综合专题02 直线和圆的方程23题型整章复习（期中专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题02 直线和圆的方程 题型1 直线的斜率和倾斜角的变化关系 题型13 求圆的一般方程以及与标准方程之间的互化 题型2 直线和线段的相交关系求斜率范围 题型14 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 题型3 两条直线平行和垂直的判断（重点） 题型15 圆的定点问题 题型4直线的方程 题型16 直线与圆的位置关系相关问题（重点） 题型5 由直线的交点个数或坐标求参数（常考点） 题型17 直线与圆中的定点定值问题（难点） 题型6 三线能围成三角形的问题 题型18 过圆上一点和圆外一点的切线问题（重点） 题型7 两点间的距离公式求函数最值（难点） 题型19 圆的切点弦，弦长和中点弦问题 题型8 直线围成图形的面积问题（重点） 题型20 圆内接三角形的面积（重点） 题型9 点关于直线和直线关于直线的对称问题 题型21 圆与圆的位置关系 题型10 平行线间的距离（重点） 题型22 圆与圆的位置关系确定圆的方程以及相交圆的公共弦问题 题型11 将军饮马问题求最值（重点） 题型23 圆的公切线问题 题型12 求圆的标准方程 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线的斜率和倾斜角的变化关系（共5小题） 1．（24-25高三上·天津·期中）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆·期中）直线的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东临沂·期中）过，两点的直线的倾斜角为，则等于（      ） A． B． C．， D．1，2 5．（24-25高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 题型二 直线和线段的相交关系求斜率范围（共3小题） 1．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北·期中）已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型三 两条直线平行和垂直的判定（共6小题） 1．（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 2．（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（   ） A． B． C．或1 D．或1 4．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知直线与直线互相平行，则m为（   ） A． B．-2 C．-2或2 D．2 5．（24-25高二上·福建泉州·期中）若直线和直线平行，则（    ） A．或3 B．或2 C． D．3 6．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．25 题型四 直线的方程（共8小题） 1．（24-25高一下·江苏镇江·期中）直线与轴、轴分别交于两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）过点且方向向量为的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江杭州·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖北·期中）已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则（   ） A．2 B． C．1 D． 5．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏扬州·期中）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段，恰好被点平分，则直线的方程为 . 7．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知点，直线，且点均在直线上，， (1)求点的坐标： (2)若，求直线的方程. 8．（24-25高二上·江苏连云港·期中）平行四边形中，已知，，. (1)求直线的方程； (2)求中边上的高所在直线的方程. 题型五 由直线的交点个数或坐标求参数（共3小题） 1．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知直线，，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．当与相交且交点为时， D．当时，不经过第二象限 2．（24-25高二上·天津北辰·期中）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川·期中）已知直线，，点的坐标为.过点的直线的斜率为，且与，分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数），当（O为坐标原点）的值与k无关且为定值时，的最小值为（    ） A．13 B．12 C． D． 题型六 三线能围成三角形的问题（共3小题） 1．（24-25高二上·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 2．（24-25高二上·湖北·期中）若三条直线，，不能构成三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（    ） A．2 B． C． D． 题型七 两点间的距离公式求函数最值（共7小题） 1．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 2．（24-25高二上·山东济南·阶段练习），函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离的最大值为 ． 4．（24-25高一下·上海·期中）已知的三个顶点、、的坐标分别为、、，则此三角形的面积为 . 5．（24-25高一下·云南昆明·期中）对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形被这个圆能够完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆．则曲线的最小覆盖圆的面积为 ． 6．（24-25高二上·福建泉州·期中）函数的最小值为 ． 7．（24-25高二上·四川乐山·期末）点到直线（为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 题型八 直线围成图形的面积问题（共8小题） 1．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为 ，的最大值为 . 3．（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知点，在轴和直线上各取一点、，则的周长最小值为 ． 4．（24-25高二上·陕西安康·期中）过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是 . 5．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 6．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中，点，，直线． (1)当点A到直线l的距离最大时，求k的值： (2)在（1）的条件下，若过点的直线与直线和轴正半轴分别交于点M，N，其中M在第一象限，当的面积最小时，求直线的方程． 7．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 8．（24-25高二上·广东惠州·期中）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 题型九 点关于直线和直线关于直线的对称问题（共4小题） 1．（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知直线与直线垂直，点在直线上运动，且点，点，则的最大值是（） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十 平行线间的距离（共4小题） 1．（24-25高二上·山西大同·期中）已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·河南安阳·期中）已知直线，直线，若，则与的距离为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆·期中）若直线与平行，则两直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）若直线与直线平行，且与间的距离为，则 ． 题型十一 将军饮马问题求最值（共4小题） 1．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 3．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 4．（24-25高二上·江西景德镇·期中）过点作直线分别交的正半轴于两点. (1)求面积的最小值及相应的直线的方程； (2)当取最小值时，求直线的方程. 题型十二 求圆的标准方程（共4小题） 1．（24-25高二上·江苏盐城·期中）圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知圆过三点，则的圆心和半径分别为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西西安·期中）已知的三个顶点，，那么三角形外接圆的方程是 . 4．（24-25高二上·四川成都·期中）已知圆过，两点，且圆心在直线上，则圆的方程为 . 题型十三 求圆的一般方程以及与标准方程之间的互化（共4小题） 1．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东佛山·期中）若圆的圆心到两坐标轴的距离相等，则（   ） A． B．1 C． D． 3．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·海南·期中）若点在圆外，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型十四 二元二次方程表示的曲线与圆的关系（共4小题） 1．（24-25高三上·北京昌平·期中）由曲线围成的图形面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江西·阶段练习）若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（   ） A．5 B．1 C． D． 3．（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 4．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 题型十五 圆的定点问题（共1小题） 1．（24-25高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是 ;②圆E恒过的两个定点是 . 题型十六 直线与圆的位置关系相关问题（共5小题） 1．（24-25高二下·浙江·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 2．（24-25高二下·云南曲靖·期中）已知曲线：和直线：有且仅有一个公共点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．不存在 3．（24-25高二下·北京·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江西景德镇·期中）已知是曲线上一动点，若满足的点恰有2个，则实数的取值可能是（ ） A． B． C． D．3 5．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十七 直线与圆中的定点定值问题（共6小题） 1．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知二次函数与轴交于两点，点，圆过三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为 . 2．（24-25高二上·山东临沂·期中）已知圆经过点和，并且圆心在直线上， (1)求圆的标准方程； (2)直线交圆于两点，若直线的斜率之和为0. 求证：直线的斜率是定值，并求出该定值. 3．（24-25高二上·四川广安·期中）平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于P，Q两点，且P，Q不在y轴上, ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于E，F两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线，相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 4．（24-25高二上·江苏镇江·期中）在平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点． ①点总在以线段为直径的圆内，求的取值范围； ②设，是圆与轴的两个交点（在的上方），证明：与的交点在定直线上． 5．（24-25高二上·广东·期中）已知的顶点，，顶点满足，记顶点的轨迹为. (1)求曲线的方程. (2)过点的直线（斜率不为0）与曲线交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，试判断直线OP，OQ的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由. 6．（24-25高二上·湖北荆州·期中）已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点. (1)当时，求的长； (2)是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由； (3)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.并计算出定值. 题型十八 过圆上一点和圆外一点的切线问题（共8小题） 1．（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 3．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）从点向圆引两条切线，，切点分别为，，且四边形的面积为2，则不满足条件的点所在区域的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·吉林·阶段练习）若过点作圆的切线，切点为，则 ． 5．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）当变动时，动直线围成的封闭图形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·浙江杭州·期中）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·浙江台州·期中）已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十九 圆的切点弦，弦长和中点弦问题（共6小题） 1．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 2．（24-25高二上·四川乐山·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（   ） A．圆上恰有两个点到直线的距离为1 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点（0，0） 3．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点且斜率为的直线被圆截得的弦长； (2)求过点与圆相切的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆，点，且直线l经过点P. (1)若l与C相切，求l的方程； (2)若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长. 5．（24-25高二上·浙江金华·期中）已知圆C：，点P（1，4），且直线l经过点P． (1)若l与C相切，求l的方程； (2)若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长． 6．（24-25高二上·安徽铜陵·期中）圆：，点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，． (1)若，求直线的方程； (2)若两条切线，与直线分别交于，两点，求面积的最小值． 题型二十 圆内接三角形的面积（共2小题） 1．（24-25高二上·云南曲靖·期中）点在圆上运动，直线与圆交于、两点，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁·期中）过点的直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知过点的直线与圆交于、两点，为坐标原点，则（   ） A． B．的最大值为 C．面积的最大值为 D．点到直线的距离小于 4．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 题型二十一 圆与圆的位置关系（共4小题） 1．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）点在圆上，点在上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上 C．的取值范围为 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为 2．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东威海·期中）在平面直角坐标系中，已知. (1)证明：四点共圆； (2)过点作（1）中圆的切线，求切线方程； (3)坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点满足？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 4．（24-25高二上·天津·期中）已知圆，圆. (1)试判断圆与圆是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交，说明理由； (2)若直线与圆交于，两点，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求实数的值. 题型二十二 圆与圆的位置关系确定圆的方程以及相交圆的公共弦问题（共7小题） 1．（24-25高二上·广东·期中）已知圆，是圆上的一个动点，点，是线段的中点，为坐标原点． (1)求动点的轨迹方程； (2)当时，求直线的方程及线段的长度． 2．（24-25高二上·湖北鄂州·期中）已知圆和点. (1)过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程. 3．（24-25高二上·山西大同·期中）已知圆和点. (1)过点作一条直线与圆交于、两点，且，求直线的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点分别为、，求所在的直线方程. 4．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．    (1)求圆心与圆心的坐标； (2)已知直线过点若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，求出的值. 5．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知：圆的圆心在第一象限，与轴相切，与轴交于，两点，且，，点在斜率为的直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程； (3)若存在圆心在直线上，半径为的圆与圆外切，求的取值范围． 6．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知圆C的圆心C在直线上，且圆C与直线相切于. (1)求圆C的标准方程； (2)已知，其中，若圆C上存在点P，使得，求实数m的取值范围. 7．（24-25高二上·福建泉州·期中）如图，已知圆，点.    (1)求圆心在直线上，经过点，且与圆相外切的圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程. 题型二十三 圆的公切线问题（共2小题） 1．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知圆与圆，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相切 B．两圆的公共弦所在的直线方程为 C．两圆的公切线有两条 D．两圆的公共弦长为 2．（24-25高二上·福建福州·期中）以下四个命题表述正确的是（   ） A．过点）且在轴、轴上截距相等的直线方程为 B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C．圆与圆恰有三条公切线，则 D．已知圆，过点向圆引两条切线为切点，则直线方程为 $专题02 直线和圆的方程 题型1 直线的斜率和倾斜角的变化关系 题型13 求圆的一般方程以及与标准方程之间的互化 题型2 直线和线段的相交关系求斜率范围 题型14 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 题型3 两条直线平行和垂直的判断（重点） 题型15 圆的定点问题 题型4直线的方程 题型16 直线与圆的位置关系相关问题（重点） 题型5 由直线的交点个数或坐标求参数（常考点） 题型17 直线与圆中的定点定值问题（难点） 题型6 三线能围成三角形的问题 题型18 过圆上一点和圆外一点的切线问题（重点） 题型7 两点间的距离公式求函数最值（难点） 题型19 圆的切点弦，弦长和中点弦问题 题型8 直线围成图形的面积问题（重点） 题型20 圆内接三角形的面积（重点） 题型9 点关于直线和直线关于直线的对称问题 题型21 圆与圆的位置关系 题型10 平行线间的距离（重点） 题型22 圆与圆的位置关系确定圆的方程以及相交圆的公共弦问题 题型11 将军饮马问题求最值（重点） 题型23 圆的公切线问题 题型12 求圆的标准方程 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线的斜率和倾斜角的变化关系（共5小题） 1．（24-25高三上·天津·期中）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】直线的倾斜角、特殊角的三角函数值、直线方向向量的概念及辨析（平面中）） 【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，即可求得倾斜角. 【详解】直线的一个方向向量为， 则直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：A. 2．（24-25高二上·重庆·期中）直线的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、解正切不等式、直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】先对进行讨论，当时得到直线倾斜角为，当时，由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围. 【详解】当时，直线为：， 故直线的倾斜角为：； 当时，直线为：， 设直线的倾斜角为， 即， 当时，， 当且仅当“”，即时取等号； 即， 当时，， 当且仅当“”，即时取等号； 即， 综上所述：. 故选：A 3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据直线斜率的取值范围求倾斜角的范围. 【详解】设直线的斜率为，则， 故，而，故， 故选：C. 4．（24-25高二上·山东临沂·期中）过，两点的直线的倾斜角为，则等于（      ） A． B． C．， D．1，2 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】已知斜率求参数 【分析】根据给定条件，利用斜率的坐标公式列式求解. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 5．（24-25高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知斜率求参数 【分析】根据斜率公式列式求解即可. 【详解】根据题意可得，解得或， 当时，点A，B重合，不符合题意，舍去； 当时，经验证，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 题型二 直线和线段的相交关系求斜率范围（共3小题） 1．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 2．（24-25高二上·湖北·期中）已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】由题知，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为， 所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：C． 3．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率范围，进而求出倾斜角范围. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 由直线l与线段总有公共点，得直线的斜率，即， 当时，而，则；当，得， 所以l的倾斜角的取值范围为. 故选：D 题型三 两条直线平行和垂直的判定（共6小题） 1．（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】由两直线的斜率关系即可判断. 【详解】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以． 故选：A． 2．（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】直线斜率的定义、由斜率判断两条直线垂直 【分析】先求得出直线的斜率，利用两直线垂直的斜率公式对各个选项进行验证即可求解. 【详解】直线的斜率为2, 若直线m与直线垂直，则，， 对于A,的斜率为2,不与直线垂直; 对于B,的斜率为2,不与直线垂直; 对于C,的斜率为-1，不与直线垂直； 对于D,的斜率为 ,与直线垂直. 故选:D. 3．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（   ） A． B． C．或1 D．或1 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】利用两条直线平行的条件列式求解. 【详解】由直线与直线平行，得，解得或， 所以实数a的值为或1. 故选：D 4．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知直线与直线互相平行，则m为（   ） A． B．-2 C．-2或2 D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】利用两直线平行的性质列方程求出的值，再检验两直线是否重合即可. 【详解】因为直线与直线互相平行， 所以，解得或， 又因为时，两直线重合，不符合题意，舍去. 所以，. 故选：D. 5．（24-25高二上·福建泉州·期中）若直线和直线平行，则（    ） A．或3 B．或2 C． D．3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】用两直线平行的条件求解，注意去除两直线重合的情形即可得． 【详解】因为直线与直线平行，所以，解得或， 当时，和重合，不符合题意； 当时，与平行，符合题意. 故选：D 6．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．25 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、已知直线垂直求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据两条直线垂直得出,再根据基本不等式计算求解即可. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以即得, 所以, 因为，都是正实数，所以. 当且仅当时，取最小值25. 故选：D. 题型四 直线的方程（共8小题） 1．（24-25高一下·江苏镇江·期中）直线与轴、轴分别交于两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二倍角的正切公式、直线的点斜式方程及辨析 【分析】利用斜率与倾斜角正切值关系，要求角平分线所在直线斜率，则先求半角的正切值，从而即可得角平分线的直线方程. 【详解】根据题意，直线与轴、轴分别交于两点， 令，可得，则的坐标为， 令，可得，则的坐标为， 如图： 设，为锐角）， 则，即， 则有，解可得或（舍）， 则的平分线所在直线的斜率， 其方程为，变形可得， 故选：B. 2．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）过点且方向向量为的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】根据直线的方向向量求直线方程、直线方向向量的概念及辨析（平面中）） 【分析】由直线的方向向量坐标可求出直线斜率，利用点斜式方程即得直线方程. 【详解】因直线的方向向量为，故其斜率为，又直线过点， 故其方程为：，即. 故选：A. 3．（24-25高二上·浙江杭州·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线的倾斜角 【分析】根据直线倾斜角的定义直接得出结果. 【详解】直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为， 则，解得. 所以该直线的倾斜角为. 故选：D 4．（24-25高二上·湖北·期中）已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、根据直线的方向向量求直线方程 【分析】根据的坐标以及方向向量分别求解出的方程，由此可求结果. 【详解】因为，即，所以， 因为，即，所以， 所以. 故选：A. 5．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】依题意可得，分和两种情况讨论即可，求出直线在两坐标轴上的截距，结合题意可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】依题意可得， 当时，直线为，此时横纵截距都等于，满足题意； 当时，将直线的方程化为截距式方程可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或（舍去）. 综上所述，的值为或． 故选：C. 6．（24-25高二上·江苏扬州·期中）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段，恰好被点平分，则直线的方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、直角坐标系中的基本公式的应用、直线两点式方程及辨析、直线综合 【分析】设出直线与直线，的交点坐标、，然后根据中点坐标的相关性质得出，，再然后根据在上以及在上得出，解得的坐标，由直线的两点式方程即得. 【详解】设直线， 设直线夹在直线，之间的线段为（在上，在上）， 设、， 因为被点平分，所以，， 于是，， 由于在上，在上，则， 即解得，， 即的坐标是，则直线的方程是， 即． 故答案为：.    7．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知点，直线，且点均在直线上，， (1)求点的坐标： (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、已知直线垂直求参数 【分析】（1）设，由题意列方程组，即可求得. （2）设，由题意可得，可求得点的坐标，可求直线的方程. 【详解】（1）设，由题意可得：，解得：， 所以点的坐标为. （2）设，由（1）知点的坐标为. 根据题意可得，解得或， 所以点的坐标为或， 当点为时，直线的方程为，即， 当点为时，直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. 8．（24-25高二上·江苏连云港·期中）平行四边形中，已知，，. (1)求直线的方程； (2)求中边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、已知直线垂直求参数 【分析】（1）设，利用平行四边形的性质和点斜式求出即可； （2）利用相互垂直的直线斜率之间的关系，点斜式求解即可； 【详解】（1）设， 因为，所以， 即， 所以， 所以直线的方程为，即. （2）因为， 所以中边上的高所在直线的方程为，即. 题型五 由直线的交点个数或坐标求参数（共3小题） 1．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知直线，，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．当与相交且交点为时， D．当时，不经过第二象限 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、已知直线垂直求参数、已知直线平行求参数 【分析】对于两直线垂直，平行的位置关系相关结论，计算判定A，B；求出交点判定C，分析直线的系数k，b判定D. 【详解】若，对于直线和. 根据两直线垂直的判定定理，则. 得，解得.选项A正确. 若，根据两直线平行的判定定理. 有. 由可得. 展开式子整理得. 则. 再验证，当时，此不等式成立.选项B正确. 因为交点为，将其代入和的方程. 对于：，即，解得. 对于：，满足方程，所以时，与相交且交点为，选项C正确.   直线的方程， 当，，经过第二象限，不满足题意. 当，可化为. 当时，，，此时也经过第二象限，选项D错误. 故选：ABC. 2．（24-25高二上·天津北辰·期中）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、由两条直线垂直求方程 【分析】先求出交点坐标，再根据与直线 的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解. 【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ； 故选：D 3．（24-25高一上·四川·期中）已知直线，，点的坐标为.过点的直线的斜率为，且与，分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数），当（O为坐标原点）的值与k无关且为定值时，的最小值为（    ） A．13 B．12 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】写出直线的方程为，与，分别联立求得与的坐标，再由，的纵坐标均为正数，得，进而得为定值，最后利用基本不等式中常数代换技巧求解最小值即可. 【详解】因为直线过点，且斜率为， 所以直线的方程为， 又直线与，分别交于点M，N，所以， 因此由，得，即， 由，得，即． 又M，N的纵坐标均为正数，所以，即， 而，因此，因此，， 所以． 又因为，所以当时，为定值， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 题型六 三线能围成三角形的问题（共3小题） 1．（24-25高二上·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三线能围成三角形的问题、求直线交点坐标、直线方向向量的概念及辨析（平面中））、已知直线垂直求参数 【分析】写出对应直线的方向向量，讨论直线垂直求参数a，再根据所得参数值研究直线的位置情况，即可得答案. 【详解】由题设，的方向向量分别为，，， 若，则， 此时，，，它们交于一点，不符； 若，则或或， 当时，，，，满足题设； 当时，，，，满足题设； 当时，，重合，不符； 若，则或， 当时，，，，满足题设； 当时，同上分析，不符. 综上，、、时满足要求，故有3组. 故选：B 2．（24-25高二上·湖北·期中）若三条直线，，不能构成三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数、已知直线平行求参数 【分析】由三条直线不能围成三角形，则三条直线中至少有两条直线平行或三条直线交于同一点列式可得结果. 【详解】设，，， 由，解得， 所以与的交点为， 因为三条直线不能围成三角形，所以过与的交点或或， 当过与的交点时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，的值为. 故选：ABD. 3．（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】三线能围成三角形的问题、求直线交点坐标、已知直线平行求参数 【分析】因为三条直线，，能构成三角形，所以直线与或都不平行，且直线不过与的交点，进而即可求得实数m的取值，从而可得结果． 【详解】因为三条直线，，能构成三角形， 所以直线与，都不平行， 且直线不过与的交点， 直线与，都不平行时，，且， 联立，解得， 即直线与的交点坐标为， 代入直线中，得，故可知， 结合选项可知实数m的取值可以为2或， 故选：AD 题型七 两点间的距离公式求函数最值（共7小题） 1．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知点到直线距离求参数、已知直线平行求参数 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 2．（24-25高二上·山东济南·阶段练习），函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、求点到直线的距离 【分析】根据距离公式，利用的几何意义求最小值. 【详解】表示的几何意义为平面内的点到定点的距离， 表示的几何意义为平面内的点到定直线的距离， 所以表示的几何意义是动点到定点和到定直线的距离和， 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，当点在线段时，最小，最小值为. 故选：C 3．（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、直线过定点问题、求平面两点间的距离 【分析】先求出的坐标，再求出直线所过的定点，则所求距离的最大值就是的长度. 【详解】由可以得到，故， 直线的方程可整理为：，故直线过定点， 因为到直线的距离，当且仅当时等号成立， 故， 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海·期中）已知的三个顶点、、的坐标分别为、、，则此三角形的面积为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、直线两点式方程及辨析、求平面两点间的距离 【分析】先求的方程，再求A到直线的距离，再求的面积. 【详解】由直线方程的两点式得直线的方程为， 即，由两点间距离公式得， 设点A到的距离为d，即为边上的高，， 则的面积为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·云南昆明·期中）对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形被这个圆能够完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆．则曲线的最小覆盖圆的面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、用两点间的距离公式求函数最值 【分析】先分析曲线对称性，再求曲线上点到原点距离最大值，即得结果. 【详解】由成立可得该曲线关于原点中心对称，所以该曲线的最小覆盖圆的圆心位于坐标原点， 由可得， 即，所以， 当且仅当时等号成立，所以该曲线的最小覆盖圆的面积为. 故答案为：. 6．（24-25高二上·福建泉州·期中）函数的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值 【分析】由题意可得表示与、的距离之和，求出C关于x的轴对称点，数形结合，求解即可. 【详解】表示、的距离， 表示、的距离， 又关于x轴的对称点，如图，    所以， 所以． 故答案为： 7．（24-25高二上·四川乐山·期末）点到直线（为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离 【分析】法一：写出点到直线的距离的表达式，换元，利用对勾函数的性质即可求解；法二：利用几何法即可求出最值. 【详解】法一：点到直线的距离为， ， 令，当时，， 当时，，由对勾函数的性质可知， 所以，所以， 所以. 法二：易知直线过定点，则点到直线的距离最大值为定点到的距离，即. 故选：C. 题型八 直线围成图形的面积问题（共8小题） 1．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、基本不等式求积的最大值 【分析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，可得出直线的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值. 【详解】不妨设直线分别交、轴于点、，则，， 所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则， 由基本不等式可得，可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的面积的最小值为. 故选：C. 2．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为 ，的最大值为 . 【答案】 . 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点 【分析】由图，求出B关于l的对称点为的坐标，当A，，Q三点共线时，可求的最大值及相应Q坐标. 【详解】如图，设B关于l的对称点为，因， 则，即. 连接，则所在的直线方程为. 由得与l的交点为，记此点为Q，又在直线任取一点M， 连接BM，，由对称性，，则 当A，，M三点共线时，即M与Q重合时， 此时的值最大且为. 故答案为：； 3．（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知点，在轴和直线上各取一点、，则的周长最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】作出图形，数形结合，由两点间距离公式求解即可； 【详解】 作点关于轴的对称点，和关于直线的对称点， 连接交轴于点，交直线于点， 此时的周长最小值，最小值为， 故答案为：. 4．（24-25高二上·陕西安康·期中）过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是 . 【答案】． 【难度】0.65 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】设直线的方程为，求出坐标，再求得的面积，由关于的方程有四个不等的实根可求得的范围． 【详解】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 令得，令得， 则， 由题意关于的方程有四个不同的实数解， ， 所以有两个不等实根且有两个不等实根， ，解得或． 又，所以． 故答案为：． 5．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【难度】0.65 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【详解】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 6．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中，点，，直线． (1)当点A到直线l的距离最大时，求k的值： (2)在（1）的条件下，若过点的直线与直线和轴正半轴分别交于点M，N，其中M在第一象限，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、已知直线垂直求参数 【分析】（1）当直线时，点到直线的距离最大，再用垂直直线斜率乘积结论即可； （2）分情况讨论，当直线轴时和当直线的斜率存在时，求出的面积，结合二次函数知识计算最小值即可. 【详解】（1）当直线时，点到直线的距离最大， 因为直线OA的斜率为，所以． （2）当直线轴时，易得，，此时的面积为． 当直线的斜率存在时，设，，，则， 联立解得，． 所以的面积； 当时，等号成立． 综上，的面积的最小值为24，此时直线． 7．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线过定点问题、直线图象的辨析 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 8．（24-25高二上·广东惠州·期中）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 【答案】(1)或； (2)（ⅰ）；（ⅱ）24， 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】（1）由题意可得恒过定点，结合直线的截距式方程计算即可求解； （2）（i）由题意可得，解不等式组即可； （ii）由（i）可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）将整理可得， 令，可得，所以直线过定点， 若直线在两坐标轴上截距都为零，可得直线的方程为； 若直线在两坐标轴上截距不为零且相等，设直线的截距式方程为， 代入点即可得，解得； 此时直线的方程为； 综上可知直线的方程为或； （2）（ⅰ）显然，求得：， 依题意得：， 解得； （ⅱ）由（ⅰ）得三角形的面积为； 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 此时直线的方程为. 题型九 点关于直线和直线关于直线的对称问题（共4小题） 1．（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解. 【详解】设关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点坐标为， 故选：B 2．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知直线与直线垂直，点在直线上运动，且点，点，则的最大值是（） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、已知直线垂直求参数 【分析】由垂直求出，作点关于直线的对称点为，求出点坐标，由几何关系易知，当且仅当三点共线时等号成立，由此可知的最大值. 【详解】直线,直线， 因为与垂直，所以，解得， ， 设点关于直线的对称点为， 则的中点在直线上，且， 所以，解得， 当且仅当三点共线时等号成立 的最大值为, 故选：D. 3．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、求点关于直线的对称点 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标， 和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程， 由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标， 即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】    建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 4．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、已知两点求斜率、求点关于直线的对称点 【分析】先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，入射光线和反射光线都经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接、交与点，连接、分别交为点、，则，之间即为点 的变动范围．再求出直线，的斜率即可． 【详解】已知，，， 则直线方程为，直线方程为 如图，作关于的对称点，，解得，故， 再作关于的对称点，则，得， 连接，连接交与点，则直线方程为，得， 连接、分别交为点、， 则直线方程为，得， 直线的斜率，方程为，与直线联立方程组，解得， 连接，，则，之间即为点的变动范围． 直线方程为，斜率为0， 直线的斜率为， 所以斜率的范围为， 故选：D． 题型十 平行线间的距离（共4小题） 1．（24-25高二上·山西大同·期中）已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求平行线间的距离 【分析】根据题意，结合两平行直线距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，是直线上的点， 是直线上的点，则两直线平行， 的最小值是平行直线之间的距离的平方， 可得最小值为. 故选：D 2．（24-25高二上·河南安阳·期中）已知直线，直线，若，则与的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】由两直线平行，得到的方程，再利用平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】由，所以，则，所以可得， 根据两平行直线间的距离公式可得与的距离为. 故选：C. 3．（24-25高二上·重庆·期中）若直线与平行，则两直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】先利用两直线平行求得，再利用两平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得或， 当时，两直线方程都为，此时两直线重合，不合题意， 当时，与平行，故， 故， 所以两直线间的距离为. 故选：C. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）若直线与直线平行，且与间的距离为，则 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】根据两直线平行可求出的值，根据平行线间的距离公式求出的值，即可求得的值. 【详解】因为直线与直线平行， 则，解得， 所以，直线的方程为，可化为， 因为与间的距离为，则，解得或， 当时，； 当时，. 故答案为：或. 题型十一 将军饮马问题求最值（共4小题） 1．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、求平面两点间的距离 【分析】表示动点到定点和的距离之和，作关于直线的对称点，，即可求解 【详解】 表示动点到定点和的距离之和， 因为点在直线上运动， 作关于直线的对称点，则， 故， 当且仅当三点共线时取等， 故的最小值为 故选：C 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值 【分析】通过消元，将所求转化为，分析该式子的几何意义为轴上某动点到两定点的距离之和，利用的性质，即可得出所求最小值. 【详解】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为. 故选：C. 3．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、直线的一般式方程及辨析、直线方程的实际应用 【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）求出点的对称点，利用两点之间直线最短可求答案. 【详解】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为.    4．（24-25高二上·江西景德镇·期中）过点作直线分别交的正半轴于两点. (1)求面积的最小值及相应的直线的方程； (2)当取最小值时，求直线的方程. 【答案】(1)，直线的方程为. (2) 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线截距式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析、求平面两点间的距离 【分析】（1）设，设直线的方程为，代入得，利用基本不等式求出的最小值，即可得解； （2）设直线，求出，利用距离公式表示出，借助基本不等式计算即可. 【详解】（1）依题意设， 设直线的方程为，代入得， 所以，则，当且仅当，即时取等号， 从而，当且仅当，即时取等号， 此时直线的方程为，即， 所以，此时直线的方程为. （2）依题意直线的斜率存在且，设直线， 令，解得，令，解得，所以， 则， 当且仅当，即， 即时取最小值， 此时直线的方程为. 题型十二 求圆的标准方程（共4小题） 1．（24-25高二上·江苏盐城·期中）圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求点关于直线的对称点 【分析】求出圆心关于直线的对称点即可得解. 【详解】设，的圆心，半径， 由题意则与关于直线对称， 所以，解得， 所以圆的标准方程为， 故选：A 2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知圆过三点，则的圆心和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】先设圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径. 已知圆过，，三点，将这三点分别代入圆的标准方程，得到三个方程，联立求解就可以得到圆心坐标和半径. 【详解】设圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径. 将，代入，得到， 展开整理可得，. 将，代入，得到， 展开整理可得，. 将，代入，得到， 展开整理可得，. 三个式子联立解得，，，. 则所以圆心坐标为，半径为. 故选：D. 3．（24-25高二上·陕西西安·期中）已知的三个顶点，，那么三角形外接圆的方程是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】根据直角三角形的外接圆圆心为斜边中点求解即可. 【详解】因为的三个顶点，，， 所以为直角三角形， 故三角形外接圆圆心为斜边的中点， 半径, 所以圆的方程为. 故答案为： 4．（24-25高二上·四川成都·期中）已知圆过，两点，且圆心在直线上，则圆的方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】求得线段的中垂线，圆心在中垂线上，联立两直线可求得圆心坐标，进而求得，可得圆方程. 【详解】由已知，，则其中点为，， 所以线段中垂线的斜率为，则线段中垂线的方程为， 所以圆心在上，又圆心在直线上， 联立，解得，即， 半径， 所以圆的方程为. 故答案为：. 题型十三 求圆的一般方程以及与标准方程之间的互化（共4小题） 1．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 2．（24-25高二上·广东佛山·期中）若圆的圆心到两坐标轴的距离相等，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数、由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】先求出圆的圆心，再结合题意即可得解. 【详解】圆化为标准方程为， 则圆心为，半径， 由题意得，解得. 故选：C. 3．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后可得圆心及其半径，结合圆的性质与第二象限的点的性质计算即可得解. 【详解】由，化简可得， 则该圆圆心为，半径为3，由题意可得解得， 故实数的取值范围是． 故选：A. 4．（24-25高二上·海南·期中）若点在圆外，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】由题意可求出，将圆化为标准方程则，即可得出答案. 【详解】因为点在圆外， 所以，则. 又因为圆化为标准方程可得：， 所以，则，解得：或. 所以的取值范围为：. 故选：D. 题型十四 二元二次方程表示的曲线与圆的关系（共4小题） 1．（24-25高三上·北京昌平·期中）由曲线围成的图形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】分类讨论研究曲线的性质并画出示意图，数形结合判断图形构成求面积. 【详解】当时，曲线为， 当时，曲线为， 当时，曲线为， 当时，曲线为， 同时点均在曲线上，如下图示， 所以围成图形是4个半径均为的半圆，与1个边长为的正方形组成， 故图形面积为. 故选：A 2．（24-25高二上·江西·阶段练习）若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据点在圆外及方程表示圆求出的范围得解. 【详解】因为点在圆C：的外部， 所以，解得， 又方程表示圆，则，即， 所以，结合选项可知，m的取值可以为. 故选：C 3．（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、求点关于直线的对称点、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程得出不等式计算即可. 【详解】设点关于直线对称的点，则，解得. 因为在外，所以，可得 且表示圆可得，即得 综上可得. 故选：C. 4．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】先将方程合理转化，后结合二元二次方程表示圆的条件求解即可. 【详解】方程，即， 若方程表示圆，则，解得或， 结合选项可知AD正确，BC错误. 故选：AD 题型十五 圆的定点问题（共1小题） 1．（24-25高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是 ;②圆E恒过的两个定点是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】圆过定点问题、求圆的一般方程 【分析】设所求圆的一般方程为，分别令、，即可求解； 【详解】①当时， 二次函数的图象与两坐标轴交于点，，， 的外接圆为圆E， 设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得， 此方程有一个根为，代入此方程得出， 所以圆E的一般方程为； ②设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得，此方程有一个根为， 代入此方程得出，所以圆E的一般方程为， 当时，或， 故圆E恒过定点. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：本题的思路为先设所求圆的一般方程为，分别令、，得到圆的方程，结合题意得出参数的值，即可求解. 题型十六 直线与圆的位置关系相关问题（共5小题） 1．（24-25高二下·浙江·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】首先确定圆心和半径，再应用点线距离公式求圆心与直线的距离，即可判断. 【详解】由，即圆心，半径， 所以到的距离， 所以直线与圆相交. 故选：B 2．（24-25高二下·云南曲靖·期中）已知曲线：和直线：有且仅有一个公共点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知点到直线距离求参数、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题意知直线过定点，即可判断与圆的位置关系，最后由圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】易知，直线过定点，曲线表示圆心为，半径为2的圆， 定点在圆外.由与有且仅有一个公共点时，与圆相切， 此时圆心到直线的距离，解得， 故选：A. 3．（24-25高二下·北京·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】把斜率为1的直线平行移动与曲线表示的图形有两公共点，根据图象即可求解． 【详解】由题意，曲线表示的曲线为圆心在原点， 半径为1的圆在轴以及轴上方的部分． 在同一坐标系中，作出斜率为1的直线，在直线平移的过程中可发现， 直线过时先与半圆形有2个交点，此时. 再将直线向上平移一直到最后与半圆相切，此时，且, 即， 所以满足条件的的取值范围. 故选：D. 4．（24-25高二下·江西景德镇·期中）已知是曲线上一动点，若满足的点恰有2个，则实数的取值可能是（ ） A． B． C． D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】作出图形，利用代数式的几何意义可求答案. 【详解】由曲线，得，则， 所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）.    设直线：，因为，所以， 所以表示点到直线的距离为， 即只有2个点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离，解得， 结合选项发现只有B选项符合题意. 故选：B 5．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】先求出直线所过的定点M，再根据直线与垂直时，弦最小，结合圆的弦长公式即可得解. 【详解】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，即，恒过定点， 又由圆的方程为，则点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为； 故选：A 题型十七 直线与圆中的定点定值问题（共6小题） 1．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知二次函数与轴交于两点，点，圆过三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】直线与圆中的定点定值问题、圆的弦长与中点弦 【分析】利用同解方程可求圆的方程，根据利用垂径定理可求弦长，根据弦长为定值可求斜率和截距的值，故可求定值. 【详解】设圆的方程为，令， 则，其解为的横坐标， 故该方程与同解，故， 又圆过，故，故， 故，故圆的方程为：. 其标准方程为：， 若定直线的斜率不存在，则可得定直线为：， 此时截得的弦长为： ， 无论取何值，弦长总不是常数， 设定直线为即， 圆心到直线的距离， 故弦长为 ， 若弦长为定值，则且， 故，此时弦长为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对于圆中的定值问题，我们可以根据几何性质得到恒等式，再根据系数的性质得到参数满足的方程，从而求出定值. 2．（24-25高二上·山东临沂·期中）已知圆经过点和，并且圆心在直线上， (1)求圆的标准方程； (2)直线交圆于两点，若直线的斜率之和为0. 求证：直线的斜率是定值，并求出该定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，定值为. 【难度】0.65 【知识点】直线与圆中的定点定值问题、由圆心（或半径）求圆的方程、已知两点求斜率、求直线与圆交点的坐标 【分析】（1）根据给定条件，求出圆C的圆心坐标及半径即可作答. （2）设出直线AM，AN的方程，与圆C的方程联立，求出点M，N的坐标，再用斜率坐标公式计算作答. 【详解】（1）线段的中点，直线的斜率， 则线段中垂线方程为，即， 依题意，圆C的圆心在直线上，由，得点， 因此圆C的半径， 所以圆C的标准方程是：. （2）设直线方程为：，由消去y并整理得：， 则有点，而直线：，同理， 于是得直线的斜率， 所以直线的斜率是定值，该定值为. 3．（24-25高二上·四川广安·期中）平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于P，Q两点，且P，Q不在y轴上, ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于E，F两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线，相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】(1)； (2)①最大值为7；②点N在定直线上. 【难度】0.4 【知识点】直线与圆中的定点定值问题、求过已知三点的圆的标准方程、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】（1）设圆的标准方程，根据所过的点列方程求参数，即可得圆的方程； （2）①法一：设直线为，直线为，应用几何法求弦长，结合得到关于k的表达式，应用基本不等式求最值； 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，应用几何法得弦长关于、的表达式，结合、基本不等式求最值； ②设，，联立直线与圆得一元二次方程，应用韦达定理并结合直线的方程为，直线的方程为求点N坐标. 【详解】（1）设圆的方程为， 则，解得， 所以圆M的标准方程为； （2）①设直线为，即， 则圆心到直线距离，所以， 若，则直线斜率不存在，则，，则， 若，则直线为，即， 则圆心到直线距离，所以， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 综上所述，因为，所以S的最大值为7； 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，则，， 又直线与直线垂直，所以，， 当且仅当时取等，所以S的最大值为7；    ②设，，联立， 消y得，则，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得， 则， 所以，所以点N在定直线上. 【点睛】关键点点睛：第二问，一小问中利用圆弦长的几何求法及得到关于某个参数的表达式为关键 4．（24-25高二上·江苏镇江·期中）在平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点． ①点总在以线段为直径的圆内，求的取值范围； ②设，是圆与轴的两个交点（在的上方），证明：与的交点在定直线上． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】（1）根据圆与直线相切的性质，圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线距离公式求出圆心坐标，进而得到圆的方程. （2）对于直线与圆相交的问题： ①要判断点在以线段为直径的圆内，根据向量的数量积小于0来求解. ②通过设出交点坐标，联立直线与圆的方程，利用交点坐标满足的方程来证明交点在定直线上. 【详解】（1）设圆心为，，则圆的方程为 ，，， 圆的方程为； （2）①设的方程为，， 代入，并整理得, 则，，且, 因为点在以为直径的圆内，所以, 即, 由于，，所以, 所以，解得. 所以的取值范围是． ②由圆方程知，其与轴的两个交点为，, 方程为，方程为, 消去得：, 所以, 即有与的交点在定直线上． 5．（24-25高二上·广东·期中）已知的顶点，，顶点满足，记顶点的轨迹为. (1)求曲线的方程. (2)过点的直线（斜率不为0）与曲线交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，试判断直线OP，OQ的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)定值， 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、直线与圆中的定点定值问题、轨迹问题——圆 【分析】（1）设，结合题设列出方程即可求解； （2）设，，，联立直线与曲线的方程，结合韦达定理求得，进而求解即可. 【详解】（1）设，因为，即， 所以， 整理得， 所以曲线的方程为. （2）设，，. 联立方程组得， 所以， 则，， 因为 ， 所以， 故直线OP，OQ的斜率之积为定值，且定值为.    6．（24-25高二上·湖北荆州·期中）已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点. (1)当时，求的长； (2)是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由； (3)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.并计算出定值. 【答案】(1) (2)存在， (3)证明见解析， 【难度】0.4 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆中的定点定值问题、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）由题意求出直线方程，利用圆的几何性质求弦长即可； （2）假设存在，求出弦心距，讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线距离即可得解； （3）分类讨论直线斜率是否存在，存在时由根与系数的关系及斜率公式化简即可证明. 【详解】（1）因为，所以，直线的方程为， 圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，则， 所以； （2）取的中点为，如图， 假设存在弦被点三等分，设，，则， ，解得， 当斜率不存在时，，故斜率存在， 设斜率为，则：， ，解得， 即存在弦被点三等分，直线的斜率为； （3）由题意知，, 当直线斜率不存在时，，， 不妨取， 则，此时； 直线斜率存在时，设方程为， 代入圆的方程可得， 设，则， 又， 所以， 综上，为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 题型十八 过圆上一点和圆外一点的切线问题（共8小题） 1．（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】由圆E的方程可得圆心E的坐标，将P点的坐标代入圆的方程，可得P点在圆上，求出直线PE的斜率，得到过P点的切线的斜率，再求出过P点的切线方程. 【详解】由圆的方程，可得圆心坐标为， 将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上， 又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即. 故选：D. 2．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、切线长 【分析】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离. 【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式， 则. 根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径. 由勾股定理，当取最小值时，最小， 此时. 故选：B. 3．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）从点向圆引两条切线，，切点分别为，，且四边形的面积为2，则不满足条件的点所在区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、已知切线求参数、轨迹问题——圆 【分析】根据圆切线的性质有，，结合基本不等式、满足条件的点所在圆的半径范围，进而确定不满足条件的点所在区域的半径范围，即可得答案. 【详解】由题设，易知，，且， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以满足条件的点所在区域以为圆心，半径范围为， 则不满足条件点所在区域以为圆心，半径范围为，故面积为. 故选：B 4．（24-25高二上·吉林·阶段练习）若过点作圆的切线，切点为，则 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】切线长 【分析】根据两点间距离公式得到，然后利用勾股定理求即可. 【详解】 由题意得圆的圆心坐标，半径，， 则， 所以. 故答案为：2. 5．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）当变动时，动直线围成的封闭图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、过圆上一点的圆的切线方程 【分析】利用点到直线的距离公式，得出该直线是圆的切线，即可求解. 【详解】方程可化为变动时，点到该直线的距离，则该直线是圆的切线，所以动直线围成的封闭图形的面积是圆的面积，面积为. 故选D.    6．（24-25高二上·浙江杭州·期中）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据题意可知切线的斜率存在，设出切线的方程，根据直线与圆的位置关系可得出，利用韦达定理得到两条切线的斜率、之间的关系，再由结合同角三角函数的基本关系可求得的值． 【详解】将圆化为标准方程为， 所以圆心为，半径为1， 根据题意及图形可知切线的斜率存在， 设切线的方程为，即， 则有，整理可得， 则， 设两切线的斜率分别为、， 则、为关于的方程的两根， 由韦达定理可得，， 所以， 所以， 由题意可知，所以， 由，解得． 故选：D． 7．（24-25高二上·浙江台州·期中）已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、过圆外一点的圆的切线方程、求点到直线的距离 【分析】由四边形PACB的外接圆的直径为PC，且其最小值为圆心C到直线的距离求解. 【详解】圆的方程，即为，圆心， 易知四边形PACB的外接圆的直径为PC， PC的最小值为圆心C到直线的距离，即， 则四边形PACB的外接圆的半径为， 所以四边形PACB的外接圆的面积的最小值为. 故选：D 8．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积的最小值. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， 四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离， ， 此时. 故选：A 题型十九 圆的切点弦，弦长和中点弦问题（共6小题） 1．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、切点弦及其方程 【分析】先设，然后求出直线的方程，计算定点即可. 【详解】设,，易知 由平面向量数量积的几何意义可知， 所以有 所以点在直线上 故直线的方程为，过定点 故答案为： 2．（24-25高二上·四川乐山·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（   ） A．圆上恰有两个点到直线的距离为1 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点（0，0） 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、切线长、圆的弦长与中点弦 【分析】根据圆心到直线距离判断A，切线长公式即可求解B，C，设出点的坐标，求出以为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案. 【详解】圆心到直线的距离为， 因为圆的半径为，所以， 所以圆上恰有两个点到直线的距离为1，所以A正确； ，因为圆的半径为，根据切线长公式可得， 当时取等号，所以的取值范围为， 因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确； 因为，所以，在直角三角形中，，所以， 设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确； 对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得，所以为圆与以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得：， 即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确； 故选：ABD 3．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点且斜率为的直线被圆截得的弦长； (2)求过点与圆相切的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 【答案】(1) (2)和 (3)定值， 【难度】0.4 【知识点】直线与圆中的定点定值问题、过圆外一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，然后根据半径、圆心到直线的距离、半弦长之间的关系求解出弦长； （2）先直接分析直线斜率不存在的情况，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解出切线方程，由此结果可知； （3）设以及直线的方程，联立直线与圆的方程，得到坐标的韦达定理形式，然后将化简至用韦达定理表示的形式，代入计算可得结果. 【详解】（1）过点斜率为的直线方程为， 圆心到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为. （2）圆的圆心为，半径为2， 若过点的直线垂直于轴，则方程为，显然与圆相切，符合题意； 若过点的直线不垂直于轴，设直线的斜率与， 则直线方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以切线方程为； 综上所述，切线方程为和. （3）由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且， 所以 ， 所以是定值，定值为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，再将其与圆的方程联立得到韦达定理式，最后代入斜率之和的表达式化简即可. 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆，点，且直线l经过点P. (1)若l与C相切，求l的方程； (2)若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）考虑直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，由圆心到直线距离等于半径得到方程，求出直线方程； （2）写出直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，即可求出弦长. 【详解】（1）的圆心为，半径为5， 过的直线斜率不存在时，直线为， 此时到直线的距离为，故与圆相交，不合题意， 过的直线斜率存在时，设为，即， 由题意得，解得， 此时直线l的方程为，即， 综上，直线l的方程为； （2）l的倾斜角为，故斜率为， 故直线l的方程为，即， 圆心到直线的距离， 故l被圆C截得的弦长为. 5．（24-25高二上·浙江金华·期中）已知圆C：，点P（1，4），且直线l经过点P． (1)若l与C相切，求l的方程； (2)若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）对直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，根据点到直线的距离等于半径即可求解.； （2）根据点到直线的距离公式及垂径定理即可求解. 【详解】（1）由知，圆C的圆心坐标为，半径为5. 当直线l的斜率不存在时，即直线的方程为：， 圆心C到直线l的距离为，故与圆C不相切，不满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线为：，即， 则圆C的圆心到直线l的距离，解得， 故直线l的方程为， 综上：直线l的方程为 （2）由l的倾斜角为， 所以直线l的方程为， 圆C的圆心到直线l的距离为， 由垂径定理得，l被圆C截得的弦长为， 6．（24-25高二上·安徽铜陵·期中）圆：，点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，． (1)若，求直线的方程； (2)若两条切线，与直线分别交于，两点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线与圆的实际应用、过圆外一点的圆的切线方程、圆内接三角形的面积 【分析】（1）设切线方程为，根据到切线的距离等于计算，得出切线方程；计算，得出以为圆心，以为半径的圆，将直线转化为两圆的公共弦求解；（2）设直线与的直线方程分别为：，又与圆相切，所以，即，所以是方程的两实根，再根据公式， 求其最小值，代入三角形面积公式求解． 【详解】（1）时，，设圆的过点的切线方程为，即， 故到直线的距离， 解得或，所以切线方程为和． ，，， 故以为圆心，以为半径的圆的方程为， 显然线段为圆和圆的公共弦， 所以直线的方程为：，即． （2）设直线与的直线方程分别为：， 又与圆相切， 所以，即． 所以， ，， ，， ， 所以面积的最小值为． 题型二十 圆内接三角形的面积（共2小题） 1．（24-25高二上·云南曲靖·期中）点在圆上运动，直线与圆交于、两点，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】圆内接三角形的面积、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】求出圆心到直线的距离，可求出点到直线距离的最大值，利用勾股定理求出，再利用三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 则， 点到直线距离的最大值为， 所以，面积的最大值为. 故选：A. 2．（24-25高二上·辽宁·期中）过点的直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】圆内接三角形的面积、三角形面积公式及其应用、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】作出图形，分析可知，当时，的面积最大，利用几何法求出圆心到直线的距离，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，即可得出直线的方程. 【详解】由可得，可得， 所以，曲线表示为圆的上半圆，且该半圆的半径为，   ， 当且仅当时，等号成立， 此时，原点到直线的距离为， 由图可知，直线的斜率存在，且， 则直线的方程为，即， 由点到直线的距离公式可得，因为，解得， 因此，直线的方程为，即. 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知过点的直线与圆交于、两点，为坐标原点，则（   ） A． B．的最大值为 C．面积的最大值为 D．点到直线的距离小于 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、圆内接三角形的面积、求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦 【分析】判断出点在圆外，计算出的最小值，可判断A选项；当直线过圆心时，取最大值，可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断C选项；分析直线与垂直时，直线与圆的位置关系，可判断D选项. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为，则点在圆外， 对于A选项，，则，A对； 对于B选项，当直线过圆心时，取最大值，且最大值为，B对； 对于C选项，, 当且仅当时，等号成立，即面积的最大值为，C错； 对于D选项，因为，当时，则直线的斜率为， 此时，直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，此时，直线与圆相离， 且此时，原点到直线的最大距离为， 由于直线与圆相交，故原点到直线的距离小于，D对. 故选：ABD. 4．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最小值为，点的坐标为 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、切线长、圆内接三角形的面积 【分析】（1）设圆心，根据题意列关于的方程，解方程，可求出圆的半径，进而可得出圆的标准方程； （2）推导出，可得出四边形面积，分析可知，当时，取最小值， 求出方程，联立、的方程，求点的坐标，并求出的值，由此可得出四边形面积的最小值. 【详解】（1）因为圆的圆心在直线上，设圆心为， 根据题意可得，即， 解得，故圆心为，该圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. （2）因为、都与圆相切，由切线长定理可得， 又因为，， 则，且，， 所以，四边形面积， 当时，取最小值，则四边形面积最小， 因为直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 由得，即点的坐标为， 此时，则四边形面积的最小值为. 题型二十一 圆与圆的位置关系（共4小题） 1．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）点在圆上，点在上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上 C．的取值范围为 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】圆的对称性的应用、判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】求出两圆圆心坐标和半径确定两圆位置判断AD；求出两圆公共的对称轴判断B；利用圆上点最值关系判断C正确.. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，由，得圆外离，这两个圆有4条公切线，A错误； 对于B，直线的方程为上，因此直线为两圆的公共对称轴，B正确； 对于C，，，则的取值范围为， C正确； 对于D，由圆外离，得圆不存在公共弦，D错误. 故选：BC 2．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线方程 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切， 则两圆有三条公切线，如图， 的中点为两圆外切切点， 当公切线过的中点，且与垂直时， 因为，所以公切线的方程为，即； 当公切线与平行，且到公切线的距离为时， 设公切线的方程为， 所以，解得或， 所以公切线的方程为或． 综上所述，公切线的方程为或或. 故选：BCD． 3．（24-25高二上·山东威海·期中）在平面直角坐标系中，已知. (1)证明：四点共圆； (2)过点作（1）中圆的切线，求切线方程； (3)坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点满足？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)不存在这样的点，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、判断点与圆的位置关系、求过已知三点的圆的标准方程、判断圆与圆的位置关系 【分析】（1）求出经过三点的圆的方程，代入点坐标验证可得答案； （2）当斜率不存在时可直接得答案，当斜率存在时，设直线方程为，再利用圆心到直线的距离等于半径可得答案； （3）设的坐标为，根据可得的轨迹方程为圆，再由两圆的位置关系判断可得答案. 【详解】（1）设经过三点的圆的方程为， 则， 解方程组可得， 所以圆的方程为（或）； 又点在圆上， 所以证得四点在圆上； （2）当斜率不存在时，方程为，与圆相切，成立； 当斜率存在时，设直线方程为， 即， 所以可得，可得， 所以直线为， 所以所求切线方程为或； （3）设的坐标为，依题意可得， 平方化简可得的轨迹方程为， 两圆圆心的距离， 所以两圆的位置关系为内含，所以不存在这样的点. 4．（24-25高二上·天津·期中）已知圆，圆. (1)试判断圆与圆是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交，说明理由； (2)若直线与圆交于，两点，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求实数的值. 【答案】(1)相交， (2)或 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、由直线与圆的位置关系求参数、判断圆与圆的位置关系 【分析】（1）将两个圆化成标准方程，再判断圆心距和半径间的距离的关系即可得到两圆相交，两个圆相减可以得到公共弦的方程； （2）由题意可知，所以，联立直线和圆的方程得到韦达定理，代入即可求解. 【详解】（1）圆化成标准方程为,圆心,半径. 圆化成标准方程为,圆心,半径. 由于,故两圆相交. 两圆方程作差得， 即公共弦所在直线的方程为. （2）设， 将代入, 得. 整理得, 所以, 所以. 由题意得，即，可得, 所以,即, 解得或. 题型二十二 圆与圆的位置关系确定圆的方程以及相交圆的公共弦问题（共7小题） 1．（24-25高二上·广东·期中）已知圆，是圆上的一个动点，点，是线段的中点，为坐标原点． (1)求动点的轨迹方程； (2)当时，求直线的方程及线段的长度． 【答案】(1) (2)， 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程、轨迹问题——圆 【分析】（1）设，，根据中点及点在圆上，代入可得轨迹方程； （2）易知为圆与圆的公共弦，两圆联立可得直线方程，再根据垂径定理可得线段长度. 【详解】（1）设，， 则，即， 又点在圆上， 即，即， 代入可得， 即； （2）   由（1）得点在圆上， 又点在上， 由，可知点与满足， 即与在圆， 即为圆与圆的公共弦， 联立可得， 又圆心到的距离， 所以弦长. 2．（24-25高二上·湖北鄂州·期中）已知圆和点. (1)过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程. 【答案】(1)或； (2) 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程； （2）求出以点为圆心，半径为的圆的方程，将该圆方程与圆的方程作差，即可得出直线的方程. 【详解】（1）圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线AB的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； （2）因为，则， 所以以点为圆心，为半径为圆的方程为， 联立，两式相减整理可得：， 即EF所在的直线方程为. 3．（24-25高二上·山西大同·期中）已知圆和点. (1)过点作一条直线与圆交于、两点，且，求直线的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点分别为、，求所在的直线方程. 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】切点弦及其方程、相交圆的公共弦方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程； （2）求出以点为圆心，半径为的圆的方程，将该圆方程与圆的方程作差，即可得出直线的方程. 【详解】（1）圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为，合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）因为，则， 所以以点为圆心，为半径为圆的方程为， 则线段可视为圆与圆的相交弦， 将上述两圆的方程作差可得. . 4．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．    (1)求圆心与圆心的坐标； (2)已知直线过点若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，求出的值. 【答案】(1)、 (2) 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）设圆心，其中，根据圆与圆的位置关系可得出，可求出的值，即可得出点的坐标，同理可得出点的坐标； （2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，利用几何法求出直线截三个圆所得的弦长，可得出关于的方程，解出的值，即可求出的值. 【详解】（1）圆的半径为，设圆心，其中， 由于圆和圆外切，且圆的半径为，则，解得， 即点，同理可得点. （2）若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时，直线与圆、圆都相离，不合乎题意， 设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为， 且圆、圆的半径均为，所以，直线截圆、圆的弦长为， 圆心到直线的距离为，则直线截圆的弦长为， 由题意可得，解得， 所以，.    5．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知：圆的圆心在第一象限，与轴相切，与轴交于，两点，且，，点在斜率为的直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程； (3)若存在圆心在直线上，半径为的圆与圆外切，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由圆的位置关系确定参数或范围、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）设圆，根据题意列出方程求解； （2）设直线，求出圆心到直线的距离，结合，求出得解； （3）由题，求出到的距离，利用，求解. 【详解】（1）设圆， 根据题意，可得，解得，， 所以圆的标准方程为. （2）设直线，圆心到的距离， 因为，所以，即， 所以或， 所以直线的方程为或. （3）若存在圆与圆外切，即存在点使得， 因为到的距离，所以， 所以，即， 所以或. 6．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知圆C的圆心C在直线上，且圆C与直线相切于. (1)求圆C的标准方程； (2)已知，其中，若圆C上存在点P，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】（1）根据直线与圆相切先确定过且垂直于的直线也过圆心，再利用两直线交点的计算求出圆心，结合两点距离公式计算半径即可得圆的标准方程； （2）利用圆的性质将问题转化为两圆有交点，结合圆心距计算参数即可. 【详解】（1）因为圆C与直线相切于， 所以过且垂直于的直线过圆心C. 易求得该直线为， 又圆心C在直线上， 所以，即圆心， 半径； 所以圆C的标准方程为； （2）由于，所以P的轨迹是以为直径的圆（除外）， 所以以为直径的圆O为：， 又因为P在圆C上，所以圆C与以为直径的圆有公共点，                      易知圆心距，所以，解得. 7．（24-25高二上·福建泉州·期中）如图，已知圆，点.    (1)求圆心在直线上，经过点，且与圆相外切的圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】由圆与圆的位置关系确定圆的方程、求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）通过求圆的圆心和半径来求得圆的方程. （2）首先判断出，求得到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案. 【详解】（1）由， 化为标准方程：. 所以圆的圆心坐标为，    又圆的圆心在直线上，设圆的圆心坐标为， 又经过点A，且与圆相外切，所以切点为， 则有， 即， 解得， 所以圆的圆心坐标为，半径， 故圆的方程为. （2）    因为圆弧PQ恰为圆C周长的，所以. 所以点到直线的距离为2. 当直线的斜率不存在时，点C到轴的距离为2， 直线即为轴，所以此时直线的方程为. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.    所以，解得， 所以此时直线的方程为. 综上，所求直线的方程为或. 题型二十三 圆的公切线问题（共2小题） 1．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知圆与圆，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相切 B．两圆的公共弦所在的直线方程为 C．两圆的公切线有两条 D．两圆的公共弦长为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程、判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 【分析】根据圆心距与两圆半径的关系判断两圆的位置关系，进而判断两圆相切是否正确；通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程；根据两圆位置关系判断公切线的条数；再利用弦长公式计算公共弦长. 【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径. 对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据两点间距离公式，圆心距. ，，而，所以两圆相交，故A选项错误. 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，即，化简得，故B选项正确. 因为两圆相交，所以公切线有两条，故C选项正确. 先求圆心到公共弦的距离， . 根据弦长公式，则弦长，故D选项错误. 故选：BC. 2．（24-25高二上·福建福州·期中）以下四个命题表述正确的是（   ） A．过点）且在轴、轴上截距相等的直线方程为 B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C．圆与圆恰有三条公切线，则 D．已知圆，过点向圆引两条切线为切点，则直线方程为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、求点到直线的距离、相交圆的公共弦方程、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据截距可为零、点到直线距离、圆与圆的位置关系，公共弦所在直线方程等知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】A选项，如果截距为零，则直线方程为，故A错误. B选项，圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为， 所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，B选项正确. C选项，圆的圆心为，半径为.圆的圆心为， 半径为， 由于、有三条公切线，所以两个圆外切， 所以，，C选项正确. D选项，圆的圆心为原点，半径为.， 以为直径的圆的方程为，即， 则所在直线方程为即. 故D选项正确. 故选：BCD $