，，，则 ． 4．(24-25八上·河南洛阳东升第二初级中学·月考)如图，，，，，垂足分别为，，，，则的长是 ． 5．(24-25八上·广东深圳龙华·期末)如图，中，，，为平面上一点，，若，则的面积为 ． 6．(24-25八上·江西景德镇·期末)如图，在中，，，，一直线经过点，动点从点出发沿路径向终点运动，动点从点出发沿路径向终点运动，点，分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过点，作，作于点，于点那么点运动 秒时，． 7．(25-26八上·上海位育中学·月考)如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以、为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为 ． 题型七 全等三角形常考模型之“一线三等角模型”（共5小题） 1．(24-25八上·上海中国中学·月考)如图，在中，，，，若，则 度． 2．(24-25八上·山东烟台莱阳（五四制）·期末)如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为 ． 3．(24-25八上·湖北宜昌宜都·期末)如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，则的长是 ． 4．(24-25八上·重庆綦江区·期末)通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 5．如图（1），，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点在线段上由点B向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，说明理由． 题型八 全等三角形常考模型之“截长补短模型”（共5小题） 1．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·期中)如图，在直角三角形中，，D在边上，E在边上，且，则 ． 2．(24-25八上·广东省深圳市·期中)如图，中，，点为的中点，交于． (1)求证：； (2)求证：． 3．(24-25八上·陕西西安高陵区·期中)如图1，在中，，的平分线BD，CE相交于点O． (1)试说明． (2)如图2，． ①的度数为__________； ②猜想的数量关系，并说明理由． 4．在中，． (1)如图1，当是的内角平分线时，交于点P，求证：； (2)如图2，当是的外角平分线时，连结和，猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 5．(24-25八上·湖南吉首雅思实验学校·期末)如图，为等边三角形，在内作射线 ，点B关于射线的对称点为D，连接，作射线交于点E，连接． (1)依题意补全图形； (2)设，求的度数（用含的式子表示）； (3)判断，，之间的数量关系，并证明． 题型九 全等三角形常考模型之“旋转模型”（共5小题） 1．(24-25八上·湖北武汉华一寄宿中学·期末)如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．实验班限制 如图，在中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则旋转角为 °． 3．(24-25八上·江苏南通启秀中学·月考)（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 4．(24-25八上·贵州黔东南苗族侗族·期末)【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 5．(24-25八上·山东济南莱芜区·期末)在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 题型十 全等三角形常考模型之“手拉手模型”（共5小题） 1．(25-26八上·湖南长沙师大附中梅溪湖中学·月考)如图，在等腰和等腰中．且，，．连接，，交于点．以下五个结论：；若，则；；平分，平分，其中结论一定正确的有 ．（写序号） 2．(23-24九上·湖北武汉新洲区·期末)如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 3．【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”，如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图1，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为 　 　；线段BE与AD之间的数量关系是 　 　． 【模型应用】 （2）如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD； （3）如图3，P为等边△ABC内一点，且PA：PB：PC＝3：4：5，以BP为边构造等边△BPM，这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连接CM，求∠APB的度数是 　 　． 【拓展提高】 （4）如图4，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图5，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，两线交于点P，请证明BD和CE的数量关系和位置关系． （6）如图6，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长． 【深化模型】 （7）如图7，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④BO＝OE；⑤∠AOB＝60°，恒成立的结论有　 　． 4．(24-25八上·浙江宁波江北区宁波大学青藤书院·期中)（1）如图①，已知，以、为边向外分别作等边和等边，连接，．试探究与的数量关系，并说明理由． 问题探究： （2）如图②，四边形中，，，，，求BD的长． 问题解决： （3）如图③，中，，，是一个变化的角，以为边向外作等边，连接，试探究，随着的变化，的长是否存在最大值？若存在，求出长的最大值及此时的大小；若不存在，请说明理由． 5．(24-25八上·浙江绍兴诸暨浣江初级中学·月考)【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明． 【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算； 【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，则CD＝　 　． 题型十一 全等三角形常考模型之“作垂线得平行构造全等三角形”（共6小题） 1．(25-26八上·重庆南开中学校·期中)如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 2．(24-25七下·浙江杭州·期末)如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则 ． 3．(24-25八上·河北承德·期中)如图，过边长为2的等边的边上点作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则长为 ． 4．(24-25七下·江苏盐城三校联考5月·月考)如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，． 5．(24-25八上·辽宁沈阳第七中学·期中)如图所示，在中，，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则 ． 6．(24-25八上·福建泉州南安·期末)如图，在中，，AD是中线，若，于点F，则的值是 ． 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $