第4讲 利用空间向量法解决角度与距离 讲义-2026届高三数学一轮复习

冲刺清北数学工作室 第 讲 利用空间向量法解决角度与距离 YDZZZH要点自主整合 【重点难点】 重点：应用空间向量法解决异面直线所成的角与距离、直线与平面所成的角、二面角、点到 平面的距离 难点：传统法的应用 【基础知识】 一、异面直线所成角 )过空间任一点O分别作异面直线a与b的平行线a'与b',那么直线a'与b'所成的不大于 9心成2的角，叫做异面直线a与6所成的角，其玫值范围为 (2异面直线所成角的向量公式 两异面直线a、b的方向向量分别为m和i当m与n的夹角不大于90（或元）时， 异面直线a、b所成的角0与m和n的夹角相等： 当m与n的夹角大于90（或匹）时，直线a、b所成的角0与m和n的夹角互社所以 直线a、b6所成的角0的余弦值为cos日= o. m n (3)如图所示： a 【注】●两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值. 二、直线与平面所成的角 (1)平面的斜线与它在平面上的射影所成的角叫做这条斜线与平面 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 冲刺清北数学工作室 所成的角 (2)直线与平面所成角的向量公式 直线a的方向向量和平面a的法向量分别为m和n,若m与n的夹角 不大于90（或匹）时，直线a与平面au所成的角等于m与n的夹角的 余角；若m与n的夹角大于90（或严）时，直线a与平面α所成的角 等于m与n的夹角的补角的余角，所以直线a的方向向量和平面a所 m·n 成的角e的正弦值为sin0=cos(m,n 其取值范国为0，引 (3)如图所示，设1为平面a的斜线，l∩a=Q,a为1的方向向量，n为平面a的法向 ++ am② 量，0为I与a所成的角，则sin0=cos(a,n》= M 【注】®直线与平面所成角的范围为0，号引， 而向量之间的夹角的范 围为0，π]，所以公式中要加绝对值. 三、二面角 ()过二面角a-1-B棱上任一点O作垂直于棱1的平面角，与面a、B的交线分别为OA、 OB,那么∠AOB叫做二面角a-1-阝的平面角. 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 业餐能希写 冲刺清北数学工作室 (②)平面与平面所成角的向量公式 平面a与平面B的法向量分别为n和n2,则二面角与n、n2的夹角0相等或互补 (3)如图所示：已知二面角-AB-B,在棱AB上任取一点M,在平面上任取一点 P(PAB),过P作P9⊥B于O,设二面角大小为0，则cos0 S0B=S投 SAPAB S原 二面角大小为0 S® (4)如图所示：若AB、CD分别是二面角-I-阝的两个平面内与棱l垂直的异面直线， 则二面角或其补角)的大小就是向量AB与CD的夹角，如图). n B A 图(1) 图(2) 图(3) 平面a与B相交于直线1，平面a的法向量为%，平面B的法向量为n2，(n,n2)=6, 则二面角α-1-B为(2,2)或π-(1,2).设二面角大小为0，其取值范围为(0，元]， os9=eos, n'n 3 m-n2 【注】③利用公式与二面角的平面角时，要注意〈，2）与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结 合图形进行判断。 四、点到平面的距离 传统法：等体积法（判定某点到平面的距离易求，该点就为顶点) 向量法：如图所示，设1为平面a的斜线，1∩a=Q,a为1的方向向 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 冲刺清北数学工作室 量，n为平面a的法向量，0为1与a所成的角，则 →→ sine =cos a,n)= a-n 则点p到平面a的距离dpa=Psin0= 【注】异面直线的距离也可转化为点到平面的距离来求 五、异面直线的距离 传统法：找到异面直线的公垂线段，放在三角形中去求 向量法：转化为点到平面的距离方法 【常见结论】 解空间角最值问题时往往会用到最小角定理（了解） cos0=cos01·cos62 如图，若OA为平面o的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面内的射影，OC为平面 0内的一条直线，其中0为OA与OC所成的角，0，为OA与OB所成的角，即线面角，0， 为0B与OC所成的角，那么cos0=cos0,·cos02. 六、点到直线的距离公式 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 山餐能希写 冲刺清北数学工作室 OB O 2 dB-oA M 证明/da-o4=o8sin∠B0A=D8sin(OB,OA=o81-cos2oB,01 -o8-08cooB.o)-oBo-os(oB.04) 0B.0A 0B.0A OB.OA 故d0-o1= OB OA 七、平面的法向量的坐标公式（非常好用，必须记住) 0,y%,z) (0y1,3 oyh,2动 (y2, ,y2,82 (e2 n=y1r22-y2z1,02122,0y2-X0y) → a=,y1,3) 6-(e,y2,za 若平面a内有两个相交向量a=(x,,z),b=(x2y2,22) 则平面a的法向量n的坐标为y,22-y2,x221-x22,x2-x2y) 【注】求完后，再判断横坐标、纵坐标、竖坐标能否化简. 【如何建立直角坐标系】（重要) 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径4 学海无涯苦作舟 冲刺清北数学工作室 （1)以底面现有的垂直关系为主建立x轴与y轴，尽量让底面的顶 点放在坐标轴上： (2)平面的法向量的坐标不要有分母，因为不管是求角还是求距离 都会用到平面法向量的模，若是坐标有分母，在实际计算时容易出 错； (3)在动平面中，需要去动平面的法向量，与动点相关的向量只表 示其中的某一个，另一个向量必须为确定的坐标，避免在实际表示 动平面的法向量时参数偏多，增大计算量； (4)非底面上的顶点坐标往往需要利用向量的共线或平行来转化表 示，一定不要过该点向底面做垂线，去确定垂足的位置，就是因为 垂足的位置不好确定，导致非底面上的顶点坐标不易表示，才考虑 转化的思想来解决」 【思考辨析】 判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） )两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角，() (2直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.() (3两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()》 4)两异面直线夹角的范围是 直线与平面所成角的范围是0，乃 二面角的范围是 [0,π].() (9直线1的方向向量与平面0的法向量夹角为120，则1和a所成角为60.(》 (若二面角-1-阝的两个半平面a,阝的法向量h,n2所成角为日，则二面角 -1-β 的大小是π-0.( 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 冲刺清北数学工作室 典型例题 例1 若平面a,B的法向量分别为川=2，-3,5)，元=-31,4，则( A.∥B B.a⊥B C.a,B相交但不垂直 D.以上均不正确 例2 若直线I的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120'，则直线 I与平面a所成的角等于（ A.120 B.609 C.30 D以上均错 例3 在如图所示的正方体ABCD E A,B,CD中，E是CD的中点，则异面 C 直线DE与AC所成角的余弦值为 B () D C A、v0 B、1 10 20 B 1 C. D.V10 0309 10 例4 已知直线I的方向向量为v,平面α的法向量是“，且~u=0 则与的位置关系是 考点一 求异面直线所成的角 设a,6分别是两异面直线4,1，的方向向量，则 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山男餐能翁写 冲刺清北数学工作室 1与12所成的角0 a与6的夹角(a,b} 范围 0<0s 2 0<(a,6<元 求法 cos0-cosa. a…b a- 例5 如图， 已知正方体ABCD-AB,C,D, F 的棱长为2，点E是正方形BB,CC的 B 中心，点F、G分别是棱CD、AA的 中点，设点B、G分别是点E、G在 D 平面CCDD内的正投影. B (1)证明：直线FG⊥平面FEE; (I)求异面直线E,G与EA所成角的 正弦值. (IⅡ)先求EA,EG所成的角，从而转化为直线E,G,与EA所成的角 解/(I)以D为原点，DD、DC、 DA分别为z轴、y轴、x轴的正向， D A 为1个单位长度建立空间直角 坐标系，由题设可得E1,2,1,F0,12), E G D G(00,1),E02,1,所以FE=(0,1-, FG=(0,-1,-,EE=(-1,0,0, A B 苦海无涯苦作舟 所以FG,·EE,=0,F种配题径，学海无涯苦作舟 故FG⊥EE,FG⊥FE, 冲刺清北数学工作室 (IⅡ)由题意可知，A2,0,0),又由(I)可知EA=1,-2,-1, cos(EA.EG EA.EG6 EG=(0,-2,0),所以 Ed·EG3 所以血(g,G)-小-saEG-5 3 【规律小结】用向量方法求两条异面直所成的角，是通过两条直 日门曰=古小E.G.一DAC名h,士估？ 线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角0的范围是(0，引， 两向量的夹角α的范围是[0，π]，所以要注意二者的区别与联系，应 有cos0=cos: 考点二 求直线与平面所成的角 如图所示，设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线1与 平面a所成的角为o,两向量e与n夹角为，则有 e.n sin =cos0= e p 列6 如图，已知点P在正方体 D ABCD-A'B'C'D'的对角线BD'上，∠PDA=60° B (1)求DP与CC'所成角的大小； )求DP与平面AA'D'D所成角的大小 冲刺清北数学工作室 【思路点拨】 明确线、面的 建立空间直角 结合向量 位置关系 坐标系 运算求解 解如图所示，以D为原点，棱DA,DC ⑩ ,DD'所在直线为x轴，y轴，z轴建立 空间直角坐标系.设棱长为1， B P 则D0,00),A1,00),C01,0,C0,1, B1,10,D'0,01, "设牙1-山，则亦-0+m--- DP=21-+DA=1 DA,DP)=60° 由已知可得 ,则DA·DP=1-入 又 A-m=2l-+求×对1-久 解得2=2-V2, 由p.cC==2-2,D=25-c=1 cos(DP.CC DP.CC 2-2-V2 DP.CC 2W2-12 (Dp,cc列= 则 故 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路为径，学海无涯苦作舟 即DP与CC'所成角的大小4 0