立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质复习讲义-2026届高三数学一轮复习

立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质复习讲义 立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质复习讲义 考点一 线面平行的判定 【知识点解析】 1.线线平行的判定 (1)平行四边形的对边 (2)三角形的中位线或等高线 (3)三线八角（同位角、内错角、同旁内角） (4)线面平行的性质 (5)面面平行的性质 (6)向量 2.线面平行的判定 图示 文字表示 数学语言表示 线面平行的判定 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 【例题分析】 1．（24-25高一下·重庆·期末·节选）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点. (1)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）取的中点为点，连接， 因为点、分别是、的中点， 所以且， 又因为且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，即， 因为平面，平面， 所以平面； 2．（24-25高二下·陕西榆林·期末·节选）如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，，，分别为，的中点． (1)求证：直线∥平面. 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）解法1：取的中点，连接，， 因为为的中点，所以且， 因为底面为矩形，为的中点， 所以且， 故且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； 解法2：取的中点，连接，， 因为为的中点，所以， 又为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理平面， 因为平面，平面，直线直线， 所以平面平面，又平面，所以平面． 3．（24-25高一下·河南·期末·节选）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且，E为中点． (1)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）如图，连接交于，连接， 是正方形，则是中点，又E为中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面； 4．（24-25高一下·海南·期末·节选）如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，M、N、P、D分别是、、、的中点. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为P，D分别是，的中点，则， 在三棱柱中，则，可得， 且平面，平面，所以平面. 5．（24-25高一下·广东佛山·期中·节选）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，点在棱上，且. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：因为，且，可得， 连接，因为，所以，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. 6．（2025·四川成都·一模·节选）如图，在四棱台中，下底面是边长为的正方形，侧棱与底面垂直，且. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）连接交于点，连结，. 因为底面是正方形，所以是的中点. 又，所以，故. 由棱台的定义，与共面，因为棱台的上、下底面平行，所以它们与平面的交线平行，即. 所以四边形为平行四边形，故. 又因为平面，平面，所以平面. 7．（24-25高二下·贵州毕节·期末·节选）如图，四边形中，，，为的中点，在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：取的中点，连接，， 由题意得，. 四边形为平行四边形， ，. 又，， ，， 四边形为平行四边形， . 又平面，平面， 平面 考点二 线面平行的性质 【知识点解析】 1.线面平行的性质 图示 文字表示 数学语言表示 线面平行的性质 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行． 【例题分析】 1．（24-25高二下·四川凉山·期末·节选）如图，在圆锥中，为底面圆的内接四边形，对角线过圆心，圆锥母线长为，，. (1)若，平面与平面的交线为，证明：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明，平面，平面， 平面， 平面平面，平面， . 2．（23-24高一下·广东中山·阶段练习）如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点，设平面与平面的交线为． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据面面平行的判定定理，即可证明； （2）根据线面平行的性质，即可证明； （3）根据几何体特征，可求得正四棱锥的高为，再根据锥体的体积公式即可求解. 【详解】（1）因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形， 所以，， 又平面，平面， 则平面， 同理平面，平面， 可得平面， 又，平面， 所以平面平面． （2）因为底面为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以. （3） 因为四棱锥是正四棱锥， 所以底面是正方形，在底面上的投影是底面的中心， 又，所以， 又， 所以四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积． 3．（24-25高一下·陕西汉中·期末·节选）在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为底面中心，M,E分别为PA,PD的中点，为等腰直角三角形，且. (1)若平面平面，判断直线与BC的位置关系并证明； 【答案】(1)，证明见解析 【详解】（1） 证明：因为底面ABCD为平行四边形， 所以， 又因为面，面， 所以面， 又因为面，面平面， 所以. 4．（24-25高一下·江苏·期末·节选）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面． (1)求证：； 【答案】(1)见解析 【详解】 （1）取的中点，连接，，    因为点分别为的中点， 所以，且， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，平面平面 所以. 5．（24-25高一下·山东青岛·期末·节选）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，． (1)若平面平面，求证：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：因为底面为平行四边形， 可得， 因为平面， 且平面， 所以平面， 又因为平面平面，且平面， 所以. 考点三 面面平行的判定 【知识点解析】 1.面面平行的判定 图示 文字表示 数学语言表示 面面平行的判定 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 【例题分析】 1．（24-25高一下·新疆哈密·期末·节选）已知正方体图， (1)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）在正方体中，,， 则四边形是平行四边形，于是，又平面，平面 因此平面，同理平面，而平面， 所以平面平面. 2．（24-25高一下·陕西安康·期末·节选）如图，四棱锥中，平面平面，是棱的中点，，. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：棱上存在一点，使得平面平面； 【答案】(1)3 (2)证明见解析 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，所以，且， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则即为四棱锥的高， 由题意为等腰梯形，， 过分别作，垂足分别为，如图， 则，，从而， 梯形的面积为， 故四棱锥的体积； （2）取中点， 因为是棱的中点，所以是的中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，，平面，所以平面平面， 所以棱上存在一点（为的中点），使得平面平面； 3．（24-25高一下·陕西汉中·期末）由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）取的中点，连接. 则. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内， 所以平面. （2）因为，平面，不在平面内， 所以平面. 由（1）知，平面. 因为平面， 所以平面平面. 4．（24-25高一下·广东广州·期末·节选）如图，在正四棱柱中，，垂足为E． (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1） 由正四棱柱性质可得：， 由平面，平面，所以平面， 又由平面，平面，所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； 5．（2025·上海杨浦·三模·节选）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，点E，F，G分别为PD，AB，AC的中点. (1)求证：平面平面PBC； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）由分别为的中点，得，而平面，平面， 则平面，延长交于点，连结，由，得， 由是的中点，得是的中点，又是的中点， 则，而平面，平面， 因此平面，又平面，且， 所以平面平面. 6．（2025·河南·模拟预测·节选）如图，在棱长均为2的八面体中，下底面是正六边形，且平面､平面均垂直于底面. (1)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）在八面体中，四点共面. 因为八面体的棱长均为2，所以四边形为菱形，. 因为平面平面，所以平面. 同理，平面. 因为，所以平面平面. 7．（2025·安徽·模拟预测·节选）如图1，E，F，G，H分别是正方形各边中点，将分别沿折起，使得所在平面与底面均垂直（如图2），连接． (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）如图1，A，B，C，D在平面上的投影分别为的中点， 因为是全等的等腰直角三角形，所以， 又所在平面与底面均垂直， 所以与底面均垂直，从而， 故四边形均为平行四边形（矩形），因此， 由平面，平面，则平面， 同理可证平面，又相交且都在平面内， 所以平面平面；    考点四 面面平行的性质 【知识点解析】 1.面面平行的性质 图示 文字表示 数学语言表示 面面平行的性质 （1）两个平面平行，一个平面内的任意一条直线与另外一个平面平行. （2）两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． 【例题分析】 1．（24-25高三上·福建·期中·节选）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，，平面为的中点. (1)设平面与平面的交线为，求证：； 【答案】(1)证明见详解 【详解】（1）由题意可知：平面∥平面， 且平面平面， 平面平面， 所以. 2．（2024·四川攀枝花·一模·节选）如图，几何体ABCDEF中，E，F不在平面ABCD内，平而ADE． (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：平面ADE，面ADE， 平面ADE， 又平面ADE，，BF、平面BCF， 平面平面ADE， 平面， 平面， 又平面平面，平面平面， ； 3．（2025·北京东城·一模·节选）如图，在几何体中，四边形为平行四边形，平面平面. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）由四边形为平行四边形，则，又， 平面，平面，则平面，同理平面， 由，都在平面内，则平面平面， 平面，则平面； 4．（24-25高二上·北京昌平·期末·节选）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，与平面交于点. (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）法一： 在正方体中， 因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以.   法二： 在正方体中， 因为平面平面，平面， 所以平面.                               又因为平面，平面平面， 所以. 5．（2025·海南·模拟预测·节选）如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形，，、分别为、的中点． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）在三棱台中，设的中点为，连接，由为的中点， 得，又平面，平面，则平面， 由为梯形的中位线，得，又平面，平面， 则平面，而，平面，平面， 因此平面平面，又平面，所以平面.      高考真题演练 1．（2024·天津·高考真题·节选）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； 2．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，，，，,为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 【答案】(1)证明见详解； (2) 【详解】（1）由题意得，，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面； （2）取的中点，连接，，因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形， 可得， 又，所以，故. 又平面，所以平面， 易知. 在中，， 所以. 设点到平面的距离为，由， 得，得， 故点到平面的距离为. 3．（2024·北京·高考真题·节选）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题·节选）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． 5．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且． (1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； (2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题知，，即轴截面是等边三角形，故， 底面周长为，则侧面积为：; （2）由题知，则根据中位线性质，， 又平面，平面，则平面 由于，底面圆半径是，则，又，则， 又，则为等边三角形，则， 于是且，则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. 又平面， 根据面面平行的判定，于是平面平面， 又，则平面，则平面    6．（2025·全国二卷·高考真题·节选）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明:平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． 7．（2025·北京·高考真题·节选）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质复习讲义 立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质复习讲义 考点一 线面平行的判定 【知识点解析】 1.线线平行的判定 (1)平行四边形的对边 (2)三角形的中位线或等高线 (3)三线八角（同位角、内错角、同旁内角） (4)线面平行的性质 (5)面面平行的性质 (6)向量 2.线面平行的判定 图示 文字表示 数学语言表示 线面平行的判定 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 【例题分析】 1．（24-25高一下·重庆·期末·节选）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点. (1)求证：平面. 2．（24-25高二下·陕西榆林·期末·节选）如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，，，分别为，的中点． (1)求证：直线∥平面. 3．（24-25高一下·河南·期末·节选）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且，E为中点． (1)证明：平面. 4．（24-25高一下·海南·期末·节选）如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，M、N、P、D分别是、、、的中点. (1)求证：平面； 5．（24-25高一下·广东佛山·期中·节选）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，点在棱上，且. (1)证明：平面； 6．（2025·四川成都·一模·节选）如图，在四棱台中，下底面是边长为的正方形，侧棱与底面垂直，且. (1)证明：平面； 7．（24-25高二下·贵州毕节·期末·节选）如图，四边形中，，，为的中点，在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面. (1)证明：平面； 考点二 线面平行的性质 【知识点解析】 1.线面平行的性质 图示 文字表示 数学语言表示 线面平行的性质 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行． 【例题分析】 1．（24-25高二下·四川凉山·期末·节选）如图，在圆锥中，为底面圆的内接四边形，对角线过圆心，圆锥母线长为，，. (1)若，平面与平面的交线为，证明：； 2．（23-24高一下·广东中山·阶段练习）如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点，设平面与平面的交线为． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求四棱锥的体积． 3．（24-25高一下·陕西汉中·期末·节选）在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为底面中心，M,E分别为PA,PD的中点，为等腰直角三角形，且. (1)若平面平面，判断直线与BC的位置关系并证明； 4．（24-25高一下·江苏·期末·节选）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面． (1)求证：； 5．（24-25高一下·山东青岛·期末·节选）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，． (1)若平面平面，求证：； 考点三 面面平行的判定 【知识点解析】 1.面面平行的判定 图示 文字表示 数学语言表示 面面平行的判定 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 【例题分析】 1．（24-25高一下·新疆哈密·期末·节选）已知正方体图， (1)求证：平面平面． 2．（24-25高一下·陕西安康·期末·节选）如图，四棱锥中，平面平面，是棱的中点，，. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：棱上存在一点，使得平面平面； 3．（24-25高一下·陕西汉中·期末）由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 4．（24-25高一下·广东广州·期末·节选）如图，在正四棱柱中，，垂足为E． (1)求证：平面平面； 5．（2025·上海杨浦·三模·节选）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，点E，F，G分别为PD，AB，AC的中点. (1)求证：平面平面PBC； 6．（2025·河南·模拟预测·节选）如图，在棱长均为2的八面体中，下底面是正六边形，且平面､平面均垂直于底面. (1)证明：平面平面. 7．（2025·安徽·模拟预测·节选）如图1，E，F，G，H分别是正方形各边中点，将分别沿折起，使得所在平面与底面均垂直（如图2），连接． (1)证明：平面平面； 考点四 面面平行的性质 【知识点解析】 1.面面平行的性质 图示 文字表示 数学语言表示 面面平行的性质 （1）两个平面平行，一个平面内的任意一条直线与另外一个平面平行. （2）两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． 【例题分析】 1．（24-25高三上·福建·期中·节选）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，，平面为的中点. (1)设平面与平面的交线为，求证：； 2．（2024·四川攀枝花·一模·节选）如图，几何体ABCDEF中，E，F不在平面ABCD内，平而ADE． (1)求证：； 3．（2025·北京东城·一模·节选）如图，在几何体中，四边形为平行四边形，平面平面. (1)证明：平面； 4．（24-25高二上·北京昌平·期末·节选）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，与平面交于点. (1)求证：； 5．（2025·海南·模拟预测·节选）如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形，，、分别为、的中点． (1)证明：平面； 高考真题演练 1．（2024·天津·高考真题·节选）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； 2．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，，，，,为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 3．（2024·北京·高考真题·节选）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题·节选）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； 5．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且． (1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； (2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 6．（2025·全国二卷·高考真题·节选）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明:平面； 7．（2025·北京·高考真题·节选）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$