第1讲 空间几何体的结构特征及其直观图讲义-2026届高三数学一轮复习

第 1 讲 空间几何体的结构特征及其直观图、三视图 【重点难点】 重点:①空间几何体的结构特征、性质. ②平行投影与中心投影性质,斜二测直观图画法规则与三视图画法原理、规则. 难点:①柱、锥、台、球的几何性质的掌握与运用 ②平行投影原理、斜二测直观图画法规则、三视图画法. 【基础知识】 一、简单几何体 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且相等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点,但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 ①特殊的四棱柱 上述四棱柱有以下集合关系:{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}. ②多面体的关系: (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等,垂直于底面 长度相等且相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 球的截面的性质 (1)球的任何截面是圆面; (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面; (3)球心到截面的距离与球的半径及截面的半径的关系为. (4)球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆. (5)不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆. (6)球面距离: 定义:在球面上两点之间的最短距离,就是经过这两点的 在这两点间的一段 的长度,这个弧长叫做两点的球面距离. 二、组合体 由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体. 三、平行投影 (1)平行投影的有关概念 平行投影:已知图形,直线与平面相交(下图),过上任意一点作直线平行于,交平面于点,则点叫做在平面内关于直线的平行投影(或象). 图形的平行投影:如果图形上的所有点在平面内关于直线的平行投影构成图形,则叫做图形在平面内关于直线的平行投影.平面叫做投射面,叫做投射线. (2)平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时,平行投影都具有下述性质: ①直线或线段的平行投影仍是直线或线段; ②平行直线的平行投影是平行或重合的直线; ③平行于投射面的线段,它的投影与这条线段 ; ④与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形 ; ⑤在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比. 四、直观图 (1)画法:常用斜二测画法. (2)规则: ①原图形中轴、轴、轴两两垂直,直观图中,轴、轴的夹角为(或),轴与轴和轴所在平面垂直. ②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于轴和轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 【注】斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变”“三不变” 五、三视图 (1)正投影的性质 在物体的平行投影中,如果投射线与投射面 ,则称这样的平行投影为正投影. 正投影除具有平行投影的性质外,还有如下性质: ①垂直于投射面的直线或线段的正投影是 . ②垂直于投射面的平面图形的正投影是 . (2)三视图 为了使画出的图形更准确地反映空间图形的大小和形状.通常总是选择三个两两互相垂直的平面作为投射面作正投影.一个投射面水平放置,叫做水平投射面,投射到这个平面内的图形叫做 .一个投射面放置在正前方,这个投射面叫做直立投射面;投射到这个平面内的图形叫做 (或正视图).和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面,通常把这个平面放在直立投影面的右面,投射到这个平面内的图形叫做 (或侧视图).将空间图形向这三个平面作正投影,然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内,这样构成的图形叫做空间图形的三视图. 六、中心投影 一个点光源把一个图形照射到一个平面上,这个图形的影子就是它在平面上的中心投影.中心投影的投射线相交于一点.思考? 空间几何体的三视图和直观图有什么区别? 【思考 提示】 (1)观察角度:三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形;直观图是从某一点观察几何体而画出的图形. (2)效果:三视图是正投影下的平面图形,直观图是在平行投影下画出的图形. 典型例题 如果把地球看成一个球体,则地球上北纬纬线长和赤道线长的比值为 . 答案: 例1 例2 右图为水平放置的正方形, 它在直角坐标系中点的坐标为,则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点到轴的距离为 . 答案: 给出以下命题:①底面是矩形的四棱柱是长方体;②直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体叫做圆锥;③四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形.其中说法正确的是 . 例3 考点分析:空间几何体的结构特征 1.几种特殊的四棱柱 平行六面体、长方体、正方体、直四棱柱等都是一些特殊的四棱柱,要特别注意. (1)直四棱柱不一定是直平行六面体. (2)正四棱柱不一定是正方体. (3)长方体不一定是正四棱柱 2.几种常见的多面体的结构特征 (1)直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱.特别地,当底面是正多边形时,叫正棱柱(如正三棱柱,正四棱柱). (2)正棱锥:指的是底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥.特别地,各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体. (3)平行六面体:指的是底面为平行四边形的四棱柱. 【思路点拨】 根据几何体的结构特征,借助熟悉的几何体模型进行判定 [解]命题①不是真命题, 因为底面是矩形,若 侧棱不垂直于底面,这时 四棱柱是斜四棱柱;命题② 不是真命题,直角三角形 绕着它的一条直角边旋转 一周形成的几何体叫做圆锥, 如果绕着它的斜边旋转一周, 形成的几何体则是两个具有共 同底面的圆锥;命题③是真命题, 如图所示,在四棱锥中,底面是矩形,平面,则可以得到四个侧面都是直角三角形.故填③. 【答案】 ③ 【注】 熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变动模型中的线面位置关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定,是解决这类题目的基本思考方法. 例4 如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角后所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:).在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图. 考点分析:几何体的三视图 1.画几何体的三视图时,可以把垂直投射面的视线想象成平行光线,体会可见的轮廓线(包括被遮挡住,但可以经过想象透视到的光线)的投影就是要画出的视图,可见的轮廓线要画成实线,不可见的轮廓线要画成虚线. 2.对于简单几何体的组合体的三视图,首先要确定正视、侧视、俯视的方向,其次要注意组合体由哪些几何体组成,弄清它们的生成方式,特别应注意它们的交线的位置. 【思路点拨】 根据正视图和侧视图可确定出点、的位置,从而可以画出俯视图. [解] 【思维总结】 几何体的三视图的排列规则: 俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样,侧视图放在正视图右面,高度与正视图一样,宽度与俯视图一样,即“长对正,高平齐,宽相等”,注意虚、实线的区别. 例5 如图所示,是一平面图形的水平放置的斜二测直观图,在斜二测直观图中,是一直角梯形,,,且与轴平行,若,,,则这个平面图形的实际面积是 . 考点分析:几何体的直观图 画几何体的直观图一般采用斜二测画法,步骤清晰易掌握,其规则可以用“斜”(两坐标轴成或)和“二测”(平行于轴的线段长度减半,平行于轴和轴的线段长度不变)来掌握,在高考中常借助于求平面图或直观图的面积来考查画法中角度和长度的变化. 【思路点拨】 由,先计算的长度. [解]由斜二测直观图画法规则知该平面图形是梯形,且与的长度不变,仍为6和4,高为,故面积. 【误区点评】 梯形的高容易误认为,而实际是.例6 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图所示,求图中三角形(正四面体的截面)的面积. 考点分布:解决这类问题的关键是准确认识几何体的结构特征,特别对组合体问题,要发挥自己的空间想象能力,把立体图和截面图对照分析,有机结合,找出几何体中的数量关系,为了增加图形的直观性,解题时常常画一个截面起衬托作用. 【思路点拨】 截面过正四面体的两顶点及球心,则必过对边的中点. [解]如图,为题中三角形,由已知可得,, ,所以, 所以得面积为. 【注】在解答过程中易出现计算错误,导致错误的原因是认为截面图是一个圆内接三角形. 【常见结论】 常见旋转体的三视图 ①球的三视图都是半径相等的圆. ②水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形. ③水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形. ④水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形. 【注】 【误区警示】 1.注意特殊的四棱柱的区别:直四棱柱、正四棱柱、长方体、正方体、平行六面体、直平行六面体. 2.棱台的各侧棱延长线交于一点是判断棱台的主要依据,两底面平行且是相似多边形. 3.旋转体的概念 (1)矩形绕一边旋转,应分清哪一边. (2)直角三角形绕一条“直角边”旋转形成圆锥. (3)直角梯形绕“垂直于两底的腰”旋转形成圆台. (4)球面与球是两个不同的概念,球面只是球的表面. (5)球面距离实质上是弧长,所以要求两点的球面距离,应找到过这两点的大圆,确定劣弧所对的圆心角,再运用弧长公式即可求得. 4.投影与直观图 (1)平行投影的投射线互相平行,中心投影的投射线相交于一点. (2)直观图与原图形面积的关系讨论中,要牢记原来平行于轴的变成夹角,长度减半. (3)直观图与三视图的相互转化,应牢记柱、锥、台、球的图形特征及斜二测画法规则和正投影性质,特别注意左视图的投影方向. (4)画图时,被遮挡部分应画成虚线,和平面几何不同,添加的辅助线被遮挡的画成虚线,否则应画实线. (5)多面体与旋转体的组合体画图时,应优先考虑多面体的对角面,注意旋转体轴截面与多面体几何量之间的联系. 5.注意还台为锥的解题方法的运用,将台体还原为锥体可利用锥体的性质.注意正棱锥中的四个直角三角形为:高、斜高及底面边心距组成一个直角三角形;高、侧棱与底面外接圆半径组成一个直角三角形;底面的边心距、外接圆半径及半边长组成一个直角三角形;侧棱、斜高及底边一半组成一个直角三角形.正棱台中的三个直角梯形为:高、斜高及上、下底面的边心距组成一个直角梯形;侧棱、斜高及上、下底边的一半组成一个直角梯形;侧棱、高及上、下外接圆半径组成一个直角梯形;两个直角三角形为上、下底面的边心距,外接圆半径和边的一半. (2)斜二测画法的规则: ①在已知图形中取互相垂直的轴、,再作轴,使,且. ②画直观图时(图(1)),把、、画成对应的轴、、,使 (或),.所确定的平面表示水平平面. ③已知图形中,平行于轴、轴或轴的线段,在直观图中分别画成平行于轴,轴、轴的线段.并使它们和所画坐标轴的位置关系,与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“ ”) (1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( ) (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( ) (3)夹在两个平行的平面之间,其余的面都是梯形,这样的几何体一定是棱台.( ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.( ) (5)用两平行平面截圆柱,夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.( ) (6)菱形的直观图仍是菱形.( ) 一、侧(表)面展开 多面体及旋转体沿表面或侧面最短路程问题,一般用侧(或表)面展开图解决. 二、三视图的画法要求 (1)在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线,尺寸线用细实线标出. (2)三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求是:主俯一样长,俯左一样宽,主左一样高. 由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的原则作出判断. 考点一 直观图 【典例】已知等腰梯形,,,,以所在直线为轴,则由斜二测画法画出的直观图的面积为 . (1)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是( ) (2)已知正三角形的边长为,那么的直观图的面积为 . 考点二 由几何体识别三视图 【典例】如图是一个正方体,,,为三个顶点,是棱的中点,则三棱锥 的正视图、俯视图是(注:选项中的上图为正视图,下图为俯视图)( ) 若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( ) 考点三 由空间几何体的直观图判断三视图 【典例】一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( ) (1)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示.圆柱表面上的点在正视图上的对应点为,圆柱表面上的点在左视图上的对应点为,则在此圆柱侧面上,从到的路径中,最短路径的长度为( ) (2)已知某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中最小的面积为 . 考点四 由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图 【典例】已知某组合体的正视图与侧视图相同,如图所示,其中,四边形为矩形,则该组合体的俯视图可以是 (把你认为正确的图的序号都填上). 如图是一个空间几何体的正视图和俯视图,则它的侧视图为( ) 考点五 由直观图到三视图 【典例】如下图,几何体的主(正)视图和左(侧)视图都正确的是( ) (1)如下图,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( ) ①② ①③ ①④ ②④ (2)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如下图所示,则该几何体的左视图为( ) A组 考点能力演练【最新2026年版】 1.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示,则该几何体的俯视图为( ) 2.对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图,下列说法正确的是( ) 等腰三角形的直观图仍为等腰三角形 梯形的直观图可能不是梯形 正方形的直观图为平行四边形 正三角形的直观图一定为等腰三角形 3.一水平放置的平面图形,用斜二测画法画出它的直观图如图所示,此直观图恰好是一个边长为2的正方形,则原平面图形的面积为( ) 4.给出下列几个命题: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱;③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是( ) 5.截去两个三棱锥,得到如图2所示的几何体,则该几何体的侧视图为( ) 6.如图1所示,是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体,其中,,若此几何体的俯视图如图2所示,则可以作为其正视图的是( ) 7.如图,在一个正方体内放入两个半径不相等的球,,这两个球外切,且球与正方体共顶点的三个面相切,球与正方体共顶点的三个面相切,则两球在正方体的面上的正投影是( ) 8.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图和侧视图,且该几何体的体积为,则该几何体的俯视图可以是( ) 9.如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱(底面是正方形,侧棱底面)中,点是正方形内一点,则三棱锥的正视图与俯视图的面积之和的最小值为( ) 10.如图,在正方体1中,点是上底面内一动点,则三棱锥 的正视图与侧视图的面积的比值为 . 11.某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱的长度是 . 12.如图,三棱锥中,平面,,若,则该三棱锥的侧视图(投影线平行于)的面积为 . 13.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为 . B组 高考题型专练【最新2024年版】 1.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体最长的棱的长度等于( ) 2.如下图是水平放置的某个三角形的直观图,是中边的中点且∥轴,,,三条线段对应原图形中的线段,,,那么( ) 最长的是,最短的是 最长的是,最短的是 最长的是,最短的是 最长的是,最短的是 3.如图,矩形是水平放置的一个平面图形的直观图,其中,,则原图形是( ) 正方形 矩形 菱形 一般的平行四边形 4.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图的是( ) 5.已知的平面直观图是边长为的正三角形,那么原的面积为 . 6.如图所示,正方体的棱长为,为的中点,为线段上的动点,过点的平面截该正方体所得的截面记为,则下列命题正确的是 (写出所有正确的命题的编号). ①当时,为四边形; ②当时,为等腰梯形; ③当时,与的交点满足; ④当时,为六边形; ⑤当时,的面积为. 7.如图所示,正方体的棱长为,为线段上的动点,过点的平面截该正方体的截面记为,则下列命题正确的是 . ①当且时,为等腰梯形; ②当分别为的中点时,几何体的体积为; ③当为中点且时,与的交点为,满足; ④当且时, 的面积. 8.某几何体的三视图如图所示. (1)判断该几何体是什么几何体? (2)画出该几何体的直观图. 冲刺清北数学 书山有路勤为径,学海无涯苦作舟 学科网(北京)股份有限公司 [解] 9.如下图,已知正三棱柱的底面边长为,高为,则一质点自点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 . 10.某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为和的线段,求的最大值. [解] (第9题) (第10题) 第1讲 空间几何体的结构特征及其直观图、三视图 考点一:直观图 【典例】 跟踪练习1 (1) (2) 考点二:由几何体识别三视图 【典例】 跟踪练习2 考点三 【典例】 跟踪练习3 (1) (2) 考点四 【典例】 ①、②、③、④ 跟踪练习4 考点五 【典例】 跟踪练习5 (1) (2) A组 考点能力演练【最新2026年版】 B组 高考题型专练【最新2026年版】 ①②③⑤ ①② 8.(1)判断该几何体是什么几何体?答:该几何体是一个正方体切掉两个圆柱后的几何体. (2)画出该几何体的直观图. $