第6讲 两角和与差公式的应用 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦两角和与差公式的应用专题，系统整合两角和差、二倍角、辅助角公式等核心考点，梳理公式推导逻辑与内在联系，通过基础知识整合、重点难点分析、典例精讲、误区警示、规律总结、分层训练六个教学环节，帮助学生突破公式逆用变形、角的拆分组合等难点，构建三角恒等变换的解题体系。 讲义突出数学思维与推理能力培养，创新采用“公式网络构建+角变换技巧”双路径教学，如在配角问题中引导学生通过“α=2·α/2”“α=(α+β)-β”等变形建立角的联系，结合方程思想解决给值求值问题。设置A组基础演练与B组高考真题专练，配合即时反馈与方法归纳，助力学生在有限时间内提升运算精度与解题效率，为教师把控复习节奏、分层教学提供清晰指导。

书山有路勤为径‘ ,一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 第 6讲 两角和与差公式的应用 YDZZZH要点自主整合 【重点难点】 重点：掌握两角和、两角差、二倍角公式，并运用这些公式化简三角函数式，求三角函数值， 证明三角恒等式等， 难点：了解各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的 应用 【基础知识】【最新2026年版】 1.在两角和与差的公式中，以公式C。±为最基本，其推导过程应熟练掌握.教材用平面向 量对Ca-进行了推导，类似地也可以用平面向量方法推证C。+B1.下面用对称和两点间的 距离公式给出Ca+B1的推证过程，望细心体会其思路方法。 如右图，点P,乃，P，,P的坐标分别为P(I,0),P(cosa,sinc, P(cosa+B),sina+B月，P,(cos-B,sin(-B月，由PP=P,P,及两点间距离公式得 Icos (a+B)-1]2+sin 22(a+B)=[cos(-B)-cos a2+[sin (-B)-sin a]2, 整理得cosa+B)=cos a cos阝-sin a sin B，,本公式中a、B对任意角都成立. 也可以先用此法导出Ca- 2.公式之间的关系及导出过程 P 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径作云 。一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 C2a← 令B=a一 C(a+B) 以-B代B,Ca- 利用cos受±a) 利用cos受a) 利用cos(丐±a) 令B=a 以-B代B S(a+B) S(a-B) 两式相除 两式相除 两式相除 令B=a 以-B代B T2a T(a+B) T.-) 3.和、差、倍角公式 DC():cos(a±B)=cos a cos B干sin a sin B. ②Sa+B1:sin(a±B)=sin a cosB±cosasin B. ③Ta±Bl:tan(a±B)= tana±tanB 1千tan tan阝 2:sin 2a =2 sin a cos a. 5C2:cos 2a cos2a sin2a 2 cos2a -1=1-2sin2a. 2tana ⑥T,a:tan2o= 1-tan2a 【注】(1)只有③和⑥对角0、B须附加限制条件，使其有意义； (2》如⑥中领a≠kr+工(k∈Z)且a≠k红+亚(k∈Z). 24 4.合一公式（辅助角公式） asina+bcosa=va2+b2 sin(a+o), a 其中cosp= 6 va2+b2 sn0F后+i b tan= 【注】p的终边所在象限由a,b的符号来确定. 【例题】设函数fx=sinx+V3cosx+1,若实数a,b,0使得af(x)+bfx-o)=1对任 意x∈R恒成立，则a-bcoso=() A.-1 B.0 C.1 D.±1 解油条件可知，f八x)=2simx+ +1, 3 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 餐翁写 冲刺清北数学 由+-o)-1,测2asm+号+26n+号-0+a+6=1对在意的xeR 成立，所以2as前x+3 写：2hs+写o9-2cw+n9+a+b-1=0. a+bcoso=0 所以2a+bcos)sinx+ 2b sin cos 3 3 +a+b-1=0,所以bsin0=0 a+b-1=0 由bsin p=0知b=0或sinp=0; 若b=0时，则由a+bc0sp=0知a=0,这与a+b-1=0矛盾， 若sin9=0时，则c0s0=舍，c0s0=-1,解待a=b=)p=2k+1 所以bcos9=-1.故选：C. 【误区警示】 1.本节公式较多，要把握好公式的结构特征，熟悉公式的来龙去脉，这样才能 准确地应用公式.特别是公式中的“十”，“一”号要熟记，二倍角的余弦也是易 记混的地方，还要注意公式的逆用、变形运用. 2.三角变换常见的有变角、变名、变幂、变结构如和积互变)等.应特别注意变 换的等价性，解题过程中要善于观察差异，寻找联系，实现转化 3.在三角函数的求值、求角问题中，常常要先讨论估计)角的取值范围，依据此 范围来求角的值或讨论函数的符号.解三角函数求值角)题，千万不要不假思索， 盲目就下结论， 典型例题 例1 sin50l+√3tan10°-cos20° 求值： cos80°.V1-cos209 殊角总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合三角公式转化为特殊角并且消 除非特殊角的三角函数而得解，有时还可逆用、变形运用公式 【思路点拨】首先把切函数化为弦函数，同时把根号去掉 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 餐与 冲刺清北数学 解/sin50t+V3tan10=sin50°.cos10°+W5sin10° cos 100 =sin50°.2sim40°_2sin50°.cos50°_2sim10° =1, cos100 cos100 cos100 cos80°.V1-cos20°=sin10°.V2sin210°=√2sin210°， 所以s血50h+V5an10-cs20°-1-cos20° 2sin210° cos80°.V1-cos200 √2sin210°-√2sin210° -V2 【名师点评】 在利用二倍角的余弦时，注意选用公式. 例2 0<B<T<a 3πcoS 3 已 4 4 求sin(a+B)的值 ()当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式 (②)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应 用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. ()常见的E角技：a=2号：Q=a+B-B:a=-B-a: a=a++a-叭：Ba+-a-叭至+a=及-任-as 【思路点拨】比较题设中的角与带求式中的角， 不难发现+B-任-+a+刷米m任-]变化为sm+ 任+a小片经+--a+刚解 解因为<a< 3π 4 24 防以任小手为0<B<所以 5 44 +B<π， 又因为sin + 所以cos 12 13 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 餐希写 冲刺清北数学 所in=-ooa+p-e+p任】 -m+Bm[年-好+pm 【注】在做题时，有时忽略求工 3π +B的范围，还有不能正确判断两角的范围。 4 已知 an(a-B)= tanB=-1 7,且a,B∈(0，π)，求2a-P的值 ()确定角所在的范围； (2求角的某一个三角函数值要求该三角函数应在角的范围内严格单调)： (3)根据角的范围写出所求的角其中在第二步中，具体选用哪个三角函数，一般可由条件 中的函数去确定，一般己知正切函数值，选正切函数；己知正、余弦函数值，选正、余弦函 数；若角范围是 0,1 正余弦函数均可；若角范围是(0，π)时，一般选余弦函数；若是 ππ 2’2 则一般选正弦函数等。 【思路点拨】 观察角2a-B与角a-B和角B的关系，可以看出 2a-B=2a-B)+B,同时从三角函数名可以想到求tan(2a-β)即可. 解图为amla-创=所以m2a-B=2ae-月】=4 1-tan2a-β）3 xa-9-a-8-,B=所m2x-p-。附 因为a,月e0,,且mB=0,ama-l-n0:A-co 1+tan a tan B 3 所以0<a<年，年<B<号所以0<2a<行-<-B<-子 2 2 所以-元<2a-B<0,而在(-元，0)内y=tanx的值为1的角只有一个-_3沉 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 餐 冲刺清北数学 所以2a-B=-3n 4 【注】本题中若由tan(2a-B)=1直接得出2a-B=元，是最容易犯的错误，原因是忽 视了20-阝的有效范围. 例 已知，B为锐角，向量a=(cosa,sina),a=(cosB,sinB), -G -6-5ac-5-l (1)若 2 4,求2B-a的值； 八4nn:h%士 的三角函数值，进而求出角 (2)由a=b+c可求出关于a,B的三角恒等式，利用方程的思想解决问题 解1(I)因为a-6=eosa,sina小-cosB,smB)=os1a-B)=20. a.c=(cosa,sina) mna-sina 4 因为0<< 0<B<,所以-5<a-B< π 2 2 2 由①可得a-B=±元，由②可得a=元，由a,B为锐角可得B=5江 4 6 12 2π 从而2B-= 3 ()由d=i+d,可得cosB=cosu.smB=sma+@, 由3+④，可得cosa-sina=，由(cosa-sina2=1-sin2a=, 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径·父 。一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 放sin2a=3,又sin2a=2= 2sin a cosa 2tana 3 sin2a+cos2a tan2a+1 4 所以3an2a-8tana+3=0,又ae0,号 则ma>0,则an&=4±7 3 【规律小结】)已知三角函数值求角， 一定要注意角的范围 (②)求解三角函数有关的问题，有时构造等式，用方程的思想解决更简单、实用. 【规律方法总结】 1.和、差、倍角公式之间的关系 两角差的余弦公式是本章所有公式的基础，其他公式均是在C。-B公式的基础上借助角的代 换和诱导公式推导出来的， Ca-B1以-mB→Ca+AB=a→Ca；Ca-B 以a代a Se010e)Sz: S(a+B) 以-BRB→Sa-B刷： Se)与Ce+9两边相除，并先化切，得Ta+AB。→Ta: Ta+用令B→Ia-B: 2.求值题常见类型 ()“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与 特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，利用公式转化为特殊角并且消除非 特殊角的三角函数而得解。 ②“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在 于“变角”，使其角相同或具有某种关系 (3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子 表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角. 例5 5 sin0+cos0= 已知是第三象限的角，且 9,那么sm20的值 为(A) 423 B、 2W2 3 3 c 0、2 例6 1-tan0 =1 an20+4tan0+元 已知2+tan0 则 答案：0 书山有路勤为径‘ 人一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 例 cosa-sina tan B= 已 知、B均为锐角，且 cosa+sina 则 tan(a+B) 例⑧ 2sin (1)化简 -x+6cos 4 (sin a +cosa-1)(sina-cosa +1) (2) sin 2a 考点分析：三角函数式的化简的要求 ()能求出值的应求出值： (②)尽量使三角函数种数最少： 3)尽量使项数最少： (4尽量使分母不含三角函数： ()尽量使被开方数不含三角函数 【思路点拨】)中可以直接利用两角和的公式，（②中利用二倍角公式把“1”消去，也可 利用平方差公式展开. 獬)(1)原式=2√2 -j号m任-小}-2asm任+ 即原式=22sin 2sin cos 2sin cos +2sin2 sin cos-sin a cos -+sin (2)原式 2 2 2 2 2 2 2 2 4sin -cos- -cosa coscosa sin a 2 tan 2 cos 例9 3π 110 <ou<πtana+ 已知4 tand 3 5sin2a +8sin a cos +11cos20-8 2 求 、N2sima-2 的值， 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 。一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 考点分析：已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： )先化简所求式子； (2观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）： (3将已知条件代入所求式子，化简求值. 【思路点拨】化简已知条件→化简所求式子，用已知表示所求→代入已知求解→结论. 解因为tano+ 1=-10,所以3tan2a+10ana+3=0, tana 3 解得ma:-3或ana=-,又因为3沉<a<元，所以ana=-} 3 3 5sinsim coscc)+4sinac)-8 由 2 2 2 2 、s2 2 √2cosa 8sina+6cosa 8tana+6 52 -2V√2cosa -2W2 6 【注】 在判断tana的值时，错误判断为ana=-3,其原因是不能 正确利用正切函数的单调性. 例10 在△ABC中，A、B、C为第三个内角， f(B)=4cos Bsin2 B+3cos 2B-2cos B (1)若B=2,求角B; (I)若fB-m>2恒成立，求实数m的取值范围 【忠师级心D)E年双用的双时形八，（阳白」知阻不用；（个列mD时阻域 求解. π 1-cos +B 解1(I)fB)=4cosB 2 +3 cos 2B-2cos B 2 2 cos B(1+sin B)+3 cos 2B-2 cos B sin 2B+3 cos 2B=2 sin 2B+ 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径· 。一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 医为fB=2,则2sm2B+写=2，又Be0,,所以28+号-子，则B=及 32 12 (I)由八-m>2恒成立，即2sm2B+到 >2+m恒成立， 因为Be(0,π)，所以2si 28+写到22小，所以2+a>-2.甲a<-4 综上m的取值范围为(-o,-4). 【注】(I)中不注意B为三角形内角错写成为B=2kπ+匹(k∈Z)或者把fB)写为 12 2sin2 B+ 例 已知sin(2a+B=3sinB,设tana=x,tanB=y,记y=fx). (1)求x)的解析表达式； ()若角α是一个三角形的最小内角，试求函数)的值域： 故sina+β)cosa=2cosa+β)sina,所以tana+阝)=2tan, 于是 tan a+tan B 1-tan a tanβ 2ma,号=2，所以y+21+22 1-y (Ⅱ)因为角a是一个三角形的最小内角，所以0<a≤匹，则0<x≤匹 段827花则g2x特2222，收当9 2 时取等， 2 故函数fx)的值域为 4 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟