专题02 一元二次方程（期中复习讲义）九年级数学上学期湘教版

专题02 一元二次方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的定义与解法 1. 能识别一元二次方程的标准形式（ax²+bx+c=0，a≠0）。 2. 掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的适用条件及步骤。 1. 选择题（30%）：判断方程类型或解法适用性。 2. 填空题（20%）：直接求解简单方程（如x²=9）。 易错点：忽略a≠0或漏解（如x²=4的解为±2）。 根的判别式（Δ=b²-4ac） 1. 根据Δ值判断根的情况（Δ>0两实根，Δ=0重根，Δ<0无实根）。 2. 逆向应用：已知根的情况求参数范围（如k为何值时方程有实根）。 1. 高频考点（80%概率出现），常见于选择题和解答题。 2. 易混淆Δ=0与Δ≥0的情况，需注意题目要求（如“有实根”包含Δ=0）。 根与系数的关系（韦达定理） 1. 掌握x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a的应用。 2. 能求解对称式（如x₁²+x₂²）或构造新方程。 1. 解答题（50%）：与实际问题或综合题结合（如已知两根之和求参数）。 2. 易错点：符号错误（-b/a漏负号）或未验证Δ≥0的前提。 一元二次方程的实际应用 1. 列方程解几何问题（面积、勾股定理）、增长率问题、利润问题。 2. 检验解的合理性（如边长>0、增长率≤100%）。 1. 压轴题常见（占30%），多与几何、经济问题结合。 2. 易错点：未舍去不合实际的解（如时间为负值）。 知识点01 一元二次方程的基本概念 1.定义: 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程 2.一般形式: (a，b，c为常数，a≠0) 3.项数和系数: (a，b，c为常数，a≠0) 二次项: ;二次项系数:a 一次项: ;二次项系数:b 常数项:c 4.注意事项: (1)含有一个未知数;(2)未知数的最高次数为2;(3)二次项系数不为0;(4)整式方程 示例：判断方程类型： ① （是） ② （否，最高次非2） 易错点：忽略二次项系数 知识点02 解一元二次方程的方法 各种一元二次方程的解法及使用类型 示例：解方程 （直接开平方法） 答案： 易错点：1. 漏解（如的解为） 2. 配方时符号错误 知识点03 一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程(a≠0)的根的判别式 原方程有两个不相等实数根 原方程有两个相等实数根 原方程有两个相等实数根 示例：1.方程的Δ=1>0，有两个不等实根 2.若方程有实根，求k范围 答案：或 易错点：1. 混淆Δ>0（两实根）与Δ≥0（有实根） 2. 计算Δ时漏写负号（如时Δ=） 知识点4 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的两根为，则两根与系数a，b，c的关系是: 注意:根与系数的关系的前提是:方程是一元二次方程，即二次项系数a≠0，且. 示例：1.已知方程的两根为，求 解：， ∴ 2.构造新方程，使两根为原方程根的倒数 解：新方程为 易错点：1. 符号错误（漏负号） 2. 未验证Δ≥0的前提条件 知识点5 一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤 答、审、设、列、解、检 (1)审题:通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系 (2)设元:就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法(3)列方程:就是建立已知量与未知量之间的等量关系，列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题 (4)解方程:正确求出方程的解并注意检验其合理性， (5)作答:即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语 示例：增长率问题：某厂2月产50吨，4月产60.5吨，求月均增长率 解：设增长率r，列方程，解得r=10% 易错点：1. 未舍去不合实际的解（如时间为负、增长率>100%） 2. 单位不统一导致计算错误 题型一 根的判别式综合题 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 看到含参数的一元二次方程，优先计算Δ（判别式），判断根的情况（两实根、重根、无实根）。 怎么做？ 1. 列判别式Δ = b² - 4ac。 2. 根据题目要求（如“有实根”“无实根”）列不等式。 解不等式时注意二次项系数是否为0（需分类讨论）。 易｜错｜点｜拨 忽略二次项系数为0的情况（如方程(k-1)x² + 2x -1=0需讨论k=1时是否为一次方程）。 混淆Δ>0（两不等实根）与Δ≥0（有实根）。 【典例1】（25-26九年级上·全国·期中）方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【变式1】（24-25九年级上·全国·期中）已知方程有实数根，则k的取值范围是 【变式2】（24-25八年级下·广西百色·期中）若正比例函数的图象经过第一、三象限，则关于的方程根的情况为 ． 【变式3】（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 题型二 韦达定理 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 已知两根之和/积，求代数式（如x₁² + x₂²）或构造新方程。 怎么做？ 1. 用x₁ + x₂ = -b/a，x₁x₂ = c/a。 2. 变形公式：x₁² + x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂。 构造新方程时，两根和/积与原方程相反或倒数。 易｜错｜点｜拨 忘记验证Δ≥0的前提条件。 符号错误（如x₁ + x₂ = -b/a漏负号）。 【典例1】（24-25八年级下·广西百色·期中）若关于的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）关于x的方程有两个根为、，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】（25-26八年级上·广东广州·期中）（2+4+4=10）综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… 请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 【变式3】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）【知识技能】 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，， 则． 【数学理解】 （1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值． （3）已知实数，满足，，且，求的值． 题型三 动态几何问题 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 动点问题中，设参数表示边长，利用勾股定理或面积公式列方程。 怎么做？ 1. 设动点位置（如运动时间为t）。 2. 用t表示相关线段长度或面积。 解方程时注意t的范围限制。 易｜错｜点｜拨 忽略几何图形存在条件（如三角形两边之和>第三边）。 未分类讨论多解情况。 【典例1】（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（   ） A． B． C．或 D． 【典例2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)为何值时，在的垂直平分线上？ (2)为何值时，的长度为？ 【变式1】（25-26九年级上·全国·期中）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． (1)问当t为多少时，？ (2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2030 B．2029 C．2025 D．2021 3．已知实数x、y满足，则的值是（    ） A．3 B． C．1 D．3或 4．已知关于x的方程 ，若方程的两个根一根大于1，另一根小于，m的取值范围是 ． 5．方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 6．解方程： (1)； (2)． 7．已知，是关于x的方程的两个实数根． (1)当关于x的方程的一个根是时，求m的值； (2)当时，求代数式的值． 8．中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心1月份的参观人数为10万人，3月份的参观人数增加到14.4万人．求参观人数的月平均增长率． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且是关于的一元二次方程的两个根，则的值是 ． 2．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的最小正整数值是 ． 3．已知一元二次方程的两根是，，则 ． 4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）先化简，再求值：，其中是方程的根． 5．关于的方程的解为（可变形为）的解为的解为的解为，…． (1)请你根据上述方程与解的特征，猜想关于的方程的解； (2)请总结上面的结论，并求出方程的解． 6．关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． (1) （填是或否）存在“”点； (2)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； (3)关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 7．白露是秋季第三个节气，具有昼夜温差显著、气候转凉的特点，在这一天有收集清露、饮白露茶、吃龙眼等习俗．某水果店在白露节气来临之际，主推本地龙眼，已知该龙眼每千克成本为8元，原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克．根据销售经验，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克． (1)若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售多少千克？ (2)高温天气水果难以保鲜，水果店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，每千克龙眼售价应定为多少元？ 8．用长为78米的竹篱笆围一个面积为750平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长45米），另三边用竹篱笆围成， (1)求鸡场的长与宽各为多少米？ (2)能否围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场？如果能，说明围法；如果不能，请说明理由． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．已知方程有两个相等实根，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 2．已知、是方程的两根，且，则的值为（　　） A． B． C．95 D． 3．设α是方程的一个根，则的值为 ． 4．如图所示，在中，，为边中线；且G在的垂直平分线上，在中，，则等于 5．如图，在矩形中，，，，、分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，．当 时，以P，Q、M，N为顶点的四边形是平行四边形． 6．一个批发与零售兼营的文具店规定：凡一次性购买铅笔支以上（包括支），可以按批发价付款；购买支以下（包括支）只能按零售价付款．现有学校后勤人员来购买铅笔，若给学校九年级每人买支，则只能按零售价付款，需付元（为正整数，且）；若多买支，则可以按批发价付款，同样需付元． (1)设这个学校九年级共有名学生， ①试确定的取值范围是_____； ②铅笔的零售价每支应为_____元，批发价每支应为_____元（用含，的代数式表示）； (2)若每支铅笔的批发价比零售价低元，试求这个学校九年级共有多少名学生，并确定的值． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的定义与解法 1. 能识别一元二次方程的标准形式（ax²+bx+c=0，a≠0）。 2. 掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的适用条件及步骤。 1. 选择题（30%）：判断方程类型或解法适用性。 2. 填空题（20%）：直接求解简单方程（如x²=9）。 易错点：忽略a≠0或漏解（如x²=4的解为±2）。 根的判别式（Δ=b²-4ac） 1. 根据Δ值判断根的情况（Δ>0两实根，Δ=0重根，Δ<0无实根）。 2. 逆向应用：已知根的情况求参数范围（如k为何值时方程有实根）。 1. 高频考点（80%概率出现），常见于选择题和解答题。 2. 易混淆Δ=0与Δ≥0的情况，需注意题目要求（如“有实根”包含Δ=0）。 根与系数的关系（韦达定理） 1. 掌握x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a的应用。 2. 能求解对称式（如x₁²+x₂²）或构造新方程。 1. 解答题（50%）：与实际问题或综合题结合（如已知两根之和求参数）。 2. 易错点：符号错误（-b/a漏负号）或未验证Δ≥0的前提。 一元二次方程的实际应用 1. 列方程解几何问题（面积、勾股定理）、增长率问题、利润问题。 2. 检验解的合理性（如边长>0、增长率≤100%）。 1. 压轴题常见（占30%），多与几何、经济问题结合。 2. 易错点：未舍去不合实际的解（如时间为负值）。 知识点01 一元二次方程的基本概念 1.定义: 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程 2.一般形式: (a，b，c为常数，a≠0) 3.项数和系数: (a，b，c为常数，a≠0) 二次项: ;二次项系数:a 一次项: ;二次项系数:b 常数项:c 4.注意事项: (1)含有一个未知数;(2)未知数的最高次数为2;(3)二次项系数不为0;(4)整式方程 示例：判断方程类型： ① （是） ② （否，最高次非2） 易错点：忽略二次项系数 知识点02 解一元二次方程的方法 各种一元二次方程的解法及使用类型 示例：解方程 （直接开平方法） 答案： 易错点：1. 漏解（如的解为） 2. 配方时符号错误 知识点03 一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程(a≠0)的根的判别式 原方程有两个不相等实数根 原方程有两个相等实数根 原方程有两个相等实数根 示例：1.方程的Δ=1>0，有两个不等实根 2.若方程有实根，求k范围 答案：或 易错点：1. 混淆Δ>0（两实根）与Δ≥0（有实根） 2. 计算Δ时漏写负号（如时Δ=） 知识点4 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的两根为，则两根与系数a，b，c的关系是: 注意:根与系数的关系的前提是:方程是一元二次方程，即二次项系数a≠0，且. 示例：1.已知方程的两根为，求 解：， ∴ 2.构造新方程，使两根为原方程根的倒数 解：新方程为 易错点：1. 符号错误（漏负号） 2. 未验证Δ≥0的前提条件 知识点5 一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤 答、审、设、列、解、检 (1)审题:通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系 (2)设元:就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法(3)列方程:就是建立已知量与未知量之间的等量关系，列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题 (4)解方程:正确求出方程的解并注意检验其合理性， (5)作答:即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语 示例：增长率问题：某厂2月产50吨，4月产60.5吨，求月均增长率 解：设增长率r，列方程，解得r=10% 易错点：1. 未舍去不合实际的解（如时间为负、增长率>100%） 2. 单位不统一导致计算错误 题型一 根的判别式综合题 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 看到含参数的一元二次方程，优先计算Δ（判别式），判断根的情况（两实根、重根、无实根）。 怎么做？ 1. 列判别式Δ = b² - 4ac。 2. 根据题目要求（如“有实根”“无实根”）列不等式。 解不等式时注意二次项系数是否为0（需分类讨论）。 易｜错｜点｜拨 忽略二次项系数为0的情况（如方程(k-1)x² + 2x -1=0需讨论k=1时是否为一次方程）。 混淆Δ>0（两不等实根）与Δ≥0（有实根）。 【典例1】（25-26九年级上·全国·期中）方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·全国·期中）已知方程有实数根，则k的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．分类讨论当时和时两种情况，即可求解． 【详解】解：当时，原方程为，解得，满足题意； 当时，原方程可化为 由题意得：，解得：； 综上所述：， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·广西百色·期中）若正比例函数的图象经过第一、三象限，则关于的方程根的情况为 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查正比例函数，一元二次方程根的判别式．由正比例函数的象经过一、三象限，可得，再根据的值判断一元二次方程的根的情况． 【详解】解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ， 为一元二次方程， ， 有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【变式3】（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 【答案】(1)方程必有两个不等实数根； (2)m的值为1，这两个有理数根为和． 【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程． （1）由方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程必有两个不等实数根； （2）由m的取值范围及方程存在两个有理数根，可得出，代入后可得出原方程为，且，再利用公式法，即可求出原方程的两个有理数根． 【详解】（1）证明： ． ∵， ∴， 即， ∴方程必有两个不等实数根； （2）解：∵当m取的整数时，存在两个有理数根，且， ∴， ∴原方程为，且， ∴此时原方程的解为， ∴m的值为1，这两个有理数根为和． 题型二 韦达定理 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 已知两根之和/积，求代数式（如x₁² + x₂²）或构造新方程。 怎么做？ 1. 用x₁ + x₂ = -b/a，x₁x₂ = c/a。 2. 变形公式：x₁² + x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂。 构造新方程时，两根和/积与原方程相反或倒数。 易｜错｜点｜拨 忘记验证Δ≥0的前提条件。 符号错误（如x₁ + x₂ = -b/a漏负号）。 【典例1】（24-25八年级下·广西百色·期中）若关于的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系判断即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个根为， 则对于一元二次方程， ， 即， ∴关于的一元二次方程为． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）关于x的方程有两个根为、，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键 根据一元二次方程根与系数的关系，即“”直接计算两根之和即可 【详解】解：由根与系数的关系，两根之和为：． 故选：D ． 【变式2】（25-26八年级上·广东广州·期中）（2+4+4=10）综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… 请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 【答案】（1）；（2），；（3）互为倒数，，过程见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的相关知识，熟练掌握一元二次方程的解法、求根公式以及对新定义“友好方程”的理解与运用是解题的关键． （1）依据“友好方程”的定义直接写出； （2）先写出“友好方程”，再用因式分解法求解； （3）先根据求根公式表示出两个方程的根，再通过计算根的乘积或和来推导关系． 【详解】解：（1）依题意可得： 一元二次方程的“友好方程”是， 故答案为：； （2）， ∴， 解得：，； （3）∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， ∴ ， 同理： ， ∴方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数， 故答案为：互为倒数，； 【变式3】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）【知识技能】 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，， 则． 【数学理解】 （1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值． （3）已知实数，满足，，且，求的值． 【答案】（），；（）；（）． 【分析】本题考查了根与系数的关系，通过完全平方公式进行变形求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （）利用根与系数的关系即可求解； （）根据根与系数的关系得，，由，再代入即可求解； （）根据题意可得、可看作方程的两根，则，，由，再代入即可求解． 【详解】解：（）根据根与系数的关系得，； 故答案为：，； （）根据根与系数的关系得，， ∴ ； （）∵实数，满足，，且， ∴、可看作方程的两根， ∴，， ∴ ， ∴． 题型三 动态几何问题 解｜题｜技｜巧 怎么想？ 动点问题中，设参数表示边长，利用勾股定理或面积公式列方程。 怎么做？ 1. 设动点位置（如运动时间为t）。 2. 用t表示相关线段长度或面积。 解方程时注意t的范围限制。 易｜错｜点｜拨 忽略几何图形存在条件（如三角形两边之和>第三边）。 未分类讨论多解情况。 【典例1】（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．设点P运动的时间是，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设点P运动的时间是， ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：A． 【典例2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)为何值时，在的垂直平分线上？ (2)为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由题意得，，则，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，则，解方程即可得到答案； （2）由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，在的垂直平分线上； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴当或时，的长度为． 【变式1】（25-26九年级上·全国·期中）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程解决问题． （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒， ，， ， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； （2）由题意得：， 的面积等于， ， ， ， 或（舍去）， 当时，使得的面积等于． 【变式2】（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． (1)问当t为多少时，？ (2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)t的值为1 (2)存在，t的值为2 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程，正方形的性质，三角形的面积，掌握以上知识点是解本题的关键． （1）根据题意得，，根据勾股定理可得，整理得，解出方程即可． （2）根据正方形的性质，可得，，再利用三角形面积得出，代入数值列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ． ，即， ， ， ． 当时，，舍去， 的值为1． （2）存在． 理由：四边形是正方形， ，， ， ， 即， ，解得． 当t的值为2时，． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的定义，解题关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，该整式方程只有一个未知数，且未知数的最高次数是，符合一元二次方程的定义，选项正确； 选项，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，选项错误； 选项，该整式方程只含有一个未知数，但未知数的最高次数是，不符合一元二次方程的定义，选项错误； 选项，该整式方程有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，选项错误． 故选：． 2．若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2030 B．2029 C．2025 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键．根据一元二次方程的根的定义可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．已知实数x、y满足，则的值是（    ） A．3 B． C．1 D．3或 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，由条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∵， ∴． 故选：A 4．已知关于x的方程 ，若方程的两个根一根大于1，另一根小于，m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先解方程可得，，再进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵方程的两个根一根大于1，另一根小于， ∴． 5．方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得：且． ∴k的取值范围是且， 故答案为：且． 6．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查的知识点是配方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握一元二次方程的不同解法． （1）根据配方法解一元二次方程； （2）根据因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ，． 7．已知，是关于x的方程的两个实数根． (1)当关于x的方程的一个根是时，求m的值； (2)当时，求代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”；（2）利用根与系数的关系，找出与的值． （1）将代入原方程，可得出，解之即可得出m的值； （2）代入，可找出原方程为，利用根与系数的关系，可得出，，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：将代入原方程得：， 解得：， 的值为； （2）解：当时，原方程为， ，是关于x的方程的两个实数根， ，， 8．中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心1月份的参观人数为10万人，3月份的参观人数增加到14.4万人．求参观人数的月平均增长率． 【答案】参观人数的月平均增长率为． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握关于增长率的公式是解答此题的关键．根据公式：（其中表示增长前的量，表示增长后的量，表示月平均增长率，表示月份数），列方程求解即可． 【详解】解：设这两个月参观人数的月平均增长率为， 根据题意，得：， 解得：或（舍去） 答：参观人数的月平均增长率为． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且是关于的一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】1或2/2或1 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质等知识点，注意：等腰三角形的两腰相等．已知一元二次方程、、为常数，，①当时，方程有两个不相等的实数根，②当时，方程有两个相等的实数根，③当时，方程没有实数根．分为两种情况：①、是腰，②、其中一个是腰，另一个是底边，分别求出答案即可． 【详解】解：①当、为腰时，， 、是关于的一元二次方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ， 解得：； ∴， 解得， 此时三角形三边长为：、、，符合三角形三边关系， ②当和3（或和是腰时，， 三角形不是等边三角形， 此时方程有两个不相等的实数根， 、是关于的一元二次方程的两个根， 把代入方程得， 解得：； ∴， 解得，， 此时三角形三边长为：、、，符合三角形三边关系， ∴或2． 故答案为：1或2． 2．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的最小正整数值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查根的判别式、一元二次方程的定义、解不等式等知识点，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出，结合一元二次方程的定义知求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， ∴k的最小正整数值是2． 故答案为：2． 3．已知一元二次方程的两根是，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意可得，，将所求式子进行变形，再整体代入计算即可得解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的两根是，， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式化简求值，方程的解，先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于是方程的根，那么，可得整体代入化简后的式子，计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴原式 ． 5．关于的方程的解为（可变形为）的解为的解为的解为，…． (1)请你根据上述方程与解的特征，猜想关于的方程的解； (2)请总结上面的结论，并求出方程的解． 【答案】(1) (2)结论：方程的解为； 【分析】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，将方程转化为的形式．由已知得出分式方程的解及其规律是解题关键．解分式方程注意要检验． （1）观察所给材料的规律得出方程的解即可； （2）将变形为，求得的值后再来求x的值即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程的解为：， 的解为， 的解为， …， ∴关于的方程的解为． （2）解：结论：方程的解为． 关于的方程， 即， 则或， 解得． 6．关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． (1) （填是或否）存在“”点； (2)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； (3)关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是 (2)， (3)存在， 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一次函数图象上点的特征，新定义及规律探究． （1）先解一元二次方程，得到方程的两个根，再根据“”点的定义判断即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得，，进而可得答案； （3）假设存在，根据题意，求出；再根据，，得到，，代入化简为，求出m，检验是否符合题意即可． 【详解】（1）解：由，得， ∴或， 解得，， ∵，为整数， ∴是“”点， 故答案为：是； （2）解：∵关于x的一元二次方程：的“”点为， ∴，， 故，； （3）解：假设关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上， 由， 得， 故， 由一元二次方程的根与系数的关系得，， ∴， ∵“”点在直线上， ∴， ∴， 解得，， 所以， 整理得 ， 解得或， 当时，方程为，，，“”点坐标为，符合； 当时，和不是整数解，舍去． 综上，关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，此时． 7．白露是秋季第三个节气，具有昼夜温差显著、气候转凉的特点，在这一天有收集清露、饮白露茶、吃龙眼等习俗．某水果店在白露节气来临之际，主推本地龙眼，已知该龙眼每千克成本为8元，原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克．根据销售经验，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克． (1)若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售多少千克？ (2)高温天气水果难以保鲜，水果店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，每千克龙眼售价应定为多少元？ 【答案】(1)龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克 (2)为了销售量尽可能大，每千克龙眼售价应定为14元 【分析】该题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意． （1）根据“原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克”列式计算即可． （2）设每千克龙眼售价为x元，根据利润数量每千克的利润，列方程解答即可． 【详解】（1）解：（千克）． 答：若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克． （2）解：设每千克龙眼售价为x元， 由题意得， 解得，， 要保证销售量尽可能大， 每千克龙眼售价应定为14元． 8．用长为78米的竹篱笆围一个面积为750平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长45米），另三边用竹篱笆围成， (1)求鸡场的长与宽各为多少米？ (2)能否围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场？如果能，说明围法；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)鸡场的长为30米，宽为25米 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式． （1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，根据围成鸡场的面积为750平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长45米，即可确定鸡场的长与宽； （2）不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场，设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为米，根据围成鸡场的面积为900平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，即不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：鸡场的长为30米，宽为25米； （2）解：不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场，理由如下： 设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为米， 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， 即不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．已知方程有两个相等实根，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的情况求参数，解题关键是一元二次方程的根的判别式并能熟练运用． 先根据一元二次方程有两个相等的实根，计算判别式，求得，代入化简即可． 【详解】解：∵方程有两个相等实根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 2．已知、是方程的两根，且，则的值为（　　） A． B． C．95 D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．先设，，则可用、表示，，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，则可得，的值，然后将两个式子相加即可得． 【详解】解：设，， ∴， ， ∵、是方程的两根， ∴，， ∴， ∵， ∴（负值已舍去）， ∴， ， 将两个式子相加得：， ∴， 即， 故选：A． 3．设α是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解、整式的化简求值，根据题意得，，进行整体代入求值即可． 【详解】解：∵α是方程的一个根， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．如图所示，在中，，为边中线；且G在的垂直平分线上，在中，，则等于 【答案】 【分析】连接，作，交的延长线于点，设，推出，勾股定理求出，中垂线的性质，得到，在中，利用勾股定理，列出方程求出的值，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接，作，交的延长线于点， ∵在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵为边中线， ∴， 设，则：， 在中，， ∵G在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键． 5．如图，在矩形中，，，，、分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，．当 时，以P，Q、M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或4． 【分析】本题考查了平行四边形的判定，有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，正确进行讨论是关键．首先利用表示出和的长，然后根据即可列方程求得的值． 【详解】解：由题意知，点只能在点的左侧， ①当点在点的左侧时，由， 整理得， 解这个方程，得（舍去），． 所以，当时，四边形是平行四边形． ②当点在点的右侧时，由， 整理得， 解这个方程，得（舍去），． 所以，当时，四边形是平行四边形． 所以当或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：2或4． 6．一个批发与零售兼营的文具店规定：凡一次性购买铅笔支以上（包括支），可以按批发价付款；购买支以下（包括支）只能按零售价付款．现有学校后勤人员来购买铅笔，若给学校九年级每人买支，则只能按零售价付款，需付元（为正整数，且）；若多买支，则可以按批发价付款，同样需付元． (1)设这个学校九年级共有名学生， ①试确定的取值范围是_____； ②铅笔的零售价每支应为_____元，批发价每支应为_____元（用含，的代数式表示）； (2)若每支铅笔的批发价比零售价低元，试求这个学校九年级共有多少名学生，并确定的值． 【答案】(1)①；②， (2)这个学校九年级共有名学生，． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，代数式，不等式组的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）①根据题意即可求解；②根据单价总价除以数量即可求解； （2）由题意得，整理得，得到，，结合题意可知，，进而得到，取或，结合可得，最后求出即可． 【详解】（1）解：①由题意得 的取值范围是， 故答案为； ②铅笔的零售价每支应为，批发价每支应为， 故答案为：，； （2）由题意得， 整理得， ，， 、为正整数，且， ， 即， 解得：， 整数取或， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ， 答：这个学校九年级共有名学生，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $