第2讲简单几何体的表面积和体积讲义-2026届高三数学一轮复习

冲刺清北数学 第 2 讲 简单几何体的表面积和体积 【重点难点】 重点:柱、锥、台、球的表面积与体积公式及其应用 难点:公式的灵活运用、三视图的还原技巧 【基础知识】 一、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 ①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和,而表面积是侧面积与所有底面面积之和. ②圆台、圆柱、圆锥的转化 当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱;当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥,由此可得: 二、空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥) 台体(棱台和圆台) 球 ※三、棱锥的平行于底面的截面性质: 棱锥被平行于底面的平面所截,截面与底面相似,相似比等于截得小棱锥与原棱锥的对应边(侧棱、高)的比.面积比等于相似比的平方,若棱锥为正棱锥,则两底面对应半径的比、对应边的比、对应边心距的比、斜高的比都等于相似比. 【常见结论】 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为,球的半径为, ①若球为正方体的外接球,则;②若球为正方体的内切球,则; ③若球与正方体的各棱相切,则. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为,,,外接球的半径为, 则. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为. 【误区警示】 1.弄清面积、体积公式中各个字母的含义,准确应用公式. 2.棱锥、棱台、圆锥、圆台的平行于底面的截面性质的基础是相似形的知识,要分清究竟是哪个量和哪个量对应. 3.将几何体展开为平面图形时,要注意从何处剪开才合要求. 转化思想 立体几何处理问题的一个基本思想就是转化,包括复杂向简单转化,高维向低维降维转化等等,割补法、等积变换、卷、折、展都是转化思想在处理立体几何问题中的体现. 1.割补法 割补法是割法与补法的总称.补法是把不熟悉的(或复杂的)几何体延伸或补成熟悉的(或简单的)几何体,把不完整的图形补成完整的图形.割法是把复杂的几何体切割成简单的几何体. 2.等积变换 在求几何体的体积,高(点到面的距离)等问题时,常常要通过等积变换来处理,等积变换的主要依据有: (1)平行线间距离处处相等. (2)平行平面间的距离处处相等. (3)若∥,则上任一点到平面的距离都相等. (4)等底面积等高的柱(锥)体的体积相等,锥体的体积是等底面积等高的柱体体积的. (5)三棱锥中有. 3.卷起、展开与折迭 (1)将平面图形卷成旋转体(或将旋转体侧面展开)、将平面图形折成多面体,要注意折(卷、展)前后几何量的对应关系和位置关系,弄清哪些量发生了什么变化,哪些量没有变化,特别注意其中的平行、垂直位置关系. (2)多面体或旋转体的表面距离最值问题,常通过展开图来解决. 3.卷起、展开与折迭 (1)将平面图形卷成旋转体(或将旋转体侧面展开)、将平面图形折成多面体,要注意折(卷、展)前后几何量的对应关系和位置关系,弄清哪些量发生了什么变化,哪些量没有变化,特别注意其中的平行、垂直位置关系. (2)多面体或旋转体的表面距离最值问题,常通过展开图来解决. 4.对于某些简单几何体的组合体问题,常常通过作出截面,使构成组合体的各简单几何体的元素,相对地集中在一个平面图形中.以达到空间问题向平面问题的转化. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“ ”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积.( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方.( ) (4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( ) (5)长方体既有外接球又有内切球.( ) (6)圆柱的一个底面积为,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是 .( ) 对于不规则的几何体应如何求其体积? 【思考 提示】 对于求一些不规则几何体的体积,常用割补的方法,转化为已知体积公式的几何体进行解决. 思考? 典型例题 例1 已知一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是 . 答案: 例2 如图所示,是边长为的正方形,,,与面的距离为,则该多面体的体积为( ) 【思路点拨】 或依据提供选项,利用所求体积大于,可得答案. [解]法一:可利用排除法来解决,棱锥的体积,而多面体的体积,故选. 法二:如图所示,连结、四棱锥的体积, 由于,,所以, 所以, 所以. 法三:如图所示,设、分别为、的中点,连结、、,则,,,得三棱柱. , , 所以. 【总结】 解决不规则几何体的问题应注意应用以下方法: (1)几何体的“分割” 依据已知几何体的特征,将其分割成若干个易于求体积的几何体,进而求解. (2)几何体的“补形” 有时为了计算方便,可将几何体补成易求体积的几何体,如长方体、正方体等. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上.若,,则此球的表面积等于 . 例3 考点分析:简单组合体 1.球的组合体 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图. 2.几何体的展开与折叠 几何体的表面积,除球以外,都是利用展开图求得的.利用了空间问题平面化的思想.把一个平面图形折叠成一个几何体,再研究其性质,是考查空间想象能力的常用方法,所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点. 【思路点拨】 结合图形,确定球心与半径,代入表面积公式. [解]设球心为,球半径为,的外心是,则在底面上的射影是点,在中,,,, ,因此,此球的表面积为. 【规律小结】 球切几何体时,应注意球心,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合通常作它们的轴截面解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心,或“切点”、“接点”作出截面图. 例4 有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度. [解]如图所示,作出轴截面,因轴截面是正三角形,根据切线性质知当球在容器内时,水的深度为,水面半径的长为,则容器内水的体积为 ,将球取出后,设容器中水的深度为 ,则水面圆的半径为充,从而容器内水的体积为, 由,得. 【规律方法总结】 1.几何体的展开图 柱体、锥体、台体的侧面积和表面积公式的讨论,都是利用展开图进行的. 名称 侧面展开图 几何体与侧面展开图的关系 棱柱 展开图是若干个小平行四边形构成的图形(关系如图) 名称 侧面展开图 几何体与侧面 展开图的关系 棱锥 展开图是共顶点的三角形构成的图形(关系如图) 圆柱 展开图是矩形,矩形的长是底面圆周长,宽是圆柱的母线长 圆锥 展开图是扇形,扇形的半径是圆锥的母线长,弧长是圆锥的底面圆周长 2.有关球的组合体 与球有关的组合体问题,近几年高考命题中常出现,特别是球的外接与内切问题,解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系.并作出合适的过球心的截面图,将立体几何问题转化为平面几何问题求解. (1)正方体与球:棱长为的正方体的内切球的半径为,外接球的半径为. (2)正四面体与球 棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为. 考点一 三视图的还原技巧性应用 【解题技巧】三视图试题都与长(正)方体有着密切的关系。命题者大多是在长(正)方体的基础上进行适当的切割得到几何体,再画出其三视图,然后让学生还原。正所谓“知己知彼,百战百胜”。因此,让学生自己做“命题人”命题,然后再做“解题人”解题,这样既能激发学习兴趣又能增强信心,还会事半功倍的掌握三视图问题。 【具体步骤】第一步:把正、侧、俯视图补充为完整的长方形或正方形,从而得到长方体或正方体 第二步:缩小区域(根据正、侧、俯视图补充后的特点,确定长(正)哪些顶点不要) 第三步:确定顶点和棱(根据正、侧、俯视图先确定哪些顶点时确定有的,再根据视图两两结合的方法,逐步确定其他顶点是否有) 第四步:检验(根据视图得到的直观图,逐一验证与条件中的正、侧、俯视图是否吻合) 【典例】如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) (1) 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) (2)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为( ) 第(2)题 第(3)题 (3)如图所示是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( ) (4)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四棱锥的三视图,则该四棱锥的体积为( ) 第(4)题 第(5)题 (5)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ) (6) 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实(虚)线画出的是某多面体三视图,则该几何体的体积为( ) (7)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ) 第(7)题 第(8)题 (8)如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) (9) 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( ) 第(9)题 第(10)题 (10)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某空间几何体的三视图,则该几何体的棱长不可能为( ) 考点二 去伪存真 【典例】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( ) (1)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半径为的圆,若该几何体的体积为,则它的表面积是( ) 第(1)题 第(2)题 (2)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) (3)某几何体的三视图如下图所示,则它的体积为( ) (4)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为( ) 考点三 组合体 【典例】已知一几何体的三视图如图所示,它的侧视图与正视图相同,则该几何体的表面积为( ) (1)某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积(单位:)是( ) (2)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为( ) (3)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) (4)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) (5)一空间几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为( ) 考点四 简单的几何体的表面积与体积计算 【典例】一个几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( ) (1)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为,则等于( ) (2)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) (3)一个几何体的三视图如下图所示(单位长度:cm),则此几何体的表面积是( ) (4)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面积为( ) (5)一个四棱锥与半圆柱构成的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) (6)已知一个简单几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为,则( ) 考点五 与三视图相关的最值问题 【典例】某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则的最大值为( ) 某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为和的线段,则的最大值( ) 考点六 割补与等积变换 【典例】如下图,在多面体中,已知是边长为的正方形,且、均为正三角形,∥,,则该多面体的体积为( ) 如右图所示,在多面体中,已知面是边长为的正方形,∥,,与平面的距离为,则该多面体的体积为( ) 考点七 体积之比 【典例】如下图,在三棱柱中,分别为、的中点,平面将三棱柱分成 、 两部分,则 和 的体积之比为 . (1)三棱锥中,分别为的中点,记三棱锥的体积为,的体积为,则 . (2)如下图,正方体的棱长为.动点在棱上,点是棱的中点,动点在棱上.若,,(大于零),则三棱锥的体积( ) 与都有关 与都无关 与有关,与无关 与有关,与无关 考点八 补全 【典例】如下图,在长方体中,点在棱的延长线上,且.则四面体的体积为 . (1)如下图,已知在多面体中,、、两两互相垂直,平面∥平面,平面∥平面,,,则该多面体的体积为 . (2) 如图,侧棱与底面垂直的四棱柱的底面是梯形,∥,⊥,,,,点在棱上,且.若点是直线上的一点,∥平面.则三棱锥的体积 . 第(1)题 第(2)题 考点九 转化(关联点问题) 【典例】如图,已知四棱锥中,底面是直角梯形,∥,,,,⊥平面,.若是的中点,则三棱锥的体积 . (1)如图,和所在平面互相垂直,且, ,分别为的中点.则三棱锥的体积为 . (2)如图,在四棱锥中,,,⊥平面,,.设分别为的中点.则三棱锥的体积 . (3)如图,在平行四边形中,,.以为折痕将折起,使点到达点的位置,且⊥.为线段上一点,为线段上一点,且,则三棱锥的体积 . 第(2)题 第(3)题 考点十 线段之和最值 【典例】在直三棱柱中,底面为直角三角形,,,,是上一动点,如图所示,则的最小值为 . (1)如图所示,在棱长为的正方体的面对角线上存在一点,使得取得最小值,则此最小值为( ) (2)如图所示,在正三棱锥中,,,则一动点从点出发,沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点的最短路线的长为 . (3)如图,正方体的棱长为,点分别在底面、棱上运动,且,点为线段的中点,则线段的长度的最小值为 . 第(1)题 第(2)题 第(3)题 A组 考点能力演练【最新2026年版】 1.已知一空间几何体的三视图如下图所示,它的表面积是( ) 2.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是菱形,则该几何体的侧面积为( ) 3.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( ) 4.某简单组合体的三视图如图所示,则该组合体的体积为( ) 5.一几何体的三视图如图所示,则它的体积为( ) 6.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( ) 7.如图,直三棱柱的六个顶点都在半径为的半球面上,,侧面是半球底面圆的内接正方形,则侧面的面积为( ) 第8题 8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( ) 14斛 22斛 36斛 66斛 9.已知三棱锥的顶点都在半径为的球面上,是球心, ,当与的面积之和最大时,三棱锥的体积为( ) 10.一个棱锥的三视图如下图,则该棱锥的表面积(单位:)为( ) 11.如图,圆形纸片的圆心为,半径为,该纸片上的等边三角形的中心为.为圆上的点,,,分别是以,,为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以,,为折痕折起,,,使得重合,得到三棱锥.当的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:)的最大值为 . 12.已知正方体的棱长为,以顶点为球心,为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 . B组 高考题型专练【最新2026年版】 1.一只蚂蚁从正方体的顶点出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到顶点的位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是( ) ①② ①③ ③④ ②④ 2.如图,已知正方体的棱长为,动点分别在线段上.当三棱锥的俯视图如图所示时,三棱锥的正视图面积等于( ) 3.如下图,在等腰梯形中,,,为的中点,将与分别沿、向上折起,使、重合于点,则三棱锥 的外接球的体积为( ) 4.已知与是四面体中相互垂直的棱,若, 且,则四面体的体积的最大值是( ) 第(3)题 第(4)题 5.如图,已知平面,是上的两个点,在平面内,且,,,,在平面上有一个动点,使得,则体积的最大值是( ) 第5题 第6题 6.如图所示,在棱长为的正四面体中,是棱的中点,若是棱上一动点,则的最小值为 ( ) 7.在直三棱柱中,底面为直角三角形,,,,是上一动点,则的最小值是( ) 8.在长方体中,,,点为对角线上的动点,点为底面上的动点(点可以重合),则的最小值为( ) 9.如右图所示,在棱长为的正方体中, 为棱的中点,点分别为面和线段上的动点,则周长的最小值为 . 10.在三棱锥中,平面,,为侧棱上的一点,它的正视图和侧视图如图所示,则下列命题正确的是( ) ,且三棱锥的体积为 ,且三棱锥的体积为 ,且三棱锥的体积为 ,且三棱锥的体积为 11.如图,矩形,矩形,正方形两两垂直,且,若线段上存在点使得,则边长度的最小值为( ) 12.在三棱柱中,,其正视图和侧视图都是边长为的正方形,俯视图是直角边的长为的等腰直角三角形.设点分别是棱的中点,则三棱锥的体积是 . 第2讲 简单几何体的表面积和体积 考点一 【典例】 跟踪练习1 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 考点二 【典例】 跟踪练习2 (1) (2) (3) (4) 考点三 【典例】 跟踪练习3 (1) (2) (3) (4) (5) 考点四 【典例】 跟踪练习4 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 考点五 【典例】 跟踪练习5 考点六 【典例】 跟踪练习6 考点七 【典例】 跟踪练习7 (1) (2) 考点八 【典例】 跟踪练习8 (1) (2) 考点九 【典例】 跟踪练习9 (1) (2) (3) 考点十 【典例】 跟踪练习10 (1) (2) (3) A组 考点能力演练【最新2026年版】 B组 高考题型专练【最新2026年版】 书山有路勤为径,学海无涯苦作舟 学科网(北京)股份有限公司 $