第4讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 讲义-2026届高三数学一轮复习

第 4 讲 函数的图象及应用 【知识点梳理】【最新2026年版】 一、函数的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相 二、用五点法画()一个周期内的简图 用五点法画()一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： 思考？ 在上表的三行中，找五个点时，首先确定哪一行的数据？ 【思考.提示】第一行，即先使，，，，， 然后求出对应的的值. 三、由函数的图象通过变换得到()的图象的两种方法 (1)两种变换的区别 ①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是单位长度． (2)变换的注意点 无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“”的变化．典型例题 把函数的图像向左平移个单位，所得图像的函数的解析式为（ ） 答案： 例1 例2 将函数的图像向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式为（ ） 答案： 例3 若函数的图象关于轴对称，则值是 ． 答案： 函数(、、为常数，，)在闭区间上的图象如图所示，则 . 答案： 例4 四、如何画“五点描图法”？（以正余弦型为例） （1）确定三角函数的最小正周期（）； （2）求出五点描图法第一点的横坐标的取值； （3）根据第一点与第五点相差一个周期，即，在根据第三点为第一点与的等差中项，即，同理求出第二点与第四点. 【注】为何这样解决呢？一般情况下最小正周期取值为或，加减一个周期，计算量相对于令，比解决五个方程简单点,但必须判断与的符号是否同号. 五、关于“”取值范围等综合题型的解题思路与方法 （1）大致确定函数或的五点描图法第一点的横坐标的符号 ⓵若第一点的横坐标的符号为负，再确定第二点的横坐标的符号； ⓶若第一点的横坐标的符号为正，再确定左边的波谷横坐标的符号. 【注】不要忘记了判断与的符号是否同号，正余弦型函数的五点描图法的第三点的横坐标恒正. （2）判断条件中所给的区间长度与周期的大小关系（大前提）； （3）判断条件中所给的区间落在五点描图法图像的“哪个”位置； （4）必须判断区间的端点值是否取，区间的端点值是否取决定“”的取值范围的端点值是否取. 六、图像变换的解题思路（一般考查横坐标的图像变换，纵坐标的图像变换简单） 大前提： 变换前后的“”不变 变换前后统一为相同的函数名 变换前后的“”的符号不变 （1）变换前后统一函数名； 【注】或 （2）变换前后的关系满足逆向关系 即向右平移（）个单位得到，可得向左平移（）个单位得到，或横坐标伸长为原来（）倍得到，可得横坐标缩小为原来的（）倍得到； （3）初相平移或左右平移中的平移量一般表示最小平移量； 【注】在正余弦型函数中，向左与向右的最小平移量之和为一个最小正周期. （4） 初相平移或左右平移的解决方法 （5）伸缩变换 （6）若平移后得到的函数图像与原函数的图像重合，则平移量为最小正周期的整数倍.例5 已知函数，. （Ⅰ）作出函数的简图； （Ⅱ）写出函数的振幅、周期、初相、最值. 考点分析：用“五点描图法”作正、余弦型函数的图像要抓住四点：（1）化为正弦型函数或余弦型函数；（2）周期； （3） 振幅最大值和最小值；（4）作出一个周期的五个特殊点. 【思路点拨】转化为一个角的三角函数列表描点连线. [解]由， 列表： 描点画图，如图： 把之间的图像向左，右扩展，即可得到它的简图. （Ⅱ）振幅为2，周期为，初相是，最大值为2，最小值为-2.例6 如何由得到. 考点分析：(1)平移变换 ⓵沿轴平移，按“左加右减”法则；⓶沿轴平移，按“上加下减”法则． (2)伸缩变换 ⓵沿轴伸缩时，横坐标伸长（）或缩短（）为原来的倍（纵坐标不变） ⓶沿轴伸缩时，纵坐标伸长（）或缩短为原来的（横坐标不变）. 【注】在实际画图象时，我们一般用“五点作图法”，而不使用图象变换法． 【思路点拨】可先考虑如何由得到的图像，再逆向思维把过程一一倒过来. [解]法1：纵坐标伸缩横坐标伸缩横坐标平移 将的图像上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到的图像；再把图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到；再把的图像向右平移个单位，即得到的图像. 法2：纵坐标伸缩横坐标平移横坐标伸缩 将的图像上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到的图像；再把的图像向右平移个单位，得到的图像.再把的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，即得到. 【思维总结】用法二时易出错，语言叙述不够眼睛，图像变换有两种方式： （1）先平移先伸缩，（2）先伸缩后平移.要注意两种变换下的平移量的大小不同，对于后者可利用来确定平移的单位.例7 已知函数（，）的图像的一部分如图所示： （Ⅰ）求的表达式； （Ⅱ）试写出的对称轴方程． 考点分析：确定的解析式的步骤： (1)求，，确定函数的最大值和最小值， 则，； （2）求，确定函数的周期，则； （3）求，常用方法有： ⓵代入法：把图像上的一个已知点代入（此时，，已知）或代入图像与直线的交点求解.（此时要注意焦点在上升区间还是下降区间上，即判断所找的是五点描图法的第几点） ⓶最值法：代入取得最值点的坐标求，为何不考虑零点法呢？原因在于零点法可能求出的不是准确的值. 【思路点拨】（Ⅰ）函数的最大值为3，最小值为-1，周期，从而，，可求，再代入，可求值. （Ⅱ）根据的对称轴方程得到所求的对称轴方程. [解]（Ⅰ）由图像可得，函数的最大值，最小值， 则，，又，所以， 法1：由图像可得，当时为五点描图法的第二点， 故此时，解得符合题意， 法2：将，代入可得，，所以（）， 即，，又，则, 综上，. （Ⅱ）由（），解得，， 所以函数的对称轴方程为，. 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为，圆上最低点与地面距离为,秒转动一圈，图中与地面垂直，以为始边，逆时针转动角到，设点与地面距离是. （Ⅰ）求与间的函数关系式； （Ⅱ）设从开始转动，经过秒后到达，求与之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？ （Ⅰ）求的表达式； （Ⅱ）试写出的对称轴方程． 例8 考点分析：将实际问题转化为三角函数有关问题应注意以下几点： (1)审题：把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”； (2)描点画图，建立数学模型； (3)求出三角函数解析式； (4)利用函数的性质进行解题． 【思路点拨】　(1)以圆心为原点建立平面直角坐标系，利用三角函数的定义求出点的纵坐标，则与之间的关系可求．(2)把用表示出来代入与的函数关系式即可． [解]（Ⅰ）以圆心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以为始边，为终边的角为，故点的坐标为， 所以. （Ⅱ）点在圆上转动的角速度是，故秒后转过的弧度数为， 所以，. 到达最高点时，，由，得， 所以，故缆车到达最高点时，用的最少时间为30秒. 【规律小结】　在解答过程中易出现求得的坐标为的错误，导致错误的原因是没有理解三角函数的定义． 【规律方法总结】 1.三角函数的对称中心与对称轴方程 （1）正弦函数的对称中心是，对称轴方程为，； （2）余弦函数的对称中心是，对称轴方程为，； （3）正切函数的对称中心是，. 2．三角函数的图象变换 在图象变换时，提倡先平移后压缩(伸展)，但先压缩(伸展)后平移也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握．无论是哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．例如：函数的图像向右平移个单位，得到的图像表达式应是，而不是； 再如，将的图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到的函数图像表达式应是，而不是. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　 　) (2)的图象是由的图象向右平移个单位得到的．(　 　) (3)由图象求解析式时，振幅的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．(　 ) (4)函数的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( 　) (5)函数的最小正周期为，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　 　) 考点一 利用图像解决函数解析式 【典例】已知函数(，)，其部分图象如图所示，则函数的解析式为(　　) （1）函数的部分图象如图所示，则的值为(　　) 　 　 第（1）题 第（2）题 （2）函数(，) 的部分图象如图所示， 则 . （3）函数的部分图象可能是(　　) （4）已知函数（），若存在，，， 且，使得，则的值为（ ） （5）已知直线与函数（，）的图像恰有两个切点，设满足条件的所有取值中最大的两个值分别为和，且，则（ ） [解]不失一般性，只需考虑的情形，如图： 要使得直线与恰好切于两点，则需要使得直线过函数的对称中心点，且两切点关于对称中心对称， 设与切于，，对应斜率为， 与切于，，对应斜率为，且， 由对称性可得：，，由， 则，则， ，令（）， 则，则在上单增，由， 时，，故，由，函数在上单增，则，故， 故， 由，则，， 则，故. （6）函数（，）的部分图像如图所示， 若，且，则 ； . [解]由，且，则， 由图象可知，点为五点描图法的第一点，故，解得， 故，由，解得五点描图法第三点横坐标， 由，故， 由，， 故， 解得， 故，则. （7）已知函数（，），直线与的图像在轴右侧的横坐标依次为，，，...，，，...，（其中），若，则（ ） [解]设函数的最小正周期为， 由直线与的图像在轴右侧交点的横坐标依次为，，，...，，，...，（其中），易知，因为，即， 故，，如图，不失一般性， 假设的五点描图法的第一点在原点，即，设与之间的最大值点为，有，又，则， 故，故，，解得. （8）已知函数（）在区间上有两个极值点，则的范围为（ ） [解]由已知，则， 即，令（）， 作出的五点描图法，如图： 要使在区间上有两个极值点，只需在有两个变号零点， 即直线与函数在区间的图像有两个不同的交点，则， 得，且，则，选：. （9）已知函数在一个周期内的图象如图所示．若方程在区间上有两个不同的实数，则的值为 . （第9题） （第10题） （10）函数的部分图象如图所示，且，对不同的，若，有，则(　　) 在上是减函数 在上是增函数 在上是减函数 在上是增函数 （11）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的图象，若，且，则的最大值为（ ） （12）若函数的图象关于直线对称，且当，时，，则等于（ ） （13）已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，且时，，则（ ） （14）已知函数在区间上有且仅有2个最小值点，下列判断：①在上有2个最大值点；②在上最少3个零点，最多4个零点；③；④在上单调递减.其中所有正确判断的序号是（ ） ④ ③④ ②③④ ①②③ （15） 已知函数在上的图象有且仅有3个最高点.下面四个结论：①在上的图象有且仅有3个最低点； ②在至多有7个零点；③在单调递增； ④的取值范围是；正确的结论是（ ） ①④ ②③ ②④ ②③④ 考点二 图像变换 【典例】已知曲线，，则下面结论正确的是(　　) 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 （1）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为(　　) 　 （2）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　) 在区间上单调递增 在区间上单调递减 在区间上单调递增 在区间上单调递减 （3）设函数 ()，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于(　　) 考点三 三角函数方程与函数图像问题 【典例1】已知三个内角的对边依次成等比数列，且， ，点为线段（含端点）上的动点，若满足的点恰好有2个，则实数的取值范围为 . [解]由题意，展开得， 由依次成等比数列，则，所以， 所以， 解得，所以，则，所以， 又，则为边长为2的等边三角形，设的中点为， 以为原点，分别为轴建立直角坐标系，则，， 设（），则， 由题意该关于的方程在有两解，所以， 解得或，所以实数的取值范围为. 【典例2】已知，对于任意的，都存在， 使得成立，则下列选项中，可能的值是（ ） [解]由题意，，， 即，即， 故，因为，所以， 即，若对于任意的，都存在， 使得成立，则，因为， 则， 对于，当时，，的取值不符合条件，故错误； 对于，当时，，的取值不符合条件，故错误； 对于，当时，，的取值符合条件，故正确； 对于，当时，，的取值不符合条件，故错误； 故选：. 【典例3】函数（）和函数的图像相交于两点，为坐标原点，则的面积为（ ） [解]如图，由，得，又， 解得（舍），则或，故，， 则，故选. 【典例4】已知函数，其中，），则（ ） 若存在最小正周期，且，则 若，则存在最小正周期，且 若，，则的所有零点之和为2 若，，则在上恰有2个极值点 [解]由两角和的公式可得： ， 令，， 则， 对于，若存在最小正周期，且，则与不全为0， 此时，则最小正周期， 则，故正确； 对于，当时，若取，，此时，故无最小正周期， 故错误； 对于，当，时，，则， 由，得，令函数，，可得两函数均关于点对称，当时，，则， 由图像可得，交于三个不同的点（含对称中心），,则所有零点之和为3， 故错误； 对于，当，，，此时， 则，其中且， 由，得，当时， 故或，即方程在时有两个变号零点， 即函数在上恰有2个极值点，故正确.故选：. 【典例5：多零点组合问题】已知函数，（），若与图像的公共点个数为，且这些公共点的横坐标从小到大依次为，则下列说法正确的有（ ） 若，则 若，则 若，则 若，则 [解]对于，当时，时，，直线为函数在处的切线，可得，故错误； 对于，当时，与图像相切，故，从而， 所以，故正确； 对于，当时，，，则又图像关于对称，结合图像由，则，故正确； 对于，当时，，与在轴右侧的前1012个周期中，每个周期均有2个公共点，共有2024个公共点，故正确.故选：. 【典例6】已知关于的方程在上有两个不同的实数根，则的取值范围是 ． （1）设常数使方程在闭区间上恰有三个解,则 ． （2）已知在上有两个不同的零点，则的取值范围 是 ． （3）若方程有实数解，求的取值范围 ． （4）设函数(，)的图象关于直线对称，它的周期是，则下列说法正确的是 ．(填序号) ①的图象过点；②在上是减函数；③的一个对称中心是；④将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象． （5） 如图，函数(其中，，)的图象与坐标轴的三个交点满足，，为线段的中点，则的值 为 ． 第（5）题 第（6）题 （6） 将函数的图象向左平移个单位，得函数的图象(如图) ，点分别是函数图象上轴两侧相邻的最高点和最低点，设，则的值为（ ） （7）已知.给出下列判断： ①若，，且，则； ②若在上恰有个零点，则的取值范围为； ③存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称； ④若在上单调递增，则的取值范围为. 其中，判断正确的个数为（ ） （8）设函数，已知在有且仅有个零点．下述四个结论： ①在有且仅有个极大值点; ②在有且仅有个极小值点; ③在单调递增; ④的取值范围是. 其中所有正确结论的编号是　　 ①④ ②③ ①②③ ①③④ （9）已知，函数在区间内没有最值，给出下列四个结论：①在上单调递增；②; ③在上没有零点；④在上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） ②④ ①③ ②③ ①②④ （10）设，其中，，若对一切恒成立，则①；②；③既不是奇函数，也不是偶函数； ④的单调递增区间是；⑤存在经过点的直线与函数的图像不相交.其中所有正确结论的编号是 . （11）已知函数的图象与直线恰有四个公共点，其中，则（ ） 考点四 绝对值三角型函数的图像性质 【典例1】已知函数，则（ ） 是一个最小正周期为的周期函数 是一个偶函数 在区间上单调递增 的最小值为，最大值为 [解]对于，由已知的最小正周期，的最小正周期， 可得的最小正周期，故错误；（周期性的四则运算满足基本法则，不是全部满足）， 对于，由，则是偶函数， 故正确； 对于，当时，，则， 令，且，,可得在上单增，在上单减，由为偶函数，则在上单增，在上单减，可得上单增，则在区间上单调递增，故正确； 对于，由可得，在上单增，在上单减， 则， ，则的值域为，故错误.答案：. 【典例2】已知函数，下列结论中正确的是（ ） 的最小值正周期为 的图像关于点中心对称 在上单调递增 的值域为 [解]对于，， 故错误； 对于，， 且，所以的图像关于点中心对称，故正确； 对于，由，则的一个周期为， 当时，，则在为常数函数，非单调， 当时，，可得在上单增，故错误； 对于，当时，， 当时，，可得的值域为，故正确.故选：. 【典例3】已知函数，则（ ） 的最小正周期为 为图像的一条对称轴 的最小值为1 在上单调递增 [解]对于，因为， 则， 故是的周期，故错误； 对于， 所以为图像的一条对称轴，故正确； 对于，令，则，则在上单增，在上大年，由时，取得最小值1，故正确； 对于，函数由和复合而成， 当时，函数在上单减，且， 函数在上单减，故在上单增，故正确.故选：. 【典例4】已知函数，则下列说法正确的是（ ） 函数的最小正周期为 函数在上单调递减 若，则的值可以是 函数有4个零点 [解]依题意，（），如图： 可判断出函数的最小正周期为，且在上单增，故正确； 取，，可慢使得，故正确； 由于与有5个交点，故函数有5个零点，故错误； 故选：. （1）已知函数，以下结论正确的是（ ） 是的一个周期 函数在上单调递减 函数的值域为 在内有6个零点 （2）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ） 是的一个周期 函数的值域为 函数在上单调递减 函数在内有4个零点 （3）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是 . 考点五 复合或复杂三角函数类型问题 【典例1】对任意正实数，记函数在上的最小值为， 函数在上的最大值为，若，求的所有可能值. [解]由于为的最小值，在上单增，所以， 由于为的最大值，在上单增，所以， 当时，，解得，即， 当时，，解得， 因此的所有可能值.为或. 【典例2】已知函数，则下列说法正确的是（ ） 函数的最小值正周期是 函数的递增区间是， 函数的对称中心， 当，函数的值域是 [解]对于，由函数最小值正周期，根据复合函数的性质可得， 函数的最小值正周期是，故正确； 对于，由题意可得，，则，解得，， 函数的递增区间，，又函数单增， 由复合函数的单调性的性质可得，函数的递增区间是，， 递增区间为，，故正确； 对于，假设正确，令，得对称中心为， 由，故不为的对称中心，故错误； 对于，当时，， 则函数，故正确.故选：. 【典例3】已知函数，则（ ） 的图象关于点对称 为的一个周期 的值域为 在上单调递减 [解]由， 对于，由，所以的图象关于点对称，故正确； 对于，，故不是的一个周期， 故错误； 对于，设，则表示点与点连线的斜率， 又点在圆上，利用数形结合的方法易得的取值范围为 ，故的值域为，故正确； 对于，，令，得，所以（），故在上单调递减，故正确.综上：. （1）已知函数（），记的最小值为，下列说法正确的是（ ） 对任意的正整数，的图像都关于直线对称 设，为的前项和，则 （2）已知是的导函数，（），则下列结论正确的是（ ） 将图像上的所有的点向右平移个单位长度可得的图像 与的图像关于直线对称 与有相同的值域 当时，在区间上单调递增，则 A组　考点能力演练【最新2026年版】 1.函数（）的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是(　　) 2.函数的部分图象如图所示，给出以下结论： ①的最小正周期为2； ②图象的一条对称轴为直线； ③在上是减函数； ④的最大值为.则正确结论的个数为(　　) 3.函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为(　　) 4.函数的图象大致是(　　) 5.已知曲线相邻的两条对称轴之间的距离为，且曲线关于点中心对称，若，则等于(　　) 6.函数的图象向左平移个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数在上的最小值为(　　) 7.已知函数()，在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为(　　) 8.将函数（）的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，若，的图象都经过点，则的值可以是(　　) 9.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，，有，则等于(　　) 10.已知函数图象与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为，则（ ） 11.若对恒成立,则实数的取值范围是（ ） 12.若函数的图像关于直线,则的最大值为（ ） 或 来 13.函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是 函数的最小正周期是 函数的图象关于点成中心对称 函数在单调递增 函数的图象向右平移后关于原点成中心对称 14.己知函数的图像关于点中心对称，关于直线对称（直线是与点距离最近的一条对称轴），过函数的图像上的任意一点作点、直线的对称点分别为，且，当时，，记函数的导函数为，则当时（ ）. 15.已知函数.项数为的等差数列满足，且公差.若，则当 时，. 16.若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是 ． 17.若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是 ． 18.已知函数，若存在满足，且，则的最小值为 . 冲刺清北数学 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 学科网（北京）股份有限公司 B组　高考题型专练【最新2026年版】 1.若函数为常数，）的图象关于直线对称，则函数的图象（　　） 关于直线对称 关于直线对称 关于点对称 关于点对称 2.关于函数有下述四个结论： ①是偶函数；②的最大值为2； ③在区间上有3个零点；④在区间上单调递增． 其中正确结论的个数为（ ） 3.已知函数，给出下列四个命题： ①的最小正周期为；②的图象关于直线对称 ③在区间上单调递增；④的值域为 ⑤在区间上有6个零点.其中所有正确的编号是（ ） ②④ ①④⑤ ③④ ②③⑤ 4.设函数，已知在有且仅有5个零点.给出下述三个结论： ①在有且仅有2个零点；②在单调递增； ③的取值范围是.其中所有正确结论的编号是（ ） ①② ①③ ②③ ①②③ 5.已知函数在上的图象有且仅有3个最高点.下面四个结论： ①在上的图象有且仅有3个最低点；②在至多有7个零点； ③在单调递增；④的取值范围是； 正确的结论是（ ） ①④ ②③ ②④ ②③④ 6.已知函数在上至少存在两个不同的，满足，且函数在上具有单调性，和分别为函数图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（　　） 函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为 函数图象关于直线对称 函数图象关于点对称 函数在上是单调递减函数 7.已知函数，给出下列四个说法： ①；②函数的周期为；③在区间上单调递增；④的图象关于点中心对称.其中正确说法的序号是　　 ②③ ②③ ①④ ①③④ 8. 将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是（ ） 9.已知函数.若函数 在区间内没有零点 ， 则的取值范围是（ ） 10.已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，关于有下述四个结论： ①的一个周期是； ②是非奇非偶函数； ③在单调递减； ④的最大值大于．其中所有正确结论的编号是（ ） ①②④ ②④ ①③ ①② 11.已知函数，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴.若是的一个单调区间，则的最大值为（ ） 12.已知函数,,则下列说法中错误的是（ ） 有个零点 最小值为 在区间单调递减 的图象关于轴对称 13.已知函对任意满足，，且在上单调递增，则的最大值为（ ） 14. 已知函数是上的增函数，且满足，则的值组成的集合为（ ） 15.已知函数．若为奇函数，为偶函数，且在至多有个实根，则的最大值为（ ） 16. 已知同时满足下列三个条件：①；②是奇函数；③.若在上没有最小值，则实数的取值范围是（ ） 17.函数，，，且在上单调，则下列说法正确的是( ) 函数在上单调递增 函数的图象关于点对称 18.已知函数，，若函数的所有零点依次记为，且，则（ ） 第四讲 函数的图象及应用 考点一 利用图像解决函数解析式 【典例】 跟踪练习1 （1） （2） （3） （9）或 （10） （11） （12） （13） （14） （15） 考点二 图像变换 【典例】 跟踪练习2 （1） （2） （3） 考点三 三角函数方程与函数图像问题 【典例6】 跟踪练习3 （1） （2） （3） （4）①③ （5） （6） （7） （8） （9） （10）①③ （11） 考点四 绝对值三角型函数的图像性质 跟踪练习四 （1）已知函数，以下结论正确的是（ ） 是的一个周期 函数在上单调递减 函数的值域为 在内有6个零点 [解]由已知可得， 对于，函数的最小值正周期为，函数的最小值正周期为， 则函数的最小值正周期为，故错误； 对于，当时，，若函数在上单调递减， 则，只需在恒成立， 但是当时，，故错误； 对于，当时，， 其中，，由，则， 可得，，故； 当时，， 其中，，由，则， 可得，，故； 综上，函数的值域为 ，故正确； 对于，作出函数与在的图像可得，其交点个数为4个，故错误.故选：. （2）已知函数，则下列说法正确的是（ ） 是的一个周期 函数的值域为 函数在上单调递减 函数在内有4个零点 [解]对于，由，则不是的一个周期， 故错误； 对于，由， 可得为偶函数， 当时，， 当时，， 当时，， 则当时，函数的值域为，由偶函数的性质可得， 则函数的值域为，故正确； 对于，当时，， 可得在上单减，在上单增，故： ， 故错误； 对于，分别作出函数与函数在的图像可得，有4个交点，故函数在内有4个零点，故正确. 故选：. （3）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是 . [解]由已知可得 ， 令（），所以（）， 所以只需（），得（），则（），解得，所以,即的取值范围是. 考点五 复合或复杂三角函数类型 跟踪练习五 （1）已知函数（），记的最小值为，下列说法正确的是（ ） 对任意的正整数，的图像都关于直线对称 设，为的前项和，则 [解]对于，，故正确； 对于，当时，，当时，设，则， 令，则，， 若时，，若时，，则在上单减，在上单增，则，即，则，故错误； 对于，由，得，故正确； 对于，可得， 由， 则，故，即， 故， 即，故正确.故选：. （2）已知是的导函数，（），则下列结论正确的是（ ） 将图像上的所有的点向右平移个单位长度可得的图像 与的图像关于直线对称 与有相同的值域 当时，在区间上单调递增，则 [解]对于，，向右平移个单位长度， ，故正确； 对于，设为图像上任一点，则，点关于的对称点为， ，故错误； 对于，， ，故正确； 对于，，则， 要使在上单增，则，且，解得，故错误. 故选：. A组　考点能力演练【最新2026年版】 B组　高考题型专练【最新2026年版】 $