专题01 因式分解（期中知识清单）八年级数学上学期新教材湘教版

专题01 因式分解（6知识&8题型&3易错&4方法清单） 【清单01】因式分解的概念 1. 把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式； 2. 因式分解的过程和多项式的乘法的过程正好相反：前者是把一个多项式化为几个多项式的乘积，后者是把几个多项式的乘积化为一个多项式. 【清单02】提公因式法 1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫作这个多项式各项的公因式，简称多项式的公因式. 2. 公因式的确定： (1)系数：取多项式各项整数系数的最大公因数； (2)字母：取多项式各项中相同的字母； (3)各字母的指数：取次数最低的． 3. 定义：逆用乘法对加法的分配律，可以把公因式提到括号外边，作为积的一个因式，这 种将多项式因式分解的方法，叫作提公因式法. 【清单03】公式法 一、平方差公式： 1. 因式分解中的平方差公式 a²- b² ＝( a + b )( a - b ) 2. 多项式的特征：(1) 可化为两个整式； (2) 两项符号相反；(3) 每一项都是整式的平方. 3. 注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式；(2)分解到每一个多项式都不能再分解为止. 二、完全平方公式法： 1.完全平方公式：a²+ 2ab + b² = ( a + b )²，a² - 2ab + b² = ( a - b )². 2.多项式的特征：(1)三项式；(2)有两项符号相同，能写成两个整式的平方和的形式； (3)另一项是这两整式乘积的2倍. 3.注意事项：有公因式时，应先提出公因式. 【清单04】十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 x2 ab x a x b ax + bx = ( a + b) x 【清单05】分组分解法 1.分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 2.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 3.添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【题型一】因式分解概念辨析 【例1】（24-25八年级下·四川成都·期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解．根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为整式的积的形式． 【详解】解：A. ，是整式的乘法运算，不符合因式分解的定义； B. ，右边的 不是整式，因此不符合要求； C. ，右边是乘积与常数的差，未完全转化为积的形式； D. ，左边是多项式，右边是整式 的平方，符合因式分解的定义； 故选：D 【变式1-1】下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案． 【详解】解：A、是整式的乘法，故A错误； B、没有把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B错误； C、因式分解的对象是多项式，而是单项式，故C错误； D、是因式分解，故D正确； 故选：D． 【变式1-2】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的判断，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、，是整式乘法，不属于因式分解，不符合题意； B、，属于因式分解，符合题意； C、，不属于因式分解，不符合题意； D、，不属于因式分解，不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】如果把二次三项式因式分解得，那么常数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键．将因式分解的结果用多项式乘法公式展开，其结果与二次三项式比较即可求解． 【详解】解：， ． 故选：D ． 【题型二】提公因式法分解因式 【例2】（24-25九年级下·吉林·期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-1】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，能选择适当的方法分解因式是解此题的关键，注意：因式分解的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法等． 用提取公因式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-2】如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 因式分解即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】利用因式分解计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式是解题的关键． （1）提公因式，即可求解； （2）提公因式，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【题型三】平方差公式分解因式 【例3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用平方差公式将变形后代入数值计算即可． 本题考查平方差公式，熟练掌握该公式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-1】若，则的值为（   ） A．14 B．21 C．49 D．56 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，幂的乘方和积的乘方，先利用幂的乘方与积的乘方得到原式，再利用平方差公式计算，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【变式3-2】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，利用平方差公式分解因式即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3-3】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了公式法因式分解，先平方差公式分解，再合并同类项即可. 【详解】解：原式 . 【题型四】完全平方式分解因式 【例4】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若多项式能用完全平方公式因式分解，则n的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解－运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：∵多项式能用完全平方公式因式分解， ， ， 故答案为：． 【变式4-1】运用公式直接对整式进行因式分解，则公式中的a可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式得出答案． 【详解】解：∵ ， ∴对上式进行因式分解，公式中的a可以是：． 故选：A． 【变式4-2】根据如图对算式的分析，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式分解因式可得，由此即可得． 【详解】解： ， 由图可知，， 则， 故选：C． 【变式4-3】公式法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解； （2）根据完全平方公式进行分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型五】综合提公因式和公式法分解因式 【例5】（24-25八年级下·四川成都·期中）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了整式的因式分解，提公因式法，公式法，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．先提公因式，再运用公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-1】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法，公式法因式分解是关键，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-2】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式5-3】因式分解： 【答案】 【分析】先找出多项式各项的公因式，通过提取公因式的方法将公因式提出，再对剩余的多项式进行分析，若还能分解则继续分解，直到不能再分解为止．本题主要考查了提公因式法与公式法（完全平方公式）的综合运用进行因式分解．熟练掌握提取公因式的方法以及完全平方公式的形式，并能灵活运用它们对多项式进行因式分解是解题的关键． 【详解】解： ． 【题型六】因式分解法的应用 【例6】（25-26八年级上·全国·期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：______； (2)请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽； (3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为．若，当a与b满足什么关系，S为定值，且定值S为多少？（用含b的代数式表示S）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当时，为定值 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景、多项式乘多项式与图形面积、因式分解的应用、整式的无关性问题等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）从个体和从整体两个方面计算大正方形的面积即可解答； （2）利用因式分解将化为，结合长方形面积公式画图即可；（3）设，结合图形，计算的值得到S的表达式，根据S为定值，与x的值无关，据此求解即可． 【详解】（1）解：方法1：大正方形的面积为：， 方法2：图2中四部分的面积和为：， ∴． 故答案为：． （2）解：由，故如图所示： ； （3）解：设，设右上角阴影为，左下角阴影为， ∵， ∴ ＝， 若S为定值，则S将不随x的变化而变化， ∴时，即时，为定值． 【变式6-1】颖颖同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为　　　； (2)若每块小长方形的面积为10，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的变形运用． （1）利用数形结合的思想，表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论； （2）由题意，得到，，利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：表示大长方形的面积， 大长方形的边长分别为：， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意，得：，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 【变式6-2】对任意一个正整数m，如果，其中k是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点． (1)请判断110，1560为“矩数”吗？如果是，请求出最佳拆分点，如果不是，请说明理由． (2)把“矩数”p与“矩数”q的差记为，其中，．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．当时，求的最大值． 【答案】(1)110是“矩数”，10为110的最佳拆分点；1560是“矩数”，39为1560的最佳拆分点 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟记因式分解的方法是解题的关键． （1）进行因式分解，整理成符合题意的形式即可； （2）根据题意列出方程，得到方程组从而得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴110是“矩数”，10为110的最佳拆分点； ∵， ∴1560是“矩数”，39为1560的最佳拆分点； （2）解：根据题意可得：，， ， 即，且t，s均为正整数，， ∴，即，且t，s均为正整数，， ∴与也是正整数，且， ∵， ∴或 解得：或． 因为t，s是正整数， ∴符合条件的是：． 所以的最大值为． 【变式6-3】我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] （1）已知34是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] （3）已知，则求的值； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解本题的关键． （1）根据“完美数”可得答案； （2）利用完全平方公式可得，从而可得答案； （3）利用完全平方公式把左边分解因式，再利用非负数的性质可得答案； （4）利用完全平方公式可得 ，再利用新定义可得答案． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）； ∴，， ∴； 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：； （4）当时，为“完美数”，理由如下： ， 当时，，则，为完美数． 【题型一】混淆因式分解与整式乘法 因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，而整式乘法是几个整式相乘得到多项式，二者是互逆的过程。 【例1】下列从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键；因此此题可根据“把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，这个过程叫做因式分解”进行排除选项即可． 【详解】解：A、等式右边不是几个整式乘积的形式，所以不是因式分解，故不符合题意； B、该选项属于整式的乘法，所以不是因式分解，故不符合题意； C、符合因式分解的定义，故符合题意； D、，等式右边错误，故不符合题意； 故选C． 【变式1-1】下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，利用因式分解的方法逐一排除即可，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：、，原选项因式分解不完全，不符合题意； 、，原选项因式分解正确，符合题意； 、左边不可以因式分解，原选项不符合题意； 、的右边不是整式的乘积形式，不符合因式分解的定义，原选项不符合题意； 故选：． 【变式1-2】下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，据此进行判断即可． 【详解】A、左边是单项式，不属于因式分解，故A选项不符合题意； B、，因式分解不彻底，故B选项不符合题意； C、是因式分解，故C选项符合题意； D、，不是整式，故D选项不符合题意； 故选C． 【题型二】公因式提取不当 1.公因式提取不彻底：提取公因式时，要把各项系数的最大公因数和相同字母的最低次幂都提取出来。 2.忽略首项系数为负的情况：当多项式的首项系数为负数时，通常要提出一个带负号的公因式，使括号里首项不含负号。 3.提公因式后漏项：多项式中某一项全提公因式后，括号里这一项应该为1，但学生容易漏掉。 【例2】已知实数满足，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，将已知数值代入并进行正确的计算是解题的关键．根据得出，将原式变形后整体代入即可求解． 【详解】解：已知， 则， 那么 ． 故选：C． 【变式2-1】因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用提取公因式法分解因式即可； （2）利用提取公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-2】把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)． (2)． (3)． 【分析】本题考查提取公因式法的因式分解，确定公因式是解题的关键． （1）先确定公因式为后，提取公因式即可； （2）先确定公因式为后，提取公因式即可； （3）先确定公因式为后，提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【变式2-3】将下列各式因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）直接提取公因式即可； （2）提取公因式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 【题型三】公式运用错误 平方差公式：运用时要注意多项式必须是两项式，且两项都要是平方的形式，并且符号相反。 完全平方公式：需要满足是三项式，其中两项是平方项且同号，另一项是这两个平方项底数乘积的2倍。 【例3】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解-分组分解法，原式前三项结合后，利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式3-1】因式分解： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提公因式法，公式法进行因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再运用完全平方公式即可求解． （2）先提公因式，再运用完全平方公式即可求解． （3）先利用平方差公式，再利用完全平方公式即可求解． （4）先计算整式的乘法进行计算，再利用完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式3-2】分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是用公式法分解因式，熟练掌握公式是关键 （1）运用平方差公式和完全平方公式分解即可； （2）先用多项式的乘法将式子进行化简后，用完全平方公式分解； （3）先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式3-3】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）先用平方差公式再利用完全平方公式进行因式分解。 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式． （3）原式 ． 【题型四】分解不彻底 【例4】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题可利用平方差公式对原式进行因式分解，需要先将原式变形为平方差的形式，再逐步分解．本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式的形式以及多次运用公式的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式4-1】把下列多项式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式、公式法进行因式分解是解决此题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解； （2）先利用完全平方公式进行分解，再结合平方差公式进一步分解； （3）先将转化为，再结合平方差公式进一步分解，最后利用完全平方公式进行分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式4-2】分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了提公因式法，平方差公式分解因式，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． （1）利用平方差公式分解即可； （2）先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解（6知识&8题型&3易错&4方法清单） 【清单01】因式分解的概念 1. 把一个多项式表示成若干个多项式的 形式，称为把这个多项式 ，也称为 ； 2. 因式分解的过程和 的过程正好 ：前者是把一个多项式化为几个多项式的 ，后者是把几个多项式的 化为一个 . 【清单02】提公因式法 1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫作这个多项式各项的 ，简称多项式的公因式. 2. 公因式的确定： (1)系数：取多项式各项整数系数的 ； (2)字母：取多项式各项中 的字母； (3)各字母的指数：取次数 的． 3. 定义：逆用乘法对加法的 律，可以把 提到括号外边，作为积的一个 ，这种将多项式因式分解的方法，叫作提公因式法. 【清单03】公式法 一、平方差公式： 1. 因式分解中的平方差公式 a²- b² ＝( a + b )( a - b ) 2. 多项式的特征：(1) 可化为2 个整式； (2) 两项符号 ；(3) 每一项都是整式的 . 3. 注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式；(2)分解到每一个多项式都不能再分解为止. 二、完全平方公式法： 1.完全平方公式：a²+ 2ab + b² = ( )²，a² - 2ab + b² = ( )². 2.多项式的特征：(1)三项式；(2)有两项符号 ，能写成两个整式的 的形式； (3)另一项是这两整式 的 倍. 3.注意事项：有公因式时，应先提出 . 【清单04】十字相乘法 利用 线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 x2 ab x a x b ax + bx = ( a + b) x 【清单05】分组分解法 1.分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 2.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 3.添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【题型一】因式分解概念辨析 【例1】（24-25八年级下·四川成都·期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如果把二次三项式因式分解得，那么常数的值是（    ） A． B． C． D． 【题型二】提公因式法分解因式 【例2】（24-25九年级下·吉林·期中）分解因式： ． 【变式2-1】因式分解： ． 【变式2-2】如果，，那么 ． 【变式2-3】利用因式分解计算 (1) (2) 【题型三】平方差公式分解因式 【例3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）若，，则的值为 ． 【变式3-1】若，则的值为（   ） A．14 B．21 C．49 D．56 【变式3-2】因式分解： ． 【变式3-3】因式分解： ． 【题型四】完全平方式分解因式 【例4】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若多项式能用完全平方公式因式分解，则n的值是 ． 【变式4-1】运用公式直接对整式进行因式分解，则公式中的a可以是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】根据如图对算式的分析，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】公式法分解因式： (1)； (2)． 【题型五】综合提公因式和公式法分解因式 【例5】（24-25八年级下·四川成都·期中）分解因式： 【变式5-1】因式分解： ． 【变式5-2】因式分解： ． 【变式5-3】因式分解： 【题型六】因式分解法的应用 【例6】（25-26八年级上·全国·期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：______； (2)请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽； (3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为．若，当a与b满足什么关系，S为定值，且定值S为多少？（用含b的代数式表示S）． 【变式6-1】颖颖同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为　　　； (2)若每块小长方形的面积为10，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58，试求的值． 【变式6-2】对任意一个正整数m，如果，其中k是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点． (1)请判断110，1560为“矩数”吗？如果是，请求出最佳拆分点，如果不是，请说明理由． (2)把“矩数”p与“矩数”q的差记为，其中，．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．当时，求的最大值． 【变式6-3】我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] （1）已知34是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] （3）已知，则求的值； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【题型一】混淆因式分解与整式乘法 因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，而整式乘法是几个整式相乘得到多项式，二者是互逆的过程。 【例1】下列从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】公因式提取不当 1.公因式提取不彻底：提取公因式时，要把各项系数的最大公因数和相同字母的最低次幂都提取出来。 2.忽略首项系数为负的情况：当多项式的首项系数为负数时，通常要提出一个带负号的公因式，使括号里首项不含负号。 3.提公因式后漏项：多项式中某一项全提公因式后，括号里这一项应该为1，但学生容易漏掉。 【例2】已知实数满足，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．5 D． 【变式2-1】因式分解： (1)； (2)． 【变式2-2】把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【变式2-3】将下列各式因式分解： (1)． (2)． 【题型三】公式运用错误 平方差公式：运用时要注意多项式必须是两项式，且两项都要是平方的形式，并且符号相反。 完全平方公式：需要满足是三项式，其中两项是平方项且同号，另一项是这两个平方项底数乘积的2倍。 【例3】分解因式： ． 【变式3-1】因式分解： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式3-2】分解因式： (1) (2) (3) 【变式3-3】把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【题型四】分解不彻底 【例4】因式分解： ． 【变式4-1】把下列多项式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【变式4-2】分解因式： (1)； (2)． 学科网（北京）股份有限公2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $