第一章 空间向量和立体几何 知识清单填写及题型-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理“空间向量与立体几何”内容，涵盖空间向量概念、线性运算、共线共面定理、数量积及坐标运算，延伸至用向量研究线面平行垂直、距离与夹角问题，搭建从基础概念到几何应用的递进式学习支架。 清单通过表格归纳特殊向量类型、口诀记忆坐标对称规律，如“关于谁对称谁不变，其余互为相反数”，标注共线共面向量等重难点，题型覆盖选择填空及解答题，培养学生数学思维与空间观念，助力学生自主梳理知识，教师可据此高效设计教学活动。

空间向量与立体几何知识清单及题型 一．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有（ ）和（ ）的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的（ ）即为向量的（ ） (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作（ ），其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为（ ）的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为（ ）的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度（ ）而方向（ ）的向量，称为a的相反向量，记为 （ ） 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相（ ），那么这些向量叫做共线向量或平行向量． 规定：对于任意向量a，都有（ ） 相等向量 方向（ ）且模（ ）的向量称为相等向量 二．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝（ ） 减法 a－b＝－＝（ ） 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝（ ） 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 三．共线向量与共面向量】 1．共线向量 (1)空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使（ ） (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的（ ）． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. 2.三点共线 设O为平面内任意一点，则P，A，B三点共线的充要条件是：存在实数，使得，且。 3.共面向量定理 设是空间中__________的两个向量，则向量与向量_______的充要条件是：存在________有序的实数对，使得____________. 4.四点共面定理 点P与不共线的三点A，B，C四点共面的充要条件是：，且_____ 四．空间向量的数量积与夹角】 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤（ ） 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝（ ）． 规定：零向量与任何向量的数量积都为（ ）. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝（ ）求，进而确定． 4、 向量的投影 a在b上的投影：（ ） a在b上的投影向量：（ ） 五． 空间向量基本定理 1.如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝（ ） 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做（ ）． 成为基底的条件是（ ） 2.点的坐标表示 口诀： 口诀： （1）在坐标平面或坐标轴的射影坐标——缺谁谁就为0 （2） 关于谁对称，谁就不变！其余互为相反数 六．空间向量的坐标运算： 设， 1、 向量加法： 2、 向量减法： 3、向量的模： 4、向量数乘： 5、向量数量积：】 6、向量平行： 7、向量夹角： 8、向量垂直： 9、 向量在向量上的投影向量： 10、若则： ； 线段AB的中点P的坐标： 七．空间向量研究直线、平面的平行关系 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则： l1∥l2⇔（ ）⇔∃λ∈R，使得u1＝（ ）. （2）线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则： l∥α⇔（ ）⇔u·n＝（ ） （3）面面平行的向量表示：设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则： α∥β⇔（ ）⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 2．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则： l1⊥l2⇔（ ）⇔u1·u2＝0. （2）线面垂直的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则： l⊥α⇔（ ）⇔∃λ∈R，使得u＝λn. （3）面面垂直的向量表示：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则： α⊥β⇔（ ）⇔n1·n2＝0. 八．用空间向量研究距离问题 1、点到直线的距离：(两平行直线间的距离⟺ 点到直线的距离) 已知直线的单位方向向量为，A是直线上的定点，P是直线外一点，求P到直线的距离： 2、点到平面的距离：【直线与平面间的距离(直线与平面平行) 两个平行平面间的距离⟺ 点到平面的距离】 已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点，求P到平面的距离： 七、用空间向量研究夹角问题 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个（ ），我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则 cos θ＝（ ）|＝ （ ） （ ） 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝（ ）＝ （ ） （ ） 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 cos θ＝（ ）＝（ ） （ ） 巩固练习 1. 已知空间向量，，且，则（    ） A． B． C．1 D．17 2.已知空间向量，，若两个向量互相垂直，则（ ） A．1.5 B．1 C．0.5 D．2 3.已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.在空间直角坐标系中，若对应点，，若关于平面的对称点为，则（    ） A．2 B． C．5 D． 5.空间向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 7．如图，空间四边形OABC中，，点M在线段OA上，且，点N为BC中点，则（    ） A． B． C． D． 8．在三棱柱中，分别是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在棱长为1的正方体中,为线段的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 11.如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点． （1）求异面直线EF与所成角的大小． （2）证明：平面 12．如图，在正四棱柱中，．点E，F，G，H分别在棱上，． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 13．四棱锥中,平面，底面是正方形，，点是棱上一点． (1)求证: 平面平面； (2)当为中点时， 求二面角的正弦值． 参考答案 A .C B .C .C .A .A .D .C C 11．（1）；（2）证明见解析． 【详解】据题意，建立如图坐标系．于是： ，，，，， ∴，，，． （1）， ∴ ∴异面直线EF和所成的角为． （2） ∴，即 ， ∴即． 又∵，平面且 ∴平面． 12.(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图： 在正四棱柱中，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则：，，，， 所以，，所以. 所以. （2）由（1）知，，， 所以，，， 设平面的法向量为，直线与平面所成角为， 则，所以，令，则，， 所以，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 13．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）底面是正方形，， 平面，平面， ，又，，平面， 平面，又平面， 平面平面． （2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 设平面的法向量为，则，取， 设二面角为，由图可知二面角为锐二面角， 所以， 所以，即二面角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $