第5讲 线面、面面垂直的判定与性质 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦线面、面面垂直的判定与性质核心考点，以定义、定理为基础，构建线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化体系，覆盖线面角、二面角及折叠、探究性问题。通过基础知识梳理、典型例题精讲、考点分类突破、规律方法总结和分层练习，帮助学生突破定理应用和位置探究难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以“判定-性质-转化”为主线，创新设计“线线垂直八大类型”识别训练，结合正方体、菱形等模型培养直观想象，通过折叠问题中不变量分析提升逻辑推理能力。分层练习（A组基础、B组高考题型、C组综合）配合误区警示，确保高效突破，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第 5 讲 线面、面面垂直的判定与性质 【重点难点】 重点:线面、面面垂直的定义、判定定理、性质定理 难点:线面、面面垂直的判定、性质定理的灵活应用、探究点的位置 【基础知识】 一、直线与平面垂直 (1)定义:直线与平面内的任意一条直线都垂直,则直线与平面互相垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理: 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 ,则该直线与此平面垂直 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ∥ 【注】 推论: . . 二、线面角和二面角 (1)线面角:平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.直线与平面所成角的范围是. 当时,直线在平面内或与平面平行.当时,直线与平面垂直. (2)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,在二面角的棱上任取一点,在两个半平面内以为垂足作棱的垂线与,则叫做二面角的平面角.二面角的取值范围是,时两个半平面共面;时为锐二面角;时为直二面角;时为钝二面角. 三、两个平面垂直 (1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线 ,则这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 【注】[ 要求一平面只需过另一平面的垂线] 垂直于同一平面的两平面是否平行? 【思考 提示】 可能平行,也可能相交. 思考? 典型例题 例1 直线与垂直,平面,则与的位置关系是( ) 或 答案: 如图,如果菱形所在平面,那么与的位置关系是( ) 平行 垂直但不相交 异面 相交但不垂直 答案: 例2 例3 如图,在中,,平面,则图中直角三角形的个数是 . 答案: 例4 已知平面、和直线,给出条件: ⓵;⓶;⓷;⓸;⓹. (1)当满足条件 时,有; (2)当满足条件 时,有.(填所选条件的序号) 答案:⓷⓹ ⓶⓹ 考点一 直线和平面垂直的判定和性质 证明直线和平面垂直的常用方法有 (1)利用判定定理. (2)利用平行线垂直于平面的传递性(, ). (3)利用面面平行的性质(, ). (4)利用面面垂直的性质. 当直线和平面垂直时,该直线垂直于平面内的任一直线,常用来证明线线垂直. 例5 如图所示,为⊙的直径,为⊙上一点,面,于,于. 求证:平面. 【思路点拨】 证明平面,只需证明. 【证明】因为为⊙的直径,为⊙上的一点,所以. 又面,面,所以. 又,所以平面, 因为平面,所以. 又已知,,所以平面,又平面, 所以,又,,所以平面, 【总结】线面垂直的定义,拓展了线线垂直的范围,线垂直于面,线就垂直于面内所有直线.思考? 题目条件不变,图中有几个直角三角形?它们是什么? 解:共个. 、、、、、、 、、 考点二 平面与平面垂直的判定 证明面面垂直的主要方法是:(1)利用判定定理.在审题时要注意直观判断哪条直线 可能是垂线,充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边,勾股定理等结论.(2)用定义证明.只需判定两平面所成二面角为直二面角.(3)客观题中,也可应用:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于第三个平面.例6 如图,三棱锥中,,,两两互相垂直,,分别为,的中点. ( )求证:平面; ( )求证:平面平面. 【思路点拨】 由,知平面,由,,知面. 【证明】( ))因为,分别为,的中点,所以. 又因为平面,平面.所以平面. ( )因为,,且,所以平面. 又因为,所以平面. 因为平面,∴平面平面 【总结】 本题体现了线面转化,同学们可以思考一下,若,,我们可以推出几对面面垂直? 考点三 折叠问题 将平面图形折叠成立体图形时,应注意折叠前、后哪些量发生了改变,哪些没有发生变化.特别应注意寻找折叠前、后的那些没有发生变化的关系和没有变化的量.把平面图形的垂直关系运用到空间图形中去,又将空间中的有关问题放到平面中去计算,常可以使问题得以顺利解决. 如图①,四边形中,,,, ,将沿对角线折起,记折起后点的位置为,且使平面平面,如图②. ( )求证:平面平面; ( )在折叠前的四边形中,作于,过作于,求折起后的图形中的正切值. 例7 【思路点拨】 根据翻折前后元素的关系变化,结合面面垂直的判定定理求解. [解]( )证明:折叠前,在四边形中,,,, 所以为等腰直角三角形.又因为,所以. 折叠后,因为平面平面,,所以平面. 又因为平面,所以. 又因为,,所以面. 又面,故平面平面. ( ),,折叠后的位置关系不变, 所以.又面面,所以面. 所以. 设,则,所以, 在中,, 在中,. 【总结】 翻折与展开是一个问题的两个方面,不论是翻折还是展开,均要注意平面图形与立体图形中各个对应元素的相对变化,元素间大小与位置关系,哪些变化,哪些不变化,这是至关重要的.一般来说,在翻折过程中,处在同一个半平面内的元素是不变的,弄清楚这一点是解决这类问题的关键.考点四 与垂直有关的探究性问题 对于这类问题应先把题目中已确定的位置、大小关系作出全面认识和正确的推理,再对变化不定的线面关系进行观察,尝试作出各种常见的辅助线、辅助面进行判断,另外还要灵活运用观察、联想、类比、猜想、分析、综合、一般化、特殊化等科学的思维方法,才能使开放性问题快速有效地解决. 已知中,,,平面,,、分别是、上的动点,且(). ( )求证:不论取何值,总有平面平面; ( )当何值时,平面平面. 例8 【思路点拨】对于( )证出,从而可证平面; 对于( )主要在侧面中求的长度. [解]( )证明:因为平面,所以, 因为,且,所以平面, 又因为(),所以不论为何值,恒有, 所以平面,平面, 所以不论为何值,总有平面平面. ( )由( )知,,又平面平面, 所以平面,所以.因为,,, 所以,,所以, 由,得,所以, 故当时,平面平面 【误区警示】对于( )易错的地方是猜想点位置为中点,再证平面平面. 例9 如图,在矩形中,,、分别为线段、的中点,平面. ( )求证:平面; ( )问在上是否存在点使平面 平面?若存在,求出平面的值. [解]( )证明:因为平面, 所以,又为矩形,, 、分别为线段、的中点, 所以,且,所以, 又因为,所以平面. ( )如图,假设存在点使平面平面, 因为,所以平面, 所以平行于平面与平面的交线. 因为平面, 所以,而, 所以平面,所以平面, 所以是平面与平面所成二面角的平面角,因为是中点,且, 所以当时,, 所以当时,即时, 平面平面 【规律方法总结】 1.空间的垂直关系有直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直.它们之间存在相互转化关系: 2.当有面面垂直时,一般是在一个面内找(作)交线的垂线,则直线垂直于面;在证面面垂直时,一般可先从现有的直线寻找平面的垂线;在证面面垂直时,一般可先从现有的直线寻找平面的垂线,若没有,可作辅助线解决. 3.注意掌握以下几个相似结论 (1)垂直于同一平面的两条直线平行. (2)垂直于同一条直线的两个平面平行. (3)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交. (4)垂直于同一条直线的两条直线平行、相交或者异面. 【常见结论】 一、特殊点在平面上的射影 1.所在平面外一点在平面内射影为, (1)若,则为外心 (2)若到三边距离相等,则为内心或旁心 (3)若、、两两垂直,则为的垂心 2.所在平面外一点在平面内射影为 (1)若,则在的平分线上 (2)若到两边距离相等,则在平分线上 3.直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直. (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面. 【误区警示】 1.不要将: 、 、 ,及 , 错误迁移到 、 、 、 及 致误. 2.不要将“经过一点有且仅有一条直线与平面垂直”;“经过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直”;“经过平面外一点有无数条直线与已知平面平行,这无数条直线在同一个平面内,即经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行”;“经过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行,有无数个平面与已知直线平行,这无数个平面的交线为”弄混错用. 3.,,, 是错误的,与相交的条件不能少. 4.两平面垂直时,从一个平面内一点向另一个平面作垂线,则垂足必落在交线上. 一、线面角与二面角的找法 求平面的斜线与平面所成的角,可从斜线上找(或取)一点,过该点作平面的垂线,连结斜足和垂足,则即所找的线面角,找垂足的位置时,常根据面面垂直的性质定理找. 二、二面角的平面角的找法 (1)在二面角的棱上取一点,过该点分别在二面角的两个半平面内作棱的垂线,两射线的夹角,即二面角的平面角. (2)作棱的垂面,垂面与两个半平面的交线夹角,即二面角的平面角. (3)在二面角的一个半平面内取一点,过向另一个半平面所在平面作垂线,垂足为,再由向棱作垂线,垂足为,则就是二面角的平面角或其补角. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“ ”) (1)直线与平面内的无数条直线都垂直,则.( ) (2)若直线平面,直线,则直线与垂直.( ) (3)若, .( ) (4), .( ) (5)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( ) 【线线垂直、线面垂直、面面垂直的解题思路】(重要) (1)总的解题思路:从垂直关系越多的直线(只需要两组线线垂直关系)出发,转化为该直线垂直于某平面,从而证明线线垂直或面面垂直. (2)线线垂直关系的八大常见类型(具体的解题思路) ⓵正方形或矩型中邻边垂直; ⓵正方形或菱形中对角线垂直; ⓷等腰或等边三角形中三线合一; ⓸在三角形中存在、、的特殊情况; ⓹在三角形中给出边的具体取值或边之间的等量关系,考虑勾股定理或余弦定理; ⓺在三角形中,某边的中线等于该边的一半,则该边为斜边,对角为直角; ⓻在半圆或圆中,直径所对的圆周角为直角; ⓼在四边形(矩形或梯形或不规则四边形)中,为证明两边相交垂直,考虑另外两组内角互余,即证明正切之积为“1”,本质考查相似. 考点一 线面位置关系的命题真假判断 【典例】已知,表示两个互相垂直的平面,、表示一对异面直线,则的一个充分条件是( ) , , , , 设、是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题错误的是( ) 若,,则 若,,,则 若,,,则 若,,则 考点二 异面直线垂直的证明 冲刺清北数学 书山有路勤为径,学海无涯苦作舟 学科网(北京)股份有限公司 【典例】已知在三棱锥中,,求证:⊥. [证明] 如图,是正方形,垂直于平面,过且垂直于的平面交、、 分别于点、、,求证:,. [证明] 考点三 等腰(等边)三角形在线面垂直中的应用 【典例】如图,是所在平面外一点,且,为斜边的中点. ( )求证:平面; ( )若,求证:平面. [证明] 如图所示,在四棱锥中,底面,,, ,,是的中点. 证明:( );( )平面. [证明] 考点四 菱形在线面垂直中的应用 【典例】如下图,已知四棱锥的底面为菱形,平面,,是的中点. 证明:. [证明] 如图,在四棱锥中,底面是菱形,, ,点在线段上,且,为的中点. ( )求证:平面; ( )若平面平面,求三棱锥的体积. [解] 考点五 勾股定理在线面垂直中的应用 【典例】如下图,在四棱锥中,平面平面,, 是等边三角形,已知 ,. ( )求证:平面; ( )求三棱锥的体积. [解] 在如图所示的几何体中,四边形是等腰梯形,,,平面,, . ( )求证:平面; ( )求二面角的余弦值. [证明] 考点六 圆周角为直角在线面垂直中的应用 【典例】如图所示,已知为圆的直径,点为线段上一点, 且,点为圆上一点,,平面, . 求证:. [证明] 如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交,,,分别为,的中点, 是上异于,的点, . ( )证明:平面平面; ( )若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值. [解] 考点七 三垂线定理在线面垂直中的应用 【典例】如图,四面体,面,,过作交于,过作交于.求证:. [证明] 在四棱锥中,底面为矩形,⊥底面,,分别为,的中点.( )求证:∥平面; ( )若,求证:面. [证明] 考点八 面面垂直的应用 【典例】如下图,棱柱的侧面是菱形,. ( )证明:平面平面; ( )设是上的点,且平面,求的值. [证明] 在平行六面体中,,. 求证:( )平面; ( )平面平面. [证明] 考点九 折叠问题 【典例】如下图甲,直角梯形中,,,为中点,在上,且,已知,现沿把四边形折起如图乙使平面平面. ( )求证:平面; ( )求证:平面; ( )求三棱锥的体积. [解] (1)如图1所示,在中,,,,为的平分线,点在线段上,.如图2所示,将沿折起,使得平面平面,连接,,设点是的中点. ( )求证:平面; ( )若平面,其中为直线与平面的交点,求三棱锥的体积. [解] (2)如图1,在边长为4的菱形中,,点分别是边,的中点,.沿将翻折到,连接,,,得到如图2的五棱锥,且. ( )求证:平面; ( )求四棱锥的体积. [解] 考点十 线面垂直位置关系中的存在性问题 【典例】如图,在矩形中,,、分别是线段、的中点,平面. ( )求证:平面; ( )问在上是否存在点,使平面平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由. [证明] (1) 如图,三棱锥中,平面,,,, . ( )求三棱锥的体积; ( )在线段上是否存在点,使得,若存在,请说明理由,并求的值. [解] (2)已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,,点在线段上. ( )若为的中点,求证:平面; ( )求二面角的余弦值; ( )证明:存在点,使得平面,并求的值. [解] (3)如图所示,在四棱锥中,平面,,,,为的中点. ( )求证平面; ( )若点为的中点,线段上是否存在一点,使得平面平面?若存在,请确定的位置;若不存在,请说明理由. [解] (4)如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面平面,,,,为中点. ( )求证:平面; ( )求二面角的余弦值; ( )在棱上是否存在点,使得?若存在,求的值;若不存在,说明理由. [解] (5)如图,直三棱柱中,,,,是的中点. ( )求证平面; ( )当点在上什么位置时,会使得平面?并证明你的结论. [解] (6)如图已知平行六面体的底面是菱形,且. ( )证明; ( )当的值为多少时,能使平面?请给出证明. [解] 考点十一 点的射影问题 【典例】如下图所示,已知和都是以为直角顶点的直角三角形,且,. ( )求证:平面; ( )若是的垂心,求证:是在平面内的射影 . [解] 如图1,在直角梯形中,,,,是的中点,是与的交点.将沿折起到图2中的位置,得到四棱锥. ( )证明:平面; ( )当平面平面时,四棱锥的体积为,求的值. [解] 考点十二 空间中的线面角 【典例】如下图,在五棱锥中,平面,, ,., ,,是等腰三角形. ( )求证:平面平面; ( )求直线与平面所成角的大小; ( )求四棱锥的体积. [解] 如图,在四棱锥中,底面,,, ,,是的中点. ( )求和平面所成的角的大小; ( )证明:平面; ( )求二面角的正弦值. [解] A组 考点能力演练【最新2026年版】 1.已知一个平面,那么对于空间内的任意一条直线,在平面内一定存在一条直线,使得与( ) 平行 相交 异面 垂直 2.在空间中,用、、表示不同的直线或平面,若命题“,,则”成立,则、、分别表示的元素是( ) 、、都是直线 、、都是平面 、是平面,是直线 是直线,、是平面 3.已知三个不同的平面,,,下列命题正确的是( ) 若,,两两相交,则有三条交线 若,,则 若,,,则 若,,则 4.设,为不重合的平面,,为不重合的直线,则下列命题正确的是( ) 若,,,则 若,,,则 若,,,则 若,,,则 5.已知,是两条不同直线,,是两个不同平面,则下列命题正确的是( ) 若,垂直于同一平面,则与平行 若,平行于同一平面,则与平行 若,不平行,则在内不存在与平行的直线 若,不平行,则与不可能垂直于同一个平面 6.已知垂直于以为直径的圆所在的平面,为圆上异于,两点的任一点,则下列关系不正确的是( ) 平面 7.如图,在四面体中,已知,,那么点在平面内的射影必在( ) 直线上 直线上 直线上 内部 第7题 第8题 8.如图,在正四面体中,,,分别是,,的中点,则下面四个结论不成立的是( ) 平面 平面 平面平面 平面平面 9.如图,以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕,把和折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论: ①;②是等边三角形; ③三棱锥是正三棱锥;④平面平面. 其中正确的是( ) ①②④ ①②③ ②③④ ①③④ 10.如图,已知为直角三角形,其中,为的中点,垂直于所在平面,那么( ) 11.如图(第11题),在斜三棱柱中,,,则在底面上的射影必在( ) 直线上 直线上 直线上 内部 第11题 第12题 12.如图(第12题),在立体图形中,若,,是的中点,则下列结论正确的是( ) 平面平面 平面平面 平面平面,且平面平面 平面平面,且平面平面 13.如图,正方体的棱长为1,过点作平面的垂线,垂足为,则以下命题中,错误的是( ) 点是的垂心 垂直于平面 的延长线经过点 直线和所成角为 第13题 第14题 14.如上图所示,直线垂直于⊙所在的平面,内接于⊙,且为⊙的直径,点为线段的中点.现有结论:①;②平面;③点到平面的距离等于线段的长.其中正确的是( ) ①② ①② ① ②③ 15.在三棱锥中,已知底面,,,分别是线段,上的动点,则下列说法错误的是( ) 当时,一定为直角三角形 当时,一定为直角三角形 当平面时,一定为直角三角形 当平面时,一定为直角三角形 16.如图,圆所在的平面,是圆的直径,是圆上的一点,,分别是点在,上的射影,给出下列结论:①;②;③;④平面.其中正确结论的序号是 . (15) (16) (17) (18) (19) 17.如图,直三棱柱中,侧棱长为,,,是的中点,是上的动点,,交于点.要使平面,则线段的长为 . 18.在棱长为2的正方体中,点是对角线上的点(点与不重合),有以下四个结论: ①存在点,使得平面平面; ②存在点,使得平面; ③若的周长为,则的最小值为; ④若的面积为,则.则正确的结论为( ) ①③ ①②③ ①②④ ②④ 19.(多选)如图,若正方体的棱长为,点是正方体的侧面上的一个动点(含边界),是棱的中点,则下列结论正确的是( ) 沿正方体的表面从点到点的最短路程为 若保持,则点在侧面内运动路径的长度为 三棱锥的体积最大值为 若点在上运动,则到直线的距离的最小值为 B组 高考题型专练【最新2026年版】 1.已知长方体中,棱,棱,连结,过点作的垂线交于,交于. ( )求证平面; ( )求点到平面的距离. [解] 2.如下图,四棱锥中,底面 为平行四边形,,,底面. ( )证明:; ( )设,求棱锥的高. [解] 3.如图1,等腰梯形中,,,,是的中点.将沿折起后如图2,使二面角成直二面角,设是的中点,是棱的中点. ( )求证:; ( )求证:平面平面; ( )判断能否垂直于平面,并说明理由. [解] 4.已知正三棱柱,若过与平行的平面交上底面的边于点. ( )确定的位置,并证明你的结论; ( )证明:平面平面. [解] 5.如图,已知正的边长为4,是边上的高,、分别是和边上的中点,现将沿翻折成直二面角. ( )求二面角的余弦值; ( )在线段上是否存在一点,使?如果存在,求出的值;如果不存在,说明理由. [解] 6.如图(1),在中,,,分别为,的中点,点为线段上的一点,将沿折起到的位置,使,如图(2). ( )求证:平面. ( )求证:. ( )线段上是否存在点,使平面?说明理由. [解] 7.如图,在四棱锥中,平面,∥,,,,,,为的中点. ( )求证:∥平面; ( )线段上是否存在一点,满足?若存在,试求出此时三棱锥的体积;若不存在,请说明理由. [解] 8.如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,,. ( )求证:平面; ( )求直线与平面所成角的正弦值; ( )在棱上是否存在点,使得平面?若存在,求的值;若不存在,说明理由. [解] 9.如图,在三棱锥中, ,,为的中点. ( )证明:平面; ( )若点在棱上,且,求点到平面的距离. [解] 10.如图(1),四边形为矩形,平面,,.按图(2)折叠:折痕,其中点,分别在线段,上,沿折叠后点叠在线段上的点记为,并且 . ( )证明:平面; ( )求三棱锥的体积. [解] 11.如图,在四棱锥中,底面,底面是直角梯形,,,, ,点在上,且,点在上,且. ( )求证:平面平面; ( )若直线与平面所成的角为,求二面角的余弦值; ( )在第( )问条件下,线段上是否存在点,使得平面,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由. [解] 12.如图,已知菱形中,,直角梯形中,,,,、分别为、中点,平面平面. ( )求证:平面; ( )异面直线与所成角的余弦值; ( )线段上是否存在一点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出的长;若不存在,请说明理由. [解] 13.如图,在正四棱柱中,,,是上的点,满足为等边三角形. ( )求证:平面; ( )求二面角的余弦值. [解] 14.如图所示,四棱锥的底面为矩形,,,过底面对角线作与平行的平面交于点. ( )求二面角的余弦值; ( )求与所成角的余弦值; ( )求与平面所成角的正弦值. [解] C组 综合题型【最新2026年版】 1.如图所示,在棱长为1的正方体中,、分别是、的中点,过直线的平面平面,则平面截该正方体所得截面的面积为( ) 2.如图,在正四棱柱中,,点为棱的中点,过,,三点的平面截正四棱柱所得的截面面积为( ) 3.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上,,是边长为的正三角形,三棱锥的体积为,为的中点,则过点的平面截球所得截面面积的取值范围是( ) 4.如图,正方体,棱长为,为中点,为线段上的动点,过,,的平面截该正方体所得的截面记为.若,则下列结论错误的是( ) 当时,为四边形 当时,为等腰梯形 当时,为六边形 当时,的面积为 5如图,在正方体中,,,分别是棱,,的中点,则经过,,的平面与正方体相交形成的截面是一个( ) 三角形 平面四边形 平面五边形 平面六边形 第1题 第2题 第4题 第5题 6.四棱锥中,底面是正方形,,.是棱上的一动点,是正方形内一动点,的中点为,当时,的轨迹是球面的一部分,其表面积为,则的值是( ) 7.已知菱形边长为,,沿对角线折叠成三棱锥,使得二面角为,设为的中点,为三棱锥表面上动点,且总满足,则点轨迹的长度为( ) 8.四棱柱的底面为正方形,侧棱与底面垂直,点是侧棱的中点,,,若点在侧面(包括其边界)上运动,且总保持,则动点的轨迹是( ) 9.如图,已知正方体的棱长为,、分别是棱、的中点.若点为侧面正方形内(含边界)动点,且平面,则点的轨迹长度为( ) 10.如图,已知正方体的棱长为,长为的线段的一个端点在棱上运动,点在正方体的底面内运动,则的中点的轨迹的面积是( ) 11.在正方体中,点在线段上,若直线与平面所成的角为,则的取值范围是( ) 12.在正方体中,,,分别为,,的中点,为底面上一动点,且直线平面,则与平面所成角的正切值的取值范围为( ) 13.己知正四面体,为中点,为中点,在线段上一个动点(包含端点),则直线与直线所成角余弦值的取值范围为( ) 14.已知正四面体中,,分别为棱,的中点,为棱上(含端点)的动点,则异面直线和所成角的余弦值的最大值为( ) 15.设,,,是同一个半径为的球的球面上四点,是以为底边的等腰三角形,且面积为,,则三棱锥体积的最大值为( ) 16.在正方体中,点为线段上一点,当取得最小值时,直线与平面所成角的正切值为( ) 17.如图,在长方体中,,,,动点在棱上,连接,,则的最小值为( ) 18.如图,在正四棱锥中,侧棱长均为,且相邻两条侧棱的夹角为,,分别是线段,上的一点,则的最小值为( ) 第17题 第18题 19.如图,正三棱锥中,,侧棱长为,过点的平面截得.则的周长的最小值为( ) 20.如图,在长方体中,,,为棱上的一点,当取最小值时,的长为( ) 第20题 第21题 21.某数学小组进行“数学建模”社会实践调查.他们在调查过程中将一实际问题建立起数学模型,现展示如下:四个形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口容器,如图所示.盛满液体后倒出一半,设剩余液体的高度从左到右依次为,,,.则它们的大小关系正确的是( ) 22.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体,小圆柱底面半径为,大圆柱底面半径为,如图1放置容器时,液面以上空余部分的高为,如图2放置容器时,液面以上空余部分的高为,则( ) 23.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体,已知该正方体的棱长为1,如果任意转动该正方体,液面的形状都不可能是三角形,那么液体体积的取值范围为( ) 24.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体,已知该正方体的棱长为2,如果任意转动该正方体,液面的形状都不可能是三角形,那么液体的体积的取值范围为( ) 25.三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为( ) 26. 如图所示,在直三棱柱中,,,, 是上的一动点,则的最小值为( ) 第26题 27.在正方体中,过点做直线,使得直线与直线和所成的角均为,则这样的直线有( ) 不存在 2条 4条 无数条 28.正三棱锥中为的中点,为线段上的任意上点,设与所成的角的大小为,与平面所成的角的大小为,二面角的大小为,则( ) 第28题 29.已知四面体的所有棱长均为,,分别为棱,的中点,为棱上异于,的动点.有下列结论: ①线段的长度为1; ②若点为线段上的动点,则无论点与如何运动,直线与直线都是异面直线; ③的余弦值的取值范围为; ④周长的最小值为. 其中正确结论的为( ) ①② ②③ ③④ ①④ 30. 在四棱锥中,,,,且,,则直线与平面所成角的正弦值的最大值为( ) 31.如图,在正方体中,,,分别为,,上靠近,,的三等分点,,,,,,分别是,,的三等分点,,,为分别是,,的中点,则平面过( ) ,, ,, ,, 以上都不正确 31.在正三棱柱中,,点是线段的中点,点是线段的中点,记直线与所成角为,二面角的平面角为, 则( ) 33.如图,在棱长为1的正方体中,是线段的中点,是棱上的动点,为线段上的动点,则的最小值是( ) 第31题 第33题 34.(多选)如图,矩形中,,为边的中点,将沿翻折成 ,若为线段的中点,则在翻折过程中,下列结论中正确的是( ) 四棱锥体积的最大值为 翻折到某个位置,能使得平面 翻折到某个位置,能使得 点在某个球面上运动 35.(多选)已知正四棱柱中,,点为线段上的动点,则下列叙述正确的有( ) 当点运动时,总有 当点运动时,三棱锥的体积为定值 当在线段上运动到某一点时,直线与平面所成角为 点为线段上一动点,则的最小值为 36.(多选)直四棱柱的各个棱长均为,,点是棱的中点,以为球心,为半径作球面,点是球面与下底面的一个公共点,下列说法正确的是( ) 存在点,使平面平面 直线与平面所成的角为 该球面与侧面的交线长为 该球面与底面的交线长为 37. 已知三棱锥的各棱长都相等,,为上一点,且的最小值为,则该棱锥外接球的体积为 . 38.如图,在边长为2的正方形中,点是边的中点,将沿翻折到,连结, ,在翻折到的过程中,下列说法正确的 是 .(将正确说法的序号都写上) ①四棱锥的体积的最大值为; ②当面平面时,二面角的正切值为; ③存在某一翻折位置,使得; ④棱的中点为,则的长为定值. 第38题 第39题 39.正方体中,是的中点,是线段上的一点. 给出下列命题: ① 平面中一定存在直线与平面垂直; ② 平面中一定存在直线与平面平行; ③ 平面与平面所成的锐二面角不小于; ④ 当点从点移动到点时,点到平面的距离逐渐减小.其中, 所有真命题的序号是 . 40.已知正方体的棱长为,,分别是棱,的中点,点在四边形内(包括边界)运动,则下列说法中正确的是 .(填写序号) ①若是线段的中点,则平面平面 ②若在线段上,则与所成角的取值范围为 ③若平面,则点的轨迹的长度为 ④若平面,则线段长度的最小值为 第5讲 线面、面面垂直的判定与性质 考点一 【典例】 跟踪练习1 考点四 跟踪练习4 ( ) 考点五 【典例】 ( ) 跟踪练习5 ( ) 考点六 跟踪练习6 ( ) 考点八 【典例】 ( ) 考点九 【典例】 ( ) 跟踪练习9 (1)( ) (2)( ) 考点十 【典例】 ( ) 跟踪练习10 (1)( );( ) (2)( );( ) (3)( ) (4)( );( ) (5)( )当为的中点时,平面 (6)( )当时,平面 考点十一 跟踪练习11 ( ) 考点十二 【典例】 ( );( ) 跟踪练习12 ( );( ) A组 考点能力演练【最新2026年版】 ①②③ B组 高考题型专练【最新2026年版】 ( ) ( ) ( )与平面不垂直 ( )点为的中点 ( );( ) ( )存在点为线段的中点时,平面 ( )存在, ( );( ) ( ) ( ) ( );( )不存在 ( );( ) ( ) ( );( );( ) C组 综合题型【最新2026年版】 1.B 2.D 3. A 4.C 5.D 6.B 7.D 8.D 9.C 10.D 11.D 12.B 13.A 14.D 15.D 16.C 17.C 18.D 19.D 20.D 21.A 22.B 23.B 24.D 25.A 26.B 27.C 28.C 29.D 30.C 31.A 32.B 33.C 34. AD 35.BCD 36.BC 37. 38.①②④ 39. ②③④ 40.①②③④ $