第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式复习讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦同角三角函数基本关系及诱导公式两大高考核心考点，以倒数、商数、平方关系为基础，结合诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”的规律构建知识网络。通过要点整合、典例精讲、方法总结、分层练习的教学流程，帮助学生突破公式综合运用难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义创新采用“规律口诀+解题技巧”教学法，如通过“1的代换”“对偶式构造”培养学生数学思维，设置A组基础演练与B组高考题型专练落实数学语言表达能力。分层设计确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第 2 讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式 【重点难点】 重点：①掌握同角三角函数的关系公式． ②掌握，，，的诱导公式． 难点：诱导公式的规律性及综合运用． 【基础知识】【最新2026年版】 1．同角三角函数的基本关系 (1)倒数关系： (2)商数关系： ； (3)平方关系： 2.下列各角的终边与角的终边的关系 角 () 图示 与角终边的关系 相同 关于原点对称 关于轴对称 角 图示 与角终边的关系 关于轴对称 关于直线对称 3．三角函数的诱导公式 (1)诱导公式的内容 一 二 三 四 五 六 （） (2)诱导公式的规律（，） 诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“，”中的是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若是奇数，则正、余弦互变；若为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“，”中，将看成锐角时，，“，”的终边所在的象限，看的是原函数名在该象限的符号. 有人说()，你认为正确吗？ 【思考·提示】　不正确． 当()时， ； 当()时， . 思考？ 典型例题 已知，且是第四象限角，那么 的值是(　　) 例1 [解]选.由，得， 又是第四象限角，所以.例2 如果，且是第四象限角，那么 . [解]因为是第四象限角且， 则，于是.求值： . 例3 考点分析：此类问题是给角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数，要记住一些特殊角的三角函数值． 【思路点拨】任意负角的三角函数任意正角的三角函数~的三角函数锐角的三角函数. [解]原式 . 【名师点评】　熟记三角函数的诱导公式，利用诱导公式，把求任意角的三角函数，转化为求锐角的三角函数，一般都是特殊角． 已知，的值. 例4 [解]因为， 所以 .例5 已知在中，， （Ⅰ）求； （Ⅱ）判断是锐角三角形还是钝角三角形； （Ⅲ）求的值. 考点分析：1．六个诱导公式和同角三角函数间的关系是求值的基础． 2．已知一个角的三角函数值，求其他角的三角函数值时，要注意对角的化简，一般是把已知和所求同时化简，化为同一个角的三角函数，然后求值． 【思路点拨】可先把两边平方得出，然后借助于及三角函数符号法则可判断与的符号，从而进一步构造的方程，最后联立求解. [解]（Ⅰ）因为，则， 所以. （Ⅱ）由，且，可知，所以为钝角， 所以是钝角三角形. （Ⅲ）因为， 又，，所以，故， 可得，，故. 在中，若， ，求的三内角. 例6 [解]由已知可得，， 两式平方相加得，， 若，则， 此时均为钝角，不可能，所以， 故，，得，则. 【规律方法总结】 1.对于同角三角函数的基本关系，关键是灵活运用三角公式，要充分领会、、 它们之间的联系，注意公式的顺用、逆用机及变形用， 如，， 等，同时，对于平方关系，要注意角的范围和三角函数正、负号的选取. 2．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值． (1)诱导公式起着变名、变号、变角等作用，在三角有关问题(特别是化简、求值、证明)中常使用． (2)使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似（）的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负． 【常见结论】 同角三角函数的基本关系式的几种变形 （1）；； ;（，）. （2）；； （3）； . 【误区警示】 1．已知角的某一种三角函数值，求角的其余5种三角函数值时，如果应用平方关系，就要进行分类讨论，先确定角的终边所在的象限，再确定三角函数值的符号．要注意公式的合理选择和方法的灵活性． 2．在利用同角三角函数的基本关系化简、求值时，要注意用“是否是同角”来区分和选用公式． 3．在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取．应用公式时把角看成锐角，如果出现的形式时，常对值是奇数还是偶数进行分类讨论，以确定角所在的象限． 4．要熟记特殊角的三角函数值． 解题技巧 1．怎样计算任意角的三角函数值 计算任意角的三角函数值，主要是运用诱导公式化任意角三角函数为锐角三角函数，其一般步骤是： (1)负化正：当已知角为负角时，先利用的诱导公式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值； (2)正化主：当已知角不在区间时，可用的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间上的角的三角函数值； (3)主化锐：当已知角是到间的角时，可利用，的诱导公式把这个角的三角函数值化为到间的角的三角函数值(对于非特殊角用查表或用计算器求出结果)． 2．证明三角恒等式的常用方法 证明三角恒等式的主要思考方法有： (1)化繁为简，即从等式较繁的一边出发，利用三角公式及变形技巧，逐步变形到等式的另一边． (2)左右归一，当欲证式两边都比较复杂时，把两边分别变形化简，得到同一个式子． (3)转换命题，即把原命题转化为它的等价命题，简化证明过程． 3．“1”的代换 在求值、化简、证明时，常把数1表示为三角函数式或特殊角的三角函数值参与运算，使问题得以简化．常见的代换有： 等等． 4．三角函数求值中直角三角形的运用 先根据所给三角函数值，把角看成锐角构造相应的直角三角形．，求出该锐角的各三角函数值，再添上符号即可． ※5.同角三角函数关系的六边形法则 记忆：上弦中切下割，左正右余中1，倒数对角线、平方倒三角、乘积两边夹、商数依次除． 应用：寻找解题途径． 如已知 ①利用平方关系可求，进而求，. ②利用倒数关系可求，进而可求等． 考点一 同角三角函数的基本关系 【典例1】已知，则 . [解]由，则，即， 故，则 则. 【典例2】已知，，且，则的值为(　　) （1）已知，，化简 . （2） . （3）已知为锐角，且有，，则的值是(　　) （4）若，则 . 考点二 利用诱导公式化简与求值 【典例1】已知，则(　　) 【典例2】已知，则的值是 . 【典例3】已知（），则（    ） （1）若且，则(　　) （2）若是锐角的两个内角，则点在(　　) 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 考点三 正切已知或易求类型 【典例】已知，求下列各式的值： （1） ； （2） . 【变式】已知，则 . （1）,，则(　　) （2）设，那么(　　) 考点四 正切难求类型（对偶式构造） 【典例1】已知，，则（ ） 【典例2】若，且，则的关系为（ ） 已知，则 ； . 【总结】对偶式设法 考点五 利用方程的思想解决三角问题 【典例】已知，求下列各式的值． （Ⅰ）； （Ⅱ）. 冲刺清北数学 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 学科网（北京）股份有限公司 [解] （1）设，若，则 . （2）已知关于的方程的两根分别是和，，求： （Ⅰ）的值； （Ⅱ）的值； （Ⅲ）方程的两根及此时的值． [解] 考点六 若，则 【典例】已知函数，且，则 . 设，其中，且，()．若，则 . 考点七 则 【典例】　 . （1） . （2） . A组　考点能力演练【最新2026年版】 1.已知，且，则(　　) 2.已知，，则(　　) 3.已知，那么的值是(　　) 4.若是三角形的一个内角，且，则的值为(　　) 或 不存在 5.对任意，若，则实数（ ） 6.在中，，且，则为(　　) 等腰三角形 直角三角形 等腰直角三角形 等边三角形 7.已知，，求证：. [证明] B组　高考题型专练【最新2026年版】 1.已知，且，则的取值范围是(　　) 2.在中，若，，则 （ ） 3.如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ） 和都是锐角三角形 和都是钝角三角形 是钝角三角形，是锐角三角形 是锐角三角形，是钝角三角形 4.已知，则的值是（ ） 5.已知，则等于(　　) 不能确定 6. 若，则= ，= . 7.是否存在角、，，，使等式, 同时成立？若存在，求出、的值;若不存在，请说明理由. [解] 第二讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点一 同角三角函数的基本关系 【典例2】 跟踪练习1 （1）或 （2） （3） （4） 考点二 利用诱导公式化简与求值 【典例1】 【典例2】 【典例3】已知（），则（    ） 【解】设 ①时， ②时， ③时， 此时 ④时， ， 此时， 综合①②③④，可以排除， 由，所以.故选：. 跟踪练习2 （1） （2） 考点三 正切已知或易求类型 【典例】 （1）；（2） 【变式】 跟踪练习3 （1） （2） 考点四 正切难求类型（对偶式构造） 【典例1】 【典例2】 跟踪练习4 或； 考点五 利用方程的思想解决三角问题 【典例】 （Ⅰ）；（Ⅱ） 跟踪练习5 （1） （2）（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或. 考点六 若，则 【典例】 跟踪练习6 考点七 则 【典例】 跟踪练习7 （1） （2） A组　考点能力演练【最新2026年版】 7.已知，，求证：. [证明]由，则，即， 又，， 即，解得.得证. B组　高考题型专练【最新2026年版】 （）；（）. ；. $