12.4.2 线段垂直平分线（8大基础题型+2大巩固提升）（题型专练）数学华师大版2024八年级上册

12.4.2 线段垂直平分线 题型一：垂直平分线的性质与周长相关求解 1．(24-25八上·山东东营利津县（五四制）·期末)如图，中，分别以A、B为圆心画弧交于两点，过这两点的直线交于点D，连接，则的周长是（    ） A．12 B．10.5 C．11.5 D．9 2．如图，点在线段的垂直平分线上．若，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，垂直平分，连接，的周长为20，的周长比四边形的周长多10，则线段的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·期中)如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于D、E，则的周长为（   ）cm． A．8 B．2 C．4 D．1 5．如图，在中，的垂直平分线交于E，则的周长是（   ） A．10 B．9 C．8 D．6 6．(24-25八下·湖南长沙·模拟)如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边于点D、E且的周长为，则的长为 ． 题型二：垂直平分线的性质求角度 1．(24-25八上·内蒙古包头青山区·期末)如图，在中，的垂直平分线交边于点E，交边于点 D，连接．若 ，，则 2．(24-25七下·陕西咸阳渭城区底张镇·期末)如图，在中，点在上，连接，过点作交于点，．的周长为5，则的周长是 ． 3．如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，作于点，且为的中点．若，则 ． 4．如图，在等边三角形中，是边上的高，E是上一点．若，则 度． 5．(23-24八下·湖南衡阳衡南县栗江镇隆初级中学·期中)如图，已知，，若和分别垂直平分和，则 ． 6．(23-24八上·四川资阳安岳县·期末)如图，在中，的垂直平分线交的平分线于点E，连结，如果，，那么的度数是 ． 题型三：垂直平分线的性质求线段 1．(23-24八下·广东兴宁田家炳学校·月考)如图，垂直平分，垂直平分，若的长为7，则 ． 2．(24-25七下·河南郑州莲湖外国语学校·月考)如图，在中，边的垂直平分线分别与边和边交于点D和点E，边的垂直平分线分别与边和边交于点F和点G，若的周长为9，且，则的长为 ． 3．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·模拟)如图，在中,,的垂直平分线交于M，交于的垂直平分线交于N，交于F，则 . 4．如图，在中，垂直平分，垂直平分，若，，则 ． 5．如图，已知，点D，E分别在的垂直平分线上，且D，A，E三点共线，若四边形的周长为20，，则的长为 ． 6．(24-25七下·广东深圳坪山区·期末)如图，在四边形中，，点E在上且刚好落在垂直平分线上，点F是中点，，已知，，则 ． 7．(24-25七下·陕西西安碑林区·期末)如图，在中，点在边上，，是的垂直平分线．若，，则的长为 ． 题型四：垂直平分线的性质与尺规作图的结合 1．(24-25八下·云南保山腾冲·期末)如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，点N，过这两个点作直线，交于点D，连接．若，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线交于点D，连接．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，交于点E，连接．下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线分别与边相交于点，连结．若，则的长为（   ） A．24 B．25 C．7 D．9 5．(24-25八上·辽宁鞍山铁西区·期中)如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．(24-25八上·甘肃张掖山丹县大马营中学·期末)在中，，，作图痕迹如图所示，则（   ） A． B． C． D． 题型五：根据垂直平分线的判定判断结论是否正确 1．(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期末)如图，已知：，则下列说法正确的个数有（     ） （1）平分             （2）垂直平分 （3）与互相垂直平分      （4）平分 A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 2．下列条件中，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线的是（    ） A．， B．， C．， D．，平分 3．(24-25八下·福建三明·期末)如图，，，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 4．如图，中，，，平分交于点D，下述结论： ①点D在的垂直平分线上； ②； ③的周长等于； ④点D是的中点． 其中正确的是（   ） A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②③④ 5．(24-25八下·甘肃平凉灵台县城关中学·月考)如图，在等边中，点D为线段上一点，连接，平分交于点E，连接与的延长线交于点F，连接，且，则以下结论错误的是（   ） A． B．垂直平分 C．是等腰三角形 D． 6．(24-25八上·湖南长沙长沙县·期末)美术课上，周老师和同学们一起玩折纸游戏，学生李星将三角形纸片折叠，如图所示，使得点正好落在边上的点处，折痕为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25八上·河南鹤壁·期末)如图所示，在中，是的中点，．若添加一个条件可以证明是等边三角形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D．以上都可以 8．(24-25八上·广东广州华南师范大学附属中学·期末)如图，在中，，、分别为边、上的点，与相交于点，，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．连接，则所在的直线垂直平分 D．四边形的面积与的面积相等 题型六：利用垂直平分线的判定进行基础证明 1．如图，在中，边，的垂直平分线交于点，连接，和．求证：点在的垂直平分线上． 2．(24-25八上·山东青岛即墨区·月考)如图，在中，，是边上一点，，于点，交于点．求证：垂直平分． 3．(24-25七下·上海曹杨第二中学附属实验中学·月考)如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由： (1)； (2)点A在的垂直平分线上． 4．(23-24八下·山西运城河津·期末)如图，在中，，分别过点，作，的垂线，两条垂线交于点，连接．判断线段与的位置关系，并说明理由． 5．(24-25八下·江苏南京·模拟)已知：如图，在中，，点P，Q，R分别在，，上，且，．求证：点Q在的垂直平分线上． 6．(24-25八下·贵州毕节大方县·期末)如图，在中，是上一点，且，，平分，求证：垂直平分． 题型七：垂直平分线的性质与判定解答题综合 1．(24-25八上·河北邯郸邯山区创A扬帆初中学校·期中)如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 2．(24-25七下·上海闸北第八中学·期末)如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 3．(24-25八下·陕西西安第八十五中学·期末)如图，在中，，平分，于． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 4．(24-25八下·河南郑州航空港区·期末)如图，已知，与相交于点E． (1)请你添加一个条件使，并加以证明， (2)在第（1）问的条件下延长、交于点P，直线是线段的垂直平分线吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 5．(24-25八下·广东深圳福田区深圳中学梅香学校·期中)如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 6．如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 题型八：垂直平分线解答题中尺规作图 1．(24-25八上·辽宁铁岭西丰县·期中)如图，中，，将沿着一条直线折叠后，使点A 与点C重合（如图②） (1)在图①中画出折痕所在的直线 l（尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）； (2)设直线 l与分别相交于点 M， N， 连接，若的周长是，，求的长． 2．如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点，交于点； (2)在（）的条件下，连接，若的周长是，求的长． 3．要求用尺规作图，画图必须用铅笔，不要求写作法，但要保留作图痕迹． (1)如图①，已知点M在直线l上，A，B是直线l外的两点，按照下面要求完成作图： ①过点M作直线l的垂线； ②在已作出的垂线上确定一点P，使得点P到A，B两点的距离相等． (2)如图②，已知点A是锐角内的一点，试分别在，上确定点B、点C，使的周长最小． 4．(2024·甘肃省定西市·一模)如图，在中，按以下步骤作图：（保留作图痕迹，不写作法） (1)分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于、两点； (2)作直线交于点，连接，若，，求的度数． 5．(25-26九上·陕西榆林第六中学·月考)如图有三家公司A、、，现要建一个健身中心到三家公司的距离相等，请利用尺规作图法找出健身中心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 6．(2025·广东省肇庆市·一模)如图，点，在线段上，且，，． (1)求证：； (2)在线段，上分别找出点，，依次连接点，，，，使得到的四边形为菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 题型一：垂直平分线的性质中最值问题 1．如图，在等边中，，N是线段上一点，的平分线交于点D，且，M是上的动点，连接，则的最小值是 ． 2．(25-26九上·黑龙江哈尔滨美佳外国语学校·开学考)如图，在中，直线垂直平分分别交、于点D，E，点F为直线上任意一点，，，则周长的最小值是 ． 3．(24-25七下·广东清远清城区·期末)如图，在中，，垂直平分线段，，P是直线上的一点，若周长的最小值是17，则 4．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含的代数式表示） 5．(24-25八上·陕西西安阎良区·期末)如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为 ． 6．(24-25八下·安徽宿州第二初级中学·月考)如图，，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是 ． 7．(24-25七下·上海民办至德实验学校·期末)如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为 ． 8．(24-25上·福建福建厦门第一中学·期中)如图，在等腰中，，于点，两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 9．如图，在中，，，面积为16，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 10．如图，在中，，D是的中点，垂直平分，交于点，交于点F，M是上一点，连接，，若，，则周长的最小值为 ． 题型二：与垂直平分线有关的解答题压轴 1．在 中，的垂直平分线分别交线段 于点M，P，的垂直平分线分别交线段于点 N，Q． (1)如图，当 时，求 的度数． (2)当 满足什么条件时，？说明理由． (3)在（2）的条件下，，求 的周长． 2．(24-25八上·江苏扬州中学教育集团树人学校·期末)如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”， (1)如图1，三角形内角分别为，，，这个三角形 （填“存在”或“不存在”）“黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D．求证：是的一条“黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 3．(24-25八下·陕西咸阳永寿县仪井中学·期末)如图，在等边中，与的平分线交于点，点在边AB上，连接OD． 【问题发现】 （1）求证：； 【问题探究】 （2）如图1，为上一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点恰好落在边上，且，猜想、、三者之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图2，点在的延长线上，连接，在的延长线上截取 ，连接、，猜想线段是否在的垂直平分线上，并说明理由． 4．(24-25七下·重庆第一中学·期中)如图，点D是所在平面内一点，连接．点E是线段上一点，连接，．其中，． (1)如图1，当点D在线段上时，若垂直平分线段，且，，，求的长； (2)如图2、当点D在外时，连接，若点H为线段的中点，且，求证：． 5．(24-25八上·湖北咸宁通城县·期末)情境建模 （1）学完等腰三角形“三线合一”的性质，小明逆向思考提出了一个问题： 如图1，在中，是边上的一点，平分，且，求证：． 理解内化 （2）请尝试直接应用“情境建模”中小明思考出的结论，解决下列问题： 如图2，在中，平分，，，求证：． 拓展应用 （3）如图3，在中，平分，，，的面积是25，点是上一个动点，点是上一个动点，请求出的最小值． 6．(24-25八上·浙江台州路桥区·期末)【概念呈现】 有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．    【性质探究】 （1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点． 请证明； 【拓展应用】 （2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接． ①若，求的度数； ②当的值为多少时，与是“和合”三角形． 1．(24-25八上·陕西咸阳永寿县豆家中学·期末）如图，中，，垂直平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，则下列说法正确的是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法均不正确 3．如图，在中，，以为边画等腰三角形，使点P在的边上，则符合条件的点P有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．(24-25八下·江西吉安部分校·期中)如图，为内一点，过点的线段分别交，于点，，且，分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．(24-25八·四川自贡贡井区成佳中学校·期末)如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则线段，，的数量关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 6．(24-25八上·辽宁抚顺新抚区·期中)如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，和分别是边和的垂直平分线，且点在边上，连接，则 ． 8．如图，在中，是的中点，的垂直平分线分别交于点，连结．请写出图中的一对全等三角形： ． 9．(23-24九下·辽宁沈阳民办联考·期中)如图，点P在直线m外，在直线m上任取两点A，B，分别以A和B为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点C，作直线，连接．则 ． 10．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·模拟)如图，直角的斜边的中点为交于D，且 ，则 。 11．如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，，连接，，，若，则 °． 12．如图，，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若与的周长之差为，求的长． 13．(24-25八上·河南信阳羊山中学·期末)已知中，． (1)根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）： ①作的平分线交于D； ②作线段的垂直平分线交于E，交于F，垂足为H； (2)求证： ． 14．如图，在中，是的中点，，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．线段的延长线与射线交于点，连接．若点不与点B、M重合，试猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明． 15．(24-25八上·江西南昌南昌县·期末)在图，已知，；在图中，，；在图中，五边形是正五边形，请你只用直尺画出三个图形中的的垂直平分线． 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.4.2 线段垂直平分线 题型一：垂直平分线的性质与周长相关求解 1．(24-25八上·山东东营利津县（五四制）·期末)如图，中，分别以A、B为圆心画弧交于两点，过这两点的直线交于点D，连接，则的周长是（    ） A．12 B．10.5 C．11.5 D．9 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，根据作图可知垂直平分，进而得到，进而推出的周长，计算即可． 【详解】解：根据作图可知垂直平分， ∴， ∴的周长； 故选：B． 2．如图，点在线段的垂直平分线上．若，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质，由性质定理得到线段相等是解题的关键．由垂直平分线性质得线段相等，根据周长公式求解． 【详解】解：∵点在线段的垂直平分线上, ， ∴． ∴四边形的周长是 故选：B． 3．如图，在中，垂直平分，连接，的周长为20，的周长比四边形的周长多10，则线段的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．先根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用的周长为20得到，接着利用得到，所以，然后解方程即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∵的周长为20， ∴， ∴， ∵的周长比四边形的周长多10， ∴， 即， ∴， ∴， 解得． 故选：B． 4．(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·期中)如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于D、E，则的周长为（   ）cm． A．8 B．2 C．4 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据线段的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于D、E， ∴， ∵，， ∴的周长为； 故选A． 5．如图，在中，的垂直平分线交于E，则的周长是（   ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质可得，利用三角形的周长计算即可得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交于E， ∴， ∴的周长是， 故选：C． 6．(24-25八下·湖南长沙·模拟)如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边于点D、E且的周长为，则的长为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线性质得出、是解此题的关键． 根据线段垂直平分线性质得出，，求出即可． 【详解】解：∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， 故答案为：32． 题型二：垂直平分线的性质求角度 1．(24-25八上·内蒙古包头青山区·期末)如图，在中，的垂直平分线交边于点E，交边于点 D，连接．若 ，，则 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求出的度数，计算出结果． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 2．(24-25七下·陕西咸阳渭城区底张镇·期末)如图，在中，点在上，连接，过点作交于点，．的周长为5，则的周长是 ． 【答案】7 【分析】本题考查中垂线的性质．熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 由题意可知，是线段的线段垂直平分线，进而得到，由的周长得出，结合图形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为5， ∴， ∴的周长， 故答案为：7． 3．如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，作于点，且为的中点．若，则 ． 【答案】90 【分析】本题主要考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质． 根据等腰三角形的判定得出，根据垂直平分线的性质得出，又根据等边对等角得出，再根据三角形的外角的性质得出，再根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出答案． 【详解】解：∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．如图，在等边三角形中，是边上的高，E是上一点．若，则 度． 【答案】25 【分析】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，先判断出是的垂直平分线，进而求出，即可得出结论． 【详解】解：∵三角形是等边三角形，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∵点E在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：25． 5．(23-24八下·湖南衡阳衡南县栗江镇隆初级中学·期中)如图，已知，，若和分别垂直平分和，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，进而得出，即可解答． 【详解】解：如图： ∵和分别垂直平分和， ， ， ， ， 故答案为：． 6．(23-24八上·四川资阳安岳县·期末)如图，在中，的垂直平分线交的平分线于点E，连结，如果，，那么的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边对等角以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 根据角平分线的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，可得出 ，然后根据三角形内角和定理计算出的度数． 【详解】解：平分， ， 的垂直平分线交的平分线于， ， ， 设， ，， 在中， ∴， 解得：， ， 故答案为：． 题型三：垂直平分线的性质求线段 1．(23-24八下·广东兴宁田家炳学校·月考)如图，垂直平分，垂直平分，若的长为7，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题的关键．连接，由垂直平分线的性质可得、，进而得到即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴． 故答案为：7． 2．(24-25七下·河南郑州莲湖外国语学校·月考)如图，在中，边的垂直平分线分别与边和边交于点D和点E，边的垂直平分线分别与边和边交于点F和点G，若的周长为9，且，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 同理可得：， 的周长为9， ， ， ， ， 故答案为：7． 3．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·模拟)如图，在中,,的垂直平分线交于M，交于的垂直平分线交于N，交于F，则 . 【答案】2 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．解题的关键是作出恰当的辅助线． 连接、，根据线段的垂直平分线的性质证明，得到，同理，得到，得到答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：2． 4．如图，在中，垂直平分，垂直平分，若，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，，由此计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 5．如图，已知，点D，E分别在的垂直平分线上，且D，A，E三点共线，若四边形的周长为20，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了垂直平分线的性质．根据垂直平分线的性质得到，得到，再根据四边形的周长为20即可求出的长． 【详解】解：∵点D，E分别在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴ ∵四边形的周长为20， ∴， 即， 解得， 故答案为： 6．(24-25七下·广东深圳坪山区·期末)如图，在四边形中，，点E在上且刚好落在垂直平分线上，点F是中点，，已知，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质. 通过延长构造全等三角形，利用平行线性质和中点条件证，转化线段为，结合及，得垂直平分，推出，最后计算CE． 【详解】解：连接，并延长 交 延长线于 ， 因为， 所以， 又是中点， 即， 且， ∴ 则 ， 点 在 垂直平分线上， 故 ， 由 ， 是 中点， 得 ， 所以 ． 故答案为：3． 7．(24-25七下·陕西西安碑林区·期末)如图，在中，点在边上，，是的垂直平分线．若，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角得到，结合已知条件和三角形外角的性质可得，因此，进而即可求出的长． 【详解】解： 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ． 题型四：垂直平分线的性质与尺规作图的结合 1．(24-25八下·云南保山腾冲·期末)如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，点N，过这两个点作直线，交于点D，连接．若，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先求出，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ． 故选：C． 2．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线交于点D，连接．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．先根据作图步骤得出是的垂直平分线，得到，进而推出角的关系，再结合已知条件和三角形内角和定理求解的度数． 【详解】解：∵由作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∴． 设，则， ∴． ∵， ∴． 在中，，且， ∴， ∴， ∴，即． 故选：． 3．如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，交于点E，连接．下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题涉及线段垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）以及三角形的内角和、角的等量代换等知识,通过分析直线的性质,对各选项进行判断. 【详解】选项A:由作图可知,是的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质,垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,所以,该选项正确，不符合题意; 选项B:仅根据已知条件,无法得出,该选项错误，符合题意; 选项C:因为是的垂直平分线， ,又 ,则 由可得,在中, 因此,该选项正确，不符合题意; 选项D:因为,根据等腰三角形的性质,等边对等角,所以,该选项正确，不符合题意. 故选:B 【点睛】本题关键是利用线段垂直平分线的性质,结合平行线的判定与性质、等腰三角形的性质,对各角的关系进行推导,从而判断选项的正误. 4．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线分别与边相交于点，连结．若，则的长为（   ） A．24 B．25 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图和线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5．(24-25八上·辽宁鞍山铁西区·期中)如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，等边对等角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据线段垂直平分线的性质得出，进而求出的度数． 【解答】解：由作图可知：垂直平分线段， 可得， 则， 故， 故选：A 6．(24-25八上·甘肃张掖山丹县大马营中学·期末)在中，，，作图痕迹如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线，垂直平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角相等，根据三角形内角和定理求出，由作图痕迹可得垂直平分，平分，进而求出，，再利用三角形内角和定理求出，最后利用三角形外角的性质求出，利用对顶角相等即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 由作图痕迹可得垂直平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 题型五：根据垂直平分线的判定判断结论是否正确 1．(24-25八上·内蒙古乌海第二中学·期末)如图，已知：，则下列说法正确的个数有（     ） （1）平分             （2）垂直平分 （3）与互相垂直平分      （4）平分 A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 【答案】A 【分析】此题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形三线合一． 由，，可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，即可得垂直平分，进而得到平分． 【详解】，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 垂直平分． ∴平分 ∴说法正确的个数有一个 故选：A． 2．下列条件中，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线的是（    ） A．， B．， C．， D．，平分 【答案】C 【分析】本题主要考查垂直平分线，根据垂直平分线的概念与判定逐个判断即可． 【详解】解：A、，，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意； B、，，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意； C、如图， ，，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，符合题意； D、，平分，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意． 故选：C． 3．(24-25八下·福建三明·期末)如图，，，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的判定定理，根据垂直平分线的判定定理直接可得结论 【详解】解：∵，， ∴点A、 B 在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 故选：C 4．如图，中，，，平分交于点D，下述结论： ①点D在的垂直平分线上； ②； ③的周长等于； ④点D是的中点． 其中正确的是（   ） A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，关键是线段垂直平分线性质的熟练掌握．由三角形内角和定理以及角平分线的定义可得，根据等角对等边可得，即可得点D在的垂直平分线上，又由，即可求得，，继而证得，的周长等于． 【详解】解：由题意可知，中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴点D在的垂直平分线上；故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴的周长为：；故③正确； ∵，， ∴， ∴D不是中点．故④错误． 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 5．(24-25八下·甘肃平凉灵台县城关中学·月考)如图，在等边中，点D为线段上一点，连接，平分交于点E，连接与的延长线交于点F，连接，且，则以下结论错误的是（   ） A． B．垂直平分 C．是等腰三角形 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判断，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，先根据对顶角的性质，补角的性质并结合已知可得出，然后根据证明，得出，，然后根据等边对等角和线段垂直平分线的判定即可判断选项A、B，根据等腰三角形的定义即可判断选项C，根据已知条件无法证明选项D． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，垂直平分，即垂直平分故选项A、B正确； ∵，， ∴， ∴是等腰三角形，故选项C正确； 根据已知条件，只能找到，故不能证明，故选项D错误， 故选：D． 6．(24-25八上·湖南长沙长沙县·期末)美术课上，周老师和同学们一起玩折纸游戏，学生李星将三角形纸片折叠，如图所示，使得点正好落在边上的点处，折痕为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查翻折变换的性质，推出垂直平分是解题的关键． 由折叠得点与点B关于直线对称，则垂直平分，而点在边上，所以，可判断A正确；由可得，因为与不一定相等，所以与不一定相等，可判断B错误；的条件是，与已知条件不符，可判断C错误；的条件是，与已知条件不符，可判断D错误． 【详解】解：∵将三角形纸片折叠，点正好落在边上的点处，折痕为， ∴与点B关于直线对称， ∴垂直平分， ∴，故A正确； ∵， ∴， ∵点与点C不一定重合， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故B错误； ∵， ∴的条件是，显然与已知条件不符， ∴不成立，故C错误； ∵， ∴的条件是，显然与已知条件不符， ∴不成立，故D错误． 故选：A． 7．(24-25八上·河南鹤壁·期末)如图所示，在中，是的中点，．若添加一个条件可以证明是等边三角形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D．以上都可以 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定．先证明是线段的垂直平分线，推出，，再根据等边三角形的判定定理即可判断． 【详解】解：∵是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， 当添加时， ∴是等边三角形； 当添加时，则， ∴是等边三角形； 当添加时，则， ∴是等边三角形； 故选：D． 8．(24-25八上·广东广州华南师范大学附属中学·期末)如图，在中，，、分别为边、上的点，与相交于点，，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．连接，则所在的直线垂直平分 D．四边形的面积与的面积相等 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ，故A正确，不符合题意； ， ， ， ， ，故B正确，不符合题意； 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 直线是的垂直平分线， 即所在的直线垂直平分，故C正确，不符合题意； ④当时，则， 在和中， ， ， ， ， 由于缺乏条件，故不能判定，故D错误，符合题意， 故选：D． 题型六：利用垂直平分线的判定进行基础证明 1．如图，在中，边，的垂直平分线交于点，连接，和．求证：点在的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案； 【详解】证明：∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 2．(24-25八上·山东青岛即墨区·月考)如图，在中，，是边上一点，，于点，交于点．求证：垂直平分． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，先证明，则，所以点在垂直平分线上，又，所以点在垂直平分线上，从而得证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∵， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分． 3．(24-25七下·上海曹杨第二中学附属实验中学·月考)如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由： (1)； (2)点A在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后利用垂直于同一条直线的两条直线平行，即可解答； （2）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用等角对等边可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵，为边的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 4．(23-24八下·山西运城河津·期末)如图，在中，，分别过点，作，的垂线，两条垂线交于点，连接．判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】线段垂直平分，见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定．通过证明三角形全等，得出对应角相等，进而判断线段之间的位置关系． 【详解】解：线段垂直平分． 证明：，， ， 又， ， ， 点，在线段的垂直平分线上， 线段垂直平分． 5．(24-25八下·江苏南京·模拟)已知：如图，在中，，点P，Q，R分别在，，上，且，．求证：点Q在的垂直平分线上． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质以及线段的垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理证明，得到，根据线段的垂直平分线的判定证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点Q在的垂直平分线上． 6．(24-25八下·贵州毕节大方县·期末)如图，在中，是上一点，且，，平分，求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，进而得到，再由，即可证明垂直平分． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分． 题型七：垂直平分线的性质与判定解答题综合 1．(24-25八上·河北邯郸邯山区创A扬帆初中学校·期中)如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是14，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为14， ， ， ， 的周长为8； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 即点E在线段的垂直平分线上． 2．(24-25七下·上海闸北第八中学·期末)如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定、等边对等角、三角形内角和定理等知识．解题的关键是熟练运用垂直平分线的性质和判定，结合三角形内角和定理推导角度关系． （1）利用垂直平分线性质得，结合推出，进而证明D在的垂直平分线上． （2）连接得到，设角并结合求出相关角度，得出，再利用垂直平分线性质和角度关系证明． 【详解】（1）证明：∵l是的垂直平分线，点D在l上， ∴， ∵， ∴． ∴点D在的垂直平分线上． （2）证明：由（1）可知，由“等边对等角”， 设， ， ∴在中，， 在中，， 即， ∴，则， 即， ∵点E在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴，则 3．(24-25八下·陕西西安第八十五中学·期末)如图，在中，，平分，于． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、垂直的定义、全等三角形的判定与性质． 根据角平分线的定义可知，根据垂直的定义可知，根据直角三角形的两个锐角互余可求； 利用可证，根据全等三角形的性质可知，又因为平分，根据等腰三角形的三线合一定理可证：直线是线段的垂直平分线． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 平分， ，平分线段， 直线是线段的垂直平分线． 4．(24-25八下·河南郑州航空港区·期末)如图，已知，与相交于点E． (1)请你添加一个条件使，并加以证明， (2)在第（1）问的条件下延长、交于点P，直线是线段的垂直平分线吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)添加条件为：，证明见解析 (2)是，证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）添加条件为：，然后证明出即可； （2）延长、交于点P，根据题意证明出，得到，，判断出点E在的垂直平分线上，然后证明出，得到，判断出点P在的垂直平分线上，即可证明直线是线段的垂直平分线． 【详解】（1）添加条件为： ∵，， ∴； （2）是，证明如下： 如图所示，延长、交于点P， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴点E在的垂直平分线上 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点P在的垂直平分线上 ∴直线是线段的垂直平分线． 5．(24-25八下·广东深圳福田区深圳中学梅香学校·期中)如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，，， ∴ ． 6．如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 题型八：垂直平分线解答题中尺规作图 1．(24-25八上·辽宁铁岭西丰县·期中)如图，中，，将沿着一条直线折叠后，使点A 与点C重合（如图②） (1)在图①中画出折痕所在的直线 l（尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）； (2)设直线 l与分别相交于点 M， N， 连接，若的周长是，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；根据翻折变换的性质准确找出图形中隐含的数量关系是解题的关键． （1）如图，分别以点A、点C为圆心，以大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可解决问题． （2）由题意得：，进而得到，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所作． （2）解：由题意得：， ∴， ∵的周长是， ∴． 2．如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点，交于点； (2)在（）的条件下，连接，若的周长是，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据垂直平分线的方法即可； （）由是的垂直平分线，则，又的周长是，则有，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，所以为所求； （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵， ∴． 3．要求用尺规作图，画图必须用铅笔，不要求写作法，但要保留作图痕迹． (1)如图①，已知点M在直线l上，A，B是直线l外的两点，按照下面要求完成作图： ①过点M作直线l的垂线； ②在已作出的垂线上确定一点P，使得点P到A，B两点的距离相等． (2)如图②，已知点A是锐角内的一点，试分别在，上确定点B、点C，使的周长最小． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了复杂作图，掌握相关作图方法是解题的关键． （1）①根据过直线上一点作已知直线的垂线的作法作图； ②作线段的垂直平分线即可； （2）分别过作，的对称点，再连接两个对称点与，的交点即可． 【详解】（1）解：如图示； （2）解：分别作点A关于，的对称点；连接，分别交，于点B、点C，则点B、点C即为所求． 如图所示；此时的周长最小． 4．(2024·甘肃省定西市·一模)如图，在中，按以下步骤作图：（保留作图痕迹，不写作法） (1)分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于、两点； (2)作直线交于点，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）根据题意画出图形即可； （）由（）得为的垂直平分线，即得，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质及内角和定理解答即可； 本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质、三角形的外角性质及内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由（）得，为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．(25-26九上·陕西榆林第六中学·月考)如图有三家公司A、、，现要建一个健身中心到三家公司的距离相等，请利用尺规作图法找出健身中心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、线段垂直平分线的性质的应用等知识点，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质，分别作线段的垂直平分线，相交于点P，则点P即为所求． 【详解】解：如图，分别作线段的垂直平分线，相交于点P，则点P即为所求． 6．(2025·广东省肇庆市·一模)如图，点，在线段上，且，，． (1)求证：； (2)在线段，上分别找出点，，依次连接点，，，，使得到的四边形为菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作垂直平分线，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，然后证明，再由“”证明即可得出结论； （）作垂直平分线即可，然后通过菱形的判定方法即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2）如图，四边形即为所求； 理由：由作图可知，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形即为所求． 题型一：垂直平分线的性质中最值问题 1．如图，在等边中，，N是线段上一点，的平分线交于点D，且，M是上的动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．连接，先根据等边三角形的性质可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，则可得，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，根据垂线段最短可得当时，的值最小，然后根据等边三角形的性质即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在等边中，的平分线交于点， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小， ∴此时有， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 2．(25-26九上·黑龙江哈尔滨美佳外国语学校·开学考)如图，在中，直线垂直平分分别交、于点D，E，点F为直线上任意一点，，，则周长的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，根据三角形三边关系可得，可知当点F与点D重合时，周长取最小值． 【详解】解：如图，连接， 直线垂直平分的边， ， ， ，当点F与点D重合时等号成立， ， 周长的最小值是7． 故答案为：7． 3．(24-25七下·广东清远清城区·期末)如图，在中，，垂直平分线段，，P是直线上的一点，若周长的最小值是17，则 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形的三边关系的应用，先证明，结合周长的最小值是17，，可得的最小值为：，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接， 垂直平分线段， ， ∵周长的最小值是17，， ∴的最小值为：， 此时， ∴. 故答案为： 4．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键．如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 5．(24-25八上·陕西西安阎良区·期末)如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，连接，根据等腰三角形三线合一的性质和三角形的面积公式得到，根据垂直平分线的性质和轴对称的性质得出，推得的长度等于的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当，，在同一直线上时，， 即的长度等于的最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 6．(24-25八下·安徽宿州第二初级中学·月考)如图，，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是 ． 【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，点关于的对称点，连接交于点交于点，则，因为，所以，求得，连接交于点，交于点，连接、，则，所以，由，可知此时的周长最小，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作点关于直线的对称点，点关于的对称点，连接交于点交于点， 垂直平分垂直平分， ， ， ， ， 连接交于点，交于点，连接、，则， ， ， ， 此时的周长最小， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查轴对称最短路线问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、四边形的内角和等于等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 7．(24-25七下·上海民办至德实验学校·期末)如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，垂线段最短，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得，则，当点A，点M，点D共线且时，有最小值，即有最小值为的长，由面积公式可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，点M，点D共线且时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴， 故答案为：． 8．(24-25上·福建福建厦门第一中学·期中)如图，在等腰中，，于点，两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 【答案度/ 【分析】连接，先证明 ，得到，从而推出当、、三点共线且时最小，即此时最小，过点作于点，交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，，，同理可得，则，利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴，， 又∵是公共边， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线且时最小，即此时最小， 过点作于点，交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，线段最短问题，三角形外角的性质等知识，解题的关键将的最值转化为． 9．如图，在中，，，面积为16，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．先连接，利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，推出的最小值为4，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为4， ∴周长的最小值为． 故答案为：8． 10．如图，在中，，D是的中点，垂直平分，交于点，交于点F，M是上一点，连接，，若，，则周长的最小值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，根据等腰三角形的三线合一得到，，求出的面积，再根据垂直平分线的性质得到，求出的周长，得到当，，三点共线时，的值最小，进而求出结果即可 【详解】解：如图，连接，． 在中，，是边的中点， ， ， 解得． 垂直平分， 的周长为． 当，，三点共线时，的值最小， 即当最小值为的长时，的周长最小，为， 故答案为：9 题型二：与垂直平分线有关的解答题压轴 1．在 中，的垂直平分线分别交线段 于点M，P，的垂直平分线分别交线段于点 N，Q． (1)如图，当 时，求 的度数． (2)当 满足什么条件时，？说明理由． (3)在（2）的条件下，，求 的周长． 【答案】(1) (2)当时，．理由见解析 (3)10 【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得．得．由三角形内角和定理得．由 计算即得； （2）同（1）得 ，由，得，得； （3）由，可得周长为，即得． 【详解】（1）解：∵分别是的垂直平分线， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴ ． （2）解：当时，． 理由如下： 如图，由(1)，得． ． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴时，． （3）解：周长． ∵， ∴的 周长． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线．熟练掌握线段垂直平分线性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质，角与线段的和差计算，是解题的关键． 2．(24-25八上·江苏扬州中学教育集团树人学校·期末)如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”， (1)如图1，三角形内角分别为，，，这个三角形 （填“存在”或“不存在”）“黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D．求证：是的一条“黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 【答案】(1)存在 (2)见解析 (3)符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 【分析】（1）根据给定的将分为和即可双腰三角形； （2）根据垂直平分线得，可得是等腰三角形，利用三角形外角定理，即可证得是等腰三角形，那么结论成立； （3）当是一个等腰三角形，且它是“准黄金三角形”时，有四种情形，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线交于点D，连接， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴这个三角形存在“黄金线”； 故答案为：存在； （2）证明：∵线段的垂直平分线交于点E， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的一条“黄金线”； （3）解：一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，有以下四种情况： ①如图3，，， ∴， ∵是一个“准黄金三角形”， ∴和都是等腰三角形， ∴， 此时等腰三角形的顶角为； ②如图4，设， ∵， ∴，， 则， 解得， 此时等腰三角形的顶角为； ③如图5，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 此时等腰三角形的顶角为； ④如图6，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时等腰三角形的顶角为； 综上，符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了新定义—“准黄金线”，“准黄金三角形”的理解和运用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，正确地理解题意是解题的关键． 3．(24-25八下·陕西咸阳永寿县仪井中学·期末)如图，在等边中，与的平分线交于点，点在边AB上，连接OD． 【问题发现】 （1）求证：； 【问题探究】 （2）如图1，为上一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点恰好落在边上，且，猜想、、三者之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图2，点在的延长线上，连接，在的延长线上截取 ，连接、，猜想线段是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）线段在的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据等边三角形的性质可得，根据角平分线的定义可得，根据等边对等角，即可得证； （2）根据旋转的性质可得，进而根据，，即可得出结论； （3）先证明得出，，进而证明得出，，根据垂直平分线的判定定理，即可得证． 【详解】（1）∵在等边中，，与的平分线交于点， ∴， ∴； （2）， ∵线段绕点按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵，， ∴， （3）线段在的垂直平分线上，理由如下， ∵在等边中，，与的平分线交于点， ∴，则， ∴，， ∴， 由（1）可得， 又∵， ∴， ∴，， ∴即， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴在的垂直平分线上． 4．(24-25七下·重庆第一中学·期中)如图，点D是所在平面内一点，连接．点E是线段上一点，连接，．其中，． (1)如图1，当点D在线段上时，若垂直平分线段，且，，，求的长； (2)如图2、当点D在外时，连接，若点H为线段的中点，且，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）求得，利用垂直平分线的性质结合直角三角形的性质求得，，再求得是等边三角形，据此求解即可； （2）延长至，使，连接，作于点，设，证明，推出，，利用等腰三角形的性质结合已知求得，再利用三角形的外角性质求得，，利用证明，推出，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分线段， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：延长至，使，连接，作于点， ∵， ∴， 设， ∵点H为线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，第2问证明是解题的关键． 5．(24-25八上·湖北咸宁通城县·期末)情境建模 （1）学完等腰三角形“三线合一”的性质，小明逆向思考提出了一个问题： 如图1，在中，是边上的一点，平分，且，求证：． 理解内化 （2）请尝试直接应用“情境建模”中小明思考出的结论，解决下列问题： 如图2，在中，平分，，，求证：． 拓展应用 （3）如图3，在中，平分，，，的面积是25，点是上一个动点，点是上一个动点，请求出的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质； （1）证明，即可得到； （2）延长与交于点，由（1）可知：，得到，，，再由得到，得到，最后根据求证即可； （3）延长与相交于点，过点作于，交于点，连接，过点作于，由（1）可知：，则，，，得到，当，，三点共线时最小，由垂线段最小得到当与重合时最小，再由面积法得到，即的最小值为． 【详解】（1）证明：【方法一】平分， ， ， ， ， ， 【方法二】平分， ， ， ， ， ； （2）证明：延长与交于点，       图2 由（1）可知：， ，，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ； （3）解：延长与相交于点，过点作于，交于点，连接，过点作于， ∵平分，， ∴由（1）可知：， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当，，三点共线时最小， 由垂线段最小得到当与重合时最小， ∵，的面积是25， ∴，解得， ∵，， ∴, 即的最小值为． 6．(24-25八上·浙江台州路桥区·期末)【概念呈现】 有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．    【性质探究】 （1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点． 请证明； 【拓展应用】 （2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接． ①若，求的度数； ②当的值为多少时，与是“和合”三角形． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】（1）根据平行线性质得，由，可得，得,可得，可得 （2）①过点D作，交于点G，可得是等边三角形，证明，得,可得，可得；②连接并延长，交于点H，根据“和合”三角形定义知，得，得，可得垂直平分，可得，得，得，根据，得． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）①∵是等边三角形， ∴， 过点D作，交于点G， 则， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；    ②连接并延长，交于点H， 当与是“和合”三角形时，， ∵， ∴， ∴， 由①知，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当的值为时，与是“和合”三角形．    【点睛】本题考查了新定义——“和合”三角形．熟练掌握新定义，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质，是解题有关键． 1．(24-25八上·陕西咸阳永寿县豆家中学·期末）如图，中，，垂直平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合三角形内角和性质得，再结合垂直平分，则，故，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，在四边形中，，，则下列说法正确的是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法均不正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据线段垂直平分线的判定即可解答． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， 根据现有条件，无法证明垂直平分， 故选A． 3．如图，在中，，以为边画等腰三角形，使点P在的边上，则符合条件的点P有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义，运用分类思想解答即可． 本题考查了等腰三角形的定义，分类思想，熟练掌握定义和分类思想是解题的关键． 【详解】解：根据等腰三角形的定义，运用分类思想作图如下： 如图，,符合题意的点P有4个， 故选：C． 4．(24-25八下·江西吉安部分校·期中)如图，为内一点，过点的线段分别交，于点，，且，分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，由三角形内角和定理得，又，分别在，的垂直平分线上，则，，故有，，通过外角性质求出，最后由平角定义即可求解，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，分别在，的垂直平分线上， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 5．(24-25八·四川自贡贡井区成佳中学校·期末)如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则线段，，的数量关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质，垂直平分线的性质，连接，，由，，则，又垂直平分，垂直平分，故有，，所以，，通过外角性质可得，证明是等边三角形，最后通过等边三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，， ∵，， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：． 6．(24-25八上·辽宁抚顺新抚区·期中)如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形性质与判定、全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线性质，连接，证明得出，作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，的周长最小，再证明是等边三角形，得出垂直平分，进而求出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，即的周长最小， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，在中，和分别是边和的垂直平分线，且点在边上，连接，则 ． 【答案】90 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．先根据线段垂直平分线的性质得到线段相等，进而推出角相等，再结合三角形内角和定理求出的度数． 【详解】∵和分别是边和的垂直平分线， 即 故答案为：90． 8．如图，在中，是的中点，的垂直平分线分别交于点，连结．请写出图中的一对全等三角形： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握各性质以及全等三角形的判定是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后判断出和全等，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得到关于直线轴对称，再根据全等三角形的定义写出全等三角形即可得解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， 又 ， 是的中点， ， 关于直线轴对称， ， 故答案为：（答案不唯一）． 9．(23-24九下·辽宁沈阳民办联考·期中)如图，点P在直线m外，在直线m上任取两点A，B，分别以A和B为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点C，作直线，连接．则 ． 【答案】90 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定，根据题意可得，，则垂直平分，进而可得 ，即可求解． 【详解】解：根据作图可得，， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：． 10．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·模拟)如图，直角的斜边的中点为交于D，且 ，则 。 【答案】/10度 【分析】本题考查了直角三角形的性质（两锐角互余）、线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用垂直平分推出角相等，结合角度比例关系和直角三角形两锐角互余求解． 由垂直平分得，推出；设，根据表示出和；再利用直角三角形两锐角互余列方程，求解得出的度数． 【详解】解：∵为中点， ∴垂直平分， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）， ∴（等边对等角）． 设， ∵， ∴． ∵是直角三角形， ∴（直角三角形两锐角互余）， 即， ∴． 即． 故答案为：． 11．如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，，连接，，，若，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得出各个角之间的等量关系，最后再利用三角形的内角和定理计算，即可得出答案． 【详解】解：的垂直平分线与的垂直平分线交于点， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若与的周长之差为，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）在中，，，根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由线段垂直平分线的性质，可得，即可求得的度数，继而求得答案； （）根据垂直平分得，，根据由的周长为，的周长为，又与的周长之差为，则求出的长即可； 此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴在中，， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴，， 由的周长为，的周长为， ∵与的周长之差为， ∴， ∴． 13．(24-25八上·河南信阳羊山中学·期末)已知中，． (1)根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）： ①作的平分线交于D； ②作线段的垂直平分线交于E，交于F，垂足为H； (2)求证： ． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查尺规作图、角平分线的定义、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定等知识，正确地作出的平分线及线段的垂直平分线是解题的关键． ①按照基本作图“作已知角的平分线”的要求作的平分线，交于点D即可； ②按照基本作图“作已知线段的垂直平分线”的要求作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，交于点H即可． 因为垂直平分，交于点E，交于点F，垂足为点H，所以，而，，即可根据“”证明 【详解】（1）解：①作的平分线，交于点D； ②作的垂直平分线，交于点E，交于点F，垂足为点H， 线段及线段即为所求． （2）证明：垂直平分，交于点E，交于点F，垂足为点H， ， 平分， ， 在和中， ， ． 14．如图，在中，是的中点，，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．线段的延长线与射线交于点，连接．若点不与点B、M重合，试猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明． 【答案】 【分析】首先利用已知得出，进而得出，即可求出． 【详解】解：如图，连接， 是的中点， ， 即为的垂直平分线， ， 在与中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质，得出是解题关键． 15．(24-25八上·江西南昌南昌县·期末)在图，已知，；在图中，，；在图中，五边形是正五边形，请你只用直尺画出三个图形中的的垂直平分线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定及性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定，正五边形性质是解题的关键． 图，连接并且延长交于即得到的垂直平分线； 图，连接，交于，连接并且延长交于即得到的垂直平分线； 图，连接，交于，连接并且延长交于即得到的垂直平分线． 【详解】解：由分析作图如下： 图证明 ∵，， ∴点、在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 图证明：∵， ∴是等腰三角形，． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴点、在的垂直分线上， ∴垂直平分． 图证明：正五边形中，，，． 如图，连接、， 在和中，      ∴（）， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 同理可证：， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 学科网（北京）股份有限公司 $