第6讲 轨迹综合问题 讲义-2026届高三数学一轮复习

冲刺清北数学工作室 第 6 讲 轨迹综合问题 第一部分：判断轨迹与平面截圆柱和圆锥的截口曲线类型 （1）几何法判断轨迹 动点满足如下轨迹定义条件时： 1.平面内动点到定点的距离等于定长，轨迹为圆 2.空间中动点到定点的距离等于定长，轨迹为球（面） 3.两个不同平面内的公共点的集合，轨迹为两平面的交线（直线） 4.平面内动点到两定点距离之和为定值（定值大于两定点间的距离），轨迹为椭圆 5.平面内动点到两定点距离之差的绝对值为定值（定值小于两定点间的距离），轨迹为双曲线 6.平面内动点到定点的距离等于到定线的距离（定点不在定线上），轨迹为抛物线 （2）方程法判断轨迹 1.直线类型：、、 2.圆的类型：、、 3.椭圆与双曲线类型：等 5.抛物线类型：、等 （3）平面截圆柱和圆锥的截口曲线类型 类型一：平面截圆柱 表示中轴线与平面所成的角，表示圆柱底面圆的半径 当时，截口曲线为长方形；当时，截口曲线为圆 当时，截口曲线为椭圆. 此时，短半轴，长半轴，离心率. 【注】平面截圆柱，所得截口曲线为椭圆，椭圆的短轴即为圆柱底面圆的直径. 类型二：平面截圆锥 注：表示中轴线与母线的夹角，表示中轴线与平面所成的角 当时，截口曲线为圆； 当时，截口曲线为椭圆 当时，截口曲线为抛物线； 当时，截口曲线为双曲线 第二部分：六大基础类型求动点轨迹 题型一：动点保持平行性求轨迹 线面平行转化为面面平行得轨迹，平行时可利用向量法垂直关系求轨迹 【例1】如图（1-1），在棱长为的正方体中，、、、、分别是、、、、的中点，在四边形边上及其内部运动，若∥平面，则点轨迹的长度为（ ） 图（1-1） 图（1-2） [解]如图（1-2） 【例2】如图（2），三棱台中，在在上，且∥，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面∥平面，则点轨迹是（ ） 三角形边界的一部分 一个点 线段的一部分 圆的一部分 图（2） [解]如图（2） 【例3】如图（3-1），已知正方体的棱长为2，、分别是棱、的中点，点为底面内（包含边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ） 图（3-1） 图（3-2） [解]如图（3-2） 题型二：动点保持垂直性求轨迹 可利用线线垂直、线面垂直，转化为面面垂直得交线轨迹，利用空间坐标运算求轨迹，利用垂直关系转化为平行关系求轨迹 【例4】如图（4），在正方体中，是正方形内的动点，，则点的轨迹是（ ） 点 线段 线段 平面 [解]如图（4） 图（4） 图（5） 【例5】如图（5），在正方体中，点在侧面及其边界上运动，且保持，则点的轨迹是（ ） 线段 线段 的中点与的中点连成的线段 的中点与的中点连成的线段 [解]如图（5） 【例6】（多选题）如图（6-1），正方体的棱长为1，、分别是棱、的中点，点在正方体表面上运动，且满足，给出下列说法正确的是（ ） 点可以为棱的中点 线段的最大值为 点的轨迹是正方形 点的轨迹轨迹长度为 图（6-1） 图（6-2） [解]如图（6-2） 题型三：动点保持等距（或者定距）求轨迹 距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线的定义或球和圆的定义等知识判断轨迹，利用空间坐标系计算求轨迹 【例7】已知正方体的棱长为1，为底面内一点，若到棱、距离相等的点，则点的轨迹是（ ） 直线 椭圆 抛物线 双曲线 [解]如图（7） 图（7） 图（8-1） 图（8-2） 【例8】如图（8-1），在四棱锥中，侧面是正三角形，底面是正方形，侧面底面，为正方形内（包括边界）的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹为（ ） [解] 题型四：动点保持等角（或定角）求轨迹 直线与面成定角，可能是圆锥侧面；直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面.利用空间坐标系计算求轨迹 【例9】如图（9），长方体中，且，，点为平面上的一动点，若，则点的轨迹为（ ） 抛物线 椭圆 双曲线 圆 图（9） [解]如图（9） 【例10】如图（10-1），正方体中，、分别为、的中点，是边上的一个点（包括端点），是平面上一个动点，满足直线与直线的夹角和直线与直线的夹角线相等，则点所在轨迹为（ ） 椭圆 双曲线 抛物线 抛物线或双曲线 图（10-1） 图（10-2） [解] 【例11】如图（11-1），长方体中，，，为棱的中点，动点满足，则点的轨迹与长方体的侧面的交线长为 . 图（11-1） 图（11-2） [解] 题型五：投影求轨迹 球的非正投影，可能是椭圆；多面体的投影，多为多边形 【例12】1822年比利时数学家利用圆锥区县的两个内切球，试证明用一个平面取截圆锥，可得得到椭圆（其中两个球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义域推挤定义的统一性.在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照底面上的篮球，留下的影子会形成椭圆.这是由于光线形成的圆锥被底面所截产生了椭圆的截面.如图（12-1），在底面的某个点正上方有一个点光源，将小球放置在底面，使得与小球相切。若，小球半径，则小球在点的影子形成的椭圆的离心率为 （ ） [解]如图（12-2） 图（12-1） 图（12-2） 图（13-1） 图（13-2） 【例13】如图（13-1），已知水底面上有一半径为4的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆，如图，椭圆中心为，，，球与地面的接触点为，若光线与底面所成角为，椭圆的离心率为 . [解]如图（13-2） 题型六：翻折与动点求轨迹 翻折问题，首先确定翻折前后变与不变的关系，画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决；其次确定翻折后关键点的位置.所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算. 【例14】如图（14-1），将四边形，沿着翻折到，则翻折过程中中点的轨迹是（ ） 椭圆的一部分 抛物线的一部分 双曲线的一部分 一段圆弧 图（14-1） 图（14-2） 图（14-3） [解]如图（14-2） 如图（14-3） 【例15】如图（15-1），为正三角形，边长为2，在边上任取一点，沿着将折起，使平面平面，在平面内过点作平面，垂足为，那么随着点的变化，点的轨迹长度为 （ ） [解]如图（15-2） 图（15-1） 图（15-2） 图（16-1） 图（16-2） 【例16】如图（16-1），等腰梯形中，∥，，，，沿着把折起至，使在平面上的射影恰落在上，当边长变化时，点的轨迹长度为（ ） [解] 【例17】如图（17-1），在矩形中，,,为线段上的一个动点，现将沿折起，使得点在面的射影在直线上.当点从运动到点时，则点所形成的轨迹长度为 . 图（17-1） 图（17-2） 图（17-3） [解] 第三部分：几何性质与坐标计算判断轨迹类型 题型一：直线或线段轨迹类型 【例18】在正四棱椎中，是的中点，点在侧面内及其边界上运动，并且总是保持，则动点的轨迹与组成的相关图形最有可能是（ ） [解]如图（18） 图（18） 图（19） 【例19】如图（19），在正方体中，点为棱的中点，点在四边形内运动，且总有，则点的轨迹为（ ） 线段 圆的一部分 椭圆的一部分 双曲线的一部分 [解]如图（19） 【例20】如图（20-1），正方体中，、分别是棱、上的动点，且，为的中点，则点的轨迹是 .（点、分别面、面的中心点） 图（20-1） 图（20-2） [解]如图（20-2） 【例21】如图（21-1），平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是（ ） 一条直线 一个圆 一个椭圆 双曲线的一支 图（21-1） 图（21-2） [解]如图（21-2） 【例22】如图（22-1），点是长方体的棱的中点，，，点在面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点的轨迹为（ ） 椭圆的一部分 抛物线的一部分 一条线段 一段圆弧 图（22-1） 图（22-2） 图（22-3） [解][法1]如图（22-2） 图（22-4） [法2]如图（22-4） 【例23】如图（23），在正方体中，点为棱的中点，点在四边形内运动，且总有，则点的轨迹为（ ） 线段 圆的一部分 椭圆的一部分 双曲线的一部分 [解] 图（23） 图（24-1） 图（24-2） 【例24】如图（24-1），在正方体中棱长为2，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，为正方形内一点，、分别为、上靠近和的三等分点，若线段与相交且互相平分，则点的轨迹与线段形成的封闭图形的面积为 . [解]如图（24-1） 如图（24-2） 【例25】若三棱锥的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成的图形可能是（ ） 图（25） [解] 题型二：圆或圆部分轨迹类型 【例26】如图（26-1），已知三棱锥,, ,,点在平面内，且，则异面直线与所成角的余弦值最大值为 . 图（26-1） 图（26-2） [解]如图（26-2） 【例27】如图（27），已知线段∥，且与平面的距离为4，点是平面上的动点，且满足，若，则线段长度的取值范围是 . 图（27） [解]如图（27） 【例28】如图（28-1），在棱长为3 的正方体中，点是平面内的一动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围是（ ） 图（28-1） 图（28-2） 图（28-3） [解] 如图（28-2） 【例29】如图（29-1），已知正方体中，，为的中点，为正方形内的一个动点（含边界），且，则的最小值为（ ） 图（29-1） 图（29-2） [解]如图（29-2） 【例30】如图（30-1），在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，，点为正方形所在平面内的一个动点，且满足，则线段的长度的最大值为 . 图（30-1） 图（30-2） [解]如图（30-2） 总结：在平面内，动点到两个定点的距离之比为定值（定值不为1），考查阿波罗尼斯圆的性质. 【例31】如图（31-1），已知线段垂直于定圆所在平面，、是圆上的两个点，是点在上的射影，当点运动时，点运动的轨迹是 （ ） 圆 椭圆 抛物线 不是平面图形 图（31-1） 图（31-2） [解]如图（31-2） 【例32】如图（32-1），在正方体中，当动点在底面内运动时，总有，则动点在面内的轨迹是（ ） 椭圆的一部分 双曲线的一部分 抛物线的一部分 圆的一部分 [解]如图（32-2） 图（32-1） 图（32-2） 【例33】如图（33-1），四棱锥，平面，平面，底面为梯形，，，，，则满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是（ ） 圆 不完整的圆 抛物线 抛物线的一部分 [解]如图（33-2） 图（33-1） 图（33-2） 图（34-1） 图（34-2） 【例34】如图（34-1），已知正方体，空间一动点满足，且，则动点的轨迹为（ ） 直线 圆 椭圆 抛物线 [解]如图（34-2） 【例35】如图（35-1），正四面体的棱长为2，棱与平面所成的角，且顶点在平面内，、、均在平面外（同侧），则棱的中点到平面的距离的取值范围是 . 图（35-1） 图（35-2） [解]如图（35-2） 总结：此题看似考查距离最值，其本质考查直线与平面所成角的最值问题.旋转问题，考查圆锥时，往往考查直线与圆锥母线及中轴线的夹角问题. 题型三：椭圆或椭圆部分轨迹类型 【例36】如图（36-1），点是平面的斜线段，点为斜足，若点在平面内运动，且的面积为定值，则动点的轨迹为（ ） 圆 椭圆 直线 两条平行线 图（36-1） 图（36-2） [解]如图（36-2） 【例37】如图（37），斜线段是平面所成的角为，为斜足，平面上动点满足，则点的轨迹是（ ） 直线 抛物线 椭圆 双曲线的一支 图（37） [解] 【例38】如图（38-1），在正方体中，点、分别是直线、上的动点，点是内的动点（不包括边界），记直线与所成角为，若的最小值为，则点的轨迹是（ ） 圆的一部分 椭圆的一部分 抛物线的一部分 双曲线的一部分 图（38-1） 图（38-2） [解] 如图（38-2） 【例39】如图（39-1），已知异面直线、成角，其公垂线段为，，长为4的线段的两端点分别在直线、上运动，则中点的轨迹为（ ） 椭圆 双曲线 圆 以上都不是 图（39-1） 图（39-2） [解]如图（39-1） 如图（39-2） 【例40】历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线.如图（40-1），在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点到圆锥顶点的距离为1，对于所得截口给出以下命题，其中正确的序号为（ ） ①曲线形状为椭圆； ②点为该曲线上任意一两点最长距离的三等分点； ③该曲线上任意两点间的最长距离为，最短距离为； ④该曲线的离心率为. ①②④ ①②③④ ①②③ ①④ 图（40-1） 图（40-2） [解] 题型四：双曲线或双曲线部分轨迹类型 【例41】如图（41-1），已知点在正方体的侧面中，且满足，则点的轨迹为（ ） 圆 椭圆 双曲线 抛物线 图（41-1） 图（41-2） 图（42） [解]如图（41-2） 【例42】已知正方体的棱长为1，点是平面内的动点，若点到的距离等于点到直线的距离，则动点的轨迹所在直线的曲线是（ ） 抛物线 双曲线 椭圆 直线 [解]如图（42） 总结：考查双曲线轨迹类型相对比较少一些 题型五：抛物线轨迹类型 【例43】在正方体中，已知点为平面中的一个动点，且点满足：直线与平面所成的角的大小等于平面与平面所成锐二面角的大小，则点的轨迹为（ ） 直线 椭圆 圆 抛物线 图（43） [解]如图（43） 【例44】如图（44），在正方体中，点在面内运动，且点到和的距离相等，则点的轨迹为（ ） 圆的一部分 椭圆的一部分 双曲线的一部分 抛物线的一部分 [解]如图（44）， 图（44） 图（45） 【例45】在正方体中，点是侧面内一动点，若到直线与到直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是 . [解]如图（45） 【例46】如图（46），正方体的棱长为1，点在棱上，且，点是平面上的动点，且动点到直线的距离与动点到点的距离的平方差为1，则动点的轨迹是（ ） 圆 抛物线 双曲线 直线 [解]如图（46） 图（46） 图（47-1） 图（47-2） 【例47】如图（47-1），已知三棱柱，平面，是内一点，点、在直线上运动，若直线和所成角的最小值与直线和平面所成角的最大值相等，则满足条件的点的轨迹是（ ） 直线的一部分 圆的一部分 抛物线的一部分 椭圆的一部分 [解]如图（47-2） 题型六：球轨迹类型 【例48】如图（48-1），直线平面，垂足是，正四面体的棱长为4，点在平面上运动，点在直线上运动，则点到直线的距离的取值范围是 . [解]如图（48-1） 图（48-1） 图（48-2） 图（49） 【例49】如图（49），在棱长为6的正方体中，长度为4的线段的一个端点在上运动，另一个端点在底面上运动，则的中点的轨迹与其顶点的正方体的三个面所围成的几何体的体积是 . [解] 总结：圆轨迹类型考查动点在平面内，球轨迹类型考查动点在空间内，区别比较明显. 第四部分：轨迹长度或面积问题 【例50】如图（50-1），已知平面平面，，，且，.是正方形，在正方形内部有一点，满足、与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为 ( ) 图（50-1） 图（50-2） [解]如图（50-1）， 【例51】如图（51），在四面体中，已知，且、、两两互相垂直，在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线的总长度是 . 图（51） [解]如图（51） 【例52】如图（52-1），点为棱长为2的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点轨迹的长度为 . 图（52-1） 图（52-2） [解] 【例53】已知正方体的棱长为1，、是对角线上的两点，动点在正方体表面上运动，满足，则动点的轨迹长度的最大值为 . 图（53） [解]如图（53）， 【例54】如图（54-1），点为棱长是的正方体的内切球的球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为 . 图（54-1） 图（54-2） [解]如图（54-2） 【例55】如图（55），直三棱柱中，为边长为2的等边三角形，，点、、、、分别是边、、、、的中点，动点在四边形内部运动，并且始终有∥平面，则动点的轨迹长度为（ ） [解] 图（55） 图（56） 【例56】正四棱锥的底面边长为2，高为2，是边的中点，动点在棱锥表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为 ． [解]如图（56） 【例57】如图（57-1），在空间坐标系中，正四面体的顶点、分别在轴和轴上移动.若该正四面体的棱长为2，则的取值范围是（ ） 图（57-1） 图（57-2） [解] 【例58】如图（58-1），在长方形中，，，为线段上一动点，现将沿折起到，使点在面上的射影在直线上，当从运动到，则形成轨迹的长度为 . 图（58-1） 图（58-2） 图（58-3） [解]如图（58-2） 【例59】正四棱锥的底面边长为4，高为4，点、、分别为、、的中点，动点在正四棱锥的表面上运动，并且总保持∥平面，则动点的轨迹的周长为 . 图（59-1） 图（59-2） 图（59-3） 图（59-4） [解]如图（59-1） 【例60】如图（60-1），在四面体中，、、两两互相垂直且===3,则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线总长度为（ ） 图（60-1） 图（60-2） [解]如图（60-2） 【例61】如图（61-1），已知正方体的棱长为1，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且∥平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是（ ） 图（61-1） 图（61-2） [解]如图（61-2） 【例62】如图（62-1），在棱长为3的正方体中，点是的中点，点在正方体的表面上移动，且满足，当在上时， ，点和满足条件的所有点构成的平面图形的面积是 . 图（62-1） 图（62-2） [解]如图（62-2） 【例63】如图（63-1），平面平面，且平面平面=，， ，，平面内一动点满足，则的最小值是 . 图（63-1） 图（63-2） [解] 【例64】如图（64），是平面外固定的斜线段，为斜足.若点在平面内运动，且等于直线与平面所成的角，则动点的轨迹为 （ ） 圆 椭圆 双曲线 抛物线 [解] 图（64） 图（65-1） 图（65-2） 【例65】2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现：平面截圆锥的截口曲线为圆锥曲线，已知圆锥的高为，为底面直径，顶角为，那么不过顶点的平面：与夹角满足时，截口曲线为椭圆；与夹角时，截口曲线为抛物线；与夹角满足时，截口曲线为双曲线.如图（65-1），底面内的直线，过的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与的交点为，可知为长轴，那么当在线段上运动时，截口曲线的短轴顶点的轨迹为（ ） 圆的一部分 椭圆的一部分 双曲线的一部分 抛物线的一部分 [解]如图（65-2）， 【例66】如图（66-1），斜线段与平面的夹角为，，，且，平面内有两动点与，分别满足，，则的最小值为 . 图（66-1） 图（66-1） 图（66-2） [解] 第五部分：特殊轨迹类型 【例67】已知直线平行于平面，且它们的距离为，我们把到直线与到平面的距离都相等的点构成的集合定义为集合，那么集合中同属于某个平面的点过构成的图形不可能是（ ） 椭圆 两条平行线 一条直线 抛物线 图（67） [解] 【例68】已知平面∥平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到点的距离为5，且到直线的距离为的点的轨迹是（ ） 一个圆 两条平行直线 四个点 两个点 [解]如图（68） 图（68） 图（69-1） 图（69-2） 【例69】如图，设、为定点，且均不在平面上，动点在平面上，且，则动点的轨迹是（ ） 圆或椭圆 抛物线或双曲线 椭圆或双曲线 以上均有可能 [解]如图（69-2） 【例70】如图（70-1），平面，为线段的中点，，，点为平面内的动点，且点到直线的距离为，则的最大值为 . 图（70-1） 图（70-2） [解]如图（70-2） 总结：动点到定点的距离为定值，动点的轨迹为圆或球面；动点到定线的距离为定值，动点的轨迹为以该定线为中轴线，定长为半径的圆柱的母线上. 第六部分：圆锥模型与角 圆锥模型与角主要考查圆锥角最值定理的应用，参考第三期的内容 【例71】如图（71-1），已知矩形，,,、分别为线段与上的点（不包括端点），沿直线将折起，沿直线将折起，在旋转的过程中，直线与所成角的最大值是（ ） 图（71-1） 图（71-2） 图（71-3） [解]如图（71-2） 【例72】如图（72-1），在中，，，为的中点，将沿着翻折至，使得，则的取值不可能为（ ） 图（72-1） 图（72-2） [解]如图（72-2） 【例73】如图（73-1），在中,,.若平面外的点和线段上的点，满足，,则四棱锥的体积的最大值是 .（可参考第三期【例32】） 图（73-1） 图（73-2） [解]如图（73-2） 【例74】如图（74-1），在菱形中，，线段、的中点分别为、，现将沿对角线翻折，则异面直线与所成的角的取值范围是（ ）（可参考第三期【例18】） 图（74-1） 图（74-2） [解] 【例75】如图（75-1,75-2），在中，,,是斜边的中点，将沿直线翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是 . 图（75-1） 图（75-2） 图（75-3） [解]如图（75-3） 【例76】如图（76-1），在平行四边形中，，，，为线段上一动点，将沿翻折到，在翻折过程中，若存在某个位置使得直线与垂直，则的取值范围是 . 图（76-1） 图（76-2） [解]如图（76-2） 总结：存在两直线垂直，转化为两直线所成角的最大值大于等于. 【例77】已知在中，，，现将绕直线旋转到，设二面角大小为，与平面所成角为，与平面所成角为，若，则（ ） 且 且 且 且 图（77） [解]如图（77） 【例78】已知四边形，，，现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（ ） 图（78） [解]如图（78） 【例79】如图（79-1），已知正四面体在平面上方，点，若与平面所成角等于，平面与平面所成角的正弦值的取值范围是（ ） 图（79-1） 图（79-2） [解] 【例80】如图（80-1），正方体在平面上方，，点是线段的中点，直线与平面所成角为.当正方体绕着旋转一周时，平面与平面所成角的正弦值的最小值为 （ ） 图（80-1） 图（80-2） [解] 总结 （1）动点轨迹问题主要以平行和垂直为条件设计题型，需要通过条件进行转化，判断动点的变化规律，是线段，还是曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）等； （2）平面截圆锥所得截口曲线是考查的重点，需要准确判断圆锥中轴线与母线的夹角的大小与平面所成角的大小的关系，才能得出动点的轨迹； （3）求动点的轨迹长度主要考查球面中某截面的弧长，需要判断是大圆中的弧长还是小圆中的弧长，标准依据就是球心是否在弧长所在的平面内，若是就是大圆中弧长，若不是就是小圆中的弧长； （4）求动点的轨迹面积一般是三角形或四边形面积为主； （5）圆锥模型与角本质是考查圆锥角最值定理的应用，求相应边的取值范围需要转化到求角的取值范围. 第六讲 轨迹综合问题 第二部分：六大基础类型求动点轨迹 题型一：动点保持平行性求轨迹 线面平行转化为面面平行得轨迹，平行时可利用向量法垂直关系求轨迹 【例1】如图（1-1），在棱长为的正方体中，、、、、分别是、、、、的中点，在四边形边上及其内部运动，若∥平面，则点轨迹的长度为（ ） 图（1-1） 图（1-2） [解]如图（1-2），由、分别是、的中点，则∥，由∥，故∥，由平面，平面，则∥平面， 由、分别是、的中点，则∥，由平面，平面，则∥平面，又，则平面∥平面， 由∥平面，故平面，又在四边形边上及其内部运动， 故点须在线段 上运动，即满足条件，，则点轨迹的长度是.答案：. 【例2】如图（2），三棱台中，在在上，且∥，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面∥平面，则点轨迹是（ ） 三角形边界的一部分 一个点 线段的一部分 圆的一部分 图（2） [解]如图（2），过点作∥交于，连接，∥，平面，平面，则∥平面，同理∥平面，又，故平面∥平面，则（不与重合，否则没有平面），故点轨迹是是线段的一部分.答案：. 【例3】如图（3-1），已知正方体的棱长为2，、分别是棱、的中点，点为底面内（包含边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ） 图（3-1） 图（3-2） [解]如图（3-2）由已知∥平面，连接，由、分别是棱、的中点，则∥，延长平面，平面，故∥平面， 由交的延长线于点，则，连接，过点作∥，交与，则点为的中点，由平面，平面，故∥平面， 又，则平面∥平面，由∥平面，则平面，又点为底面内（包含边界），故点的轨迹为线段，在中，即点的轨迹长度为.答案：. 题型二：动点保持垂直性求轨迹 可利用线线垂直、线面垂直，转化为面面垂直得交线轨迹，利用空间坐标运算求轨迹，利用垂直关系转化为平行关系求轨迹 【例4】如图（4），在正方体中，是正方形内的动点，，则点的轨迹是（ ） 点 线段 线段 平面 [解]如图（4），连接，，则，，， 故平面，又，则平面，又是正方形内的动点，则点在线段上.答案：. 图（4） 图（5） 【例5】如图（5），在正方体中，点在侧面及其边界上运动，且保持，则点的轨迹是（ ） 线段 线段 的中点与的中点连成的线段 的中点与的中点连成的线段 [解]如图（5），连接、、在，在正方体中，有平面，又点在侧面及其边界上运动，故点的轨迹为平面与平面的交线段.答案：. 【例6】（多选题）如图（6-1），正方体的棱长为1，、分别是棱、的中点，点在正方体表面上运动，且满足，给出下列说法正确的是（ ） 点可以为棱的中点 线段的最大值为 点的轨迹是正方形 点的轨迹轨迹长度为 图（6-1） 图（6-2） [解]如图（6-2），以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，则，设， 则，由，则， 即, 当时，，取，，过点作交于点， 可得，过点作∥交于点，则， 由，，，故平面，又点为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，故平面，即点的轨迹为长方形，故错，此时点在棱的四等分点处（靠近点），故错， 长方形的周长，故对，又，故对. 答案：. 题型三：动点保持等距（或者定距）求轨迹 距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线的定义或球和圆的定义等知识判断轨迹，利用空间坐标系计算求轨迹 【例7】已知正方体的棱长为1，为底面内一点，若到棱、距离相等的点，则点的轨迹是（ ） 直线 椭圆 抛物线 双曲线 [解]如图（7），过点作于，过点作于，过作∥，交于，，由题意可知，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由，则，化简得，即点的轨迹是双曲线.答案：. 图（7） 图（8-1） 图（8-2） 【例8】如图（8-1），在四棱锥中，侧面是正三角形，底面是正方形，侧面底面，为正方形内（包括边界）的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹为（ ） [解]如图，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，正方形的边长为2，则，，，， 则，，由，则，即点在正方形内的轨迹为一条线段（）.答案：. 题型四：动点保持等角（或定角）求轨迹 直线与面成定角，可能是圆锥侧面；直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面.利用空间坐标系计算求轨迹 【例9】如图（9），长方体中，且，，点为平面上的一动点，若，则点的轨迹为（ ） 抛物线 椭圆 双曲线 圆 图（9） [解]如图（9），以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，，，则，， 故， 即，由，， 则，即，即， 即，即点的轨迹为椭圆.答案：. 【例10】如图（10-1），正方体中，、分别为、的中点，是边上的一个点（包括端点），是平面上一个动点，满足直线与直线的夹角和直线与直线的夹角线相等，则点所在轨迹为（ ） 椭圆 双曲线 抛物线 抛物线或双曲线 图（10-1） 图（10-2） [解]由已知可得：点的轨迹为以为母线，为轴，为底面直径的圆锥体即其关于反向对称的锥体与平面的交线，设母线与轴的夹角为，则，设轴与平面的夹角为，如图（10-2），以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，（），，，，则，，，设平面的法向量为， 得，取， 故，即在上单增，则，则，又，故， 当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线. 即点的轨迹可为抛物线或双曲线.答案：. 【例11】如图（11-1），长方体中，，，为棱的中点，动点满足，则点的轨迹与长方体的侧面的交线长为 . 图（11-1） 图（11-2） [解]由已知，当在面内时，平面，平面， 由，则，在中，， 在中，，即，得， 如图（11-2），以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，，，由，则， 化简:,轨迹是圆的一部分，此圆与边交于点，与边交于点，过点作于点，则点在侧面内的轨迹是以为圆心，半径的圆的一部分，即为劣弧，在中， ，则，即劣弧的长度. 题型五：投影求轨迹 球的非正投影，可能是椭圆；多面体的投影，多为多边形 【例12】1822年比利时数学家利用圆锥区县的两个内切球，试证明用一个平面取截圆锥，可得得到椭圆（其中两个球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义域推挤定义的统一性.在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照底面上的篮球，留下的影子会形成椭圆.这是由于光线形成的圆锥被底面所截产生了椭圆的截面.如图（12-1），在底面的某个点正上方有一个点光源，将小球放置在底面，使得与小球相切。若，小球半径，则小球在点的影子形成的椭圆的离心率为 （ ） [解]如图（12-2），可得①，，，则，在中，②，由①②可得：，，故.答案：. 图（12-1） 图（12-2） 图（13-1） 图（13-2） 【例13】如图（13-1），已知水底面上有一半径为4的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆，如图，椭圆中心为，，，球与地面的接触点为，若光线与底面所成角为，椭圆的离心率为 . [解]如图（13-2），长轴，过点作，垂足为，在中，，，则，故，在中，，，故，即，又短轴， 则，，故. 题型六：翻折与动点求轨迹 翻折问题，首先确定翻折前后变与不变的关系，画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决；其次确定翻折后关键点的位置.所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算. 【例14】如图（14-1），将四边形，沿着翻折到，则翻折过程中中点的轨迹是（ ） 椭圆的一部分 抛物线的一部分 双曲线的一部分 一段圆弧 图（14-1） 图（14-2） 图（14-3） [解]如图（14-2），过点作于点，过作于点，连接， 如图（14-3），翻折过程前后，与的形状一致，即的长度不变，取的中点为 ，连接，取的中点为 ，连接,则， 在中，，则的长度不变， 在中，，则的长度不变，过点作，连接、，由，则平面，即点的轨迹是以点为圆心，半径的圆的一部分（圆在平面内）.答案： 【例15】如图（15-1），为正三角形，边长为2，在边上任取一点，沿着将折起，使平面平面，在平面内过点作平面，垂足为，那么随着点的变化，点的轨迹长度为 （ ） [解]如图（15-2）由平面平面，平面平面=，平面，故，取的中点为，连接，得，则点的轨迹是以为圆心，半径的圆的一部分，其圆心角的范围， 故点的轨迹长度.答案：. 图（15-1） 图（15-2） 图（16-1） 图（16-2） 【例16】如图（16-1），等腰梯形中，∥，，，，沿着把折起至，使在平面上的射影恰落在上，当边长变化时，点的轨迹长度为（ ） [解]由点在平面上的射影恰落在上，且的长度不变，故点的轨迹在以为圆心，半径的圆.当的长度趋于0时，点、、共点于线段的中点；当的长度趋于时，点的射影为，如图（16-2），设，则，在中，，，在中，，解得，即，在中，，则点所在轨迹圆的圆心角为，故点的轨迹长度.答案：. 【例17】如图（17-1），在矩形中，,,为线段上的一个动点，现将沿折起，使得点在面的射影在直线上.当点从运动到点时，则点所形成的轨迹长度为 . 图（17-1） 图（17-2） 图（17-3） [解]由已知平面，则，取的中点为， 如图（17-2），中，，则点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，如图（17-3），当点运动到点时，点运动到点，则点的运动轨迹为劣弧，，在中，， 则，故，则劣弧的长度，即点所形成的轨迹长度为. 第三部分：几何性质与坐标计算判断轨迹类型 题型一：直线或线段轨迹类型 【例18】在正四棱椎中，是的中点，点在侧面内及其边界上运动，并且总是保持，则动点的轨迹与组成的相关图形最有可能是（ ） [解]如图（18），由正四棱锥的性质可得：平面，取、的中点、，则∥ ，∥ ，故平面∥平面，又平面， 由，则平面，又平面，平面，则，即点在侧面的轨迹为的中位线.答案： 图（18） 图（19） 【例19】如图（19），在正方体中，点为棱的中点，点在四边形内运动，且总有，则点的轨迹为（ ） 线段 圆的一部分 椭圆的一部分 双曲线的一部分 [解]如图（19），由题意，根据正方体的性质，平面，取、的中点为、，则平面∥ 平面，故平面，又点在四边形内运动，，则在线段上，即点的轨迹为线段.答案： 【例20】如图（20-1），正方体中，、分别是棱、上的动点，且，为的中点，则点的轨迹是 .（点、分别面、面的中心点） 图（20-1） 图（20-2） [解]如图（20-2），在线段上取，使得，则∥，连接与交于点，则点为面的中心点，连接与交于点，则点面中心点，则∥，又点、分别为、的中点，故∥，又，则∥，故∥，又，故点、、三点共线，即点的轨迹是线段. 【例21】如图（21-1），平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是（ ） 一条直线 一个圆 一个椭圆 双曲线的一支 图（21-1） 图（21-2） [解]如图（21-2），设与是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线垂直于这个平面，由过平面外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直，可知过定点与垂直的所有直线都在这个平面内，故动点都在这个平面与的交线上，即动点的轨迹是一条直线.答案：. 【例22】如图（22-1），点是长方体的棱的中点，，，点在面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点的轨迹为（ ） 椭圆的一部分 抛物线的一部分 一条线段 一段圆弧 图（22-1） 图（22-2） 图（22-3） [解][法1]如图（22-2），建立如图所示的空间直角坐标系，则面的法向量为，面的法向量为，点，，设，则，，设平面的法向量为，故，取， 由，得，故 或， 则点的轨迹在平面内为一条线段或两条线段，其方程设为直线，如图（22-3）， 当时，直线与正方形无交点，不符合题意； 当时，直线与正方形有交点，符合题意； 故点在平面内的轨迹为一条直线.答案：. 图（22-4） [法2]如图（22-4），设点在平面的投影为，连接，，平面与平面所成的锐二面角为与平面，则， 设点在平面的投影为的中点，连接，，平面与平面所成的锐二面角为与平面，则， 故，即，得到，则，即点到直线的距离为定值，故点在于平行的直线上，又点在平面内，故轨迹为一条线段.答案：. 【例23】如图（23），在正方体中，点为棱的中点，点在四边形内运动，且总有，则点的轨迹为（ ） 线段 圆的一部分 椭圆的一部分 双曲线的一部分 [解]由题意，根据正方体的性质，平面，取、的中点为、， 则平面∥ 平面，故平面，又点在四边形内运动，，则在线段上，即点的轨迹为线段.答案： 图（23） 图（24-1） 图（24-2） 【例24】如图（24-1），在正方体中棱长为2，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，为正方形内一点，、分别为、上靠近和的三等分点，若线段与相交且互相平分，则点的轨迹与线段形成的封闭图形的面积为 . [解]如图（24-1），由线段与互相平分，则四边形是平行四边形，故∥，如图（24-2），由是底面正方形的中心，则点平行于的直线交于点，过点平行于的直线与交于点，则点的轨迹与线段形成的封闭图形是等腰直角，在中，， 则. 【例25】若三棱锥的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成的图形可能是（ ） 图（25） [解]动点在侧面内，若点到的距离等于到棱的距离，则点在的内角平分线上，现点到平面的距离等于到的距离相等，而点到棱的距离大于到底面的距离，于是，到棱的距离小于到棱的距离，故动点只能在的内角平分线与之间的区域内.如图（25），设在平面上的射影为，且，过点作于点，过点作于点，故，令，，，由最小角原理：，即①， 设，则，， ，， ，由， 则②，则满足①②关系的、即可， 则可得为定值，即为定直线，靠近.答案： 题型二：圆或圆部分轨迹类型 【例26】如图（26-1），已知三棱锥,, ,,点在平面内，且，则异面直线与所成角的余弦值最大值为 . 图（26-1） 图（26-2） [解]如图（26-2），取的中点为，连接、，由，，则，，又，则平面，由平面，则平面平面，平面平面=，又，，取的中点为，则，平面，在中，，，故，在，，，则， ，故点在平面内的轨迹：以点为圆心，半径的圆，即直线是以为中轴线的圆锥的母线，又平面，则异面直线与所成角的最小角为直线与平面所成的角，此时所成角的余弦值最大，由平面，则直线与平面所成的角为，故. 【例27】如图（27），已知线段∥，且与平面的距离为4，点是平面上的动点，且满足，若，则线段长度的取值范围是 . 图（27） [解]如图（27），将线段投影到平面上，得到射影，将空间问题平面化，则动点的轨迹是以为圆心，半径的圆，又，，，则， 即. 【例28】如图（28-1），在棱长为3 的正方体中，点是平面内的一动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围是（ ） 图（28-1） 图（28-2） 图（28-3） [解]由已知条件中的数据，显得感觉有点偏难，由椭圆的定义，可得动点在空间中的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆绕着长轴旋转一周所得的旋转体，又点是平面内，故点的轨迹是旋转体与平面的交线，又旋转体与平面垂直，则交线为椭圆.如图（28-2），由平面，点到平面的距离为，点到平面的距离为，设平面=，由，则设，得，，故，解得， 即动点的轨迹是以为圆心，半径的圆且在平面内，是为以为顶点的圆锥的母线，所求角转化为圆锥母线与所成的角，即圆锥母线与圆锥底面圆直径所在直线的角，如图（28-3），在中，，，则， 得，故.答案：. 【例29】如图（29-1），已知正方体中，，为的中点，为正方形内的一个动点（含边界），且，则的最小值为（ ） 图（29-1） 图（29-2） [解]如图（29-2），取的中点为，连接，，则在中，，则，则，故点是以为圆心，半径的圆及其内部（在正方形内），以为原点建立坐标系，如图，则，，，，设，则，，， 故，则， 设，则.答案：. 【例30】如图（30-1），在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，，点为正方形所在平面内的一个动点，且满足，则线段的长度的最大值为 . 图（30-1） 图（30-2） [解]如图（30-2），建立如图所示的直角坐标系，由已知，为的中点，，，则，，，由于点为正方形所在平面内的一个动点，设，由， 则，整理得：，即点的轨迹是圆上的点，又，则表示圆上的点与定点之间的距离， 因此. 【注】其中表示圆的半径 总结：在平面内，动点到两个定点的距离之比为定值（定值不为1），考查阿波罗尼斯圆的性质. 【例31】如图（31-1），已知线段垂直于定圆所在平面，、是圆上的两个点，是点在上的射影，当点运动时，点运动的轨迹是 （ ） 圆 椭圆 抛物线 不是平面图形 图（31-1） 图（31-2） [解]如图（31-2），设圆的半径为，取的中点为，则，， 由平面，则是在平面上的射影，从而平面， 故，则，即， 亦即动点在以为球心，为半径的球面上，又，，，则平面，故，由于点为定点，则动点又在过点且垂直于直线的定平面上，故点运动的轨迹是圆.答案：. 【例32】如图（32-1），在正方体中，当动点在底面内运动时，总有，则动点在面内的轨迹是（ ） 椭圆的一部分 双曲线的一部分 抛物线的一部分 圆的一部分 [解]如图（32-2），由，动点在底面内，则动点的轨迹是以为轴线，以为母线的圆锥与底面的交线，即为圆锥的底面圆的一部分.答案：. 图（32-1） 图（32-2） 【例33】如图（33-1），四棱锥，平面，平面，底面为梯形，，，，，则满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是（ ） 圆 不完整的圆 抛物线 抛物线的一部分 [解]如图（33-2），以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，由，平面，平面，则，即，即，设（），，，得， 化简得：,则点的轨迹为圆的一部分.答案： 图（33-1） 图（33-2） 图（34-1） 图（34-2） 【例34】如图（34-1），已知正方体，空间一动点满足，且，则动点的轨迹为（ ） 直线 圆 椭圆 抛物线 [解]如图（34-2），由已知可得：平面，由，故平面，连接与交于点，连接，则，由点为的中点，故为等腰三角形，由，则，设则，得，由为定值，又为定值，故为定值，即动点的轨迹满足在平面内以点为圆心，半径的圆.答案：. 【例35】如图（35-1），正四面体的棱长为2，棱与平面所成的角，且顶点在平面内，、、均在平面外（同侧），则棱的中点到平面的距离的取值范围是 . 图（35-1） 图（35-2） [解]如图（35-2），直线在平面内的射影为直线，则，连接、，则，过点作于点，则点为的中点，在中，，，设，有，，则点的轨迹是以点为圆心，半径的圆上，且直线与此圆垂直， 当点运动到平面内时，点到平面的距离取得最值，则，又， 则，，即. 总结：此题看似考查距离最值，其本质考查直线与平面所成角的最值问题.旋转问题，考查圆锥时，往往考查直线与圆锥母线及中轴线的夹角问题. 题型三：椭圆或椭圆部分轨迹类型 【例36】如图（36-1），点是平面的斜线段，点为斜足，若点在平面内运动，且的面积为定值，则动点的轨迹为（ ） 圆 椭圆 直线 两条平行线 图（36-1） 图（36-2） [解]如图（36-2），由线段是固定的，的面积为定值，则点到直线的距离为定值，故点应该是以为轴线的圆柱的侧面上，由于截面与圆柱的轴线不平行，故点的轨迹椭圆.答案：. 【例37】如图（37），斜线段是平面所成的角为，为斜足，平面上动点满足，则点的轨迹是（ ） 直线 抛物线 椭圆 双曲线的一支 图（37） [解]由平面截圆锥所得截口曲线性质可得：，， 当时， 截口曲线为椭圆.答案：. 【例38】如图（38-1），在正方体中，点、分别是直线、上的动点，点是内的动点（不包括边界），记直线与所成角为，若的最小值为，则点的轨迹是（ ） 圆的一部分 椭圆的一部分 抛物线的一部分 双曲线的一部分 图（38-1） 图（38-2） [解]由平面，则直线与所成角的最小值，即为直线与平面所成的角，如图（38-2），则点在以为中轴线，轴线与母线所成角为的圆锥曲面上，又在平面内，则点的轨迹为平面截圆锥的截口曲线，取的中点为，连接交于点，由正方体的性质：平面，即中轴线与平面的夹角，在中，，由，即，则截口曲线为椭圆的部分.答案：. 【例39】如图（39-1），已知异面直线、成角，其公垂线段为，，长为4的线段的两端点分别在直线、上运动，则中点的轨迹为（ ） 椭圆 双曲线 圆 以上都不是 图（39-1） 图（39-2） [解]如图（39-1），设的中点为，过作的垂面，则的中点必在平面内，设、在平面内的射影点为、，由，，则，以的角平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，如图（39-2），设，，，由余弦定理可知：，则，又，设，则，故，将上述结果带入等式中，化简可得， 故轨迹为椭圆.答案：. 【例40】历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线.如图（40-1），在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点到圆锥顶点的距离为1，对于所得截口给出以下命题，其中正确的序号为（ ） ①曲线形状为椭圆； ②点为该曲线上任意一两点最长距离的三等分点； ③该曲线上任意两点间的最长距离为，最短距离为； ④该曲线的离心率为. ①②④ ①②③④ ①②③ ①④ 图（40-1） 图（40-2） [解]由平面截圆锥所得截口的性质，由题意，，则，故截口曲线为椭圆，①对； 如图（40-2），，，，则， ，即，则，而曲线上任意两点间最长距离为，故点为该曲线上任意两点最长距离的三等分点，②对； 由于曲线是连续不断的，故任意两点间没有最短距离，③错；排除、.答案：. 题型四：双曲线或双曲线部分轨迹类型 【例41】如图（41-1），已知点在正方体的侧面中，且满足，则点的轨迹为（ ） 圆 椭圆 双曲线 抛物线 图（41-1） 图（41-2） 图（42） [解]如图（41-2），由，则点在以点为顶点，为轴线的圆锥侧面上，又点在侧面内，由于轴线∥ 平面，由平面截圆锥所得截口曲线的性质，当时，截口曲线为双曲线（部分），则点的轨迹为双曲线（部分）.答案：. 【例42】已知正方体的棱长为1，点是平面内的动点，若点到的距离等于点到直线的距离，则动点的轨迹所在直线的曲线是（ ） 抛物线 双曲线 椭圆 直线 [解]如图（42），过点作于点，过点作于点，则点到的距离为，过点作于点，则点到直线的距离为，故，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，故，，得，化简得，故点的轨迹为双曲线. 答案： 总结：考查双曲线轨迹类型相对比较少一些 题型五：抛物线轨迹类型 【例43】在正方体中，已知点为平面中的一个动点，且点满足：直线与平面所成的角的大小等于平面与平面所成锐二面角的大小，则点的轨迹为（ ） 直线 椭圆 圆 抛物线 图（43） [解]如图（43），建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，设，，则,过点作∥分别交、于、，由平面，连接、，由平面，则在平面的射影为，即为直线与平面所成的角，又平面平面=，，，平面，平面，故为平面与平面所成锐二面角的平面角，由已知，即，即，化简得：，则点的轨迹为抛物线.答案：. 【例44】如图（44），在正方体中，点在面内运动，且点到和的距离相等，则点的轨迹为（ ） 圆的一部分 椭圆的一部分 双曲线的一部分 抛物线的一部分 [解]如图（44），由已知可得：平面，设，平面，故，即点到的距离为，且点为定点，过点作于点，则，即点到定点的距离等于点到定直线的距离，故点的轨迹为抛物线（部分）.答案： 图（44） 图（45） 【例45】在正方体中，点是侧面内一动点，若到直线与到直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是 . [解]如图（45），由平面，平面，故， 即点到直线的距离为，过点作于点，即点直线的距离为，故，即点到定点的距离等于点到定直线的距离（），则点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线. 答案：抛物线. 【例46】如图（46），正方体的棱长为1，点在棱上，且，点是平面上的动点，且动点到直线的距离与动点到点的距离的平方差为1，则动点的轨迹是（ ） 圆 抛物线 双曲线 直线 [解]如图（46），过点作于点，过作于点，连接，则平面，，，∥，由已知：， 又，即，即，则动点的轨迹是以点为焦点，为准线的抛物线.答案： 图（46） 图（47-1） 图（47-2） 【例47】如图（47-1），已知三棱柱，平面，是内一点，点、在直线上运动，若直线和所成角的最小值与直线和平面所成角的最大值相等，则满足条件的点的轨迹是（ ） 直线的一部分 圆的一部分 抛物线的一部分 椭圆的一部分 [解]如图（47-2），直线和所成角的最小值即为直线与平面所成线面角，直线和平面所成角的最大值即为二面角的平面角. 作平面于点，于点，则，， 故，，由，故，点是点在平行平面上的投影，即点到定点的距离等于到定直线的距离，则点的轨迹为在底面内的抛物线，即点的轨迹为在底面内的抛物线.答案：. 题型六：球轨迹类型 【例48】如图（48-1），直线平面，垂足是，正四面体的棱长为4，点在平面上运动，点在直线上运动，则点到直线的距离的取值范围是 . [解]如图（48-1），点为定点，正四面体运动，但始终保持不变，不妨翻过来换位思考，将正四面体固定下来，让点在以为直径的球面上运动，如图（48-2），接下来可得到点到直线的距离的取值范围就是球心（的中点）到直线的距离减去球的半径与球心到直线的距离加上半径之间，取的中点为，则（正三棱锥三组对棱互相垂直），在，，，则，故. 图（48-1） 图（48-2） 图（49） 【例49】如图（49），在棱长为6的正方体中，长度为4的线段的一个端点在上运动，另一个端点在底面上运动，则的中点的轨迹与其顶点的正方体的三个面所围成的几何体的体积是 . [解]由平面，则，在中，为斜边的中点，则，故点的轨迹是以为球心，半径的球面，与其顶点的正方体的三个面所围成的几何体是八分之一球体.因此. 总结：圆轨迹类型考查动点在平面内，球轨迹类型考查动点在空间内，区别比较明显. 第四部分：轨迹长度或面积问题 【例50】如图（50-1），已知平面平面，，，且，.是正方形，在正方形内部有一点，满足、与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为 ( ) 图（50-1） 图（50-2） [解]如图（50-1），建立如图所示的空间直角坐标系，则，， ，由已知平面，平面，则直线、与平面所成的角分别为、，均为锐角，且， 则，即，即，则点的轨迹为阿氏圆， 由，，得，化简得： ，如图（50-2），圆心在的延长线外，半径，与、分别交于点、，则轨迹为弧长（劣弧），又、，在中，，则， 则点的轨迹长度为. 【例51】如图（51），在四面体中，已知，且、、两两互相垂直，在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线的总长度是 . 图（51） [解]如图（51），以点为球心，半径的球与四面体的各面均有交线，交线是大圆上的一段弧，作出各面的弧，则，在中，弧长是以点为圆心的一段弧，由，，则， 在中，，则，， 故，，在中，弧长以点为圆心的一段弧，由，则，同理， 在中，弧长是以点为圆心，，则， 故总弧长. 【例52】如图（52-1），点为棱长为2的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点轨迹的长度为 . 图（52-1） 图（52-2） [解]由已知，点的轨迹为球上的小圆周长，问题转化为求球心到小圆的距离. 如图，由题意：，取、的中点分别为、，则∥，即点、、、四点共面（或过点作与于点）， 由，则，故， 又，则平面，又，则平面， 如图（52-2），建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，故，，，设平面的法向量为，得，取， 则，又，则小圆的半径，故动点轨迹的长度为. 【例53】已知正方体的棱长为1，、是对角线上的两点，动点在正方体表面上运动，满足，则动点的轨迹长度的最大值为 . 图（53） [解]如图（53），满足，则动点是在垂直于且过线段中点的一个平面上的，又动点在正方体的表面上，则动点的轨迹是平面于正方体各表面的交线所组成的一个由折线段构成的轨迹，也就是垂直于正方体体对角线的平面与正方体表面相交的交线构成的图形的周长.假设有一个平面从点开始切割（设平面垂直），开始得到的图形是三角形，且三角形的周长慢慢变大，直到切割到点，这个切割图形为三角形，此时是当切割图形的周长最大，为，之后的切割图形变为六边形，经过计算得出当切割图形为六边形时图形的周长恒定还是为，之后切割图形又为三角形，周长开始从递减趋于零，直至切割到点切割结束，根据政哥哥过程来看，得出的轨迹长度的最大值为. 【例54】如图（54-1），点为棱长是的正方体的内切球的球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为 . 图（54-1） 图（54-2） [解]如图（54-2），取、的中点分别为、（或过点作，交于点，可得点为的中点，取为的中点），由，则，连接，则，又，故平面，又，则平面，则动点的轨迹为平面截内切球的小圆，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，，设平面的法向量为，则，取， 则，故小圆的半径， 故轨迹长度. 【例55】如图（55），直三棱柱中，为边长为2的等边三角形，，点、、、、分别是边、、、、的中点，动点在四边形内部运动，并且始终有∥平面，则动点的轨迹长度为（ ） [解]因为、、分别为、、的中点，所以∥，∥，所以∥平面，∥平面，又因为,所以平面∥平面，要使∥平面，则平面，所以点的轨迹为线段，点的轨迹长度为4.答案：. 图（55） 图（56） 【例56】正四棱锥的底面边长为2，高为2，是边的中点，动点在棱锥表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为 ． [解]如图（56），连接、交于点，连接，则平面，由平面，故，又，，故平面，取、的中点、，连接、、，则有∥，∥，，则平面∥平面，则平面，要使，则平面，即动点的轨迹为，又，，，故， 则动点的轨迹的周长. 【例57】如图（57-1），在空间坐标系中，正四面体的顶点、分别在轴和轴上移动.若该正四面体的棱长为2，则的取值范围是（ ） 图（57-1） 图（57-2） [解]由已知点、分别在轴和轴上移动，取的中点为，则坐标原点在以点为球心，半径的球面上，当点、、、在同一平面内时，且、、三点共线时，可取最值，如图（57-2），，，则，，故，即.答案：. 【例58】如图（58-1），在长方形中，，，为线段上一动点，现将沿折起到，使点在面上的射影在直线上，当从运动到，则形成轨迹的长度为 . 图（58-1） 图（58-2） 图（58-3） [解]如图（58-2），将沿折起，点在面上的射影直线上，则平面平面，在中，过点作，为垂足，由翻折的特征知，连接，则，故点的轨迹是以为直径的圆上的一弧，圆的半径，如图（58-3），当与重合时，取为的中点，得到是等边三角形，故，，则所对的弧长为. 【例59】正四棱锥的底面边长为4，高为4，点、、分别为、、的中点，动点在正四棱锥的表面上运动，并且总保持∥平面，则动点的轨迹的周长为 . 图（59-1） 图（59-2） 图（59-3） 图（59-4） [解]如图（59-1），取、中点、，连接、，取中点，连接、，,由、分别为、中点，则∥，∥，由平面， 则∥平面，由是中位线，则∥，∥，则∥， 由平面，由，则平面∥平面，又动点在正四棱锥的表面上运动，并且总保持∥平面，则动点的轨迹为， 如图（59-2）在中，，，则， 如图（59-3）在中，，则，如图（59-4），在正方形中，，则，故轨迹长度. 【例60】如图（60-1），在四面体中，、、两两互相垂直且===3,则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线总长度为（ ） 图（60-1） 图（60-2） [解]如图（60-2），在中，弧长是以点为圆心，半径，圆心角的弧，故，在中，弧长是以点为圆心，半径，圆心角的弧，故，在中，弧长是以点为圆心，半径，圆心角的弧，故， 在中，弧长是以点为圆心，半径，圆心角的弧， 故，故总长度. 答案：. 【例61】如图（61-1），已知正方体的棱长为1，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且∥平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是（ ） 图（61-1） 图（61-2） [解]如图（61-2），取、、的中点分别为、、，则∥∥， ∥，则点、、、四点共面，由平面，平面， 则∥平面，同理∥平面，又，则平面∥平面，又∥平面，故平面，即动点的运动轨迹形成的区域为等腰梯形，由已知可得：，，， 则等腰梯形的高，则.答案：. 【例62】如图（62-1），在棱长为3的正方体中，点是的中点，点在正方体的表面上移动，且满足，当在上时， ，点和满足条件的所有点构成的平面图形的面积是 . 图（62-1） 图（62-2） [解]如图（62-2），取、的中点分别为、，连接、、、， 由于∥，故、、、四点共面，且， 则四边形为等腰形，由，，， 则平面，即点的轨迹为等腰梯形， 当在上时，，，， 则等腰梯形的高，故. 答案：；. 【例63】如图（63-1），平面平面，且平面平面=，，，，平面内一动点满足，则的最小值是 . 图（63-1） 图（63-2） [解]由已知可得直线与平面所成的角，设， 由题意点的轨迹是以为轴线，母线与轴夹角为的圆锥面，且平面截该圆锥所得的交线，由，则点的轨迹是以为对称轴的抛物线.设此抛物线与平面交于点，以为轴，过点作轴的垂线为轴，如图(63-2）， 在中，，，故，过点作交抛物线于点，平面，在中，，， 则，故，设抛物线的方程为：，得，故，即抛物线的方程为：，由点，则，即，当时，，即. 【例64】如图（64），是平面外固定的斜线段，为斜足.若点在平面内运动，且等于直线与平面所成的角，则动点的轨迹为 （ ） 圆 椭圆 双曲线 抛物线 [解]由已知设，直线与平面所成的角为，则， 点的轨迹是以为轴线，为母线的圆锥与平面的交线，由，可得点的轨迹为抛物线.答案：. 图（64） 图（65-1） 图（65-2） 【例65】2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现：平面截圆锥的截口曲线为圆锥曲线，已知圆锥的高为，为底面直径，顶角为，那么不过顶点的平面：与夹角满足时，截口曲线为椭圆；与夹角时，截口曲线为抛物线；与夹角满足时，截口曲线为双曲线.如图（65-1），底面内的直线，过的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与的交点为，可知为长轴，那么当在线段上运动时，截口曲线的短轴顶点的轨迹为（ ） 圆的一部分 椭圆的一部分 双曲线的一部分 抛物线的一部分 [解]如图（65-2），取的中点为，在椭圆的中心在中位线上，即椭圆中心为长轴与的交点，过点作，得到椭圆的短轴，则短轴所在平面为，那么与轴所成的角为，在中，可得，由平面截圆锥的性质可得：当时，截口曲线为抛物线，则椭圆短轴的轨迹为抛物线.答案：. 【例66】如图（66-1），斜线段与平面的夹角为，，，且，平面内有两动点与，分别满足，，则的最小值为 . 图（66-1） 图（66-1） 图（66-2） [解]由已知点在以为轴线，母线与轴线所成角为的圆锥底面圆上，由平面截圆锥所得截口曲线的性质，平面与此圆锥轴线所成的角等于母线与轴线所成的角，则动点的轨迹为抛物线.如图（66-2），设抛物线的顶点为，在中，，，则，当平面时，在中，，，则，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设抛物线的方程为，得，故抛物线方程为，如图（66-3），由，则点的轨迹：，则，即，当时，，故，由圆的性质可得：. 第五部分：特殊轨迹类型 【例67】已知直线平行于平面，且它们的距离为，我们把到直线与到平面的距离都相等的点构成的集合定义为集合，那么集合中同属于某个平面的点过构成的图形不可能是（ ） 椭圆 两条平行线 一条直线 抛物线 图（67） [解]由于此题情况可能偏多，为了更好的说明利用空间直角坐标系解决相对容易. 如图（67），在棱长为的正方体中，将面当作平面，将直线当作直线，其距离为正方体的棱长，建立如图所示的空间直角坐标系，设点，则点到平面的距离为，，， 则，，故， 即，， 则，则点到直线的距离为： ， 则，整理：， 当时，，即，一条直线，有可能； 当时，，即，两条平行直线，有可能； 当不取常数，为一个变量时，是一个抛物线的方程，有可能； 由任何时候都不可能是椭圆的方程，故不可能.答案：. 【例68】已知平面∥平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到点的距离为5，且到直线的距离为的点的轨迹是（ ） 一个圆 两条平行直线 四个点 两个点 [解]如图（68），设点在平面内的射影为，则是、的公垂线，即，在内到点的距离等于5的点到的距离为3，可知所求点的轨迹是内以点为圆心，半径的圆上，又在内的动点到直线内的距离为，则轨迹为两条平行直线、，且定点到这两条平行直线的距离，在直线、与这个圆相交，共有四个交代，即所求点的轨迹是四个点.答案：. 图（68） 图（69-1） 图（69-2） 【例69】如图，设、为定点，且均不在平面上，动点在平面上，且，则动点的轨迹是（ ） 圆或椭圆 抛物线或双曲线 椭圆或双曲线 以上均有可能 [解]如图（69-2），设，， 当时，则截面形状为圆；当时，则截面形状椭圆； 当时，则截面形状为抛物线； 当时，则截面形状为双曲线（或双曲线的一部分）. 由题意：虽然，则，即，但是轴线与平面的夹角无法确定其大小，则截面形状不确定，故点的轨迹可能是圆、椭圆、双曲线、抛物线.答案： 【例70】如图（70-1），平面，为线段的中点，，，点为平面内的动点，且点到直线的距离为，则的最大值为 . 图（70-1） 图（70-2） [解]如图（70-2），由已知，点满足以为中轴线，半径的圆柱面上，又与平面所成的角为，即平面截圆柱与中轴线所成的角，故截口曲线为椭圆，且中心点为，短半轴，长半轴，故半焦距，焦距，即、刚好为椭圆的焦点，当点运动到椭圆的短轴端点时，最大，此时，，则，即. 总结：动点到定点的距离为定值，动点的轨迹为圆或球面；动点到定线的距离为定值，动点的轨迹为以该定线为中轴线，定长为半径的圆柱的母线上. 第六部分：圆锥模型与角 圆锥模型与角主要考查圆锥角最值定理的应用，参考第三期的内容 【例71】如图（71-1），已知矩形，,,、分别为线段与上的点（不包括端点），沿直线将折起，沿直线将折起，在旋转的过程中，直线与所成角的最大值是（ ） 图（71-1） 图（71-2） 图（71-3） [解]如图（71-2），由题意，沿直线将旋转，沿直线将旋转，分别得到两个圆锥，将两圆锥移动到共顶点，如图（70-3），则，由、分别为线段与上的点（不包括端点），得到，，则，，由两直线的夹角取值范围为，则直线与所成角的最大值是.答案：. 【例72】如图（72-1），在中，，，为的中点，将沿着翻折至，使得，则的取值不可能为（ ） 图（72-1） 图（72-2） [解]如图（72-2），当沿着翻折至，过点作交的延长线于点，则点的轨迹是以为圆心，为底面半径的圆锥底面的圆周，由，，则，，，故，存在，则，又，则，即，故不可能.答案：. 【例73】如图（73-1），在中,,.若平面外的点和线段上的点，满足，,则四棱锥的体积的最大值是 .（可参考第三期【例32】） 图（73-1） 图（73-2） [解]如图（73-2），由，则点的轨迹是以为顶点，为母线的圆锥的底面圆周上运动，取的中点为，可得，由，则可知点为中点（即点与点重合）且时，的面积最大，，则. 【例74】如图（74-1），在菱形中，，线段、的中点分别为、，现将沿对角线翻折，则异面直线与所成的角的取值范围是（ ）（可参考第三期【例18】） 图（74-1） 图（74-2） [解]设异面直线与所成的角为（），如图，过点作于点，则点的轨迹是以为顶点，为轴线，为母线的圆锥的底面圆周上运动，过点作∥，则，， 当与共面时，根据圆锥角最值定理可得：， 即，当时，直线与共面，不符合题意， 又，则.答案：. 【例75】如图（75-1,75-2），在中，,,是斜边的中点，将沿直线翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是 . 图（75-1） 图（75-2） 图（75-3） [解]如图（75-3），过点作于点（或交于的延长线于点），延长使得，将沿直线翻折，则的运动轨迹是以为顶点，为中轴线的圆锥的母线，过点作∥，设，则，，，当在旋转过程中，与所成的角转化为与所成的角，根据圆锥角最值定理，，由于翻折过程中存在某个位置，存在，则，即，在中，，则. 【例76】如图（76-1），在平行四边形中，，，，为线段上一动点，将沿翻折到，在翻折过程中，若存在某个位置使得直线与垂直，则的取值范围是 . 图（76-1） 图（76-2） [解]如图（76-2），过点作于点，则的运动轨迹为以为顶点，为轴，为母线的圆锥的母线，由于与圆锥的母线平行，由存在某个位置使得直线与垂直，即转化为存在某个位置使得圆锥的两条母线所成的角为，设圆锥中任意两条母线的夹角为，设，则，则需要满足，即，在中，， 得， 即，又，即. 总结：存在两直线垂直，转化为两直线所成角的最大值大于等于. 【例77】已知在中，，，现将绕直线旋转到，设二面角大小为，与平面所成角为，与平面所成角为，若，则（ ） 且 且 且 且 图（77） [解]如图（77），由绕直线旋转到，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆上，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设， 可得平面的法向量，，，，，，， ，， 设平面的法向量为，故， 取，由， 则，由，令（）， ，即，故.答案：. 【例78】已知四边形，，，现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（ ） 图（78） [解]如图（78），取的中点为，连接，则二面角为，设，过点作平面，垂足为，则在直线上，，， 建立如图所示的空间直角坐标系，，，， ，故，， 故，设（）， 得，即，故.答案：. 【例79】如图（79-1），已知正四面体在平面上方，点，若与平面所成角等于，平面与平面所成角的正弦值的取值范围是（ ） 图（79-1） 图（79-2） [解]设为的中心，连接，则平面，在中，，（正四面体的高为棱长的倍），令， 如图（79-2），研究平面与平面所成角的正弦值，即研究两平面各自法线所成角的正弦值，即两法线夹角的正弦值.取直线为平面的法线，由直线与平面所成角等于，则与所成角为，由平面，则直线为平面的法线，直线的轨迹为以为旋转轴的圆锥的母线，由圆锥角最值定理可得：直线与所成角的取值范围为，由，故平面与平面所成角的正弦值的取值范围是.答案：. 【例80】如图（80-1），正方体在平面上方，，点是线段的中点，直线与平面所成角为.当正方体绕着旋转一周时，平面与平面所成角的正弦值的最小值为 （ ） 图（80-1） 图（80-2） [解]由正方体，在中，，，设，研究平面与平面所成角的正弦值的最小值，即研究两平面各自法线所成角的正弦值的最小值，即两法线夹角的最小角的正弦值.如图（780-2），取直线为平面的法线，由直线与平面所成角为，则与所成角为，由平面，可得直线为平面的法线，正方体绕着旋转，即为以为旋转轴的圆锥的母线，由圆锥角最值定理可得：直线与所成角的取值范围为，故平面与平面所成角的正弦值的最小角为.答案：. 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 学科网（北京）股份有限公司 $