第13章 三角形 整合与提升-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 云南专版）

第十三章整 高频考点突破。 考点1三角形的三边关系 1.情境题人字梯如图，人字梯的支架AB,AC 的长度都为2（连接处的长度忽略不计）， 则B,C两点之间的距离可能是 A.3m B.4.2m C.5m D.6m 2.一个三边都不相等的三角形的两边长分别 为6和10，且第三边长为偶数，符合条件的 三角形有 ( A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 考点2三角形的稳定性 3.下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定 性的是 A.太阳能热水器 B.篮球架 乔 C.三脚架 D.活动衣架 4.如图，自行车的主框架采用了三角形结构， 这样设计的依据是三角形具有 考点3三角形的三条重要线段 5.(2024·昆明官渡区期末)下列△ABC中， BC边上的高表示正确的是 合与提升 6.如图，AD,BE,CF依次是△ABC的高、中线 和角平分线，下列式子中，错误的是() A.AE-CE B.∠ADC=90° C.∠CAD=∠CBED.∠ACB=2∠ACF B (第6题图) (第7题图) 7.(2024·昆明五华区校级期中)如图，在 △ABC中，点D,E分别是边BC,AB的中 点.若△ABC的面积等于8，则△BDE的面 积等于 ( A.2 B.3 C.4 D.5 8.如图，△ABC的边BC上的高为AF,中线为 AD,AC边上的高为BG.已知AF=6,BC= 10,BG=5. (1)求△ABC的面积； (2)求AC的长； (3)△ABD和△ACD的面积有何关系？ 考点4三角形的内角与外角 9.如图是一块三角形木板的残余部分，量得 ∠A=100°，∠B=40°，则这块三角形木板另 外一个角∠C的度数为 A.30° B.40° C.50° D.609 13 10.(2024·四川凉山州)如图，在△ABC中， ∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边AB上 的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的 度数是 B (第10题图) (第11题图) 11.数学思想整体思想)如图，△ABC的外角 ∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点 E.若∠BCA=60°，则∠B+∠E的值是 12.(2024·昆明西山区期末)如图，在△ABC 中，AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC交 BC于点E, (1)若∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE的 度数； (2)若∠B-∠C=40°，求∠DAE的度数， D 14 13.(2024·昆明五华区校级期中)在平面直角 坐标系xOy内，已知A(0,a),B(b,5), ra+b=11, 点D在x轴上 12a-b=4,1 A B 图① 图② (1)求点A,B的坐标； (2)如图①，求千品0的值： 2025∠BCD (3)如图②，∠ABO的平分线与∠BDO的 平分线交于点C,∠OBD=2∠C,求∠C 的度数. 《⑨易错易混专攻。 易错点在三角形的计算中因无图未分 类讨论导致漏解 1.在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在 AB边上，连接CD,若△ACD为直角三角 形，则∠BCD的度数为 2.在△ABC中，BC=6,BC边上的高AD=4, 且BD=2,则△ACD的面积为 冒常考题型演练⊙ 1.(2024·陕西)如图，在△ABC中，∠BAC= 90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点， 连接AE,则图中的直角三角形共有() A.2个 B.3个C.4个 D.5个 B D (第1题图) (第2题图) 2.(2024·昆明盘龙区期末)将一副直角三角 尺如图放置，则∠α的大小为 A.95° B.100° C.1059 D.110° 3.情境题侧压腿体育课上的侧压腿动作（图①） 可以抽象为几何图形（图②）.若∠1=115°， 则∠2的度数为 侧压腿式 ● 图① 图② A.10° B.20° C.25 D.30° 4.已知a,b,c为三角形的三边，则c一a一b十 |b十c一a化简后的值为 5.等腰三角形的两边长a,b满足|a-4|+(b 9)2=0,则这个等腰三角形的周长为 6.数学思想整体思想如图，在 △ABC中，BI,CI分别平 分∠ABC与∠ACB.若 ∠BIC=110°，则∠A的度 数为 7.新视角新定义(2024·曲靖富源县期中)新定 义：如果一个三角形存在两个内角之差是第 三个内角的两倍，那么称这个三角形为关于 第三个内角的“差倍角三角形”.例如：在 △ABC中，∠A=100°，∠B=60°，∠C=20°， 满足∠A-∠B=2∠C,所以△ABC是关于 ∠C的“差倍角三角形”. (1)若在△DEF中，∠D=110°，∠E=40°， ∠F=30°，则△DEF是关于 的 “差倍角三角形”； (2)如图，在△ABC中，∠C=30°，∠BAC和 ∠ABC的平分线相交于点D.若△ABD 是关于∠ABD的“差倍角三角形”，求 ∠BAC的度数. 15=2∠G.AE是△ABC的高，∴.∠AEC=90°，∴∠G=45°.3.解：(1)在△ABC中， ∠B=42,∠C=70,∠BAC=68.:AD平分∠BAC,.∠CAD=号∠BAC= 合×68=34.：AE1BC,∠AEC=90.:∠C=70,∠CAE=90°-70=20， ∴.∠DAE=∠CAD-∠CAE=34°-20°=14°；(2)14°(3)在△ABC中，∠BAC=180 -(∠B+∠C,:AD平分∠BAC.∠BAD=∠BAC=90°-合（∠B+∠C. ∴∠ADC=∠BAD+∠B=90°-（∠B+∠O+∠B=90+合∠B-∠C.:FE LBC,∠FED=90,∠DFE=90°-∠ADC=90°-(90+∠B-号∠C) (∠C-∠. 数学活动 1.C2.83.94.解：(1)搭1个三角形，需3根火柴棒：搭2个三角形，需5=3十2根 火柴棒；搭3个三角形，需7=5十2=3十2×2根火柴棒；∴.搭5个三角形需3十4×2= 11(根)火柴棒；(2)由(1)得出，搭n个三角形需3十2(n一1)=2n十1（根）火柴棒. 5.(1)转化思想(2)类比思想(3)(-3)(n-2)(n-2)从特殊到一般 第十三章整合与提升 高频考点突破 1LA2B3.D4稳定性5C6C7A8,解：I)SaA=号BC:AF=× 10X6=30:(2):Sam=AC.BG,AC=29e誉-2X30=12:(3):AD为 BG 5 △ABC的中线，.SAAD=S△AcD.9.B10.100°11.60°12.解：(1)∠B=70°， ∠C=30°，.∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°.AE平分∠BAC, ∠BAE=号∠BAC=合×80=40.：AD1BC,∠ADB=90,.∠BAD=90° ∠B=90°-70°=20°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°：(2)∠B+∠C+ ∠BAC=180,∠BAC=180°-∠B-∠C.:AE平分∠BAC,.∠BAE=2∠BAC =3180-∠B-∠C)=90-(∠B+∠C.:AD1BC,∠ADB=90, ∴∠BAD=90°-∠B,∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-2（∠B+∠C)-(90°- ∠B)=(∠B-∠C.又'∠B-∠C=40,心∠DAE=×40=20.13.解：1 解方程组0+6-11得=5：点A的坐标为(0,51，点B的坐标为6,5,2如图 2a-b=4,b=6, ①，过点C作CE∥OD,∴∠CDO=∠2.：点A的坐标为(0,5)，点B的坐标为(6,5)， ∴AB∥OD,∴.AB∥CE,∴.∠ABC=∠1，∴.∠ABC+∠CDO=∠1+∠2=∠BCD, ÷2-0-202P-202a5:(3)知图@.：∠AD的平分线与∠B0 ∠BCD 的平分线交于点C,∴∠1=∠2，∠3=∠4.由(2)可知：∠C=∠1十∠4=∠2十∠3. :∠C+∠2+∠OBD+∠3=180°，∠OBD=2∠C,∴.∠C+∠C+2∠C=180°，∴.∠C =45° 0 图① 图② 易错易混专攻 1.60°或10°2.8或16 第4页（共60页） 常考题型演练 1.C2.C3.C4.2b5.226.40°7.解：(1)∠E(2):∠BAC和∠ABC的平分 线相交于点D,∠BAD=方∠BAC,∠ABD=号∠ABC:∠C=30,∠BAC+ ∠ABC=180°-∠C=180°-30°=150，·∠ABD+∠BAD=(∠ABC+∠BACO= 7X150°=75.∠D=180°-（∠ABD+∠BAD)=180°-75°=105.△ABD是 于∠ABD的“差倍角三角形”，∠D-∠BAD=2∠ABD,∴.∠D=2∠ABD+ ∠BAD,.105°=∠ABD+75°，∴.∠ABD=105°-75°=30°，∴.∠BAD=45°，∴.∠BAC =2∠BAD=2X45°=90°. 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 新知梳理 ①全等形全等三角形②对应顶点对应边对应角③相等相等 例题引路 【例1】△CBD CB BD∠CDB【例2】解：AD⊥BC.理由如下：·△ABD≌ △ACD,∴∠ADB=∠ADC.又，∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°， ∴.AD⊥BC. 基础过关 1.A2.C3.≌∠A'∠A'BC'∠CAB与A'B',BC与B'C',AC与A'C 4.C5.C6.100 能力提升 7.B8.B9.1310.全等三角形的对应边相等BF CE BF∠DFE全等三角 形的对应角相等DF内错角相等，两直线平行11.解：：△ABC≌△ADE, ∴∠BAC=∠DAE=(∠EAB-∠CAD)=号X(120°-10)=5.：∠DFB是 △FAB的外角，·∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°= 90°.∠DFB是△GDF的外角，.∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65. 思维拓展 12.解：(1)BD=DE十CE.理由如下：△BAD≌△ACE,.BD=AE,AD=CE..BD =AE=AD+DE=CE+DE,即BD=DE+CE:(2)△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥ CE.理由如下：BD∥CE,.∠E=∠BDE.△BAD≌△ACE,.∠ADB=∠E, .∠ADB=∠BDE.,∠ADB+∠BDE=180°，即2∠ADB=180°，∠ADB=90°. 14.2三角形全等的判定 第1课时用“SAS”判定三角形全等 新知梳理 ①全等边角边SAS②不一定 例题引路 AO=CO, 【例1】证明：在△AOD和△COB中，∠AOD=∠COB,∴.△AOD≌△COB(SAS), OD=OB, (AD=BC, ∠D=∠B.【例2】证明：在△ADB和△BCA中， ∠DAB=∠CBA,∴.△ADB≌ AB=BA, △BCA(SAS),..AC=BD 基础过关 1.D2.证明：.∠BAE=∠CAD,.∠BAE十∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC= 第5页（共60页） (AB-AE. ∠EAD.在△ABC和△AED中，∠BAC=∠EAD,∴.△ABC≌△AED(SAS). AC=AD, 3.100°4.证明：：B是AD的中点，AB=BD.BC∥DE,∴∠ABC=∠D.在 AB=BD. △ABC和△BDE中， ∠ABC=∠D,.△ABC≌△BDE(SAS)..∠C=∠E.5.B BC=DE, 能力提升 6.B7.1或3 4 8.解：(1)：∠BAC=∠DAE,∴.∠BAC+∠DAB=∠DAE+ AB=AC, ∠DAB,即∠CAD=∠BAE.在△ABE和△ACD中， ∠BAE=∠CAD,∴.△ABE≌ AE-AD, △ACD(SAS);(2)由(1)知△ABE≌△ACD,∴.∠AEB=∠ADC.又：∠AEG+∠GAE =∠GDF+∠GFD,∴∠GAE=∠GFD.'∠DAE=35°，∴.∠EFD=∠DAE=35°. 思维拓展 9.解：(1)BD=CE,BD⊥CE;(2)BD=CE,BD⊥CE.理由如下：，∠BAC=∠DAE= 90°，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE (AB-AC. 中 ∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS)..∠ABD=∠ACE,BD=CE.a延长 AD-AE, BD交AC于点F,交CE于点H.在△ABF和△HCF中，，∠ABF=∠HCF,∠AFB =∠HFC,∴由三角形内角和定理易得∠CHF=∠BAF=90°，.BD⊥CE. 第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 新知梳理 ①夹边角边角ASA②对边角角边AAS 例题引路 【例1】证明：：MQ⊥PN,∴.∠MQP=∠MQN=90°，∴∠PMQ+∠P=90°.：NR⊥ MP,∴.∠NRP=90°，∴.∠HNQ+∠P=90°，∴.∠PMQ=∠HNQ.在△PMQ和 ∠MQP=∠NQH, △HNQ中，MQ=NQ, .△PMQ≌△HNQ(ASA),∴.HN=PM.【例2】 ∠PMQ=∠HNQ, 证明：，AD∥BC,∠A=∠C.:AE=CF,AE+EF=CF+EF,即AF=CE.在 ∠A=∠C, △ADF和△CBE中，∠D=∠B,.△ADF≌△CBE(AAS),.AD=CB. AF=CE, 基础过关 L.∠AOC∠BOD ASA2.证明：：∠BAD=∠CAE,∴∠BAD+∠DAC=∠CAE ∠B=∠D, +∠DAC,即∠BAC=∠DAE.在△ABC和△ADE中，AB=AD, ..△ABC≌ ∠BAC=∠DAE, △ADE(ASA),BC=DE.3.B4.证明：：AD∥BC,.∠C=∠CAD.∠B+ ∠CED=180°，∠AED十∠CED=180°，.∠B=∠AED.在△ABC和△DEA中， ∠B=∠AED, ∠C=∠EAD,∴.△ABC≌△DEA(AAS). AC-DA. 能力提升 5.D6.247.解：(1)：EF⊥AB于点F,∠BFE=90°，∠DEB+∠ABC=90 第6页（共60页）