专题14.2 旋转（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题14.2 旋转 教学目标 1. 知道图形的旋转的概念． 2. 继续深化几何中的对应关系． 3. 了解旋转的性质；画旋转图形． 教学重难点 1.重点 （1）图形旋转的概念，生活中常见的旋转现象； （2）旋转的性质； （3）旋转的几何应用。 2.难点 （1）求旋转中心（的个数）； （2）旋转的综合应用。 知识点1 图形的旋转 在日常生活中，我们会遇到图形的转动.如图14-2-1,电扇的叶片从位置A绕点O按顺时针方向转动150°,转动到位置B;铣床的铣刀从位置C绕点O按顺时针方向转动40°,转动到位置D. 从上述例子可以看到，电扇叶片的转动、铣床铣刀的转动，虽然转动的角度各不相同，但它们有两个共同的特点：(1)图形都围绕着一个定点作转动；(2)都有一个转动的角度.由此可以得到图形旋转的定义. 在平面上，将一个图形上的所有点绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，这个定点叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角. 【即学即练】 1．下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带上的物品的移动；③钟摆的运动；④荡秋千运动．属于旋转的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．将如图图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（  ） A．B．C．D． 3．如图，若把绕点A旋转一定的角度得到，则 ，的对应角为 ，的对应边为 ． 4．正方形绕其中心至少旋转 度能与原图完全重合 5．如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ． 知识点2 图形的旋转的性质 “某个方向”是指“顺时针方向”或者“逆时针方向”图形的旋转具有下列特点：旋转前的图形与旋转后的图形形状相同，大小相等. 例如，在图14-2-2中，三角形ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度成为三角形A₁B₁C₁,点O是旋转中心，∠AOA₁是旋转角.在三角形ABC的旋转中，点A与点A₁是对应点；线段AB与线段A₁B₁是对应线段，它们的长度相等；∠BAC与∠B₁A₁C₁是对应角，这两个角的大小也相等. 【即学即练】 1．如图，由绕О点旋转而得到，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对应点 B． C． D． 2．如图，将绕点O顺时针旋转变为，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使C，A，在同一条直线上，那么旋转角等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，若，，则旋转角的度数为 ． 题型01 判断旋转现象 【典例1】．下面物体的运动不是旋转现象的是（    ） A．风车的转动 B．国旗的升降 C．钟表分针的运动 D．拧瓶盖 【变式1】．下列运动属于旋转的是（   ） A．踢毽子 B．钟摆的摆动 C．气球升空的运动 D．传送带上物体的运动 【变式2】．下列现象中，属于旋转的是（   ） A．在笔直公路上行驶的汽车 B．在空中直线上升的氢气球 C．风力发电机叶片的转动 D．传送带上物品位置的移动 题型02 判断一个图形旋转而成的图案 【典例1】．下列选项中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．如图，将该图按顺时针方向旋转后的图形是（   ）    A．  B．   C．   D．   【变式2】．将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 题型03 找旋转中心、旋转角,对应点、线段、角 【典例1】．如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．点的对应点是点_________；    线段的对应线段是线段_________，所以_________； 线段的对应线段是线段_________，所以_________； 的对应角是_________，所以_________； 的对应角是_________，所以_________； 旋转中心是点_________； 旋转的方向是_________； 旋转的角度是_________，写出一个等于此角度的角：_________； 的中点的对应点是_________的中点； 与的关系是_________． 【变式1】．加图，将三角形绕点O旋转得到三角形，且，，则：    (1)点B的对应点是____________________． (2)线段的对应线段是_______________． (3)线段的对应线段是_______________． (4)的对应角是__________________． (5)三角形旋转的角度是____________． 【变式2】．如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，那么： （1）点B的对应点是 ，的对应角是 ，线段BC的对应线段是 ； （2）旋转中心是 ，旋转角是 ． 题型04 利用旋转的性质求解Ⅰ 【典例1】．如图，将绕点O按顺时针方向旋转至，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．在图形的旋转过程中，下面有四种说法：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后图形的对应线段相等；④旋转前、后图形的位置一定会改变．上述四种说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，则下列判断错误的是（　　）    A．旋转中心是点C B． C． D．点D是中点 【变式3】．如图，是由绕A点逆时针旋转得到的，若，，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 题型05 利用旋转的性质求解Ⅱ 【典例1】．如图，如果把钟表的指针看作四边形，它绕点O旋转得到四边形，在这个旋转过程中． (1)旋转角是什么？旋转中心是什么？ (2)经过旋转，分别转到什么位置？ (3)与的长有什么关系？与呢？ (4)与有什么关系？ 【变式1】．如图，将绕点逆时针旋转得到，则的大小为 ． 【变式2】．如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长度． 【变式3】．如图，已知在四边形中，，，于点E，旋转后能与重合． (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)如果点A是旋转中心，那么点B经过旋转后，旋转到图中点________的位置． 题型06 求图案的最小旋转角 【典例1】．将如图所示的图案绕其中心至少旋转 度后能与原图案完全重合． 【变式1】．如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 【变式2】．如图是一个正六边形雪花状饰品，它绕着它的中心至少旋转 ，能与自身重合． 题型07 求网格中的旋转中心点；旋转中心的个数 【典例1】．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定角度得到，图中有A、B、C、D四个格点，则旋转中心是 点 【变式1】．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2】．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有 个． 题型08 旋转作图 【典例1】．如图，线段绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段，若A的对应点为，B的对应点为，请用直尺和圆规作出旋转中心O（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】．在方格中画出绕着点C顺时针旋转后的 【变式2】．如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，三角形ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将三角形ABC向右平移5个单位长度得到三角形，画出三角形（点，，分别为点A，B，C的对应点） (2)将三角形ABC绕点C逆时针旋转90°，得到三角形，画出三角形（点，分别为点A，B的对应点）． 题型09 难点分析—旋转的几何应用 【典例1】．已知，中： (1)如果将绕点顺时针旋转得到，点分别与点对应，请画出图形．（不要求写作图步骤） (2)连接与相交于点．如果，点是线段的中点，且，若，试用含有的代数式来表示的面积． 【变式1】．如图，在长方形中，连接，已知边，（） (1)画出三角形绕点C顺时针旋转后的三角形（点A、B的对应点分别为点E、F ），不写画法，写出结论； (2)用含a、b的代数式表示三角形的面积； (3)在（1）和（2）的条件下，连接交于点G，如果长方形的面积，，求的长． 【变式2】．如图，在正方形中，点E是边上的一点（与A，B两点不重合），将绕着点C旋转，使与重合，这时点E落在点F处，联结．    (1)按照题目要求画出图形； (2)若正方形边长为3，，求的面积； (3)若正方形边长为m，，比较与的面积大小，并说明理由． 一、单选题 1．下列运动形式属于旋转的是（    ） A．荡秋千 B．飞驰的火车 C．传送带移动 D．运动员掷出的标枪 2．图中的宸宸是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它顺时针旋转后的图形是（    ）    A．   B．   C．   D．   3．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（    ） A．旋转前和旋转后的图形一样 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．图形上的每一个点旋转的角度都相同 D．图形上可能存在不动的点 4．如下图，将小旗绕点O逆时针旋转，像这样操作3次，得到的图形是（    ）． A． B． C． 5．时钟钟面上的秒针绕中心旋转180°，下列说法正确的是(　　) A．时针不动，分针旋转了6° B．时针不动，分针旋转了30° C．时针和分针都没有旋转 D．分针旋转了3°，时针旋转的角度很小 6．如图，该图形围绕其的旋转中心，按下列角度旋转后，能与自身重合的是（　　）    A． B． C． D． 7．如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（　　） A．点， B．点O， C．点， D．点O， 8．将数字“6”旋转，得到数字“9”；将数字“9”旋转，得到的数字是“6”，现将数字“69”旋转，得到的数字是（　　） A．96 B．69 C．66 D．99 9．在俄罗斯方块游戏中，所有出现的方格体自由下落，如果一行中九个方格齐全，那么这一行会自动消失．已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使图上所有方格自动消失（　　） A．顺时针旋转，向下平移 B．顺时针旋转，向右平移 C．逆时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向右平移 10．如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是（    ）    A．点A B．点 C．点 D．点 二、填空题 11．如图，将绕点A顺时针旋转一定角度得到，若线段，则的长等于 ． 12．如图，若该图形绕其中心旋转能与自身完全重合，则旋转角最小为 度． 13．如图，三角形绕点O逆时针能转到三角形的位置，已知，则 ． 14．如图，将绕着点按顺时针方向旋转得到.若，则 . 15．如图，绕点顺时针旋转后与重合．若，则 ． 16．如图，将三角尺（其中）绕点B按顺时针方向转动一个角度到的位置，使得点A，B，在同一条直线上，那么旋转角 ． 17．如图，将△ACB绕点C顺时针方向旋转43°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC＝ 度． 18．如图，已知中，，，，将绕点旋转，点的对应点落在边上，得，联结，那么的面积为 ．    三、解答题 19．如图，画出四边形ABCD绕点P顺时针旋转60°后的图形. 20．根据要求画出旋转后的三角形． (1)如图①，画出将绕点O逆时针旋转后的； (2)如图②，画出将绕点O旋转后的． 21．如图，将经旋转后到达的位置．问：    (1)旋转中心是哪一点？ (2)如果M是边的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？ 22．如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求的长． 23．如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆． (1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________； (2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）． 24．如图，在边长为6的正方形ABCD内部有两个大小相同的长方形AEFG、HMCN，HM与EF相交于点P，HN与GF相交于点Q，AG=CM=x，AE=CN=y． （1）用含有x、y的代数式表示长方形AEFG与长方形HMCN重叠部分的面积S四边形HPFQ，并求出x应满足的条件； （2）当AG=AE，EF=2PE时， ①AG的长为_______； ②四边形AEFG旋转后能与四边形HMCN重合，请指出该图形所在平面内能够作为旋转中心的所有点，并分别说明如何旋转的． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.2 旋转 教学目标 1. 知道图形的旋转的概念． 2. 继续深化几何中的对应关系． 3. 了解旋转的性质；画旋转图形． 教学重难点 1.重点 （1）图形旋转的概念，生活中常见的旋转现象； （2）旋转的性质； （3）旋转的几何应用。 2.难点 （1）求旋转中心（的个数）； （2）旋转的综合应用。 知识点1 图形的旋转 在日常生活中，我们会遇到图形的转动.如图14-2-1,电扇的叶片从位置A绕点O按顺时针方向转动150°,转动到位置B;铣床的铣刀从位置C绕点O按顺时针方向转动40°,转动到位置D. 从上述例子可以看到，电扇叶片的转动、铣床铣刀的转动，虽然转动的角度各不相同，但它们有两个共同的特点：(1)图形都围绕着一个定点作转动；(2)都有一个转动的角度.由此可以得到图形旋转的定义. 在平面上，将一个图形上的所有点绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，这个定点叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角. 【即学即练】 1．下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带上的物品的移动；③钟摆的运动；④荡秋千运动．属于旋转的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后求解． 【详解】解：①地下水位逐年下降，是平移现象； ②传送带上的物品的移动，是平移现象； ③钟摆的运动，是旋转现象； ④荡秋千运动，是旋转现象． 属于旋转的有③④共2个． 故选：B． 2．将如图图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（  ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了 的旋转现象，直接利用旋转的性质得出对应图形即可，正确掌握旋转方向是解此题的关键． 【详解】 解：将如图图片按顺时针方向旋转后得到的图片是， 故选：D． 3．如图，若把绕点A旋转一定的角度得到，则 ，的对应角为 ，的对应边为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据把绕点A旋转一定的角度得到得出，的对应角为，的对应边为，即可作答． 【详解】解：∵把绕点A旋转一定的角度得到， ∴， ∴的对应角为，的对应边为， 故答案为：，，． 4．正方形绕其中心至少旋转 度能与原图完全重合 【答案】 【分析】本题考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解答关键． 根据对于正n边形，绕其中心旋转的最小重合角度为，从而能计算出正方形绕其中心旋转与原图完全重合的最小角度． 【详解】解：正方形每个顶点移动到相邻顶点的位置，图形完全重合， 故绕其中心旋转的最小重合角度为， 故答案为：． 5．如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ． 【答案】M 【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 判断哪个点到两个三角形的对应点的距离相等，且夹角也相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接M和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点M的距离相等，且夹角都是， 因此格点M就是所求的旋转中心． 故答案为：M． 知识点2 图形的旋转的性质 “某个方向”是指“顺时针方向”或者“逆时针方向”图形的旋转具有下列特点：旋转前的图形与旋转后的图形形状相同，大小相等. 例如，在图14-2-2中，三角形ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度成为三角形A₁B₁C₁,点O是旋转中心，∠AOA₁是旋转角.在三角形ABC的旋转中，点A与点A₁是对应点；线段AB与线段A₁B₁是对应线段，它们的长度相等；∠BAC与∠B₁A₁C₁是对应角，这两个角的大小也相等. 【即学即练】 1．如图，由绕О点旋转而得到，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对应点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．进行判断即可． 【详解】解：由绕O旋转而得到， 点A与是一组对应点，，，故A，B，D都不合题意． 与不是对应角， 与不一定相等，不成立，故C符合题意． 故选：C． 2．如图，将绕点O顺时针旋转变为，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．结合旋转的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点O顺时针旋转变为， ∴，故B，C，D选项正确，不符合题意，选项A不正确，符合题意． 故选：A． 3．如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了旋转的性质，由旋转性质可知，然后由即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转到的位置， ∴， ∴， 故选：． 4．如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使C，A，在同一条直线上，那么旋转角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点．首先根据点、、在同一条直线上，得到，然后利用邻补角互补求解即可． 【详解】解：点、、在同一条直线上， ， ， ． 旋转角等于， 故选：C． 5．如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，若，，则旋转角的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】由题意得，由旋转得，则，即可知旋转角的度数为 本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 【详解】解：由旋转得， ， ， ， 旋转角的度数为 故答案为：． 题型01 判断旋转现象 【典例1】．下面物体的运动不是旋转现象的是（    ） A．风车的转动 B．国旗的升降 C．钟表分针的运动 D．拧瓶盖 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的意义及在实际当中的运用． 根据在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一定的角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角．旋转前后图形的位置和方向改变，形状、大小不变．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、风车的转动是旋转，故此选项不符合题意； B、国旗的升降是平移不是旋转，故此选项符合题意； C、钟表分针的运动是旋转，故此选项不符合题意； D、拧瓶盖是旋转，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】．下列运动属于旋转的是（   ） A．踢毽子 B．钟摆的摆动 C．气球升空的运动 D．传送带上物体的运动 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，解答关键是根据相关定义进行判定． 根据旋转的定义，判断各选项的运动类型． 【详解】解：A． 踢毽子：毽子运动轨迹为抛物线，整体以平移为主，虽有翻转但非绕固定点旋转，不符合题意． B． 钟摆的摆动：钟摆绕悬挂点做圆弧运动，符合绕固定点的旋转定义，符合题意． C． 气球升空：气球垂直上升，属于平移运动，无旋转，不符合题意． D． 传送带上的物体：物体随传送带水平移动，各点运动方向、距离相同，属于平移，不符合题意． 综上，只有选项B是旋转． 故选：B． 【变式2】．下列现象中，属于旋转的是（   ） A．在笔直公路上行驶的汽车 B．在空中直线上升的氢气球 C．风力发电机叶片的转动 D．传送带上物品位置的移动 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，解答关键是根据相关定义进行判定．根据旋转的定义分别判断即可． 【详解】解：A、在笔直公路上行驶的汽车，属于平移，故此选项不符合题意； B、在空中直线上升的氢气球，属于平移，故此选项不符合题意； C、风力发电机叶片的转动，属于旋转，故此选项符合题意； D、传送带上物品位置的移动，属于平移，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型02 判断一个图形旋转而成的图案 【典例1】．下列选项中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查旋转的三要素即旋转中心，旋转角，旋转方向的应用． 根据旋转的性质，判断每个选项的图形是否可由原图形旋转得到。 【详解】解：A．该图形与原图形完全相同，可由原图形旋转（或）得到，故此选项不符合题意； B．原图形绕某点旋转一定角度（如）后，可得到此图形，因为形状、大小未变，只是方向改变，故此选项不符合题意；     C．图形不能由由原图形经过旋转得到，故此选项符合题意；     D．原图形绕某点旋转一定角度（如）后，可得到此图形，形状、大小不变，方向改变符合旋转性质，故此选项不符合题意；     故选：C． 【变式1】．如图，将该图按顺时针方向旋转后的图形是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了判断由一个图形旋转而成的图形，发挥自身的空间想象能力是解题的关键．根据旋转的定义即可直接得出答案．注意，要看清是顺时针旋转还是逆时针旋转． 【详解】 解：根据旋转的定义，将  按顺时针方向旋转后的图形是  ， 故选：． 【变式2】．将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义即可求解，掌握旋转的定义是解题的关键． 【详解】 解：将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是， 故选：． 题型03 找旋转中心、旋转角,对应点、线段、角 【典例1】．如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．点的对应点是点_________；    线段的对应线段是线段_________，所以_________； 线段的对应线段是线段_________，所以_________； 的对应角是_________，所以_________； 的对应角是_________，所以_________； 旋转中心是点_________； 旋转的方向是_________； 旋转的角度是_________，写出一个等于此角度的角：_________； 的中点的对应点是_________的中点； 与的关系是_________． 【答案】见解析 【分析】根据题意旋转性质点的对应点是点，线段的对应线段是线段；线段的对应线段是线段；的对应角是；的对应角是；旋转中心是点；旋转的方向是逆时针；旋转的角度是，与的关系是全等． 【详解】解：是由绕点按逆时针方向旋转得到的，点的对应点是点， 线段的对应线段是线段，所以；线段的对应线段是线段，所以；的对应角是，所以；的对应角是，所以；旋转中心是点；旋转的方向是逆时针；旋转的角度是，写出一个等于此角度的角：；的中点的对应点是的中点；与的关系是全等． 故答案为：，，，，，，，，，，逆时针，  ，（或），，全等． 【点睛】本题考查了旋转的基本概念，注意旋转前后的图形全等是解答本题的关键． 【变式1】．加图，将三角形绕点O旋转得到三角形，且，，则：    (1)点B的对应点是____________________． (2)线段的对应线段是_______________． (3)线段的对应线段是_______________． (4)的对应角是__________________． (5)三角形旋转的角度是____________． 【答案】(1)点 (2) (3) (4) (5) 【分析】根据旋转的定义和性质求解即可． 【详解】（1）解：点B的对应点是点， 故答案为：点； （2）解：线段的对应线段是， 故答案为：； （3）解：线段的对应线段是， 故答案为：； （4）解：的对应角是， 故答案为：； （5）解：三角形旋转的角度是， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图−旋转变换、旋转的定义和性质，熟练掌握旋转的定义和性质是解题的关键． 【变式2】．如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，那么： （1）点B的对应点是 ，的对应角是 ，线段BC的对应线段是 ； （2）旋转中心是 ，旋转角是 ． 【答案】 点 点 或 【分析】本题考查了图形旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应点，对应角，对应线段的关系以及旋转中心和旋转角的确定方法． 根据旋转性质，确定旋转后的对应元素（点，角，线段），以及旋转中心和旋转角． 【详解】（1）由旋转性质可知，旋转得到时，点的对应点是点；的对应角是旋转后的；线段的对应线段是． 故答案为：点；；； （2）旋转中心是旋转过程中位置固定的点，即点；旋转角是对应点与旋转中心连线所成的角，因此是或． 故答案为：点；或． 题型04 利用旋转的性质求解Ⅰ 【典例1】．如图，将绕点O按顺时针方向旋转至，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵将绕点O按顺时针方向旋转至， ∴，又， ∴， 故选：C． 【变式1】．在图形的旋转过程中，下面有四种说法：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后图形的对应线段相等；④旋转前、后图形的位置一定会改变．上述四种说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质即可得到结论． 【详解】解：①对应点到旋转中心的距离相等，故本说法符合题意； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故本说法符合题意； ③旋转前、后图形的对应线段相等，故本说法符合题意； ④旋转前、后图形的位置不一定会改变，也可能重合，故本说法不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【变式2】．是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，则下列判断错误的是（　　）    A．旋转中心是点C B． C． D．点D是中点 【答案】D 【分析】此题主要考查了旋转的性质．根据旋转的性质即可求解． 【详解】解：∵是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上， ∴旋转中心是点C，，，点D不一定的中点， ∴A、B、C结论正确． 故选：D． 【变式3】．如图，是由绕A点逆时针旋转得到的，若，，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是正确找出旋转角．首先利用已知条件求出，然后利用旋转角的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ， 是由绕点旋转得到的， ∴是旋转角， ∴旋转角的度数为． 故选：B． 题型05 利用旋转的性质求解Ⅱ 【典例1】．如图，如果把钟表的指针看作四边形，它绕点O旋转得到四边形，在这个旋转过程中． (1)旋转角是什么？旋转中心是什么？ (2)经过旋转，分别转到什么位置？ (3)与的长有什么关系？与呢？ (4)与有什么关系？ 【答案】(1)或，旋转中心是点O (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了旋转．熟练掌握旋转的定义和性质是解决问题的关键．旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角． （1）根据旋转角的定义和旋转中心的定义回答； （2）根据旋转的定义回答； （3）根据旋转的性质回答； （4）根据旋转的性质回答． 【详解】（1）旋转角是或，旋转中心是点O； （2）经过旋转，分别转到D、E、F的位置； （3）与长的关系，，与长的关系，； （4）与的关系：． 【变式1】．如图，将绕点逆时针旋转得到，则的大小为 ． 【答案】50°/50度 【分析】根据旋转的性质可得出∠B'CB=50°，此题得解． 【详解】解：根据等于旋转角的大小， ∴． 故答案为：50°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，牢记对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键． 【变式2】．如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． （1）由旋转的性质可得，即可得解； （2）由旋转的性质可得，，即可得解． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得：， ∴； （2）解：由旋转的性质可得：，， ∴． 【变式3】．如图，已知在四边形中，，，于点E，旋转后能与重合． (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)如果点A是旋转中心，那么点B经过旋转后，旋转到图中点________的位置． 【答案】(1)点A (2)90° (3)D 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质以及旋转中心的确定，旋转角的确定，以及旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质． （1）根据图形确定旋转中心即可； （2）根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，从而求得旋转角度即可； （3）根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，从而求得对应点即可． 【详解】（1）解：由图可知，点A为旋转中心； （2）解：∵旋转后能与重合， ∴， ∴旋转角是； （3）解：∵旋转后能与重合， ∴， ∴， ∴点B经过旋转后，旋转到图中点D的位置． 故答案为：D． 题型06 求图案的最小旋转角 【典例1】．将如图所示的图案绕其中心至少旋转 度后能与原图案完全重合． 【答案】90 【分析】本题考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转，旋转4次所组成， 故最小旋转角为． 故答案为：90． 【变式1】．如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 【答案】72 【分析】本题主要考查了求旋转角，根据图形的特征有5个小半圆，再求出旋转角即可． 【详解】解：根据题意，大圆内有五个小半圆，将该图形绕中心旋转能与本身重合，其旋转角最小为． 故答案为：72． 【变式2】．如图是一个正六边形雪花状饰品，它绕着它的中心至少旋转 ，能与自身重合． 【答案】 【分析】本题考查利用旋转设计图案，根据图形的对称性质，用除以计算即可得解．理解旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵如图是一个正六边形雪花状饰品， ∴它既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的旋转中心为正六边形的中心， ∴该图形绕着它的中心旋转的整数倍能与自身重合， 即它绕着它的中心至少旋转，能与自身重合． 故答案为：． 题型07 求网格中的旋转中心点；旋转中心的个数 【典例1】．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定角度得到，图中有A、B、C、D四个格点，则旋转中心是 点 【答案】 【分析】本题考查了旋转图形的性质，，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 根据旋转图形的性质，可知旋转中心再对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故答案为：． 【变式1】．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 【变式2】．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有 个． 【答案】2． 【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心． 【详解】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D； 把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C； 综上，可以作为旋转中心的有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 题型08 旋转作图 【典例1】．如图，线段绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段，若A的对应点为，B的对应点为，请用直尺和圆规作出旋转中心O（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】题考查了作图﹣旋转变换，由旋转的性质得，，由此分别作、的垂直平分线，它们的交点为O点，即可求解；理解旋转的性质“对应点与旋转中心的连线段相等．”是解题的关键． 【详解】解：如图， 点O为所作． 【变式1】．在方格中画出绕着点C顺时针旋转后的 【答案】见解析 【分析】本题考查了画图形的旋转；分别确定三点旋转后的对应点，再依次连接即可． 【详解】解：如图所示，即为所求： 【变式2】．如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，三角形ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将三角形ABC向右平移5个单位长度得到三角形，画出三角形（点，，分别为点A，B，C的对应点） (2)将三角形ABC绕点C逆时针旋转90°，得到三角形，画出三角形（点，分别为点A，B的对应点）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： 【点睛】本题考查作图——平移变换、旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键． 题型09 难点分析—旋转的几何应用 【典例1】．已知，中： (1)如果将绕点顺时针旋转得到，点分别与点对应，请画出图形．（不要求写作图步骤） (2)连接与相交于点．如果，点是线段的中点，且，若，试用含有的代数式来表示的面积． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）根据题意求得，，根据，点是线段的中点，得到，，据此即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴， ∵，点是线段的中点， ∴，， ∵是旋转得到的， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的面积公式，掌握旋转的性质是解题的关键． 【变式1】．如图，在长方形中，连接，已知边，（） (1)画出三角形绕点C顺时针旋转后的三角形（点A、B的对应点分别为点E、F ），不写画法，写出结论； (2)用含a、b的代数式表示三角形的面积； (3)在（1）和（2）的条件下，连接交于点G，如果长方形的面积，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可求解； （2）由旋转得，，由三角形的面积即可求解； （3）由题得从而可求，再由，即可求解． 【详解】（1）解：如图 为所求三角形； （2）解：由旋转得 ， ， ； （3）解：由题意得 ， 解得：， ， ， 由图得： ， 整理得： 解得：． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，长方形的性质，面积法等，掌握、之间的转换运算利用面积法求线段的长是解题的关键． 【变式2】．如图，在正方形中，点E是边上的一点（与A，B两点不重合），将绕着点C旋转，使与重合，这时点E落在点F处，联结．    (1)按照题目要求画出图形； (2)若正方形边长为3，，求的面积； (3)若正方形边长为m，，比较与的面积大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)，理由见解析 【分析】（1）按照题目要求根据旋转的性质即可画出图形； （2）根据旋转的性质得出，然后求出和，进而可求的面积； （3）首先求出，然后证明，根据求出，即可比较与的面积大小． 【详解】（1）解：如图所示；      （2）根据旋转的性质可知：， ∵正方形的边长为3， ∴，， ∴； （3）； 理由：根据旋转的性质可知：， ∵正方形的边长为m， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图—旋转变换，旋转的性质，整式混合运算的实际应用，解决本题的关键是掌握旋转的性质，正确求出和． 一、单选题 1．下列运动形式属于旋转的是（    ） A．荡秋千 B．飞驰的火车 C．传送带移动 D．运动员掷出的标枪 【答案】A 【分析】此题主要考查了旋转的定义，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键． 根据旋转的定义得出结论即可． 【详解】由题意知，荡秋千属于旋转， 故选：A． 2．图中的宸宸是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它顺时针旋转后的图形是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了生活中的旋转现象，解题的关键是熟练掌握旋转的定义．根据旋转的定义进行判断即可． 【详解】解：将它顺时针旋转后，只有B选项符合题意． 故选：B． 3．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（    ） A．旋转前和旋转后的图形一样 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．图形上的每一个点旋转的角度都相同 D．图形上可能存在不动的点 【答案】B 【分析】根据旋转的性质对A、B、C进行判断；利用旋转中心为图形上一点的情况可 D进行判断． 【详解】解：A、旋转前和旋转后的图形全等，故A选项不符合题意； B、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B选项符合题意； C、图形上每一点移动的角度相同，都等于旋转角，故C选项不符合题意； D、图形上可能存在不动的点，故D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 4．如下图，将小旗绕点O逆时针旋转，像这样操作3次，得到的图形是（    ）． A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，即可解答．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，将小旗绕点逆时针旋转，像这样操作3次，得到的图形是 故选：B． 5．时钟钟面上的秒针绕中心旋转180°，下列说法正确的是(　　) A．时针不动，分针旋转了6° B．时针不动，分针旋转了30° C．时针和分针都没有旋转 D．分针旋转了3°，时针旋转的角度很小 【答案】D 【分析】根据时钟钟面上秒针绕中心旋转了180°，经过30秒，分针旋转的角度可以计算得出，时针旋转的角度很小． 【详解】时钟钟面上的秒针绕中心旋转180°，分针旋转了360°÷60×＝3°，时针旋转的角度很小．故选D. 【点睛】本题主要考查旋转的定义，结合日常生活中的钟表来计算． 6．如图，该图形围绕其的旋转中心，按下列角度旋转后，能与自身重合的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 因而A、C、D都不正确，不能与其自身重合；能与自身重合的是B． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 7．如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（　　） A．点， B．点O， C．点， D．点O， 【答案】B 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义和性质可知，两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【详解】由题给图形得：绕着点O顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是点O和． 故选：B． 8．将数字“6”旋转，得到数字“9”；将数字“9”旋转，得到的数字是“6”，现将数字“69”旋转，得到的数字是（　　） A．96 B．69 C．66 D．99 【答案】B 【分析】直接旋转的性质结合69的特点得出答案． 【详解】解：现将数字“69”旋转，得到的数字是：69， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，得出旋转后的图形是解题关键． 9．在俄罗斯方块游戏中，所有出现的方格体自由下落，如果一行中九个方格齐全，那么这一行会自动消失．已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使图上所有方格自动消失（　　） A．顺时针旋转，向下平移 B．顺时针旋转，向右平移 C．逆时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向右平移 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可进行求解． 【详解】解：观察图形可知，出现的小方格需逆时针旋转°，向右平移至边界． 故选：D． 【点睛】本题主要是考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 10．如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是（    ）    A．点A B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，作两组对应点所连线段的垂直平分线，交点即为旋转中心，即可得． 【详解】解：如图所示，两组对应点所连线段的垂直平分线的交点B即为旋转中心，    故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 二、填空题 11．如图，将绕点A顺时针旋转一定角度得到，若线段，则的长等于 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性质可直接进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：； 故答案为5． 12．如图，若该图形绕其中心旋转能与自身完全重合，则旋转角最小为 度． 【答案】 【分析】本题考查了旋转对称图形，找出旋转中心，理解“图形绕某一点，旋转一定角度后，能与原图形完全重合，则称此图形为旋转对称图形．”是解题的关键． 【详解】解：如图， 绕其中心旋转能与自身完全重合， 旋转角最小为：， 故答案：． 13．如图，三角形绕点O逆时针能转到三角形的位置，已知，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查旋转的性质，明确旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，利用角的和差即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转到的位置， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 14．如图，将绕着点按顺时针方向旋转得到.若，则 . 【答案】80°. 【分析】先根据旋转角的定义确定出∠AOC=∠BOD=110°，再由角的和差关系求出∠1=30°，从而求出∠BOC的度数. 【详解】解：依题意得：∠AOC=∠BOD=110°， ∵ ∴∠1=∠AOD-∠BOD=140°-110°=30°. ∵∠AOC =110°， ∴110°-30°=80°. 故答案为80°. 【点睛】本题考查了旋转角的定义和旋转的性质. 15．如图，绕点顺时针旋转后与重合．若，则 ． 【答案】/度 【分析】由旋转的性质得，进一步计算即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，是基础题，熟记性质并确定是解题的关键． 16．如图，将三角尺（其中）绕点B按顺时针方向转动一个角度到的位置，使得点A，B，在同一条直线上，那么旋转角 ． 【答案】/120度 【分析】根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：三角板中，旋转角是， 则． 这个旋转角度等于120度． 故答案为：． 【点睛】本题结合直角三角形的性质考查旋转角的计算求解，理解掌握旋转角的意义是解答关键． 17．如图，将△ACB绕点C顺时针方向旋转43°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC＝ 度． 【答案】47 【详解】∵△ACB绕点C顺时针方向旋转43°得△A′CB′,点B与B′对应， ∴∠BCB′=∠ACA′=43°∠A=∠A′， 而AC⊥A′B′， ∴∠CDA′=87°， ∴∠A′=90°−43°=47°， ∴∠A=∠A′=47°. 故答案为47. 18．如图，已知中，，，，将绕点旋转，点的对应点落在边上，得，联结，那么的面积为 ．    【答案】4 【分析】根据旋转的性质可求得=90°及、的长，利用直角三角形的面积公式求解即可． 【详解】∵，，， 由旋转的性质可得： ° ∴=2，=90° ∴的面积为： 故答案为：4 【点睛】本题考查的是旋转的性质，掌握旋转的性质“对应线段相等，对应角相等”是关键． 三、解答题 19．如图，画出四边形ABCD绕点P顺时针旋转60°后的图形. 【答案】图形见解析 【分析】根据旋转角、旋转方向、旋转中心找出旋转后的对称点，顺次连接即可． 【详解】解：所作图形如下所示： 【点睛】本题主要考查的是旋转变换的作图方法，在旋转作图时，一定要明确三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度． 20．根据要求画出旋转后的三角形． (1)如图①，画出将绕点O逆时针旋转后的； (2)如图②，画出将绕点O旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转作图，确定各顶点的对应点是作图关键． （1）确定各顶点绕点O逆时针旋转后的对应点即可； （2）确定各顶点绕点O逆时针旋转后的对应点即可； 【详解】（1）解：如答图①，即为所求． （2）解：如答图②，即为所求． 21．如图，将经旋转后到达的位置．问：    (1)旋转中心是哪一点？ (2)如果M是边的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？ 【答案】(1)旋转中心是点A (2)经过旋转后，点M转到了边的中点处 【分析】本题考查了图形的旋转变化； （1）观察图形，找到公共顶点可得出旋转中心； （2）因为旋转前后是对应边，故的中点M，旋转后就是的中点了． 【详解】（1）∵将经旋转后到达的位置，它们的公共顶点为A， ∴旋转中心是点A． （2）∵旋转前后是对应边，M是边的中点， ∴经过旋转后，点M转到了边的中点处． 22．如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求的长． 【答案】(1)旋转中心为点A，旋转角的度数为； (2)． 【分析】本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质． （1）先求解，由点A旋转后与自身重合可得旋转中心，由B，D是旋转前后的对应点，可得旋转角的大小； （2）由旋转的性质，，再根据为的中点，据此求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴， ∵当逆时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转角的度数为； （2）解：由旋转得，，， ∵为的中点， ∴， ∴． 23．如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆． (1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________； (2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）． 【答案】(1)是，O， (2)周长为，阴影部分的面积为 【分析】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的概念以及最小旋转角的求法是解答此题的关键．旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心．根据定义可知，最小旋转角等于周角除以正多边形的边数． 【详解】（1）解：根据题意，可知这个图案是旋转对称图形，点是旋转对称中心， 这个图案的最小旋转角为； 故答案为：是，O， （2）由题意得，阴影部分的周长为， 阴影部分的面积为． 24．如图，在边长为6的正方形ABCD内部有两个大小相同的长方形AEFG、HMCN，HM与EF相交于点P，HN与GF相交于点Q，AG=CM=x，AE=CN=y． （1）用含有x、y的代数式表示长方形AEFG与长方形HMCN重叠部分的面积S四边形HPFQ，并求出x应满足的条件； （2）当AG=AE，EF=2PE时， ①AG的长为_______； ②四边形AEFG旋转后能与四边形HMCN重合，请指出该图形所在平面内能够作为旋转中心的所有点，并分别说明如何旋转的． 【答案】（1），；（2）①4；②见解析． 【分析】根据矩形和正方形的性质可x、y表示出PH、PF的长，利用长方形面积公式即可得 【详解】（1）∵AG=CM=x，AE=CN=y，四边形ABCD是正方形， ∴，， ∴， ∴重叠部分长方形的面积为：， ∵长方形AEFG与长方形HMCN有重叠部分，正方形ABCD边长为6， ∴3<AG<6，即． （2）①∵AG=AE=EF，EF=2PE， ∴PE=AG， ∵DG=PE，AD=6， ∴AD=AG+DG=AG+AG=6， 解得：AG=4， 故答案为：4 ②如图，连接HF、PQ，设相交的点为点O， ∵AG=AE，EF=2PE， ∴四边形AEFG、都是正方形，点既是的中点也是的中点，点既是的中点也是的中点， ∴该图形所在平面上可以作为旋转中心的点为点、点、点， 四边形绕着点逆时针方向（或顺时针方向）旋转度可与四边形重合； 四边形绕着点顺时针方向旋转度（或逆时针方向旋转度）可与四边形重合； 四边形绕着点逆时针方向旋转度（或顺时针方向旋转度）可与四边形重合． 【点睛】本题考查正方形的性质及旋转的性质，根据四边形AEFG、HMCN都是正方形，正确找出旋转中心是解题关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $