第1章空间向量与立体几何 知识清单-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

高二数学选修1第一章 空间向量与立体几何知识清单 1、空间向量及线性运算 两概念： 三表示： 两特殊: 三关系： 五法则： 原理：向量为自由向量,具有平移不变性.空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量。 一运算律： 四定理： 2、空间向量数量积运算 1、两向量夹角（向量角）：共起点,记作<,>,范围[0,] 性质：<,>=<> <,>=<,>=-<,> 2、数量积运算：数量积又叫内积，点乘积 数量积（内积）等于模积乘夹角余弦值 3、数量积性质： 注：数量积运算不满足结合律和消去律 3、空间直角坐标系与向量坐标运算 三步骤：定原点，引轴线，标刻度 三结构：三轴，三面，八卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ +++ -++ --+ +-+ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ ++- -+- --- +-- 两方法：确定空间内点的坐标的两种方法 七特殊：空间中七种特殊点的坐标 七对称：空间点的七类对称问题 4、空间向量坐标运算 1. 向量的坐标表示 两明确 四运算：加减数乘、数量积运算 两关系：平行垂直关系的向量表示 三公式：模长、夹角、距离公式 5、空间直角坐标系建系原则和步骤 1.建立空间直角坐标系的原则规范和步骤 一规范：建立空间直角坐标系的叙述规范 三原则：建立空间直角坐标系的三个原则 四步骤： 6.空间位置关系 (1)直线的方向向量：若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. (2)平面的法向量：　　若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量. 法向量垂直面内任意向量 (3)平面的法向量的求法： ①建立适当的坐标系：坚持垂直性原则和对称性原则。找两两垂直的三条直线；找线面垂直；找面面垂直；充分利用等腰三角形三线合一性质； ★法一：直接法：（面的垂线，就是法向量） 找或证明线面垂直：则此线就是平面的法向量。 法二：待定系数法（六步）设选列解赋得 ★★★★★法三：交叉法求法向量 注意：如果求下来的坐标比较复杂，就把坐标的三个数值同时除以公因数，取最简。做解答题的时候建议先把方程组列出来，然后用叉乘法直接在后面写出法向量 (4)三平行，三垂直 7.空间角 (1)线线角： ⑵线面角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角(斜线与平面的交点叫做斜足，在斜线上除斜足外任取一点，往平面引垂线，得垂足，连垂斜，得射影。射影与斜线所成锐角就是斜线与平面所成角的平面角） (3)面面角 二面角定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面 二面角的平面角：是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角. 根据具体图形目测是锐角或是钝角： ◆如果是锐角，则， ◆如果是钝角，则， (4)空间向量求空间角的四个步骤(建找求设套) 8.空间距离 两公式： 三转化 学科网（北京）股份有限公司 $$