第8讲 三角函数最值问题 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦高考三角函数最值核心考点，涵盖分离常数、基本不等式、斜率转化、求导及辅助角公式等方法，按“适用题型-典例解析-变式拓展”逻辑架构知识点，通过考点分类梳理、解法步骤指导、真题典例演练等环节，帮助学生构建解题框架，突破思维难点。 讲义以“趋同”思想统领方法体系，创新融合几何直观与代数运算，如将分式函数转化为斜率问题培养数学眼光，借助辅助角公式强化模型意识（数学语言）。设置基础到提升分层练习，配合即时方法总结，高效提升学生运算推理能力，为教师精准把控复习节奏提供清晰路径。

冲刺清北数学 第题容向讲 三角函数最值问题（赏析） Y①ZZZH要点自主整合 题型一 分离常数求最值 题型二 基本不等式求最值 题型三 转化为斜率或有界性求最值 题型四 求导求最值 题型五 “趋同”求最值 类型一 借助辅助角公式 类型二 借助三角恒等变换 类型三 借助sin0±cos02=1±sim20=1±2sin0cos0=1±sin20 类型四 在△ABC中，借助sinA=sin(B+C) 类型五 在△ABC中，借助tanA=-tanB+C) 类型六 凑正切 类型七 借助正弦平方差公式 类型八 借助sin20+cos20=1 题型一 分离常数求最值 适合题型：分子与分母同名且齐次型 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 2c0s20-5的值域 【奥例1求函数对古c0s20-6 2c0s20-5_2lc0s20-6+7=2+ > 解法1：由y c0s20-6 c0s20-6 0s20-6 由as9则，周am9-6e6所以y=2+0-6[别 法2：换元法 令1=c0s20-6,由co20e0,小，则1e6,-5,故y=2业+6-5=2+7 e-6[3引质u7-2+[居引 题型二 基本不等式求最值 适用于：分子与分母齐名非齐次型 sin20+1 【典例】求函数y= (0<0<π)的值域 sin0 、》命题方向 解0<0<π时，sin0∈0，]小，由y=sin0+4 sin9+1≥2，sin0. =2 sin sin sin 当且仅当si血0=1，即0=兀时取等 【变式】求函数y=sin'0+4 (0<0<π)的值域 sin0+2 解玲1=sm0+2,由0<0<开，则12,3，故y=北-2P+4-1+3-4. 可得函数d=1+8-4在2.2V上单减，在5，止单期，则f0=45-4, 又2=2，B)=<2.故45-4≤<2，耳医数竣为5-42小 题型三 转化为斜率 适用于：分子与分母异名且齐次型 【典例】求函数y= 0sX-2的值域 sin x+3 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径· 。一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 解法1上设点p(cosx,s.in,Q-3,2),函数y=cosr-2 可以看作是动点 sinx+3 P(cos x,sinx)与定点Q-3,2)连线的斜率，可得动点P(cos x,sinx)在定圆x2+y2=1, 则问题转化与定点Q-3,2)与定圆x2+y2=1上任意一点连线的斜率，即直线PQ与该圆有 公共点，设直线1e:y=kx+3)+2,则圆心到直线Pg的距离d= 3k+2≤1， V1+k2 解3-5≤k≤-3+ 故函数的值域为 -3-V3-3+V3 4 4 4 ① P 法2：三角函数有界性法 由y= cosx-2 sinx+3 ,则cosx-ysinx=3y+2=V+y2sinx+p,其中an0=-1 则sin(x+p川= 3y+2 ≤1，则y∈ -3-3-3+V3 V1+y2 4,4 【变式1】求函数y= cos 2x 一的值域 sinxcosx+ 解油y= cos 2x cos2x =2.C0s2x sinxcosx+3 1 sin 2x+3 sin 2x+6 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 餐希与 冲刺清北数学 法1h设点P叫sin2x,0s2x,g-6.0,函数y=2.cos2x可以看作是动点 sin 2x+6 P(sin2x,cos2x)与定点Q-6,0)连线的斜率的2倍，可得动点P(sin2x,cos2x在定圆 x2+y2=1,则问题转化与定点Q-6,0)与定圆x2+y2=1上任意一点连线的斜率的2倍， 即直线P?与该圆有公共点，设直线lo:y=k(x+6),则圆心到直线PQ的距离 ds、 k解得35一x3好 故函数的值域为 -V35V35 V1+k2 35 3535 法2：三角函数有界性法 2cos0 由y in0+6 则cos9-ysin0=6y=Vi+ysin0+p,其中tan0=- 则小sin(0+p= 6y ≤1，则y 「-√3535 V1+y2 3535 【变式2】求函数y= 2cos0+sin0的值域 sin0+1 懈油y=2cos0+sin6_2cos0-1+sin6+1 cos0、1 =1+2 2 sin0+1 sin0+1 sin0+1 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 餐希与 冲刺清北数学 cos0、1 cos0、1 法1：由k= 2,设点Psin0,cos0）(sim0≠-1)，( 2可 sin0+1 sin0+1 以看作是动点Psm0,c0s0)(血0-1)与定点0-1号 连线的斜率，可得动点 户sm0,cs)在定圆+y=1《x-1,则间题转化与定点q-1) 与定圆 x2+y2=1（x≠-1)，上任意一点连线的斜率，即直线PQ与该圆有公共点， 设直线10：y=x+1)+,则圆心到直线PQ的距离d= 2 ≤1， V1+k2 4 故函数的值域为 P 法2：三角函数有界性法 2cos0+sin0 由y= 2 cos 0+(1-y)sin 0=y=/4+(1-y)2 sin (0+), sin0+1 共中cotp=),6imle+o 5 2 V4+1-y明 【变式3】求求函数y= 2cos0+sinθ (0∈0， 的值域 sin0+1 2 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径持 ,一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 s0- 解油y= 2cos0+sine2cos0-1+sin+1=1+2. 2 sin0+1 sin0+1 in0+1 cos0、 法1：由k= 2, sin+1 应Pm0,ows0)(s血0eb侧小，os0elo则小g-》 1 cos0- 函数k= 2可以看作是动点P(sim0,cos0）(sin0∈[0,1，cos0∈[0,1)与定点 sin0+1 o-1. 连线的斜率，可得动点P(sin0,cos0)在定圆x2+y2=1(x∈[0，l,y∈[0,1)， 的部分，则问题转化与定点Q 与定圆x2+y2=1(x∈[0,1，y∈[0，)上任意一 点连线的斜率，即直线PQ与该圆有公共点， 版PH10l,Bo.易斜kn=女e=子km=ke号 1 cos0- 则y=1+2 0 P 【思考】这道题是否可以利用三角函数有界性法求解呢？？？ 【变式4】求函数fx)= sin x-1 (0≤x≤2π)的值域 3-2 cos x-2sin x 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径‘ ,一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 sinx-1 sin x-1 解油题52o0sx-2si血x (cos x-1)2+(sin x-1)2 当sinx=1时，则fx)=0; sinx-1 当sinx≠1时，由fx)= /(cosx-1)2+(sinx-1)2 cosx-1 sinx-1 令k=cosx-,设点P叫sinx,cos对(si血r≠-1，Q1,,函数k=cosx-可以看作 sinx-1 sinx-1 是动点P(sinx,cosx(sinx≠-1)与定点Q1,l)连线的斜率，可得动点P(sinx,cosx) (sinx≠-1)在定圆x2+y2=1(x≠1)，则问题转化与定点Q1,1)与定圆 x2+y2=1（x≠-1)上任意一点连线的斜率，即直线PQ与该圆有公共点， 设直线lm:y=(r-+1,则圆心到直线P0的距离d=长- 1, V1+k2 解得k之0，所以 ,1+ cosx-1 sinx-1 ∈l,+oo,所以fx∈-l,0), 综上所述，fx)∈[-1,0 题型四 求导求最值 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 【典例】求函数fx)=6cosx+sin2x (0<x<刀)的最小值， 3sin x cos x 解油已知可得fx)=2cosx+sinx sinx 3cosx 2cos x 1 则f'x)= -6cos3x+sin2 x -6cos3 x-cos2x+1 sin2x 3cos2x 3sin2 x cos2x 3sin2 x cosx 令t=cosxE(0,1,h(t)=-6t3-t2+1(t∈(0,1)，则h't)=-18t2-2t=-2(9t+1<0 ,所以)在(0，上单减， 又=0，所以当1e0》,M>0. 当e行时，<0，即当x后到时，>0，则函数单增，当 x0到<0，则隔数单减所以i= 题型五 “趋同”求最值 处理三角函数最值问题的核心在于“化简消元”，而化简消元的核心在于“趋同” 问题命趋同”的方式具体有哪些呢？ ()“函数”名的趋同： (2)“函数”角的趋同； （3)“函数”次的趋同. 问题二：如何趋同呢？ (1)可以是由所求的问题向条件趋同： （2)可以是由条件向所求的问题趋同. 问题三：如何实现趋同呢？ (1)借助辅助角等式： 6 asin0+bcos日=Va2+bsin0+p),其中tanp=-b,p∈←元，x)且o≠± (2)借助三角恒等变换公式 sim0±cos0)2=1±2sin0cos0=1±sin20; 1-tan 0 c0s20 1+tan 0 sin 20 tan 1+tan 0 1+sin 20 4 1-tan 0 1+c0s20 4 1 1+tan20= =sec20;1-cot20= =csc20等 cos20 sin20 (3)借助三倍角公式 ①sin30=3sin0-4sin30 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 李餐写 冲刺清北数学 证明]sin30=sin(20+0)=sin20cos0+cos20sin0 =2sin 0 cos 0 cos 0+(1-sin 20sin 0 =2sin 0 cos20+(1-sin20)sin0 =2sin 0(1-sin20)+(1-sin20)sin 0=3sin0-4sin'0 ②cos30=4cos30-3c0s0 f证明jcos30=cos20+0=cos20cos0-sin20sin0 =(2 cos20-1)cos 0c-2 sin 0 cos 0 sin0 =2c0s20-1c0s0-21-c0s20jcos0=4cos30-3cos0 (4)借助和差化积与积化和差 ①和差化积 1.sina+sin B=2sincos 2 22：2cosa+c0sB=2cs“+cos-B 2 2 证明冷a-“B+P,B=a4E_& 2 2 2 2 1如a+如B=sm0P+a,+sma+B_a-E (2 2 22 sincoscosinincosBcos 0+β.o-β -cos- -sin -coS- 2 sin 2 2 2 2 2 2 2 =2sin u+Bcosa-B 2 2 2.cosa+cos B=cos a+B a-B (2 2+cos os a+B a-B 22 cos +B os-BsinBsin-ccosBsin cos- a-B -sin- sin 2 2 2 2 2 2 2 2 =2c0s a+B a-B coS- 2 2 另外两个：3sina-sinB=2cosa+Bsi a-B -sin- 2 4.cosa-cosB=-2sin+Bsina-B -sin- 2 2 ②积化和差 1.sina cosβ= [sin(a+B)+sin(a-p小： 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 餐希与 冲刺清北数学 2 op=osa+p)+cosa-Bl(清一色： 3osasnB=snla+pj-smla-gBl: sin sin B-cos+B)-cox (5)借助正弦平方差公式 sin2a-sin2B=sin(a+B).sin(a-B) f证明]sin2a-sin2B=(sina+sinβ)(sina-sinB) =2sincosB.2cosBsin-B 2 2 2 -2sin B cosB 2 2 =sin(a+B).sin(a-B) (6)借助类余弦平方差公式 cos2a-sin2B=cos(a+B).cos(a-B)cos2 B-sin 2a cos(a+B).cos(a-B) f证明}eosfa+B例-小cosa-Bl=2cos2a+cos2p) -2cosa-1)+1-2sin'p)-cos"a-sin+B csf+)cosf-)-co2+co) -)l-2sin2a小+2cos2B-月=6os2B-sm2a (7)在△ABC中，sinA=sinB+C);cosA=-cos(B+C (8)在斜△ABC中，tanA=-tan(B+C;tanA+tanB+tanC=tan A tan B tan C. 证明庙tanA=-tan(B+C)=-tanB+anC 1-tan Btan C tan 4(1-tan B tan C)=-(tan B+tan C), tan 4+tan B+tan C tan A tan B tan C. (9)万能公式 1.sin20= 2sin0 cos0 2tan0 ,(0≠T+kr,k∈Z): sin20+cos20 1+tan20 2 2.cos 20=cos0-sin201-tan20 (0≠T+kr,k∈Z): sin20+cos20 1+tan20 2 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟