精品解析：2024年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试题

2024年湖南省普通高中学业水平合格性考试 数学 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页.时量90分钟，满分100分. 一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，定义域为的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 某环保志愿者计划从甲、乙、丙、丁四个社区中随机选择一个社区进行“垃圾分类”宣讲，则该志愿者选择甲社区的概率为（ ） A B. C. D. 5. 已知为虚数单位，则下列复数为纯虚数是（ ） A. B. 5 C. D. 6. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知函数，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 10 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 如图，为圆柱底面直径，为母线，若，则与圆柱底面所成角大小为（ ） A. B. C. D. 12. 2023年袁隆平“超级稻”突破亩产，再次刷新了杂交水稻单季亩产世界纪录.已知甲、乙两种杂交水稻在面积相等的两块试验田中连续6年的产量如图所示，则（ ） A. 甲的平均产量高于乙的平均产量 B. 甲的最高产量高于乙的最高产量 C. 甲的产量更稳定 D. 乙的产量更稳定 13. 函数的零点是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 14. 为了得到函数的图象，只需把图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 15. 如图，是边长为2的等边三角形，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 16. 的值是（ ） A. B. C. D. 17. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为1 D. 在上单调递减 18. 为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年燃气用量 燃气价格 不超过 3.2元 超过但不超过的部分 3.6元 超过的部分 4.5元 若某户居民一年的燃气用量为，则此户居民这一年应缴纳的燃气费为（ ） A. 1600元 B. 1680元 C. 1800元 D. 2250元 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 19. 已知复数，，则________. 20. 若，则的值为________ 21. 已知某班有男生25人，女生20人．为了解该班学生的体质健康情况，按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为9的样本进行调查．若样本按比例分配，则抽取的男生人数为________． 22. 的内角，，的对边分别为，，.若，则________. 三、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 23. 某射击运动员在一天的射击训练中射靶100次，训练成绩统计结果如图所示. （1）请估计这名运动员射击成绩的众数； （2）请估计这名运动员射击一次命中9环的概率； （3）如果这名运动员连续射击两次，每次射击成绩互不影响，请估计他两次命中环数都大于8环的概率. 24. 如图，四棱锥底面是正方形，平面，，. （1）求四棱锥的体积； （2）求证：平面. 25. 已知函数，，且偶函数． （1）若，求的值； （2）求实数的值； （3）若对任意的，存在，使得恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年湖南省普通高中学业水平合格性考试 数学 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页.时量90分钟，满分100分. 一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由元素与集合的关系即可求解. 【详解】由元素与集合的关系可知：若集合，则. 故选：B. 2. 下列函数中，定义域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分母不为0即可判断A；根据偶次方根被开方数大于等于0即可判断B；根据对数函数真数大于0即可判断C；根据幂函数定义域即可判断D. 【详解】对A，其定义域为，故A错误； 对B，其定义域为，故B错误； 对C，由题意得，解得，则其定义域为，故C错误； 对D，显然其定义域为，故D正确. 故选：D. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：B 4. 某环保志愿者计划从甲、乙、丙、丁四个社区中随机选择一个社区进行“垃圾分类”宣讲，则该志愿者选择甲社区的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式进行求解. 【详解】因为某环保志愿者计划从甲、乙、丙、丁四个社区中随机选择一个社区进行“垃圾分类”宣讲， 共有四种选择方法：甲、乙、丙、丁，所以该志愿者选择甲社区的概率为. 故选：A 5. 已知为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由纯虚数的概念即可得解. 【详解】由纯虚数的概念：实部为0，虚部不为0，对比选项可知，选项中复数为纯虚数的是. 故选：D. 6. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将点的坐标代入函数解析式即可求得. 【详解】将代入得：，解得：. 故选：A 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性及定点即可判断. 【详解】函数单调递增，且过点，B选项满足条件. 故选：B 8. 已知，是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质、充要条件的定义即可求解. 【详解】由不等式的性质可知：等价于，即“”是“”的充要条件. 故选：C. 9. 已知函数，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：运用基本不等式可求得最小值. 方法二：求出函数在上的单调性，根据单调性判断函数的最值. 【详解】方法一：当时，， 所以得最小值是6. 方法二：因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 故选：C 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题和全称命题的真假一一判断即可. 【详解】对A，取，则，则“，”为假命题； 对B，取，则，则“，”为假命题； 对C，时，恒成立，则不存在，使得，则其为假命题； 对D，，解得，则“，”为真命题. 故选：D. 11. 如图，为圆柱底面直径，为母线，若，则与圆柱底面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面角定义得为所求的角，再利用等腰直角三角形性质即可得到答案. 【详解】因为母线底面， 则与圆柱底面所成角即为，又因为为圆柱底面直径，则， 因为，所以. 故选：B. 12. 2023年袁隆平“超级稻”突破亩产，再次刷新了杂交水稻单季亩产世界纪录.已知甲、乙两种杂交水稻在面积相等的两块试验田中连续6年的产量如图所示，则（ ） A. 甲的平均产量高于乙的平均产量 B. 甲的最高产量高于乙的最高产量 C. 甲的产量更稳定 D. 乙的产量更稳定 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，分别求出甲、乙的平均产量进行判断；B选项，从图中分别求出甲、乙的最高产量进行判断；C、D选项，由折线图的波动情况可确定产量的稳定性，波动越小产量越稳定. 【详解】A选项，甲的平均产量为kg， 乙的平均产量为，A错误； B选项，甲的最高产量为1200kg，乙的最高产量为1251kg，B错误； C、D选项，由折线图可知甲的波动更大，所以乙的产量更稳定，D正确. 故选：D 13. 函数的零点是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点定义计算即可. 【详解】令，解得，则其零点为2. 故选：C. 14. 为了得到函数的图象，只需把图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用函数图象的平移法则“左加右减”即可得到选项． 【详解】解：由到，只是横坐标由变为， 要得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度． 故选：A． 15. 如图，是边长为2的等边三角形，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义进行运算即可. 【详解】因为是边长为2的等边三角形，所以， 所以. 故选：C 16. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式直接求解即可. 【详解】解：. 故选:D． 17. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为1 D. 在上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】直接由三角函数性质逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于A，由于，不为奇函数，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，显然的最大值为1，故C正确； 对于D，当时，， 由复合函数单调性、正弦函数单调性可知上单调递增，故D错误. 故选：C. 18. 为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年燃气用量 燃气价格 不超过 3.2元 超过但不超过的部分 3.6元 超过的部分 4.5元 若某户居民一年的燃气用量为，则此户居民这一年应缴纳的燃气费为（ ） A. 1600元 B. 1680元 C. 1800元 D. 2250元 【答案】B 【解析】 【分析】直接分段计算，然后相加即可得解. 【详解】由题意此户居民这一年应缴纳的燃气费为元. 故选：B. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 19. 已知复数，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】直接由复数加法定义即可求解. 【详解】若复数，，则. 故答案为：. 20. 若，则的值为________ 【答案】3 【解析】 【分析】利用正切定义即可得到答案. 【详解】由题意得显然，则，即. 故答案：. 21. 已知某班有男生25人，女生20人．为了解该班学生的体质健康情况，按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为9的样本进行调查．若样本按比例分配，则抽取的男生人数为________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用比例分配的分层抽样的性质直接求解． 【详解】解：由比例分配的分层抽样得：男生应该抽取的人数为：． 故答案为：5． 22. 的内角，，的对边分别为，，.若，则________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】利用正弦定理进行边化角，再化简即可求得. 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为，所以， 所以，. 故答案为： 三、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 23. 某射击运动员在一天的射击训练中射靶100次，训练成绩统计结果如图所示. （1）请估计这名运动员射击成绩的众数； （2）请估计这名运动员射击一次命中9环的概率； （3）如果这名运动员连续射击两次，每次射击成绩互不影响，请估计他两次命中环数都大于8环的概率. 【答案】（1）8环 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据众数定义并结合频数分布图即可得到答案； （2）根据频率估计概率即可得到答案； （3）根据频率估计概率并结合独立事件的乘法公式即可得到答案. 【小问1详解】 根据频数分布图得该名运动员100次射靶中，射中8环的频数最多， 则这名运动员射击成绩的众数为8环. 【小问2详解】 由题意，该运动员在100次训练中，射中9环的频数为25， 由频率估计概率得名运动员射击一次命中9环的概率为. 【小问3详解】 由题意，该运动员在100次训练中，射中大于8环的频数为， 由频率估计概率得名运动员射击一次命中大于8环的概率为， 则根据独立事件的乘法公式得他两次命中环数都大于8环的概率为. 24. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，. （1）求四棱锥的体积； （2）求证：平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先求出，再利用锥体体积公式即可得到答案； （2）利用线面垂直的性质得，再利用线面垂直的判定即可. 【小问1详解】 因为平面，平面，则， 所以， 则. 【小问2详解】 因为平面，平面，则， 因为底面为正方形，所以， 又因为，平面， 所以平面. 25. 已知函数，，且为偶函数． （1）若，求的值； （2）求实数的值； （3）若对任意的，存在，使得恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将指数式化为对数式即可； （2）利用偶函数的定义求解即可； （3）把问题转化成最值问题，根据的正，零，负三种情况进行分类讨论，利用函数的单调性求出各自的最值，建立不等式求解即可． 【小问1详解】 ， ， 解得：； 【小问2详解】 偶函数， ， 恒成立， 所以； 【小问3详解】 由（2）知：， 对任意的，存在，使得恒成立， 将问题转化为：， 当时，即或， 开口向上，对称轴为， 在上单调递增， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， ； 当时，即或， 为常函数， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， 所以； 当时，即， 开口向下，对称轴为， 在上单调递减， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， ； 综上所述：实数的取值范围为：． 【点睛】本题考查了指数式化为对数式，偶函数、利用单调性研究函数的最值，解题的关键是将不等式恒成立问题转化为最值问题，同时需要注意分类讨论思想的使用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$