第3讲 空间向量、运算、证明线面平行及垂直 讲义-2026届高三数学一轮复习

第 3 讲 空间向量、运算、证明线面平行及垂直 【重点难点】 重点：①空间向量的运算和运算律．②共面、共线向量定理和空间向量分解定理． 难点：共面向量定理与空间向量基本定理的理解与应用 【基础知识】 一、空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 的相反向量为 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 ∥ 共面向量 平行于同一个平面的向量 【注】规定零向量与任何一个向量共线． 二、空间向量的两个重要定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量，()，的充要条件是存在实数，使得. (2)共面向量定理：如果两个向量、不共线，那么向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.思考？ 若与确定平面为，则表示的有向线段与的关系是怎样的？ 【思考·提示】　可能与平行，也可能在内． （3）空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得.其中，叫做空间的一个基底． 三、空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫作向量与的夹角，记作，其范围是，若，则与互相垂直，记作. ②两向量的数量积：已知空间两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即． 【注】空间向量、的数量积的定义，性质及运算律与平面向量相同． (2)数量积的运算律 ⓵结合律：；⓶交换律：；⓷分配律：. 四、三点共线与四点共面定理及其推论 （1）证明空间任意三点共线的方法 对空间三点，，可通过证明下列结论成立来证明三点共线 ⓵，，三点共线 ⓶对空间任一点，，，三点共线 ⓷对空间任一点，（），，三点共线 （2）共面向量定理的向量表达式：，其中，、为不共线向量. ⓵推论的表达式为，，，四点共面； ⓶对空间任意一点，有，，，四点共面； ⓷对空间任意一点，且，，，四点共面； ⓸或或，，，四点共面. 五、空间直角坐标系及有关概念 （1）空间直角坐标系：以空间一点为原点，建立三条两两垂直的数轴：轴，轴，轴．这时建立了空间直角坐标系，其中点叫作原点．轴，轴，轴统称坐标轴． 由坐标轴确定的平面叫作坐标平面.空间一点的坐标为有序实数组，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． （2）设是空间直角坐标系中沿轴、轴、轴正方向的单位向量，对于空间任一向量，由空间向量的基本定理，存在惟一的有序实数组， 使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，记为．对于空间任一点，对应一个向量，于是存在惟一的有序实数组，使，即点的坐标为．即. 六、空间向量坐标表示及应用 （1）空间坐向量的坐标运算 ， 向量和 向量差 数量积 共线 ∥ 垂直 模 夹角公式 若，， 则. （2）空间向量数量积的运算律 ①结合律：；②交换律：；③分配律：. 七、直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线平行或共线，则称此向量为直线的方向向量． (2)平面的法向量：直线，取直线的方向向量，则向量叫做平面的法向量． 八、空间位置关系的向量表示与判定 位置关系 向量表示 直线，的方向向量分别为， ∥ 直线的方向向量为，平面的法向量为 ∥ 平面,的法向量分别为， ∥ 【注】高中阶段线面、面面的平行或垂直关系一般不用空间向量法来解决，一般用常规几何法来解决. 【解题技巧】 确定平面的法向量的方法 （1）直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量． （2）待定系数法：取平面内的两条相交向量，设平面的法向量为，由，解方程组求得． 【注】（1）平面法向量不要有分母（） （2） 方向向量和法向量均不为零向量且不唯一（） 【误区警示】 1．空间向量基本定理的3点注意（） (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． (2)由于与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故不能作为基向量． (3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 2．有关向量的数量积的2点提醒（） (1)若为实数，则； 但对于向量就不正确，即 (2)数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即不一定等于．这是由于表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，而与不一定共线． 一、与平面向量对比学习 空间向量是平面向量的拓展，空间向量的概念、性质、运算及运算律与平面向量大多相同或相似，故在学习空间向量时，应注意与平面向量的类比以提高效率． 二、平行、共线、共面问题 利用向量共线可以解决两直线平行的问题，也可以解决三点共线的问题，解题时表述一定要完整准确；利用空间向量基本定理判断四点共面的问题，用时，关键证明. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量共面．(　 　) (2)在向量的数量积运算中．(　 　) (3)对于非零向量，由，则.(　 　) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(　 　) (5)若是空间任意四点，则有.(　 　) 典型例题 例2 例2 在空间直角坐标系中，点，过作平面的垂线，则垂足的坐标（ ） 答案： 例1 若，，如果与为共线向量，则(　　) 答案： 已知空间四边形中，点在线段上，且，点为的中点，设，，，则等于（ ） 答案： 例3 已知向量，，且与互相垂直，则的值是 ． 答案： 例4 例5 已知是空间任意一点，、、、四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且， 则 . 答案： 考点一 空间向量的线性运算 用已知向量表示未知向量，以及进行向量表达式的化简时，一定要注意结合实际图形，以图形为指导是解题的关键，同时注意首尾相接的向量的和向量的化简方法，以及从同一个点出发的两个向量的差向量的运算法则，避免出现方向错误．例6 如图所示，在平行六面体中，设，，，，，分别是，，的中点，试用，，表示以下各向量： （Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ） 【思路点拨】　利用空间向量的加法法则及基本定理． [解]（Ⅰ）因为是的中点， 所以 . （Ⅱ）因为是的中点， 所以 . （Ⅲ）因为是的中点， 所以 ， 又 ， 所以. 【注】（Ⅱ）中误把写作，（Ⅲ）表示不出和. 考点二 共线向量定理、共面向量定理的应用 应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、点共面、线共面． 1．证明空间任意三点共线的方法 对空间三点,,可通过证明下列结论成立来证明三点共线 ⓵，，三点共线 ⓶对空间任一点，，，三点共线 ⓷对空间任一点，（），，三点共线 2.证明空间四点共面的方法 对空间四点，，，可通过证明下列结论成立来证明四点共面 ⓵推论的表达式为，，，四点共线 ⓶对空间任意一点，有，，，四点共线 ⓷对空间任意一点，且，，，四点共线 ⓸或或，，，四点共线 已知、、三点不共线，对于平面外的任一点，确定在下列各条件下，点是否与、、一定共面？ （Ⅰ）；（Ⅱ）. 例7 【思路点拨】　先化简已知等式，观察它能否转化为四点共面的条件． [解]（Ⅰ）法一：由， 可得，即， 由共面定理可知，，，，四点共面. 法二：由， 则，所以， 所以与，，共面，即与、、共面. （Ⅱ）法一：由， 则， 由共面向量定理的推论可得位于平面内的充要条件可写成 ，而此题， 所以与、、不共面. 法二：由， 因为，所以与、、不共面. 【总结】在应用法二时，要注意公式所满足的条件是从一点出发的四个向量，且系数之和为1. 考点三 空间向量的坐标运算 空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算相似，只是多出一个坐标，与平面向量的坐标运算作一些对比可以较容易地掌握空间向量的坐标运算问题．例8 已知空间三点，， （Ⅰ）求以，为边的平行四边形的面积； （Ⅱ）若，且分别与，垂直，求向量的坐标. [解]（Ⅰ）由题意可得： ，， 所以， 所以，所以以，为边的平行四边形的面积 . （Ⅱ）设，由题意可得， 解得，或，所以或. 【思维总结】由于，，所以即为平面的一个法向量.求法向量的方法是设出一个法向量的坐标，利用法向量与平面内两个不共线向量的垂直关系，累出关于法向量坐标的方程组（实际上是不定方程组），利用赋值法给出一个法向量即可.由于本题中法向量的长度已知，故不需赋值比便可求出. 考点四 利用空间向量证明线面平行与垂直 空间中的两个向量的数量积是平面向量中两向量的数量积的延伸和推广，工具性特别强，可借助向量的数量积解决两直线的平行与垂直问题，求解空间角和空间距离问题．向量的数量积的坐标表示即数量积的代数化，可以将数量积的运算转化为代数运算，使运算简化．例9 如图所示，直三棱柱，底面中，，，棱，,分别是，的中点． （Ⅰ）求的长； （Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值； （Ⅲ）求证：. 【思路点拨】 明确相关 向量的坐标 明确相关 点的坐标 通过空间向量的 坐标运算求解 建立空间直角坐标系 [解]如图所示，以为原点建立空间直角坐标系. （Ⅰ）依题意得，，所以， 即. （Ⅱ）依题意得，，，， 所以，，所以，，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （Ⅲ）证明：依题意得，，所以，， 由，所以，即. 【总结】（Ⅰ）利用空间两点间的距离公式求的长； （Ⅱ）通过求向量与的夹角来求一年直线与所成的角； （Ⅲ）利用，证明.例10 如图所示，四棱锥，平面中，与底面所成的角为，底面为直角梯形， ，. （Ⅰ）求证：面面； （Ⅱ）在棱上是否存在一点，使面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． [解]（Ⅰ）证明：设， 由题意，. 因为面，所以与底面所成的角为，所以， 由， 易得，由勾股定理可得 ，又，， 所以平面，平面， 所以平面平面. （Ⅱ）分别以、、为轴、轴、轴建议空间直角坐标系,设，则，，， 设（），由，则， 可得 因为平面，可得平面的一个法向量为， 因为面，则，即，解得， 即为的中点.所以存在，当为的中点时，面. 【注】此题第二问利用平面法向量解决线面平行，这种思路一般不采纳，高中阶段关于探究点的位置研究线面平行或线面垂直或面面垂直，点的位置一般为特殊位置，比如中点、三等分点、四等分点等，当然所示以上特殊位置均不是，那么此时才考虑空间向量法解决. 【规律方程总结】 1．点共线问题 共线向量定理：对空间任意两个向量，()，的充要条件是存在实数使. 由共面定理知，要证明空间三点、、共线，只需证明：且. 2．点共面问题 点共面问题 可以转化为向量共面问题： 如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是，存在实数对，使. 由此可见，空间任一定点位于平面内的充要条件是：存在有序实数对，使，或对任一点有，其中. 所以要证明、、、四点共面，关键是寻找有序实数对满足上述的两个关系式. 3.平行问题 证明线线平行只需证明表示两条直线的向量安祖实数倍数关系.如证明，只需证明. 证明面面平行，只要证明两个平面的法向量共线即可. 考点一 空间向量的线性运算 【典例】已知为矩形所在平面外一点，平面，在线段上，在线段上，且，，若，则的值为(　　) 　 在中，，为平面外一点，且平面，为的中点，为的重心，若，则 ， ， . 考点二 空间向量基本定理 【典例】已知三点不共线，对平面外的任一点，若点满足 ． （Ⅰ）判断、、三个向量是否共面； （Ⅱ）判断点是否在平面内． 冲刺清北数学工作室 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 学科网（北京）股份有限公司 [解] （1）已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点， （Ⅰ）求证：、、、四点共面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）设是和的交点，求证：对空间任一点， 有． [证明] （2）如图所示，已知斜三棱柱，点，分别在和上，且满足，()．判断向量是否与向量，共面． [解] （3）如图，正方体中，是上的点，是上的点，且，，则与平面的位置关系为 . （4）若，，三点共线，则 . 考点三 空间向量数量积的应用 【典例】如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点、分别是、的中点． （Ⅰ）求证：，； （Ⅱ）求的长； （Ⅲ）求异面直线与所成角的余弦值． [证明]　 （1） 如下图，已知空间四边形中，为中点，为中点，为中点，为中点，若， 求证：. [证明] （2）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为. （Ⅰ）求的长； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）求与夹角的余弦值． [解]　 （3）如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，的中点，计算： （Ⅰ） ；（Ⅱ） . [解]　 （4）如图，已知平行六面体 中，底面是边长为1的正方形，， . （Ⅰ）求线段的长； （Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值； （Ⅲ）求证： [解] 考点四 空间向量及运算的坐标表示 【典例】已知，， （Ⅰ）求与的夹角的余弦值； （Ⅱ）若与平行，求的值； （Ⅲ）若与垂直，求的值． [解] （1） 已知，， ，． （Ⅰ）将用表示． （Ⅱ）求； （Ⅲ）求． [解] （2）已知空间中三点， ，，设， . （Ⅰ）求向量与向量的夹角的余弦值； （Ⅱ）若与互相垂直，求实数的值． [解] （3）已知空间三点，，． （Ⅰ）求以、为边的平行四边形的面积； （Ⅱ）若且分别与、垂直，求向量的坐标． [解] 考点五 利用向量证明平行与垂直问题 【典例1】如图所示，在四棱锥 中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，过点作于点.求证： （Ⅰ）平面； （Ⅱ）平面. [证明]　 【典例2】如图，在三棱锥中， ，为的中点，平面，垂足落在线段上． 已知，，，. （Ⅰ）证明:； （Ⅱ）若点是线段上一点，且 .试证明平面平面 . [证明] （1）如下图，平面平面，四边形与都是直角梯形，，，，,，、分别为、的中点． （Ⅰ）证明：四边形是平行四边形； （Ⅱ）、、、四点是否共面？为什么？ （Ⅲ）设，证明：平面平面. [解] （2）如图，直三棱柱，底面中，，，棱，，分别是，的中点． （Ⅰ）求的模． （Ⅱ）求的值． （Ⅲ）求证：. [解] 考点六 利用空间向量解决探索性问题 【典例】如图，棱柱的所有棱长都等于2，和均为，平面平面. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）在直线上是否存在点，使平面，若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由． [解]　 （1）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，、分别是、的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）在平面内求一点，使平面，并证明你的结论． [解] （2）如图，在棱长为2的正方体 中，、、、分别是棱、、、的中点，点、分别在棱、上移动， 且（）． （Ⅰ）当时，证明：直线平面 ； （Ⅱ）是否存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． [解]　 A组　考点能力演练【最细2025年版】 1．在下列命题中： ①若向量，共线，则向量，所在的直线平行； ②若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面； ③若三个向量，，两两共面，则向量，，共面； ④已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得. 其中正确命题的个数是(　　 ) 2.已知，，，若，，三向量共面，则(　　) 9　　 　 　 －9 －3 3 3.若平面，的法向量分别为，，则(　　) ，相交但不垂直 以上均不正确 4，已知，，，若，，三向量共面，则实数等于(　　) 5.已知向量 ，，其中.若，则的值为(　　) 8　　 　 4　　 　 　2　 　 　 　 0 6.已知，，若，则实数的值为(　　) －2 － 2 7.已知向量，则下列向量中与成60°夹角的是(　　) 8.已知，，与的夹角为，则的值为(　　) 9.设，，，的中点为，则等于(　　) 　　 10.与向量共线的单位向量是(　　) 和 或 11.如下图，在平行六面体中，为与的交点，为的靠近的三等分点，若，，，则向量等于(　　) 第11题 第12题 12.在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点作一个平面分别交，，于点，，，得到四棱锥；第二步，将剩下的几何体沿平面切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形，若，，则的值为 . B组　高考题型专练【最新2026年版】 1．平面的法向量为，平面的法向量为，若，则等于(　　) 2 －4 4 －2 2．已知，，，则下列向量是平面法向量的是(　　) 3．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则(　　) 与相交 4．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点中，在平面内的是(　　) 5.若，则直线与平面的位置关系是(　　) 相交 平行 在平面内 平行或在平面内 6.在正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，，分别为，的中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数有________个． 第6题 第7题 7.将边长为1的正方形沿对角线折成直二面角，若点满足 ，则的值为(　　) 8.如图，在棱长为的正方体 中，、分别是棱、上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系. （Ⅰ）写出点、的坐标； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）若、、、四点共面， 求证：. [解]　 9.如图，在四棱中，底面是平行四边形，，，分别是，，的中点． （Ⅰ）试用向量，，表示； （Ⅱ）用向量方法证明平面平面 . [解]　 10.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，的中点，计算： （Ⅰ）； （Ⅱ）的长； （Ⅲ）异面直线与所成角的余弦值． [解]　 11.直三棱柱中， ，，、分别为、的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值． [解]　 12.已知斜三棱柱， 设，，，在面对角线和棱上分别取点、， 使，()，求证：三向量、、共面． [解] 13.如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，， ，平面 底面.求证： （Ⅰ）； （Ⅱ）平面平面. [证明] 14.如图，已知四边形的直角梯形，，，，，为线段的中点，平面，，为线段上一点（不与端点重合）. （Ⅰ）若， （i）求证：∥平面； （ii）求直线与平面所成的角的大小； （Ⅱ）否存在实数满足， 使得平面与平面所成的锐角为，若存在，确定的值，若不存在，说明理由. [解] 15.如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，点在线段上. （Ⅰ）当直线与平面所成角最大时，求线段的长度； （Ⅱ）是否存在这样的点，使平面与平面所成的二面角的余弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，说明理由. [解] 第三讲 空间向量、运算、证明线面平行及垂直 考点一 空间向量的线性运算 【典例】 跟踪练习1 ；； 考点二 空间向量基本定理 【典例】 （Ⅰ）、、三个向量共面; （Ⅱ）点在平面内. 跟踪练习2 （2）如图所示，已知斜三棱柱，点，分别在和上，且满足，()．判断向量是否与向量，共面． [解]由， ，所以， 所以向量与向量，共面． （3）平行 （4） 考点三 空间向量数量积的应用 【典例】 （Ⅱ）；（Ⅲ）. 跟踪练习3 （2）（Ⅰ）；（Ⅲ）. （3）（Ⅰ）；（Ⅱ）. （4）（Ⅰ）；（Ⅱ）. 考点四 空间向量及运算的坐标表示 【典例】 （Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ） 跟踪练习4 （1）（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. （2）（Ⅰ）；（Ⅱ）或. （3）（Ⅰ）；（Ⅱ）或 考点五 利用向量证明平行与垂直问题 跟踪练习5 （1）（Ⅱ）、、、四点共面 （2）（Ⅰ）；（Ⅱ） 考点六 利用空间向量解决探索性问题 【典例】 （Ⅱ）； （Ⅲ）当点在的延长线上，满足时，平面. 跟踪练习6 （1）（Ⅱ）当点为线段的中点时，平面. （2）（Ⅱ）存在，当时，面与面所成的二面角为直二面角 课堂巩固训练A组 课堂巩固训练B组 或 （Ⅰ）, （Ⅰ） （Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）. （Ⅱ）. （Ⅰ）（ii）直线与平面所成的角的大小; （Ⅱ）当时，平面与平面所成的锐角为. （Ⅰ）当为线段的中点时，直线与平面所成角最大，此时; （Ⅱ）当点为的四等分点，且时，平面与平面所成的二面角的余弦值为. $