精品解析：四川省广安加德学校2024-2025学年高一上学期开学考试数学试卷

广安加德学校高2024级入学考试数学试题 一、选择题：每小题3分． 1. 的相反数与绝对值的和等于（　　） A. B. 0 C. D. 或0 【答案】B 【解析】 【分析】利用数的相反数和绝对值的定义求解. 【详解】的相反数是，的绝对值是， 所以的相反数与绝对值的和等于0， 故选：B. 2. 下列计算中，错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用指数幂的运算性质逐一化简计算即可判断. 【详解】对于A，由，故A正确； 对于B，由，故B错误； 对于C，由，故C正确； 对于D，由，故D正确. 故选：B 3. 如图所示，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同一时刻阳光下的影子同向，且与物体的高度成正比可判断. 【详解】对于A、D，同一时刻的阳光可看作是一组同向出发的平行射线，因此树影应朝向同一方向，而A、D中的树影方向相反，故A、D错误； 对于B、C，同一时刻的阳光下的树影应与树高成正比，B项符合此规律，而C项中较高的树的影子相对较短，故C项错误，即B项正确. 故选：B. 4. 如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为8，则的面积为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据，分别是边，的中点，可得，即可得解. 【详解】因为，分别是边，的中点， 所以. 故选：A. 5. 今年，夕夕一家5个人的年龄分别为（单位：周岁）：6，32，34，55，58与4年前相比，下列说法正确的是（　　） A. 平均数变大，方差变大 B. 平均数变大，方差不变 C. 平均数变小，方差变小 D. 平均数变小，方差不变 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数和方差计算公式分别计算即可. 【详解】4年前一家五口的岁数分别为2，28，30，51，54， 平均数为， 方差为； 今年一家五口的岁数分别为6，32，34，55，58 平均数为， 方差为； 则平均数变大，方差不变. 故选：B. 6. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. ，且 C. ，且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由方程有两个不相等的实数根，可知，求解即可. 【详解】因为关于的方程有两个不相等的实数根， 所以，解得，且， 所以的取值范围是，且. 故选：C. 7. 清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件描述得离家距离是先减少后增加，则得到答案. 【详解】因为横坐标为时间，纵坐标为离家距离， 条件描述为儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内， 则离家距离是先减少后增加，故C正确. 故选：C. 8. 如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据条件求出半径，再分别求出、扇形和的面积即可. 【详解】连接，设和的交点为， 因点是以为直径的半圆的三等分点，则， 因，则，即为等边三角形， 因，则， 因，则四边形为平行四边形， 因，则四边形为菱形，则， 设圆的半径为，则，， 则， 扇形的面积为，， 则图中阴影部分的面积为， 因弧的长为，，则，则图中阴影部分的面积为. 故选：A 9. 二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③为任意实数时，； ④； ⑤若，且，则． 其中错误的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】观察图象可得二次函数的图象为开口向上的抛物线，抛物线的对称轴为，与轴的交点的纵坐标小于，列关系式可得，，,由此判断①②，根据函数在时取最小值，判断③，观察图象与轴的交点横坐标，结合对称性可得当时，，判断④，结合条件化简关系，判断⑤，由此可得结果. 【详解】观察二次函数的图象可得， 二次函数的图象为开口向上的抛物线，故， 抛物线的对称轴为，由，得，故 由图象与轴的交点的纵坐标小于，故， 从而，，故 ①与②均错误； 因为当时，函数取最小值， 故对于任意的实数，都有成立， 所以，故 ③正确; 设函数的图象与轴的交点的横坐标为，，， 则，，结合对称性可得，， 所以当时，，故，故 ④正确; 若，则， 即，又， 所以，又，， 所以，故⑤正确. 所以错误的结论有 ① ② 共2个. 故选：C 10. 若，，则，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】两数同时六次方，推断两数绝对值的大小关系，进而推断两数大小关系 【详解】因为，， 所以，故. 又因为，，所以. 故选： 二、填空题：每小题3分． 11. ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质直接计算求解即可. 【详解】由题意， 故答案为： 12. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式分解即得. 【详解】原式. 故答案为：. 13. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式和已知等式直接求解即可. 【详解】由题意知， 故. 故答案为：. 14. 如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，，再分别计算即可. 【详解】由题意可知，， 所以，又，则， 因，则， 则. 故答案为： 15. 如图，在等边中，点是边的中点，点是的中线上的动点，且，则的最小值是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据两点之间线段最短可求出结果. 【详解】取的中点，连接交于点， 因为是等边三角形，分别为的中点， 所以关于对称，所以. 要使得最小，即是使得最小. 根据两点之间线段最短可知，当点位于点时，最小为. 又，所以为6，即最小值为6. 故答案为：6. 16. 已知，则的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用设参法，令，代入即可求解. 【详解】设，则，，， 所以， 故答案为： 三、解答题． 17. 计算． 【答案】4 【解析】 【分析】根据幂运算、绝对值、三角函数、零指数幂和负指数幂的运算法则分别化简各项，再进行计算. 【详解】原式. 18. 先化简，再求值，其中. 【答案】 【解析】 【分析】根据多项式化简即可代入求解. 【详解】原式 . 当时， 原式. 19. 如图，反比例函数的图象经过点轴，点的平分线交于点，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）菱形，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由反比例函数所过的点求参数，即可得函数表达式； （2）利用平行线性质，平行四边形和菱形的定义判断证明即可. 【小问1详解】 反比例函数的图象经过点，可得， 故反比例函数表达式是； 【小问2详解】 四边形OBDA是菱形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ， 是菱形. 20. 某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10． 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 7 中位数 8 优秀率 80% 60% 八年级抽取学生的测试成绩条形统计图 （1）填空：___________，___________． （2）根据以上数据，选取两个统计量分析该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握情况． （3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数； （4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率． 【答案】（1）8；8； （2）答案见解析 （3）700人； （4） 【解析】 【分析】（1）由已知数据，根据众数的定义求，中位数的定义求， （2）可以选择众数，中位数，平均数，优秀率中的两个统计量进行分析； （3）由样本的优秀率结合各七年级和八年级的人数估计两年级的优秀人数即可； （4）设把七年级获得10分的学生记为，八年级获得10分的学生记为，，，画树状图，结合树状图求概率即可. 【小问1详解】 由条件可得七年级抽取学生的成绩含个分，个分，个分，个分， 八年级抽取学生的成绩含1个分，个分，个分，个分，个分，个分， 由众数的定义得：，八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8分， 故答案为：8，8； 【小问2详解】 从众数分析，七年级同学得分要高于八年级； 从中位数，平均数分析，两个年级的成绩一样； 从优秀率分析，七年级优秀的人数多于八年级； 所以，若选择众数和优秀率两个统计量进行分析可得七年级的学生党史知识掌握情况更好； 若选择众数和中位数两个统计量进行分析可得七年级的学生党史知识掌握情况更好； 若选择众数和平均数两个统计量进行分析可得七年级的学生党史知识掌握情况更好； 若选择优秀率和中位数两个统计量进行分析可得七年级的学生党史知识掌握情况更好； 若选择优秀率和平均数两个统计量进行分析可得七年级的学生党史知识掌握情况更好； 若选择平均数和中位数两个统计量进行分析可得两个年级的学生党史知识掌握情况基本相同； 【小问3详解】 （人）， 所以估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人； 【小问4详解】 七年级有1位学生的成绩为10分，八年级有3位学生的成绩是10分， 把七年级获得10分的学生记为，八年级获得10分的学生记为，，，画树状图如图： 共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种， 被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为． 21. 某服装店以每件30元的价格购进一批恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设恤的销售单价提高元． （1）服装店希望一个月内销售该种恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问恤的销售单价应提高多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）2元 （2）当服装店将销售单价定为50元时获得的利润最大，最大利润是4000元． 【解析】 【分析】（1）设恤的销售单价提高元，根据题意列出方程求解即可； （2）设利润为元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 设恤的销售单价提高元，由题意列方程得： ， 解得：或， 要尽可能减少库存， 不合题意，应舍去． 恤的销售单价应提高2元， 答：恤的销售单价应提高2元. 【小问2详解】 设利润为元，由题意可得： 当时，元， 销售单价：（元）， 答：当服装店将销售单价定为50元时，得到最大利润是4000元. 22. 小鲁和能能相约周末到动物园游玩，如图，点A、、、、为同一平面内的五个园区．已知园区B位于园区A的东北方向米处，园区位于园区A的正北方向，园区、均位于园区的北偏西方向（园区C离园区B更近），且两园区相距米；园区位于园区的正西方向和园区的正南方向． （1）求园区A与园区C之间的距离．（结果保留根号） （2）小鲁和能能同时从园区A出发，选择不同的路线前往园区D参观：小鲁从到到，能能从到到．已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到园区D．（参考数据： 【答案】（1）米； （2）能能先到园区． 【解析】 【分析】（1）连接交于点，根据方位角在直角三角形中利用勾股定理直接计算即可； （2）计算出小鲁从到到路程，再计算出能能从到到路程，比较两者的大小即可得出结论. 【小问1详解】 连接交于点，如下图所示： 由题意得， 在中，米， （米）， （米）， 在中， （米）， 米， 即园区与园区之间的距离为米； 【小问2详解】 能能先到园区， 理由：过点作于点，如下图所示： 由题意得米，， ， 在中，米， （米）， 米， 在中，米， （米）， 小鲁从到到路程（米）， 能能从到到路程（米） 小鲁和能能同时出发，速度相同，且1073米米 能能先到园区． 23. 如图，AB为圆的弦，交于点，与过点的直线交于点，且． （1）试判断直线与圆的位置关系，并加以证明； （2）若，求的长． 【答案】（1）相切，证明见解析 （2）11.9 【解析】 【分析】（1）连接由可得，再结合图形可证得，可得直线与圆相切； （2）由（1）可得分别设，在中，结合勾股定理可求出的长. 【小问1详解】 与相切； 理由：如图，连接， ． ． ． ． 即与相切 【小问2详解】 由（1）知． 设， 在中，， ．得（舍去）， ； 在中，设， 由， 即， 得， ． 故的长为. 24. 如图，抛物线交轴于两点，交轴于点，直线的表达式为． （1）求抛物线的表达式； （2）动点在直线上方的二次函数图象上，连接，，设的面积为，求的最大值； （3）当点为抛物线的顶点时，在坐标轴上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当的坐标为或或时，以为顶点的三角形与相似． 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标，代入解析式可得答案； （2）设出点的坐标，利用面积公式得到表达式，结合二次函数可求最值； （3）作辅助线，构造直角三角形，利用三角形相似的判定可得答案. 【小问1详解】 把代入，得： ， 把代入，得： ， 将代入， 得：， 解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 如图，过点作轴，垂足为， 设，则， ， 当时，有最大值，最大值为． 【小问3详解】 ， ， 又，， ，，． ， 如图所示：连接． ① ， 又 与相似， 当的坐标为时，与相似． ②过点作，交轴于点． ， 又 与相似， 又与相似， 与相似． ， 即， 解得： ； ③过点作，交轴与点． ， 又 与相似， 又与相似， 与相似， ， 即， 解得： 符合题意， 综上所述：当的坐标为或或时，以为顶点的三角形与相似． 25. 解下列关于x的不等式 （1）（x-1）（x-2）＜0； （2）|2x-1|＜3； （3）x2-（3a+1）x+2a（a+1）＞0． 【答案】（1）{x|1＜x＜2} （2）（-1，2） （3）答案不唯一，见解析； 【解析】 【分析】（1）直接解一元二次不等式，求得（x-1）（x-2）＜0的解集． （2）解绝对值不等式，求得|2x-1|＜3的解集． （3）不等式即[x-（2a）][x-（a+1）]＞0，分类讨论2a和a +1的大小关系，求出x的范围． 【详解】（1）由（x-1）（x-2）＜0，可得1＜x＜2， 故原不等式的解集为{x|1＜x＜2}． （2）由|2x-1|＜3，可得-3＜2x-1＜3，求得-1＜x＜2， 故原不等式的解集为（-1，2）． （3）由x2-（3a+1）x+2a（a+1）＞0，可得[x-（2a）][x-（a+1）]＞0， 当2a＞a+1时，即a＞1时，不等式的解集为（-∞，a+1）∪（2a，+∞）； 当2a=a+1时，即a=1时，不等式的解集为{x|x≠2}； 当2a＜a+1时，即a＜1时，不等式的解集为（-∞，2a）∪（a+1，+∞）． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于中档题． 26. 已知实数集为，集合，. （1）若，求和． （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）,或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据交集、并集、补集的概念计算； （2）分和结合数轴讨论求解. 【小问1详解】 当时，， ， ，， 所以或. 【小问2详解】 若， 当时，有，解得； 当时，如图， 或 有或， 解得或， 综上可得，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安加德学校高2024级入学考试数学试题 一、选择题：每小题3分． 1. 的相反数与绝对值的和等于（　　） A. B. 0 C. D. 或0 2. 下列计算中，错误的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图所示，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为8，则的面积为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 今年，夕夕一家5个人的年龄分别为（单位：周岁）：6，32，34，55，58与4年前相比，下列说法正确的是（　　） A. 平均数变大，方差变大 B. 平均数变大，方差不变 C. 平均数变小，方差变小 D. 平均数变小，方差不变 6. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. ，且 C. ，且 D. 7. 清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③为任意实数时，； ④； ⑤若，且，则． 其中错误的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 若，，则，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 无法判断 二、填空题：每小题3分． 11. ___________． 12. 分解因式：___________． 13. 已知，则的值为___________． 14. 如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数是___________． 15. 如图，在等边中，点是边的中点，点是的中线上的动点，且，则的最小值是___________． 16. 已知，则的值为___________． 三、解答题． 17. 计算． 18. 先化简，再求值，其中. 19. 如图，反比例函数的图象经过点轴，点的平分线交于点，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 20. 某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10． 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 7 中位数 8 优秀率 80% 60% 八年级抽取学生的测试成绩条形统计图 （1）填空：___________，___________． （2）根据以上数据，选取两个统计量分析该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握情况． （3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数； （4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率． 21. 某服装店以每件30元的价格购进一批恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设恤的销售单价提高元． （1）服装店希望一个月内销售该种恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问恤的销售单价应提高多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 22. 小鲁和能能相约周末到动物园游玩，如图，点A、、、、为同一平面内的五个园区．已知园区B位于园区A的东北方向米处，园区位于园区A的正北方向，园区、均位于园区的北偏西方向（园区C离园区B更近），且两园区相距米；园区位于园区的正西方向和园区的正南方向． （1）求园区A与园区C之间的距离．（结果保留根号） （2）小鲁和能能同时从园区A出发，选择不同的路线前往园区D参观：小鲁从到到，能能从到到．已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到园区D．（参考数据： 23. 如图，AB为圆的弦，交于点，与过点的直线交于点，且． （1）试判断直线与圆的位置关系，并加以证明； （2）若，求的长． 24. 如图，抛物线交轴于两点，交轴于点，直线的表达式为． （1）求抛物线的表达式； （2）动点在直线上方的二次函数图象上，连接，，设的面积为，求的最大值； （3）当点为抛物线的顶点时，在坐标轴上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 25. 解下列关于x的不等式 （1）（x-1）（x-2）＜0； （2）|2x-1|＜3； （3）x2-（3a+1）x+2a（a+1）＞0． 26. 已知实数集为，集合，. （1）若，求和． （2）若，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $