第四章 7 第五节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象及三角函数的简单应用（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学讲义围绕函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数应用，覆盖高考核心考点。按“概念-作图-变换-应用”逻辑架构知识，通过课标研读、自主检测、考点分层讲解及真题训练，系统帮助学生突破图象变换、解析式确定等难点，体现复习针对性。 资料突出核心素养导向，用五点法作图培养几何直观（数学眼光），通过变换对比训练逻辑推理（数学思维），实际应用问题强化模型意识（数学语言）。设计“平移与伸缩”对比分析突破易错点，结合真题与教材链接保障高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控节奏提供指导。

第五节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象及三角函数的简单应用 【课标研读】　1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义.　2.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.　3.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用五点(画图)法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点(画图)法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： ωx＋φ 0 π 2π x y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径 [微提醒]　两种变换的区别：(1)先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是｜φ｜个单位长度；(2)先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度. 【常用结论】 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定. 【自主检测】 1.(多选题)下列说法中正确的是(　　) A.由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的 B.利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致 C.函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 D.将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin 答案：AC 2. (链接北师必修二P52B组T1，改编)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π)的部分图象如图所示，则该函数的解析式为(　　) A.y＝4sin B.y＝4sin C.y＝4sin D.y＝4sin 答案：A 解析：显然A＝4，因为＝＋＝，所以T＝π，所以ω＝＝＝2，由f＝4，得4sin＝4，所以－＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z.因为｜φ｜＜π，所以φ＝，所以f(x)＝4sin.故选A. 学生用书⬇第104页 3.(链接北师必修二P48T3，改编)为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(　　) A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 答案：A 解析：y＝2sin＝2sin，所以可以将y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度.故选A. 4.(链接北师必修二P75C组T2，改编)某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是　　　　m. 答案：1 解析：当t＝12时，f(12)＝2sin＝2sin＝1，即12点时潮水的高度是1 m. 考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换自主练透 1.(2025·广西北海模拟)为了得到函数y＝cos的图象，只需将正弦函数y＝sin x图象上各点(　　) A.向右平移－个单位长度，纵坐标不变 B.向左平移－个单位长度，纵坐标不变 C.向左平移个单位长度，纵坐标不变 D.向右平移个单位长度，纵坐标不变 答案：B 解析：把y＝sin x＝cos－个单位长度，得到函数y＝cos的图象.故选B. 2.(多选题)(2025·河北石家庄模拟)要得到函数y＝sin的图象，可将函数y＝sin x的图象(　　) A.向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍 B.向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 C.纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得图象上所有点向左平移个单位长度 D.纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图象上所有点向左平移个单位长度 答案：BC 解析：对于A，所得解析式为y＝sin，故A错误；对于B，所得解析式为y＝sin，故B正确；对于C，所得解析式为y＝sin＝sin，故C正确；对于D，所得解析式为y＝sin＝sin，故D错误.故选BC. 3.(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝(　　) A.sin B.sin C.sin D.sin 答案：B 解析：依题意，将y＝sin个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sin的图象y＝sin的图象f(x)＝sin的图象.故选B. 4.(2025·广东茂名期中)若函数f(x)＝sin的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，其图象与函数g(x)＝cos 2x的图象重合，则m的最小正数值为　　　　. 答案： 解析：因为g(x)＝cos 2x＝sin，将函数f(x)＝sin的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，得到y＝sin＝sin的图象，依题意得2m＋＝＋2kπ，k∈N，所以m＝＋kπ，k∈N，所以m的最小正数值为. 1.由y＝sin ωx的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移(ω＞0，φ＞0)个单位长度而非φ个单位长度. 2.如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值. 学生用书⬇第105页 考点二　由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式师生共研 (1)(2025·北京海淀模拟)函数f(x)＝2cos2(ωx＋φ)＋b的部分图象如图所示，则以下说法正确的是(　　) A.ω＝，b＝1 B.ω＝，b＝－1 C.ω＝π，b＝1 D.ω＝π，b＝－1 (2) (2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若｜AB｜＝，则f(π)＝　　　　. 答案：(1)B　(2)－ 解析：(1)因为f(x)＝2cos2(ωx＋φ)＋b＝cos(2ωx＋2φ)＋b＋1，由函数图象可知：b＋1＝0⇒b＝－1；又＝－＝1，所以T＝2，又T＝⇒ω＝.故选B. (2)设A，B，由｜AB｜＝可得x2－x1＝，由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝π－＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4.因为f＝sin＝0，所以＋φ＝kπ，即φ＝－＋kπ，k∈Z.所以f(x)＝sin＝sin，所以f(x)＝sin或f(x)＝－sin，又因为f(0)＜0，所以f(x)＝sin，所以f(π)＝sin＝－. 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 1.求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. 2.求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. 3.求φ.把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入. 对点练1.(1)(多选题)(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　) A.sin B.sin C.cos D.cos (2)(2025·重庆模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若f(θ)＝，则f＝(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：(1)BC　(2)D 解析：(1)由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，所以＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝sin(2x＋φ)，将代入，得sin＝0，结合图象得2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，令k＝0，则φ＝，y＝sin.由于y＝sin＝sin＝sin，故B正确；y＝sin＝cos＝cos，故C正确；对于A，当x＝时，sin＝1≠0，故A错误；对于D，当x＝＝时，cos＝1≠－1，故D错误.当ω＝－2时，y＝sin(－2x＋φ)，将代入，得sin＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，令k＝0，则φ＝，y＝sin，与ω＝2时情况相同.故选BC. (2)由图可知A＝1，f＝sin φ＝，由－＜φ＜可知φ＝，故f(x)＝sin，又由图知sin＝0，故ω＋＝2kπ＋π，k∈Z，ω＝k＋，k∈Z①，由图－0＜⇒T＝＞⇒ω＜②，又ω＞0，结合①②可得ω＝，故f(x)＝sin，所以f＝sin＝.故f＝sin＝cos＝1－2sin2＝1－＝.故选D. 考点三　函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的综合应用多维探究 角度1　图象与性质的综合 (多选题)(2025·湖北武汉模拟)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A.A＝2 B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)在内有3个极值点 D.f(x)在区间上的最大值为 答案：ABD 解析：对于A、B，根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象知，A＝2，T＝4×＝π，所以ω＝＝2，故A、B正确；对于C，由五点(画图)法知，×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，由于0＜φ＜，所以φ＝，所以f(x)＝2sin.令2x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋kπ，k∈Z，k＝－2时，x＝－，k＝－1时，x＝－，当k＝0时，x＝，当k＝1时，x＝，当k＝2时，x＝，故f(x)在内有2个极值点，分别为x＝，x＝，故C错误；对于D，因为x∈，可得2x＋∈，故当2x＋＝，此时f(x)取最大值2sin＝2sin＝，故D正确.故选ABD. 角度2　三角函数的零点(方程的根)的问题 已知函数f(x)＝2sin，且关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，则实数t的取值范围是　　　　　　　　. 答案：[－1，1)∪{2} 解析：因为x∈， 所以2x－∈， 所以2sin∈[－1，2]且当x＝时，f＝1，所以其函数图象如图所示.因为关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，即y＝f(x)与y＝t只有一个交点，结合函数图象可知－1≤t＜1或t＝2. 学生用书⬇第106页 角度3　三角函数的简单应用 (多选题)(2025·河南新乡模拟)如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t s时相对于平衡位置的高度h(单位： cm)由关系式h＝Asin，t∈确定，其中A＞0，ω＞0，φ∈.小球从最高点出发，经过2 s后，第一次回到最高点，则(　　) A.φ＝ B.ω＝π C.t＝3.75 s与t＝10 s时的相对于平衡位置的高度h之比为 D.t＝3.75 s与t＝10 s时的相对于平衡位置的高度h之比为 答案：BC 解析：对于A、B，由题可知小球运动的周期T＝2 s，又ω＞0，所以＝2，解得ω＝π，当t＝0 s时，Asin φ＝A，又φ∈，所以φ＝，故A错误，B正确；对于C、D，则h＝Asin＝Acos πt，所以t＝3.75 s与t＝10 s时的相对于平衡位置的高度之比为＝＝＝，故C正确，D错误.故选BC. 1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题. 2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数. 3.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题. 对点练2.(1)(多选题)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)，将y＝f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象.若g(x)为奇函数，且最小正周期为π，则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于点中心对称 B.函数f(x)在区间上单调递减 C.不等式g(x)≥的解集为(k∈Z) D.方程f＝g(x)在(0，π)上有2个解 (2)(多选题)(2025·江苏常州期末)对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ(单位： ℃)与时间t(单位：h)近似地满足函数关系θ＝f(t)＝Asin ωt＋B，其中0≤t≤24.已知当天开始计时时的温度为25 ℃，第二天凌晨3：00时温度最低为19 ℃，则(　　) A.ω＝ B.当天下午3：00温度最高 C.温度为28 ℃是当天晚上7：00 D.从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于22 ℃ 答案：(1)ACD　(2)ABD 解析：(1)根据题意可得g(x)＝cos，因为g(x)的最小正周期为π，所以＝π，因为ω＞0，所以ω＝4，即g(x)＝cos，又g(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝π＋kπ，k∈Z，又－＜φ＜，所以当k＝－2时，φ＝－，所以g(x)＝cos＝－sin 2x， f(x)＝cos.对于A，当x＝时，f＝cos＝0，所以点是f(x)图象的 一个对称中心，故A正确；对于B，令2kπ≤4x－≤π＋2kπ，k∈Z，解得＋≤x≤＋，k∈Z，易知，k∈Z的子集，故B错误；对于C，g(x)≥，即－sin 2x≥，得sin 2x≤－，则－＋2kπ≤2x≤－＋2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，故C正确；对于D，在同一直角坐标系中分别画出y1＝f＝cos与y2＝g(x)＝－sin 2x在[0，π]上的图象，如图所示，通过图象可知，两函数图象在(0，π)上共有2个交点，故D正确.故选ACD. (2)t＝0时，θ＝25 ℃，所以B＝25 ℃，第二天凌晨3：00时温度最低为19 ℃，此时t＝18，所以故A正确；f(t)＝6sint＋25，令t＝即t＝6时f取最大值，t＝6对应下午3：00，故B正确；f＝28，t＝2或10，即当天上午11：00或晚上7：00，故C错误；14≤t≤20时，19≤f≤22，故D正确.故选ABD. [真题再现]　(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 答案：C 解析：因为函数y＝2sin的最小正周期T＝，所以函数y＝2sin在[0，2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数y＝2sin与y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示，由图可知，这两个图象共有6个交点.故选C. [教材呈现]　(北师必修二P48实例分析)研究函数y＝2sin的周期，并画出它的图象. 点评：本题与教材中实例分析非常类似，教材中通过函数f(x)＝sin x的图象的变换得到函数y＝2sin的图象，在同一坐标系中由两个函数的图象便可得到交点的个数，高考题是课本例题的改编，也是课本例题的升华. 学科网（北京）股份有限公司 $