2.1.1 倾斜角与斜率学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1.1 倾斜角与斜率 梯度分层 基础巩固：概念辨析，公式记忆，夯实根本 回归教材：知识熟用，教材过关，聚焦核心 提升训练：习题突破，提炼策略，素养提升 ( 基础巩固 1 ) 1.直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴 与直线l 的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角为. 因此，直线的倾斜角的取值范围为 . 2.直线的斜率：一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母k表示，即 . 倾斜角是 的直线没有斜率. 3.斜率公式：如果直线经过两点，，，那么斜率公式为 . 4.斜率与方向向量：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为，则 . ( 回归教材 2 ) ①练习 1.已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率： （1）；（2）；（3）；（4）. 2.已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角： （1）；（2）；（3）；（4）. 3.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角： （1），； （2），. 4.已知a，b，c是两两不相等的实数，分别求经过下列两点的直线的倾斜角： （1），； （2），； （3），. 5.经过，两点的直线的方向向量为，求k的值. ②习题 1.已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角. 2.已知四边形ABCD的四个顶点是，求四边形ABCD的四条边所在直线的斜率. 3.m为何值时， （1）经过两点的直线的斜率是12？ （2）经过两点的直线的倾斜角是？ 4.已知三点，这三点是否在同一条直线上？为什么？ 5.过两点的直线l的倾斜角为，求m的值. 6.经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由. ( 提升训练 3 ) 1.已知经过两点和的直线的倾斜角为，则m的值为( ) A. B. C. D. 2.（多选）如图，设直线l，m，n的斜率分别为，，，则( ) A. B. C. D. 3.（多选）在下列四个说法中，错误的有( ) A.在平面直角坐标系内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B.直线的倾斜角的取值范围是 C.若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D.若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 4.已知两点，，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.已知直线l过点和点，则下列说法正确的是( ) A.直线l的倾斜角为 B.直线l的倾斜角为 C.直线l的方向向量可以为 D.直线l的方向向量可以为 6.（多选）若两直线，的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 7.若直线l的斜率k的变化范围是，则l的倾斜角的范围为__________. 8.已知点和点，若直线PM和PN的斜率分别为2和，则点P的坐标为__________；若过点的直线l与线段MN总有交点，则直线l的斜率的取值范围为__________. 9.如图，在菱形ABCD中，，求两条对角线AC与BD所在直线的斜率. 10.已知实数x，y满足，当时，求的最大值与最小值. 答案及解析 一、基础巩固 1.正向 向上 2.正切值 90° 3. 4. 二、回归教材 ①练习 1.答案：（1） （2）1 （3） （4） 解析：（1）直线的斜率为. （2）直线的斜率为. （3）直线的斜率为. （4）直线的斜率为. 2.答案：（1）0° （2）60° （3）120° （4）150° 解析：设倾斜角为，， （1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以； （4）因为，所以. 3.答案：（1），锐角 （2），钝角 解析：设倾斜角为， （1）因为，所以，所以为锐角； （2）因为，所以，所以为钝角. 4.答案：（1） （2） （3） 解析：（3），. 5.答案：2 解析：因为直线的方向向量为，则k为直线的斜率， 所以， 所以k的值为2. ②习题 1.答案： 解析：由，得. 当时，倾斜角是；当时，倾斜角是. 2.答案：见解析 解析：由已知，得 AB边所在直线的斜率；边所在直线的斜率； CD边所在直线的斜率；边所在直线的斜率. 3、（1）答案： 解析：经过A，B两点直线的斜率. 由题意，得.解得. （2）答案： 解析：经过A，B两点的直线的斜率. 由直线AB的倾鈄角是，知斜率， 所以.解得. 4.答案：见解析 解析：在同一条直线上.理由如下：经过A，B两点的直线的㸯率. 经过A，C两点的直线的斜率. 所以A，B，C三点在同一条直线上. 5.答案： 解析：直线l的斜率， 由，得. 解得，或. 当时，点A的坐标是， 点B的坐标是是同一个点，不符合条件. 当时，点A的坐标是， 点B的坐标是，符合条件.所以. 6.答案：见解析 解析：如答图，在线段AB上取点M，连接MP，AP，BP. 观察图形，可知，即. 因此，倾斜角的范围是，或. 三、提升训练 1.答案：C 解析：因为直线的倾斜角为，所以该直线的斜率为，所以，解得.故选C. 2.答案：BCD 解析：由图可知直线l，m，n的倾斜角分别为锐角、钝角、钝角， 所以 又直线m最陡峭 则， 所以，， 故选项BCD正确 故选：BCD 3.答案：ACD 解析：对于A：当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，所以A错误； 对于B：根据直线倾斜角的定义，可得直线倾斜角的取值范围是，所以B正确； 对于C：一条直线的斜率为，此直线的倾斜角不一定为，如直线的斜率为，但它的倾斜角为，所以C错误； 对于D：一条直线的倾斜角为时，它的斜率为或不存在，所以D错误.故选ACD. 4.答案：D 解析：如图所示，因为，，，所以，. 又因为直线l过点且与线段AB相交，所以直线l的斜率需满足或，即.故选D. 5.答案：A 解析：由题意得直线l的斜率，设直线l的倾斜角为，，则，故，故A正确，B错误； 当直线的方向向量为时，其斜率为，故C错误； 当直线的方向向量为时，其斜率为，故D错误.故选A. 6.答案：ABD 解析：对于A，取为锐角，为钝角，则，，，所以，所以A结论错误，符合题意.对于B，取，则两直线的斜率均不存在，所以B结论错误，符合题意.对于C，若，则两直线的斜率存在，即两直线的倾斜角均不是.因为，，又正切函数在上单调递增，在上也单调递增，所以，所以C结论正确，不符合题意.对于D，若，取，，易知，则，，所以是钝角，是锐角，所以，所以D结论错误，符合题意.故选ABD. 7.答案：或 解析：当时，直线l的倾斜角.当时，直线l的倾斜角.当时，.当时，.故l的倾斜角的范围为或. 8.答案：； 解析：设点.因为点和点，又因为直线PM和PN的斜率分别为2和，所以解得所以点P的坐标为.由斜率公式，得直线AM的斜率，直线AN的斜率.因为过点的直线l与线段MN总有交点，所以或，则直线l的斜率的取值范围为. 9.答案：； 解析：在菱形ABCD中，， ，. 又菱形的每条对角线平分一组对角， ，，， ，. 10.答案：的最大值为2，最小值为 解析：如图，设点.由于x，y满足，且，可知点P在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为，. 因为的几何意义是直线OP的斜率，且，， 所以的最大值为2，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$