第1讲 立体几何之外接球计算 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何外接球与内切球计算核心考点，按墙角模型、对棱相等模型、直二面角模型等八大类型系统梳理，构建“基础性质-模型转化-综合应用”知识体系。通过考点整合、典例精讲、跟踪练习、分层训练环节，帮助学生掌握空间问题平面化等解题方法，突破钝二面角计算等难点。 讲义采用模型化教学策略，如将对棱相等三棱锥转化为长方体模型（数学眼光），通过对比不同二面角模型的外接球公式推导（数学思维），培养学生空间观念与推理能力。设置基础巩固、能力提升、综合应用练习，配合即时反馈，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

冲刺清北数学 第 1 讲 立体几何之外接球与内切球计算 【重点难点】 重点：①掌握常见外接球的计算模型 ②能灵活把题型转化为常见模型 难点：钝二面角模型的计算方法 【基础知识】 1. 过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等； 2.经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 3.过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）； 4.球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心； 5.在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）. 6.长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心； 7.圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处； 8.圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上； 【常见结论】 ①关于外接球问题往往需要用到外接圆的相关性质来解决，即空间问题转化为平面问题； ②正方体或长方体的外接球直径即为体对角线； ③在正三角形中：，（其中表示正三角形的边长）； ④正三棱锥中，三组对棱互相垂直； ⑤在正四面体中，，，. 【注】其中表示正四面体的棱长 ⑥如下图：，（其中表示球的半径，表示小圆的半径，表示球心到小圆的距离，即弦心距） 考点一 墙角模型 【注】三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径 常见形式 【典例1】已知三棱锥，，，点到平面的距离是，则三棱锥的外接球表面积为 ． [解]记为的中点，连接， 由题意知，且，所以外接圆的直径为，且，即半径，过作平面，因为平面，则, 又点到平面的距离是，即，而， 所以，同理， 又，所以是同一个点，所以平面， 又，故点为墙角模型，故三棱锥的外接球的半径 ，则三棱锥的外接球表面积为. 故答案为：. 【典例2】已知圆锥的顶点为，其三条母线，，两两垂直．且母线长为．则圆锥的内切球表面积与圆锥侧面积之和为（    ） [解]因为，，两两互相垂直且长度均为， 所以为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长， 由正弦定理得底面圆的半径, 所以圆锥的高, 如图，圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径， 轴截面三角形面积为, 所以内切球的半径, 内切球的表面积为, 圆锥的侧面积为,所以其和为. 故选：. 【典例3】若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 【典例4】在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 . 【典例5】如图所示，已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，⊥平面，，且，，，则球的表面积为 . 【注】正三棱锥对棱互相垂直 （1）在三棱锥中，侧棱两两垂直，的面积分别为，则三棱锥的外接球体积为 ． （2）在正三棱锥中，点是的中点，且，底面边长，则正三棱锥的外接球的表面积为 . （3）设为球上四点，两两垂直，且， 若（为球的半径），则球的表面积为 . 考点二 对棱相等模型（特殊：正四面体模型） 正四面体中 【结论】 下面我们给出证明过程（表示正四面体的棱长） [证明]如图，过点作平面的垂线，垂足为， 可知点为正的中心，则， 在中，由， 即. [证明]如图，设为正四面体的外接球的球心，可得球心在高之间，则， 在中，由， 则，解得 即. [证明]如图，设为正四面体的内切球的球心（与外接球球心），七内切球半径为， 取的中点为，则，过点作于，可知点为内切球与面的切点，故，，， ，在中，由， 则，解得. 【一般情况：对棱相等的模型】 如图，三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为，， ，，列方程组， ， 则 【典例1】已知三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，，则三棱锥的外接球半径为 ；点为三棱锥的外接球球面上一动点，时，动点的轨迹长度为 ． [解]三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，， 如图所示， 则有,, 把三棱锥扩成长方体， 则有,解得，， 则长方体外接球半径，所以三棱锥的外接球半径；点为三棱锥的外接球球面上一动点，时， 由，动点的轨迹是半径的圆，轨迹长度为. 故答案为：；. 【典例2】所有棱长均为的三棱锥，其外接球和内切球球面上各有一个动点，，则线段长度的最大值为 . [解]由已知可得，该三棱锥为正四面体，设其外接球的半径为，内切球半径为， 外接球的球心与内切球的球心重合，则线段长度的最大值为， 由，， 则. 【典例3】一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 . 【典例4】三棱锥，其中，则该三棱锥外接球的表面积为 . （1）在三棱锥中，，则该三棱锥 外接球的表面积为 ． （2）如图，将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值（ ） （3）在半径为的球内放入大小相等的个小球，则小球的半径的最大值为 . 考点三 汉堡模型（直棱柱、正棱柱、圆柱） 如图：上下底面外接圆的圆心的所在线段的中点即为外接球球心 图（1） 图（2） 题设：如图（1），图（2），直四棱体或直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意四边形或三角形） 第一步：点与分别为上下底面外接圆的圆心，且平面（）， 可确定棱柱外接球球心为线段的中点， 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出. 直二面角公式： 【典例1】在四面体中，，，且与所成的角为.若四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为 . 【典例2】在正四棱台中，，，，若球与上底面以及棱，，，均相切，则球的表面积为（    ） 【典例3】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若, ，则此球的表面积等于 . （1）已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则该球的体积等于 . （2）已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若， ,,,则球的半径为 . （3） 已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，， ，则多面体的外接球的表面积为 . 考点四 锥体模型 [解]已知正三棱锥，点为正的中心即外心， 可得平面，球心可能在线段之间，或在线段的延长线上， 不妨设球心在线段之间，在中，（外接球的半径）， （外接圆的半径），（棱锥的高）， 由，则，可求得. 已知平面，为一般类型的三角形，但其外接圆的圆心与外接圆半径是确定的，半径利用正弦定理可以求得，在直角梯形中，可知为等腰三角， 过点（球心）作，可知点为线段的中点，或者说点在底面的投影为底面的顶点，必在外接球的表面上，也是垂径定理的应用，在中， 由，即. 已知三棱锥，过点作平面于（点不是底面的顶点，即不在外接球的表面上），由于的形状是确定的 故点的位置是确定的，且的外接圆的圆心的位置也是确定的，则的长度是确定的，过点作平面的垂线过球心，球心与点可能在平面的同侧，也可能在异侧，我们在实际解决问题时，假设在同侧（不影响最后的结果），在梯形中，过点作于，可知点不是线段的中点（点不在外接球的表面上，则不是等腰三角形）， 在中，（可求或已知），，其中的长度实际解决问题时是确定的，表示球心到平面的距离，由可求得，且表示外接圆的半径，可有正弦定理求得，由，求得. 【典例1】在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为（    ） [解]法1：如图所示：记球心为，取中点为、中点为，连接、、， 记外接球半径为， 在中，，，， 在中，，, 在中，，所以与所成角为，即， 在中,，所以， 解得：，所以该外接球的表面积为：. 故选：.    法2：空间余弦定理 由， 则，解得：，所以该外接球的表面积为：. 【典例2】如图，在矩形中，，，,分别在线段,上，，将沿折起，使到达的位置，且平面平面，则四面体的外接球的表面积为（    ） [解]如图， 设的中点为，连接，由题可知为等腰直角三角形， 所以，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 取的中点为，其为的外心，可得， （其中为外接球半径），过外心作平面的垂线过球心，如图，在梯形中，过点作于， 在中，，即，解得， 则四面体的外接球的表面积为.故选：. 【典例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为 . 【典例4】在三棱锥中，,侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为 . （1）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且，则此棱锥的体积为 . （2）球的球面上有四点，其中四点共面，是边长为的正三角形，平面⊥平面，则棱锥的体积的最大值为 . 考点五 直二面角模型 （1） （2） （3） 如图（1）：直二面角，交线，其线段中点为，设为外接圆的圆心，其外接圆半径为，为外接圆的圆心，其外接圆半径为，过作面的垂线，过作面的垂线，则垂线交于外接球的球心，故四边形 为矩形，，，（图二），（图三）. 直二面角公式： 【典例1】三棱锥中，平面平面，△和△均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为 . 【典例2】在直角梯形中，，，，，沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该外接球的表面积为 . （1）已知平面四边形满足，将沿对角线翻折，使平面平面，则四面体外接球的体积为 . （2）四面体的四个顶点都在球的球面上，⊥平面，是边长为的等边三角形．若，则球的表面积为 . （3）设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 . （4）三棱锥中，，，⊥平面，，则该三棱锥的外接球表面积为 . （5）已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为,则球的表面积为 . 考点六 二面角模型（折叠模型） （1） （2） （3） 如图（1）：二面角为，交线，其线段中点为，设为外接圆的圆心，其外接圆半径为，为外接圆的圆心，其外接圆半径为，过作面的垂线，过作面的垂线，则垂线交于外接球的球心，故，，根据对角互补原理可知：点、、、四点共圆，且为该圆的直径，即为外接圆直径，，. 鳄鱼模型： 【注】⓵，，表示二面角； ⓶、分别为两个半平面外接圆半径，为其交线长. 【典例1】已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为， ，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【典例2】已知三棱锥中，，，，为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 . 【典例3】三棱锥满足，二面角的大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为（      ） 【典例4】在边长为的正三角形中，，分别是，的中点，将沿着翻折至，使得，则四棱锥的外接球的表面积是（    ） 【典例5】在四面体中，，，，二面角的余弦值为，则四面体的外接球表面积为 . （1）在边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体，则此四面体的外接球表面积为 . （2）在三棱锥中，，，，，二面角 的平面角的大小为，则此四面体的外接球的体积为 . （3）在三棱锥中，是边长为3的正三角形，且，，二面角的大小为，则此三棱锥外接球的体积为 . 考点七 对直角模型 如图7， 【结论】斜边即为外接球的直径，则斜边中点为外接球的球心，即. 【注】与二面角的大小无关 【典例】在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为 . （1）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面⊥平面，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为 . （2）已知球的直径，是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积为 . 考点八 内切球 1．题设：如图8-1，三棱锥上正三棱锥，求其内切球的半径. 第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心； 第二步：求，，是侧面的高； 第三步：由相似于，建立等式：，解出 2．题设：如图8-2，四棱锥是正四棱锥，求其内切球的半径 第一步：先现出内切球的截面图，三点共线； 第二步：求，，是侧面的高； 第三步：由相似于，建立等式：，解出 3．题设：三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为，建立等式： 第三步：解出 【注】 【典例1】已知一个顶点为，底面中心为的圆锥的体积为，该圆锥的顶点和底面圆周均在球上，若圆锥的高为，则球的半径为 ；球的体积的最小值是 . 【典例2】已知半径为球与棱长为的正四面体的三个侧面同时相切，切点在三个侧面三角形的内部（包括边界），记球心到正四面体的四个顶点的距离之和为，则（    ） 有最大值，但无最小值 最大时，球心在正四面体外 最大时，同时取到最大值 有最小值，但无最大值 【典例3】已知经过圆锥的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（    ） 【典例4】已知正四面体的棱长为，若棱长为的正方体能整体放入正四面体中，则实数的最大值为 . 【典例5】正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则其内切球的半径为 . 三棱锥中，底面是边长为的正三角形，底面，，则该三棱锥的内切球半径为 . 考点九 阿氏圆或阿氏球在立体几何中的应用 定义：在平面上给定两点、，设点在同一平面上，且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆. 【注】阿氏球是在空间的中应用 【典例1】能被3各半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是（ ） [解]要求被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需考虑三个圆的圆心构成等边三角形的情况，设三个半径为1的圆的圆心分别为，，，设被覆盖的圆的圆心为，如图所示，设圆与交于，交于，交圆于， 设，所以，， 所以， 又，所以圆的最大半径为，下求的最大值， 设，，所以在上单调递增，在上单调递减，则，即被完全覆盖的最大的圆的半径为. 【典例2】如图，在长方体中，，，为的中点，点满足（），则（ ） 若为的中点，则三棱锥体积为定值 存在点使得 当时，平面截长方体 所得截面面积为 若为长方体外接球上一点，， 则的最小值为 【例题】设是半径为3的球体表面上两定点，且，球体表面上动点满足，则点的轨迹长度为（ ） 考点十 外接球与内切球综合应用 【典例1】勒洛 （1825~1905），德国机械工程专家，机构运动学的创始人.他所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，设正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 勒洛四面体被平面截得的截面面积是 勒洛四面体表面上交线的长度为 勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2 [解]对于，可得正四面体的外接球的半径，如图： 取正四面体的中心为，连接交平面于点，交弧于点，其中弧与共面，其中即为正四面体外接球半径，设勒洛四面体内切球半径为，则，故正确； 对于，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示： 面积为，故正确； 对于，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线所在圆的圆心为的中点， 故，又，由余弦定理可得： ，故，且半径为， 故交线的长度等于，故错误； 对于，将正四面体对棱所在的弧中点连线，此时连线长度最大，如图所示： 由选项的分析可知：，所以， 故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，故正确.故选：. 【典例2】《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五面体.如图所示，在羡除中，点为矩形，，和均为正三角形，平面，，则该羡除的外接球的表面积为 . 【典例3】已知半径为的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为，母线长为，求的表面积与体积分别为，圆台的表面积与体积分别为.则下列说法正确的是（ ） 的最大值为 【典例4】已知正六棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的体积为，若该六棱锥体积的最大值为（ ） 【典例5】已知球与正四面体各棱相切，且与平面相切，若，则正四面体表面上的点到平面距离的最大值为 . 【典例6】已知正方体的棱长为，连接正方体各个面的中心得到一个八面体，以正方体的中心为球心作一个半径为的球，则该球的球面与八面体各面的交线的总长为（    ） 【典例7】三棱锥中，，，为内部及边界上的动点，，则点的轨迹长度为（    ） 【典例8】对于棱长为（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），下列说法正确的是（    ） 底面半径为，高为的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方体 以该正方体的三条棱作为圆锥的母线，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为 该正方体内能同时整体放入两个底面半径为，高为的圆锥 该正方体内能整体放入一个体积为的圆锥 【分析】对于，若高为的圆锥形罩子刚能覆盖水平放置的正方体，考虑圆锥的轴截面，求出底面圆的最小半径即可判断； 对于，原问题等价于求与平面所成角的正切值，利用等体积法求高，结合勾股定理、正切定义即可验算； 对于，以矩形的中心为圆锥底面圆圆心，半径为，求出圆锥的最大高度即可判断； 对于，以正方体的体对角线作为圆锥的轴，为圆锥顶点，为圆锥底面圆的直径时，圆锥的体积大于，由此即可判断. 【典例8】在所有棱长均相等的直四棱柱中，，点在四边形内（含边界）运动．当时，点的轨迹长度为，则该四棱柱的表面积为（    ） （1）已知A4纸的长，宽，分别是的中点.现将沿折起，得到以为顶点的三棱锥，则三棱锥的外接球的半径为 ；在翻折的过程中，直线被球截得的线段长的取值范围 是 . （2）（多选）已知正方体棱长为4，为棱上的动点，平面，则下列说法正确的是（ ） 若为中点，当最小时， 当点与重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大 直线与平面所成角的余弦值的取值范围为 当点与点重合时，四面体内切球表面积为 （3）（多选）如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，是的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（ ） 若是的中点，则直线与所成角为 的周长最小值为 如果在这个容器中放入1个小球（全部放入），则小球半径的最大值为 如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部放入），则小球半径的最大值为 （4）已知正方体的棱长为2，分别为的中点，为正方体的内切球上任意一点，则（ ） 球被截得的弦长为 球被四面体表面截得的截面面积为 的范围为 设为球上任意一点，则与所成角的范围是 （5）如图，棱长为2的正四面体中，分别为棱的中点，为线段的中点，球的表面均与线段相切于点，则下列结论中正确的是（ ） 平面 球的体积为 球被平面所截得的截面面积为 球被正四面体表面截得的截面周长为 （6）已知正四棱柱的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） （7）现有一个点边长为，侧棱为的正三棱锥框架，其各顶点都在球的面上，将一个圆气球放在此框架内，再向气球内充气，当圆气球恰好与此正三棱锥各棱都相切时停止充气，此时两球表面积和为（ ） （8）在三棱椎中，平面，，，， ，点在该三棱锥的外接球的球面上运动，且满足，则三棱锥的体积最大值为（ ） 第（8）题 第（9）题 （9）已知直四棱柱，，底面是边长为的菱形，且，点分别为，，，的中点，以为球心作半径为的球，下列说法正确的是（ ） 点四点共面 直线与直线所成的余弦值为 当球与直四棱柱的五个面有交线时，的范围是 在直四棱柱内，球处放置一个小球，当小球的体积最大时，球半径的最大值为 （10）已知四面体的四个顶点都在球的球面上，是边长为2的等边三角形，外接圆的圆心为.若四面体的体积最大时，,则球的半径为 ；若，点为的中点，且，则球的表面积为 . A组　考点能力演练【最新2026年版】 1.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ） 2.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（ ） 3.已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的半径为(　　) 4.已知是球表面上的点，平面，，，，则球表面积等于 （ ） 5.如图所示，是边长为的正方体，是高为的正四棱锥，若点在同一个球面上，则该球的表面积为(　　) 6.用平面截球所得截面圆的半径为，球心到平面的距离为，则此球的表面积为(　　) 7.已知矩形中， ， 分别是上两动点，且，把四边形沿折起，使平面平面，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（ ） 第5题 第8题 8.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为,如果不计容器的厚度,则球的体积为（ ） 9.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，⊥平面，，，，，则球的表面积为(　　) 10.已知四棱锥的所有顶点在同一球面上，底面是正方形且球心在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于，则球的体积等于(　　) 11.如图所示，平面四边形中，，,，将其沿对角线折成四面体，使平面⊥平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为(　　) 12.正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该三棱锥的外接球体积等于 . 13.三棱锥中，平面平面，边长为的正三角形，，则三棱锥外接球的半径为 . 14.三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥外接球的半径为 . 15.三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥外接球的半径为 . 16.已知在三棱锥中，⊥平面，，且在中，，则三棱锥的外接球的体积为 . 17.已知三棱锥中，，，，⊥平面，则三棱锥的内切球的半径与外接球的半径的比值为(　　) 18.已知直三棱柱中，，，，，则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的比值为(　　) B组　高考题型专练【最新2026年版】 1.如图（第1题），正方体的棱长为，以顶点为球心，为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面积相交所得到的两段弧之和等于（ ） 2.在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（ ） 3.已知三棱锥的两个顶点均在某球面上， 为该球的直径， 是边长为的等边三角形，三棱锥的体积为 ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） 4.如图（第4题），在半径为3的球面上有、、三点，，，球心到平面的距离是，则、两点的球面距离是（ ） 5.已知为球球面上四点，其中为正三角形，三棱锥的体积为，且，则球的表面积为 ． 6.某半球形容器如图（1）所示，底面圆的半径为2，往其中放入四个大小相同的小球，每个小球都与半球面相切，也与底面相切，其俯视图如图（2）所示. （Ⅰ）小球的半径等于 ； （Ⅱ）若球与这四个小球、半球面都相切，则球的半径等于 . 第1题 第4题 第6题图（1） 第6题图（2） 7.在底面是边长为的正方形的四棱锥中，点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为，则四棱锥的内切球与外接球的半径之比为 ． 8.已知是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为 ． 9.已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，底面 是等腰梯形，∥ 且满足，且，，则球的表面积是 ． 10.体积为的球放置在棱长为的正方体上，且与上表面相切，切点为该表面的中心，则四棱锥的外接球的半径为（ ） 11.已知在三棱锥中，，，，，，且平面平面，那么三棱锥外接球的体积为( ) 12.四面体中，，则此四面体外接球的表面积为（ ） 13.空间四边形的四个顶点都在同一球面上，分别是的中点， 且，，若,，则该球的半径等于（ ） 第一讲 立体几何外接球计算 考点一 墙角模型 【典例3】 【典例4】 【典例5】 跟踪练习1 （1） （2） （3） 考点二 对棱相等模型（特殊：正四面体模型） 【典例3】 【典例4】 跟踪练习2 （1） （2） （3） 考点三 汉堡模型（直棱柱、正棱柱、圆柱） 【典例1】在四面体中，，，且与所成的角为.若四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为 . [解]如图，依题意，可将四面体补形为如图所示的直三棱柱，因为与所成的角为，所以或，设,，外接球半径记为，外接球的球心如图点.易知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，则， 得，在中， 在中中，由余弦定理得， 所以当时，最小，外接球的半径会更小.所以， 所以，所以.故答案为：. 【典例2】在正四棱台中，，，，若球与上底面以及棱，，，均相切，则球的表面积为（    ） [解]设棱台上下底面的中心为,连接,， 则,, 所以棱台的高. 设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱，，，均相切于各边中点处，设中点为，连接,,, 所以，则，解得， 所以球的表面积为，故选：. 【典例3】 跟踪练习3 （1） （2） （3） 考点四 锥体模型 【典例3】 【典例4】 跟踪练习4 （1） （2） 考点五 直二面角模型 【典例1】 【典例2】 跟踪练习5 （1） （2） （3） （4） （5） 考点六 二面角模型（折叠模型） 【典例1】已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为， ，则三棱锥的外接球的表面积为 . [解]取的中点为，可知，， 折叠后，在中，由余弦定理可得，， 即，解得， 在中，由，，可得，即等腰三角形， 设二面角为，则，，其交线， 由正弦定理可得，的外接圆半径，则， 同理可得，的外接圆半径，则， 由二面角外接球万能公式可得 ，， 故三棱锥的外接球的表面积为.故答案：. 【典例2】已知三棱锥中，，，，为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 . [解]由，，，平面与平面的交线，令二面角为，则，， 可得为直角三角形，其外接圆的半径，， 由为正三角形，且，其外接圆的半径， 由二面角外接球万能公式可得， 则，故三棱锥的外接球的体积为. 故答案为：. 【典例3】三棱锥满足，二面角的大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为（      ） [解]如图所示， 设，，则，， 由空间余弦定理可得：， 由，则， 即，化简得 故，，过作，连接，则， 设，则，解得，， 所以点与点重合，故，，即为二面的平面角，二面的交线 在中，外接圆半径，其， 在中，外接圆半径，其， 由二面角外接球万能公式可得：其中， ，即 所以外接球的体积.故选：. 【典例4】在边长为的正三角形中，，分别是，的中点，将沿着翻折至，使得，则四棱锥的外接球的表面积是（    ） [解] 依题意取,的中点为,，且交于点， 注意到是的中点，三角形是等边三角形，从而是三角形的中心， 同时有,,,面，面， 所以面，而面，则， 由与为等边三角形，且为的中点， 则，，又，所以面， 而面，则，又，所以面， 可得，在中，，，则， 由，，可得为二面的二面角， 设为，其交线，，， 在中，外接圆的半径，， 在等腰梯形中，外接圆的半径，， 由二面角外接球万能公式可得， ，即， 四棱锥的外接球的表面积是..故选：. 【典例5】 跟踪练习6 （1） （2） （3） 考点七 对直角模型 【典例】 跟踪练习7 （1） （2） 考点八 内切球 【典例1】已知一个顶点为，底面中心为的圆锥的体积为，该圆锥的顶点和底面圆周均在球上，若圆锥的高为，则球的半径为 ；球的体积的最小值是 . [解]如图，设底面圆的半径为，球的半径为， 由圆锥体积可得，，解得，由，解得， 设高为，则，所以，所以， 则， 即，即，当且仅当，即时取等， 此时.故答案：；. 【典例2】已知半径为球与棱长为的正四面体的三个侧面同时相切，切点在三个侧面三角形的内部（包括边界），记球心到正四面体的四个顶点的距离之和为，则（    ） 有最大值，但无最小值 最大时，球心在正四面体外 最大时，同时取到最大值 有最小值，但无最大值 [解]对于，设球心为，正四面体为，的中心为， 则在上，，， 球与平面，平面，平面相切，与平面相切于点， ，， 因为，在中，，则， 所以在中，，因为，所以，有最大值，但无最小值，故正确； 当，此时，则最大时，球心在正四面体外，故正确； 对于，设，在中，，， 可得，则， ，令，解得或，则在上但单调递减，在撒花姑娘单调递增，所以， 又，，故有最小值，无最大值， 故错误，正确.答案：. 【典例3】已知经过圆锥的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（    ） [解]如图，作出圆锥的轴截面， 设上、下两部分几何体的两部分的内切球的球心分别为,，半径分别为，， 即，，根据题意可知为正三角形，易知，圆锥的底面半径，所以，又， 所以，所以，所以上部分圆锥的底面半径为，高为， 又圆锥的底面半径为，高为， 所以上部分圆锥的体积与圆锥的体积之比为， 所以上、下两部分几何体的体积之比是．故选：． 【典例4】已知正四面体的棱长为，若棱长为的正方体能整体放入正四面体中，则实数的最大值为 . [解]依题意，由正四面体及正方体的几何性质知，要使放入的正方体最大，则正方体的一个底面在正四面体的一个底面内， 令是正的中心，则底面，而, 则，不妨令放入的正方体的底面在正四面体在内，则正方体中与这个底面相对的底面正方形所在平面截正四面体所得截面是正三角形，且这个正方形是正的内接正方形， 于是，显然三棱锥是正四面体，与平面的交点是正的中心，于是，显然， 因此，解得， 所以实数的最大值为.故答案为：. 【典例5】 跟踪练习8 考点九 阿氏圆或阿氏球在立体几何中的应用 【典例2】在长方体中，，，为的中点，点满足（），则（ ） 若为的中点，则三棱锥体积为定值 存在点使得 当时，平面截长方体所得截面面积为 若为长方体外接球上一点，，则的最小值为 [解]对于，因为为的中点，为的中点，所以， 素以平面，则到平面的距离为定值，所以体积为定值，故正确； 对于，在平面的投影为，由三垂线定理可得， 则，因为四边形为正方形，所以与不垂直，故错误； 对于，平面与重合，平面与平面重合，所以延长会与有交点，因为，所以延长与交于点，取中点，则平面截正方体所得截面为矩形，所以面积为，故正确； 对于，长方体外接球的球心为的中点，球心设为，半径为，由，可得，，由阿氏球的性质，在线段的延长线上存在一点，使得，由阿氏球的性质可知，，解得，故，则，要使得取得最小值， 当且仅当三点共线且点在线段之间时最小， 即，以为原点，建系如图，由， 则，又，则，即， 故正确.综上答案：. 跟踪练习9 【例题】设是半径为3的球体表面上两定点，且，球体表面上动点满足，则点的轨迹长度为（ ） [解]由，则， 由，则点的轨迹在空间中为阿氏球，又点在球体表面上， 故点的轨迹是阿氏球与球相交的交集部分，如图： 设阿氏圆的圆心为，由阿氏圆的性质可得，其半径， 由，则，解得，，过点作于，设大圆与圆交于，可得点的轨迹是以为直径的圆， 在中，，，则， 在中，，，，由， 故，故， 故点的轨迹长度的轨迹.答案：. 考点十 外接球与内切球综合应用 【典例2】《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五面体.如图所示，在羡除中，点为矩形，，和均为正三角形，平面，，则该羡除的外接球的表面积为 . [解]如图，取的中点为，取的中点为，底面的中心点为，由羡除的性质可得， 点三点共线，其中为球心，假设在之间，设外接球的半径为， 在中，①，在梯形中，可得， 在中，②，由①②可得：， 故外接球的表面积. 【典例3】已知半径为的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为，母线长为，求的表面积与体积分别为，圆台的表面积与体积分别为.则下列说法正确的是（ ） 的最大值为 [解]如图，设上下底面的圆心分别为，，由切线长定理可知，，正确， 由勾股定理可得，，解的，正确， 由， ，所以，正确， 由，当且仅当时等号成立,这与圆台的定义矛盾，故错误.答案：. 【典例4】已知正六棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的体积为，若该六棱锥体积的最大值为（ ） [解]设六棱锥的底面边长为，高为，由，解得， 由垂径定理可得，，则， 则 由， 当且仅当时取等，故.故选. 【典例5】已知球与正四面体各棱相切，且与平面相切，若，则正四面体表面上的点到平面距离的最大值为 . [解]球与正四面体各棱相切，则对棱中点的连线线段就是球的直径，设球的半径为，则，，即球心到平面的距离为，球心到正四面体表现上的点距离的最大值为点到其顶点的距离（即为正四面体外接球的半径，其值为正四面体棱长的倍），又在四面体的高为（正四面体的高，其值为正四面体棱长的倍），所以，解得， 则正四面体表面上的点到平面距离的最大值为. 【典例6】已知正方体的棱长为，连接正方体各个面的中心得到一个八面体，以正方体的中心为球心作一个半径为的球，则该球的球面与八面体各面的交线的总长为（    ） [解]如图所示，为的中点，为正方体的中心，过作的垂线交于点， 正八面体的棱长为，即，故,,，则， 设球与正八面体的截面圆半径为， 如图所示，则， 由于，，所以，则，平面与球的交线所对应的圆心交恰为，则该球的球面与八面体个面的交线的总长为 .故选：. 【典例7】三棱锥中，，，为内部及边界上的动点，，则点的轨迹长度为（    ） [解] 如图所示，由，，可知三棱锥为正三棱锥，设中点为，则,,, 设点在底面上的射影为， 则平面，, 又为内部及边界上的动点，，所以， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在内部及边界上的部分， 如图所示，   由，所以，即，， 所以点的轨迹长度为.故选：. 【典例8】对于棱长为（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），下列说法正确的是（    ） 底面半径为，高为的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方体 以该正方体的三条棱作为圆锥的母线，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为 该正方体内能同时整体放入两个底面半径为，高为的圆锥 该正方体内能整体放入一个体积为的圆锥 解]对于，若高为的圆锥形罩子刚能覆盖水平放置的正方体，考虑圆锥的轴截面，如图，    ，因为∽,所以，所以， 则圆锥底面圆的半径最小为，故错误； 对于，如图（1）， 以，，三条棱作为圆锥母线，底面所在平面为平面， 等价于求与平面所成角的正切值，设其为由正方体的性质可得 平面，故，则，故正确； 图（1） 图（2） 对于，如图（2），以矩形的中心为圆锥底面圆圆心，半径为， 分别以，的中点，为两个圆锥的顶点，每个圆锥高的最大值为，故正确；   对于，如图，的中点作垂线，分别交，于点，， 则， 以正方体的体对角线作为圆锥的轴，为圆锥顶点，为圆锥底面圆的直径时， 该圆锥的体积为，故正确．    事实上，以正方体的体对角线作为轴，为顶点的圆锥的体积最大值， 显然底面圆心在线段上（不含点），设， 当与（为的四等分点）重合时，， 因此，因为∽，所以， 则，，， 圆锥体积（）， 在上恒成立，所以在上单调递增，体积的最大值为,故正确．故选：. 【典例8】在所有棱长均相等的直四棱柱中，，点在四边形内（含边界）运动．当时，点的轨迹长度为，则该四棱柱的表面积为（    ） [解]如图， 设棱长为，延长，过点作垂直于的延长线于， 由，可得,; 由直四棱柱的性质可得，平面，所以； 因为，所以, 在平面内，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆夹在四边形内的部分，即图中圆弧. 因为，，，所以， 因为点的轨迹长度为，所以，即. 四棱柱的表面积为，故选：. 跟踪练习10 （1）已知A4纸的长，宽，分别是的中点.现将沿折起，得到以为顶点的三棱锥，则三棱锥的外接球的半径为 ；在翻折的过程中，直线被球截得的线段长的取值范围是 . [解]取的中点为，则易得， 所以为三棱椎的外接球的球心，所以. 爱翻折过程中，易得，取的中点，则， 设，，直线被球截得的线段长为， 则， 在翻折过程中，以为原点，为轴，垂直于面的直线为轴建立如图坐标系， 则易得，又，，且在翻折中，点在以为圆心，为半径的圆上，所以，其中， 则， 所以. （2） （3） （4）已知正方体的棱长为2，分别为的中点，为正方体的内切球上任意一点，则（ ） 球被截得的弦长为 球被四面体表面截得的截面面积为 的范围为 设为球上任意一点，则与所成角的范围是 [解]对于，内切球半径，，，到的距离 ，所以被截得弦长为，错误， 对于，到面的距离（这个是结论），球被面截得的截面圆半径，截面圆面积，所以球被四面体表面截得的截面面积为，正确， 对于，取的中点，则（极化恒等式）， ，，则，所以， 所以,正确， 对于，显然与所成角即为与所成角，球与下底面切于点，当与重合时，与所成角为，过作与球相切于点且交延长线于点，则即为与所成角的最大值，设，， 则，为锐角，， 则，故错误.综上：. （5） （6）已知正四棱柱的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） [解]设底面的中心为，球心为外接球的半径为，由，解得， 由，且，解得，， 则， 令（），则，解得，可得在上单增，在上单减，则，由，，则，故.故选：. （7）现有一个点边长为，侧棱为的正三棱锥框架，其各顶点都在球的面上，将一个圆气球放在此框架内，再向气球内充气，当圆气球恰好与此正三棱锥各棱都相切时停止充气，此时两球表面积和为（ ） [解]由题意可得，底面的外接圆的半径，设球心在线段之间（为正三角形的中心），在中，，，则点就是球，故球的半径（表示球的半径）， 设球与棱和相切于点，在中，，（表示球的半径），则（）， 在中，，，则， 由，则，解得， 故两球表面积和为.故选：. （8）在三棱椎中，平面，，，， ，点在该三棱锥的外接球的球面上运动，且满足，则三棱锥的体积最大值为（ ） [解]由已知可得，，可知为外接球的直径， 在中，，，则，故， 在中，由正弦定理可得，，则，故到面的距离， 则到面的距离，由, 由余弦定理可得，， 即， 则，故 故选：. （9）已知直四棱柱，，底面是边长为的菱形，且，点分别为，，，的中点，以为球心作半径为的球，下列说法正确的是（ ） 点四点共面 直线与直线所成的余弦值为 当球与直四棱柱的五个面有交线时，的范围是 在直四棱柱内，球处放置一个小球，当小球的体积最大时，球半径的最大值为 [解]对于，取的中点分别为，则构成平面六边形，故正确； 对于，把直线与直线的平移到点，由余弦定理可求得与直线所成角的余弦值为，故正确； 对于，当球与直四棱柱的上底面和4个侧面有交线时，的范围是 当球与直四棱柱的下底面和4个侧面有交线时，的范围是，故错误， 对于，此直四棱柱内切球最大半经为， 即直径最大为，此时两球心的距离为，所以球的半径最大值为，故正确.故选：. （10）； 课堂巩固训练A组【最新2026年版】 课堂巩固训练B组【最新2026年版】 （1）；（2） 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 学科网（北京）股份有限公司 $