第4讲 线面、面面平行的判定与性质 讲义-2026届高三数学一轮复习

第四讲 线面、面面平行的判定与性质 重难点 重点：线面、面面平行的判定定理与性质定理及应用 难点：探究点的位置 基础知识点 一、直线与平面平行 1．定义：直线与平面无公共点 符号表示： 特殊说明 直线与平面平行，从符号上来看，用，比更直观一些，但在表现直线与平行是否存在交点时，就不太那么直接了. 2.直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理❶ 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) ∵，，， ∴ 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵，，∴ 【注】（1） （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 （3）平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 （4）平面外 的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一平面 二、平面与平面平行的判定定理和性质定理 定义：两个平面无公共点 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理❷ 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ∵，， ，，，∴ 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵，，，∴ 【注】 【常见结论】 平面与平面平行的三个性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． (3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 【误区警示】 1．应用线面平行、面面平行的判定定理与性质定理时，条件不足或条件与结论不符是常见的错误，解决的方法是弄清线线、线面、面面平行关系的每一个定理的条件和结论，明确这个定理是干什么用的，具备什么条件才能用．其中线面平行的性质定理是核心，证题时，找(或作)出经过已知直线与已知平面相交的平面是解题的关键，另外在证明平行关系时，常见错误是(1)“两条直线没有公共点则平行”；(2)“垂直于同一条直线的两直线平行”，不恰当的把平面几何中的一些结论迁移到立体几何中来，解决的关键是先说明它们在同一个平面内． 2．注意弄清“任意”、“所有”、“无数”、“存在”等量词的含义． 3．注意应用两平面平行的性质定理推证两直线平行时，不是两平面内的任意直线，必须找或作出第三个平面与两个平面都相交，则交线平行．应用二面平行的判定定理时，两条相交直线的“相交”二字决不可忽视． 4．要注意符合某条件的图形是否惟一，有无其它情形． 一、转化的思想 解决空间线面、面面平行关系的问题关键是作好下列转化 二、解题技巧 要能够灵活作出辅助线、面来解题，作辅助线、面一定要以某一定理为理论依据． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(　 　) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(　 　) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　 　) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　 　) (5)若直线与平面内无数条直线平行，则∥.(　 　) (6)空间四边形中，分别是的中点，则∥平面.(　 　) (7)若∥，直线∥，则∥.(　 ) 典型例题 例1 两条直线、满足，，则与平面的关系是(　　) 　　　　 与相交 与不相交 答案： 例2 已知直线、和平面、，则在下列命题中，真命题 为(　　) 若，，则 若，，则 若，，，则 若，，，则 答案： 例3 、、为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，现给出六个命题： ⓵ ⓶ ⓷ ⓸ ⓹ ⓺ 其中正确的命题是(　　) ⓵⓶⓷ ⓵⓸⓹ ⓵⓸ ⓵⓸⓹⓺ 答案： 考点一 直线与平面平行的判定 判定直线与平面平行，主要有三种方法： (1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线． (3)利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面． 特别提醒：线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面． 例4 正方形与正方形所在平面相交于，在、上各有一点、，且.求证：∥平面. 【思路点拨】 构造过的平面交平面于 证明 得结论 【证明】法一：如图所示，作交于，作交于，连结、.正方形和正方形有公共边，所以.又因为， 所以.又因为.所以，，所以，且，即四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面. 法二：如图所示，连接，并延长交于，连接， 因为，， 所以，所以⓵， 又因为，所以⓶， 由⓵⓶可得，，所以， 又平面，平面， 所以平面. 法三：如图所示，作交于，连接，则， 因为，， 所以，所以⓵， 所以，即， 又，， 所以平面平面 而平面，所以平面. 【总结】　法一、法二均是依据线面平行的判定定理在平面内寻找一条直线，证得它与平行． 特别注意直线的寻找往往是通过过直线的平面与平面相交的交线来确定． 法三是利用面面平行的性质，即若平面，，则. 考点二 平面与平面平行的判定 (1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．客观题中，也可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面内的两条相交线来证明两平面平行． （3）利用面面平行的传递性：. （4）利用线面垂直的性质：.例5 如图所示，正三棱柱各棱长为4，、、、分别是、、、的中点， 求证：平面平面 【思路点拨】　本题证面面平行，可证明平面内的两条相交直线分别与平面平行，然后根据面面平行的判定定理即可证明． 【证明】在中，、别为、、的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 又、分别为，的中点，所以，且，故四边形为平行四边形．所以，又平面，平面， 所以平面，又，所以平面平面. 【总结】　利用面面平行的判定定理证明两个平面平行是常用的方法，即若，，，，，则. 例6 如图所示，已知正三棱柱 ，是上一点，且平面，是的中点， 求证：平面平面. 【证明】如图所示，连结交于点， 因为四边形是平行四边形， 所以是的中点，连结， 因为平面，平面平面，所以， 因为是的中点，所以是的中点， 又是的中点，所以， ，又， 所以平面平面. 考点三 直线与平面平行的性质 利用线面平行的性质，可以实现由线面平行到线线平行的转化．在平时的解题过程中，若遇到线面平行这一条件，就需在图中找(或作)过已知直线与已知平面相交的平面．这样就可以由性质定理实现平行转化．例7 如图，已知四边形是 行四边形，点是平面 外一点，是的中点， 在上取一点，过和 作平面交平面于. 求证：. 【思路点拨】　要证，只需证平面. 【证明】如图，连结，设交于，连结. 因为四边形是平行四边形， 所以是的中点． 又是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 又经过与点的平面交平面于，所以. 【总结】　利用线面平行的性质定理证明线线平行，关键是找出过已知直线的平面与已知平面的交线． 考点四 平面与平面平行的性质 平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化归的思想．三种平行关系如图． 性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据．例8 如图，直线、被三个平行平面、、所截． （Ⅰ）是否一定有? （Ⅱ）若，，试判断与的大小关系． 【思路点拨】　本题是开放性题目，是近年来高考热点，利用面面平行的性质证明，从而可得. [解]（Ⅰ）平面平面，平面与没有公共点，但不一定总有. 同理不总有， ∴不一定有. （Ⅱ）过点作的平行线，交，于，两点，.过两条平行线，的平面交平面，，于，，.根据两平面平行的性质定理，有， 由为平行四边形， 所以，同理， 又过，两相交直线的平面与平面，的交线为，，根据两平面平行的性质定理，有， 在中，，而， ，所以，即. 【误区警示】　(1)小题易出错，其原因是把、习惯地认为是相交直线． 例9 如图，已知平面平面平面，且位于与之间，点、，、，，. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）设交于，与不平行，与的距离为，与的距离为，当的值是多少时，的面积最大？ [解]（Ⅰ）证明：如图，连结、、. 因为，平面， 平面，所以， 所以，同理，所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，， 所以，同理， 所以， 又，根据题意， 可知与异面，、是常量，只是平面在，之间平移，、所成角也是定值，所以是常量，令，只要靠擦函数的最值即可，显然当时，函数取得最大值， 故当时，即平面在，两平面的正中间时，的面积最大 【规律方法总结】 1．对线面平行，面面平行的认识一般按照“定义——判定定理——性质定理——应用”的顺序．其中定义中的条件和结论是相互充要的，它既可以作为判定线面平行和面面平行的方法，又可以作为线面平行和面面平行的性质来应用． 2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”． 3．在应用有关定理、定义等解决问题时，应当注意规范性训练，即从定理、定义的每个条件开始，培养一种规范、严密的逻辑推理习惯，切不可只求目标，不顾过程，或言不达意，出现推理“断层”的错误． 考点一 线面平行的判定 【典例】如图，在直三棱柱中，点分别为线段，的中点．求证：∥平面. 冲刺清北数学 路虽远，行则将至；事虽难，做则必成 学科网（北京）股份有限公司 [证明]　 如图，在四棱柱中，为线段上的任意一点(不包括两点)，平面与平面交于.求证：∥平面. [证明]　 考点二 利用中位线证明 【典例】如图，四棱锥中，∥，，分别为线段的中点，与交于点，是线段上一点． （Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：∥平面. 　 [证明] 如图，在正方体中，是的中点，分别是中点，求证： （Ⅰ）直线∥平面；（Ⅱ）平面∥平面. [证明]　 考点三 线面平行性质定理的应用 【典例】如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，四条侧棱长均为点分别是棱上共面的四点，平面⊥平面，∥平面. （Ⅰ）证明：∥；（Ⅱ）若，求四边形的面积． [解] 如图所示，，均与平面平行，分别在上，且.求证：四边形是矩形． [证明] 考点四 面面平行在棱柱中的应用 【典例】如图所示，在三棱柱中，分别是的中点，求证： （Ⅰ）四点共面；（Ⅱ）平面∥平面. [证明] 在直四棱柱中，，底面是边长为的正方形，分别是棱的中点．求证：平面∥平面 [证明] 考点五 探究点的位置之中点应用 【典例】如图，在直四棱柱中，已知，，∥.问在棱上是否存在点，使∥平面.若存在，确定点位置；若不存在，说明理由. [解] 如图，在四棱锥中，⊥平面，底面为正方形，，为的中点，.边上是否存在一点，使得∥平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． [解] 考点六 探究点的位置之三等分点应用 【典例】如图，在四棱锥中，，平面，平面，，，． （Ⅰ）求棱锥的体积； （Ⅱ）在线段上是否存在一点，使∥平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． [解] 如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，,是边长为的等边三角形，,.在线段上是否存在一点，使得∥平面？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由． [解] 考点七 折叠问题 【典例】已知等腰梯形(如图(1)所示)，其中∥，分别为的中点，且，，为中点．现将梯形沿着所在直线折起，使平面平面(如图(2)所示)，是线段上一动点，且. （Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积． (1)　　　　　　　　(2) [解]　 如图甲，圆的直径，圆上两点在直径的两侧，使，．沿直径折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），为的中点，为的中点．根据图乙解答下列各题： （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）在弧上是否存在一点，使得∥平面？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． [解] A组　考点能力演练【最新2026年版】 1.设、表示不同直线，、表示不同平面，则下列命题中正确的是(　　) 若，，则 若，，，，则 若，，，则 若，，，，则 2.设、为两条直线，、为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是(　　) 若，，且，，则 若，，则 若，，则 若、为两条异面直线，且，，，，则 3.已知直线、，平面、，则下列命题中的假命题是(　　) 若，，则 若，，则 若，，则 若，，，，则 4.已知是直线，、是两个不同平面，下列命题中的真命题是(　　) 若，，则 若，，则 若，，则 若，，则 5.已知平面，是内不同于的直线，那么下列命题中错误的是(　　) 若，则 若，则 若，则 若，则 6.已知，，为三条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　) ，，⇒ ，⇒ ，⇒ ，⇒ 7.设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是(　　) 若，，则 若，，，则 若，，，则 若、在平面内的射影互相垂直，则 8.若不平行于平面，且，则下列结论成立的是(　　) 内的所有直线与异面 内与平行的直线不存在 内存在唯一的直线与平行 内的直线与都相交 9.对于平面和共面的直线、，下列命题是真命题的是(　　) 若、与所成的角相等，则 若，，则 若，，则 若，，则 10.下列命题中，是假命题的是(　　) 三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面 平面平面，，过内的一点有唯一的一条直线，使 ，，、与、的交线分别为、和、，则 一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件 11.已知，、是三条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，给出下列四个命题： ①若，，则； ②若直线、与平面所成的角相等，则； ③存在异面直线、是，使得，，，则； ④若，，，，则. 其中真命题的个数为(　　) 12.设、是两条直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是(　　) 存在一条直线，， 存在一条直线，， 存在两条平行直线、，，，， 存在两条异面直线、，，，， 13.如下图，正方体中，分别为棱的中点，在平面内且与平面平行的直线(　　) 不存在 有1条 有2条 有无数条 14.如下图，在三棱柱中，点分别为的中点，为的重心．从中取一点作为，使得该棱柱恰有2条棱与平面平行，则为(　　) 15．在三棱锥中，是边长为6的正三角形，，平面分别与交于.分别是的中点，如果直线∥平面，那么四边形的面积为 ． 16.如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题： ①没有水的部分始终呈棱柱形； ②水面所在四边形的面积为定值； ③棱始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，是定值． 其中正确命题的个数是(　　) 1 2 3 4 17.如下图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，点分别为的中点，且. （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积； （Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得∥平面；若存在，求出的长，若不存在，说明理由． [解] 18.如下图，四棱锥中，平面，，底面为直角梯形，，. （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）在棱上是否存在一点，使∥平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． [解] 19.如下图，四棱锥中，平面，底面为矩形，，，为的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得∥平面；若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． [解] 20.如下图，在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点在上，且 （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在一点，使∥平面？如果存在，请求出此时的值；如果不存在，请说明理由． [解] B组　高考题型专练【最新2026年版】 1.设是空间两条直线，则“不平行”是“是异面直线”的 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 2.一条直线上有相异三个点、、到平面的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是(　　) 与相交但不垂直 或 3.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） 若，，则 若，，则 若，，且，，则 若，，且，则 4．如图，正方体的棱长为1，是线段上的两个动点，且，则下列结论中错误的是(　　) 三棱锥的体积为定值 ∥平面 异面直线，所成的角为定值 5.在如图所示的几何体中，底面为菱形，，∥∥∥，且，平面，底面.在上是否存在一点，使得∥平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. [解] 6.如图，在四棱锥中， ，平面， 平面，．在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． [解] 7.如图，在各棱长均为的三棱柱 中，侧面底面，． （Ⅰ）求侧棱与平面所成角的正弦值的大小； （Ⅱ）已知点满足，在直线上是否存在点，使 平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． [解] 8.如图,直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，∥，，，. （Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅱ）线段上是否存在点,使∥平面？若存在,求出；若不存在,请说明理由. [解] 9.如图,在直三棱柱的底面中，，，，且. （Ⅰ）证明：平面；[来源:学 （Ⅱ）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成的角等于？证明你的结论. （Ⅲ）若是棱的中点,在线段上是否存在一点,使得∥平面?证明你的结论. [解] 10.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱 的底面是梯形，∥，，，，，点在棱上，且.已知点是直线上的一点，∥平面. （Ⅰ）试确定点的位置，并说明理由； （Ⅱ）求三棱锥的体积． [解] 11.如图1，在矩形中，，，是的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面. （Ⅰ）证明：⊥平面； （Ⅱ）设为的中点，在线段上是否存在一点，使得∥平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． [解] 12.已知空间几何体中，与均为边长为的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面平面，平面平面. （Ⅰ）试在平面内作一条直线，使直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明； （Ⅱ）求点与平面所成角的距离. [解] 13.如图,在三棱柱中,侧面底面，，，且,为中点. （Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值; （Ⅱ）在上是否存在一点,使得∥平面,若不存在,说明理由;若存在,确定点的位置. [解] 14.如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，为的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若，求证：平面⊥平面； （Ⅲ）棱上是否存在点，使得∥平面？说明理由. [解] 第4讲 线面、面面平行的判定与性质 考点五 【典例】 存在，点为的中点 跟踪练习5 存在，（的三等分点靠近点） 考点六 【典例】 （Ⅰ）；（Ⅱ）存在， 跟踪练习6 存在， 考点七 【典例】 （Ⅱ） 跟踪练习7 存在，点为弧的中点 A组　考点能力演练【最新2026年版】 （Ⅱ）；（Ⅲ）点为线段的中点，. （Ⅱ）点为线段的中点 （Ⅱ）点为线段的中点 （Ⅱ） B组　高考题型专练【最新2026年版】 存在 （Ⅰ）；（Ⅱ）点恰为点 （Ⅰ）；（Ⅱ）存在， （Ⅱ）不存在；（Ⅲ）存在，为线段的中点. （Ⅰ）存在，在线段上且；（Ⅱ） （Ⅱ） （Ⅱ） （Ⅱ）；（Ⅲ）存在，为线段的中点. （Ⅱ）存在，为线段的中点. $