模型构建专题 探究与三角形角平分线相关的结论&重点突破专题 三角形的重要线段之间的夹角问题&数学活动-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 云南专版）

模型构建专题 探究与三 类型1两内角平分线的夹角 模型归纳 条件：如图，△ABC中，BO,CO分别 平分∠ABC和∠ACB. 结论：∠B0C=90+2∠A 1.(教材P7习题T,变式)如图，在△ABC中， ∠ABC和∠ACB的平分线BF,CE相交于 点G (1)若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BGC 的度数为； (2)若∠A=50°，则∠BGC的度数为 (3)求证：∠BcC=90+∠A. 类型2一内角平分线与一外角平分线 的夹角 模型归纳 条件：如图，BD,CD分别是△ABC的 内角∠ABC和外角∠ACE的平分线， 结论：∠D=∠A, 2.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线， CE是外角∠ACM的平分 线，BE与CE相交于点E.若 ∠A=60°，则∠E的度数 B 多 10 角形角平分线相关的结论 3.如图，点P是△ABC的内角∠ABC和外角 ∠ACD的平分线的交点，试探究∠P与∠A 之间的数量关系. 类型3两外角平分线的夹角 模型归纳 条件：如图，BD,CD分别是△ABC 的外角∠EBC和∠BCF的平分线」 结论：∠BDC=90°∠A 4.如图，点P是△ABC的两个外角∠EBC, ∠FCB的平分线的交点，试探究∠P与∠A 之间的数量关系 重点突破专题三角形的 类型1三角形中两条高的夹角 1.如图，在△ABC中，CD,BE分别是AB,AC 边上的高，BE,CD相交于点O, (1)若∠ABC=50°，∠ACB=60°，则∠BOC 的度数为 ； (2)求证：∠BOC+∠A=180°. 类型2三角形同一条边上的高与角平 分线的夹角 2.如图，在△ABC中，AE是△ABC的高. (1)如图①，AD是∠BAC的平分线，若 ∠B=38°，∠C=62°，求∠DAE的度数； (2)如图②，延长AC到点F,∠CAE和 ∠BCF的平分线交于点G,求∠G的 度数. DE 图① 图② 重要线段之间的夹角问题 3.(2024·昆明东川区期中)综合与实践课上， 老师让同学们以“三角形的角与三角形的特 殊线段”为主题开展数学活动 (1)【初步探究】在△ABC中，∠B=42°， ∠C=70°，作∠BAC的平分线AD交 BC于点D.在图①中，作AE⊥BC于 E,求∠DAE的度数； (2)【迁移探究】在△ABC中，∠B=42°， ∠C=70°，作∠BAC的平分线AD交 BC于点D.如图②，在AD上任取点F, 作FE⊥BC,垂足为点E,直接写出 ∠DFE的度数为 (3)【拓展应用】如图③，在△ABC中，∠C> ∠B,AD平分∠BAC,点F在DA的延 长线上，FE⊥BC于E,求出∠DFE与 ∠C,∠B之间的数量关系. DE C B DE C B D EC 图① 图② 图③ 11 数学活动 1.“转化”是数学中的一种重要思想方法，同学5.（教材P1活动2变式） 们在研究多边形（边数大于3）的内角和度数 时，通常是将多边形的内角和转化为三角形 的内角和来解决，从而化陌生的问题为熟悉 图① 图② 的情境来解决问题.现从某n边形(n>3) (1)要用三角形内角和定理证明四边形的内 边上的一点（不包含端，点）出发，依次连接多 角和等于360°，只要将四边形分成几个 边形的各个顶点，分割得到的所有三角形的 三角形即可. 内角和是1080°，则n的值为 ( 如图①，连接对角线AC,则四边形ABCD A.5 B.6 C.7 D.8 被分成△ABC,△ACD两个三角形 2.用六根长度相等的火柴棒搭等边三角形，最 由此可得∠BAD+∠B+∠BCD+∠D= 多搭成个。 ∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D= 3.在同一平面内，用若干根同样长的火柴棒搭 (∠2+∠B+∠4)+（∠1+∠3+∠D): 4个同样大小的等边三角形，至少需要火柴 .∠2+∠B+∠4=180°，∠1+∠3+ 棒根。 ∠D=180°， 4.按如图所示方法搭等边三角形： .∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360°. △△☑ 这个问题运用的数学思想是 1个 2个 3个 (2)继续推导五边形和六边形的内角和各是 (1)搭5个三角形需多少根火柴棒？ 多少？从五边形、六边形其中一个顶点 (2)搭n个三角形需多少根火柴棒？ 出发可以把多边形分成若干个三角形， 从而得到各自的内角和，这里运用的数 学思想是 (3)如图②，从五边形一个顶点出发，可以作 2条对角线，它们将五边形分成3个三角 形，五边形内角和等于180°×3；从六边 形一个顶点出发，可以作3条对角线，它 们将六边形分成4个三角形，六边形内 角和等于180°×4；那么从n边形一个顶 点出发，可以作 条对角线，它们 将n边形分成 个三角形，n边 形内角和等于180°× 这里运 用的数学思想是 12参考答案 第十三章 三角形 13.1三角形的概念 基础过关 1.B2.(1)5△ABE,△BEC,△ABC,△DCE,△BCD(2)∠DCD(3)BC (4)ABBE3.B4.35.41 能力提升 6.A7.B8.解：(1)图中共有5个三角形：(2)△ACE,△DCE,△BCE;(3)△DBE与 △CBE,△BAC与△CBE,△DBE与△BAC 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 弥基础过关 帐 1.C2.3(答案不唯-)3.1<x<64.小EF+EG>FG5.A 能力提升 6.D7,解：(1)设底边长为xcm,则腰长为3xcm,∴.x十3x十3x=35,解得x=5,.3x =15,.三边长分别为5cm,15cm,15cm:(2)①当1cm的边为腰时，底边长为35-1 -1=33(cm).1+1<33,∴.不能构成三角形：②当1cm的边为底边时，腰长为(35 1)÷2=17(cm).:1十17>17，∴.符合三角形三边关系，∴.能围成底边为1cm的等腰 她 三角形.综上所述，能围成有一边的长为1cm的等腰三角形.8.解：(1)：三角形的 周长是小于22的偶数，.6十8十c<22,解得c<8.:a,b,c是△ABC的三边长，a=6,b =8,.8-6<c<6十8，即2<c<14,2<c<8.易得c是偶数，∴c=4或c=6:(2)|a十 b-c|+|c-a-b|=a+b-c-(c-a-b)=2a+2b-2c. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 报 新知梳理 ①三三角形的重心②角平分线③三角形的高内部两条直角边外部 延长线上 例题引路 【例】(1)35 (2)25°(3)3 基础过关 1.B2.BCBC S△DS△ABc63.31°4.解：DE∥AC.理由如下：CD是 线△ABC的角平分线，∠ACD=∠1.：∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，DE∥AC.5.C 6.AD1 BC ADC90°2BC·AD 能力提升 7.C8.号9.解：1)ADLBC,AD=6,△ABC的面积为24，Sax=号BC·AD =号BCX6=24,BC=8,:AE是边BC上的中线，∴CE=BE=号BC=4,(2)?点 F为AB的中点，∴.AF=BF,.C△AEF-CAEF=(AE十AF+EF)-(BE+BF十EF)= AE-BE=7-4=3,即△AEF与△BEF的周长差为3. 思维拓展 10.解：(1)当点D为BC的中点时，DE=DF.证明如下：连接AD.点D为BC的中 点，.SAABD=SAD,即AB·DE=2AC·DF.AB=AC,.DE=DF:(2)CG= 第1页（共60页）》 DE+DF.理由如下，连接AD.:SABc=SAm十Sac,.号ABCG=号AB·DE+ 合AC,DF.:AB=AC,CG=DE+DR,【延伸设问】7【规律总结】O等于 ②等于 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角 新知梳理 180 例题引路 【例1】解：设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=5x°.依题意，得x十3x十5x=180,解得x= 20,则3x=60,5x=100,∴∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°.【例2】解：AD平分 ∠BAC,∴.∠BAC=2∠BAD.:∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=3∠BAD,∠C=90°， .2∠BAD+3∠BAD+90°=180°，∴.∠BAD=18°，∴.∠B=3∠BAD=54°. 基础过关 1.C2.80°3.D4.40°5.C6.160 能力提升 7.D8.280°9.解：在△ABC中，：∠ABC=40°，∠C=60°，.∠BAC=180°- ∠ABC-∠C=180°-40°-60°=80°.，AE是△ABC的角平分线，∠EAC= 合∠BAC=号×80=40.：AD是△ABC的商，∠ADC=90,在△ADC中， ∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-60°=30°，∴.∠DAE=∠EAC-∠DAC= 40-30=10.:BF是∠ABC的平分线，∠ABC=40,∠FBC=∠ABC=号× 40°=20°.又∠C=60°，∠CAE=40°，.∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-60° 40°=80°，.∠AEB=180°-∠AEC=180°-80°=100°，.∴.∠BOE=180°-∠FBC ∠AEB=180°-20°-100°=60°. 思维拓展 10.解：(1)90°40°(2)：（∠PBC+∠PCB)+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°， .90°+（∠ABP+∠ACP)十∠A=180°，.∠ABP+∠ACP=90°-∠A;(3)设AB交 PC于点O.:'∠AOC=∠POB,∠ACO+∠A+∠AOC=∠P+∠PBO+∠POB= 180°，.∠ACO+∠A=∠P+∠PBO,即∠ACP+∠A=90°+∠ABP,.∴.∠ACP- ∠ABP=90°-∠A. 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 基础过关 1.C2.60°3.C4.解：△ABC是直角三角形.理由如下：：ED⊥AB,∠ADE= 90°，.∠1+∠A=90°，又：∠1=∠B,∴∠B+∠A=90°，∴∠C=90°，∴.△ABC是直 角三角形. 能力提升 5.A6.解：：AB∥CD,.∠BEF+∠DFE=180°.：EP为∠BEF的平分线，FP为 ∠EFD的平分线，∠PEF=号∠BEF,∠PFE=号∠DFE,∠PEF+∠PFE= ∠BEF+∠DFE)=90°，∴∠P=90,·.△EPF为直角三角形.7.解：(1)∠1= ∠2.理由如下：.CE⊥AB,AD⊥BC,.∠CEB=∠ADB=90°，∴.∠2十∠B=90°，∠1 十∠B=90°，∠1=∠2；(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：：AD⊥BC,CE⊥AB, .∠D=∠E=90°，.∠2+∠ABD=90°，∠1十∠CBE=90°.又：∠ABD=∠CBE, ∴∠1=∠2. 第2页（共60页） 13.3.2三角形的外角 新知梳理 ①延长线②与它不相邻 例题引路 【例1】D【例2】解：：∠B=40°，∠ACB=60°，.∠BAC=180°-∠B-∠ACB=80°. CE是∠ACD的平分线，∠DCE=号∠ACD.:∠ACD=180°-∠ACB=120, .∠DCE=60°，∠E=∠DCE-∠B=60°-40°=20°. 基础过关 1.D2.∠ACD3.C【变式】B4.C5.15°6.607.解：AE∥BD,.∠ADB= ∠1=95°.又：∠ADB=∠C+∠2，∠C=∠ADB-∠2=95°-28°=67°. 能力提升 8.C9.70°10.235°11.垂线的定义三角形外角的性质30°DAE60°三角 形内角和定理80° 思维拓展 12.C解：(1)C(2)∠1十∠2=∠A十180°，理由如下：，∠1=∠A十∠AEF,∠2= ∠A+∠AFE,∴.∠1十∠2=∠A+∠AEF+∠A+∠AFE.又：∠A+∠AEF+ ∠AFE=180°，∠1+∠2=∠A十180°：(3)∠1+∠2=2∠A.理由如下：：△EFP是 由△EFA折叠得到的，.∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF,∠1=180°-2∠AFE, ∠2=180°-2∠AEF,·∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF).又：∠AFE+∠AEF =180°-∠A,.∠1十∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A. 模型构建专题探究与三角形角平分线相关的结论 1.解：(1)120°(2)115°(3)：BF平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠CBG= ∠ABC,∠BCG=合∠ACB,∠BGC=-180-(∠CBG+∠CG)=180°- 合（∠ABC+∠ACB.:∠ABC+∠ACB=180-∠A,∠BcC=180-(180 ∠A)=90+号∠A.2.30°3.解：BP平分∠ABC,∠PBC=7∠ABC.CP 平分∠ACD,∴∠PCD=2∠ACD.'∠ACD=∠ABC+∠A,∠PCD=∠PBC+ ∠P,∴∠P=∠PCD-∠PBC=号∠ACD-号∠ABC=号（∠ACD-∠ABC)= ∠A4解：∠EBC=∠ACB+∠A,∠FCB=∠ABC+∠A,∠EBC+∠FCB =∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A.:BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的平分 线.∠PBC=号∠EBC,∠PCB=∠FCB.∴∠PBC+∠PCB=(∠EBC+ ∠CB)=2180+∠A)=90+7∠A,∠P=180-(∠PBC+∠PCB)=180- (90+2∠A)=90°-2∠A. 重点突破专题三角形的重要线段之间的夹角问题 1.解：(1)110°(2)：∠BDC=∠BEC=90°，∠ABE=90°-∠A,∴.∠BOC=∠ABE +∠BDC=90°-∠A十90°=180°-∠A,∴.∠BOC+∠A=180°.2.解：(1)：∠B= 38,∠C=62,∠BAC=80.:AD是∠BAC的平分线，∠CAD=合∠BAC= 1 X80°=40°.·AE是△ABC的高，∴.∠AEC=90°.·∠C=62,∴.∠CAE=90°-62°= 28°.·∠DAE=∠CAD-∠CAE=40°-28°=12°；(2)：∠CAE和∠BCF的平分线交 于点G,.∠CAE=2∠CAG,∠FCB=2∠FCG.'∠CAE=∠FCB-∠AEC,∠CAG =∠FCG-∠G,∴.2∠FCG-∠AEC=2(∠FCG-∠G)=2∠FCG-2∠G,即∠AEC 第3页（共60页） =2∠G.AE是△ABC的高，∴.∠AEC=90°，∴∠G=45°.3.解：(1)在△ABC中， ∠B=42,∠C=70,∠BAC=68.:AD平分∠BAC,.∠CAD=号∠BAC= 合×68=34.：AE1BC,∠AEC=90.:∠C=70,∠CAE=90°-70=20， ∴.∠DAE=∠CAD-∠CAE=34°-20°=14°；(2)14°(3)在△ABC中，∠BAC=180 -(∠B+∠C,:AD平分∠BAC.∠BAD=∠BAC=90°-合（∠B+∠C. ∴∠ADC=∠BAD+∠B=90°-（∠B+∠O+∠B=90+合∠B-∠C.:FE LBC,∠FED=90,∠DFE=90°-∠ADC=90°-(90+∠B-号∠C) (∠C-∠. 数学活动 1.C2.83.94.解：(1)搭1个三角形，需3根火柴棒：搭2个三角形，需5=3十2根 火柴棒；搭3个三角形，需7=5十2=3十2×2根火柴棒；∴.搭5个三角形需3十4×2= 11(根)火柴棒；(2)由(1)得出，搭n个三角形需3十2(n一1)=2n十1（根）火柴棒. 5.(1)转化思想(2)类比思想(3)(-3)(n-2)(n-2)从特殊到一般 第十三章整合与提升 高频考点突破 1LA2B3.D4稳定性5C6C7A8,解：I)SaA=号BC:AF=× 10X6=30:(2):Sam=AC.BG,AC=29e誉-2X30=12:(3):AD为 BG 5 △ABC的中线，.SAAD=S△AcD.9.B10.100°11.60°12.解：(1)∠B=70°， ∠C=30°，.∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°.AE平分∠BAC, ∠BAE=号∠BAC=合×80=40.：AD1BC,∠ADB=90,.∠BAD=90° ∠B=90°-70°=20°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°：(2)∠B+∠C+ ∠BAC=180,∠BAC=180°-∠B-∠C.:AE平分∠BAC,.∠BAE=2∠BAC =3180-∠B-∠C)=90-(∠B+∠C.:AD1BC,∠ADB=90, ∴∠BAD=90°-∠B,∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-2（∠B+∠C)-(90°- ∠B)=(∠B-∠C.又'∠B-∠C=40,心∠DAE=×40=20.13.解：1 解方程组0+6-11得=5：点A的坐标为(0,51，点B的坐标为6,5,2如图 2a-b=4,b=6, ①，过点C作CE∥OD,∴∠CDO=∠2.：点A的坐标为(0,5)，点B的坐标为(6,5)， ∴AB∥OD,∴.AB∥CE,∴.∠ABC=∠1，∴.∠ABC+∠CDO=∠1+∠2=∠BCD, ÷2-0-202P-202a5:(3)知图@.：∠AD的平分线与∠B0 ∠BCD 的平分线交于点C,∴∠1=∠2，∠3=∠4.由(2)可知：∠C=∠1十∠4=∠2十∠3. :∠C+∠2+∠OBD+∠3=180°，∠OBD=2∠C,∴.∠C+∠C+2∠C=180°，∴.∠C =45° 0 图① 图② 易错易混专攻 1.60°或10°2.8或16 第4页（共60页） 常考题型演练 1.C2.C3.C4.2b5.226.40°7.解：(1)∠E(2):∠BAC和∠ABC的平分 线相交于点D,∠BAD=方∠BAC,∠ABD=号∠ABC:∠C=30,∠BAC+ ∠ABC=180°-∠C=180°-30°=150，·∠ABD+∠BAD=(∠ABC+∠BACO= 7X150°=75.∠D=180°-（∠ABD+∠BAD)=180°-75°=105.△ABD是 于∠ABD的“差倍角三角形”，∠D-∠BAD=2∠ABD,∴.∠D=2∠ABD+ ∠BAD,.105°=∠ABD+75°，∴.∠ABD=105°-75°=30°，∴.∠BAD=45°，∴.∠BAC =2∠BAD=2X45°=90°. 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 新知梳理 ①全等形全等三角形②对应顶点对应边对应角③相等相等 例题引路 【例1】△CBD CB BD∠CDB【例2】解：AD⊥BC.理由如下：·△ABD≌ △ACD,∴∠ADB=∠ADC.又，∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°， ∴.AD⊥BC. 基础过关 1.A2.C3.≌∠A'∠A'BC'∠CAB与A'B',BC与B'C',AC与A'C 4.C5.C6.100 能力提升 7.B8.B9.1310.全等三角形的对应边相等BF CE BF∠DFE全等三角 形的对应角相等DF内错角相等，两直线平行11.解：：△ABC≌△ADE, ∴∠BAC=∠DAE=(∠EAB-∠CAD)=号X(120°-10)=5.：∠DFB是 △FAB的外角，·∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°= 90°.∠DFB是△GDF的外角，.∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65. 思维拓展 12.解：(1)BD=DE十CE.理由如下：△BAD≌△ACE,.BD=AE,AD=CE..BD =AE=AD+DE=CE+DE,即BD=DE+CE:(2)△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥ CE.理由如下：BD∥CE,.∠E=∠BDE.△BAD≌△ACE,.∠ADB=∠E, .∠ADB=∠BDE.,∠ADB+∠BDE=180°，即2∠ADB=180°，∠ADB=90°. 14.2三角形全等的判定 第1课时用“SAS”判定三角形全等 新知梳理 ①全等边角边SAS②不一定 例题引路 AO=CO, 【例1】证明：在△AOD和△COB中，∠AOD=∠COB,∴.△AOD≌△COB(SAS), OD=OB, (AD=BC, ∠D=∠B.【例2】证明：在△ADB和△BCA中， ∠DAB=∠CBA,∴.△ADB≌ AB=BA, △BCA(SAS),..AC=BD 基础过关 1.D2.证明：.∠BAE=∠CAD,.∠BAE十∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC= 第5页（共60页） (AB-AE. ∠EAD.在△ABC和△AED中，∠BAC=∠EAD,∴.△ABC≌△AED(SAS). AC=AD, 3.100°4.证明：：B是AD的中点，AB=BD.BC∥DE,∴∠ABC=∠D.在 AB=BD. △ABC和△BDE中， ∠ABC=∠D,.△ABC≌△BDE(SAS)..∠C=∠E.5.B BC=DE, 能力提升 6.B7.1或3 4 8.解：(1)：∠BAC=∠DAE,∴.∠BAC+∠DAB=∠DAE+ AB=AC, ∠DAB,即∠CAD=∠BAE.在△ABE和△ACD中， ∠BAE=∠CAD,∴.△ABE≌ AE-AD, △ACD(SAS);(2)由(1)知△ABE≌△ACD,∴.∠AEB=∠ADC.又：∠AEG+∠GAE =∠GDF+∠GFD,∴∠GAE=∠GFD.'∠DAE=35°，∴.∠EFD=∠DAE=35°. 思维拓展 9.解：(1)BD=CE,BD⊥CE;(2)BD=CE,BD⊥CE.理由如下：，∠BAC=∠DAE= 90°，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE (AB-AC. 中 ∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS)..∠ABD=∠ACE,BD=CE.a延长 AD-AE, BD交AC于点F,交CE于点H.在△ABF和△HCF中，，∠ABF=∠HCF,∠AFB =∠HFC,∴由三角形内角和定理易得∠CHF=∠BAF=90°，.BD⊥CE. 第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 新知梳理 ①夹边角边角ASA②对边角角边AAS 例题引路 【例1】证明：：MQ⊥PN,∴.∠MQP=∠MQN=90°，∴∠PMQ+∠P=90°.：NR⊥ MP,∴.∠NRP=90°，∴.∠HNQ+∠P=90°，∴.∠PMQ=∠HNQ.在△PMQ和 ∠MQP=∠NQH, △HNQ中，MQ=NQ, .△PMQ≌△HNQ(ASA),∴.HN=PM.【例2】 ∠PMQ=∠HNQ, 证明：，AD∥BC,∠A=∠C.:AE=CF,AE+EF=CF+EF,即AF=CE.在 ∠A=∠C, △ADF和△CBE中，∠D=∠B,.△ADF≌△CBE(AAS),.AD=CB. AF=CE, 基础过关 L.∠AOC∠BOD ASA2.证明：：∠BAD=∠CAE,∴∠BAD+∠DAC=∠CAE ∠B=∠D, +∠DAC,即∠BAC=∠DAE.在△ABC和△ADE中，AB=AD, ..△ABC≌ ∠BAC=∠DAE, △ADE(ASA),BC=DE.3.B4.证明：：AD∥BC,.∠C=∠CAD.∠B+ ∠CED=180°，∠AED十∠CED=180°，.∠B=∠AED.在△ABC和△DEA中， ∠B=∠AED, ∠C=∠EAD,∴.△ABC≌△DEA(AAS). AC-DA. 能力提升 5.D6.247.解：(1)：EF⊥AB于点F,∠BFE=90°，∠DEB+∠ABC=90 第6页（共60页）