1.3 空间向量及其运算的坐标表示同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 一、单项选择题 1.在空间直角坐标系中，已知点关于原点对称的点为，点关于轴对称的点为，则（ ） A. B. C. D. 2.已知分别是空间直角坐标系中轴、轴、轴正方向上的单位向量，且，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3.若，，则（ ） A. 2 B. 5 C. 21 D. 26 4.已知空间向量，，若，则实数（ ） A. 4 B. 6 C. D. 5.在空间直角坐标系中，已知点，，，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 6.在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. 6 C. D. 22 二、多项选择题 7.如图，在正三棱柱中，的边长为2，三棱柱的高为1，，的中点分别为，，以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则（ ） A. B. C. D. 8.已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则共线 B. 若，则共线 C. 若，，则共面 D. 若，，则共面 9.已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 10.在棱长为1的正方体中，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为______. 11.已知是坐标原点，且，，。若，则点的坐标为______；若，则点的坐标为______. 12.已知向量，，，若共面，则______. 四、解答题 13.已知四边形是平行四边形，且，，。 （1）若，且，求的坐标； （2）求点的坐标； （3）求平行四边形的面积。 14.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，对角线与交于点，平面，与平面所成的角为。 （1）求四棱锥的体积； （2）若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值。 15.如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，。 （1）求线段的长； （2）求与所成角的余弦值。 一、单项选择题 1.答案：A 解析：根据空间点的对称规律计算： 点关于原点对称的点，坐标为（原点对称：横、纵、竖坐标均变号）； 点关于轴对称的点，坐标为（轴对称：不变，变号）； 向量。 2.答案：D 解析：利用向量加法求点坐标： 由，得（是轴单位向量，对应坐标）； 由，得（分别对应轴单位向量）； 点。 3.答案：B 解析：先计算向量运算，再求数量积： 第一步：计算和： ， ； 第二步：计算数量积： 。 4.答案：D 解析：利用垂直向量的数量积为0列方程： 第一步：计算： ； 第二步：由，得： ， 展开化简：，解得。 5.答案：C 解析：通过向量模长判断三角形形状： 计算三边对应向量的模长平方： ，， ，， ，； 验证勾股定理：，即，故是直角三角形。 6.答案：A 解析：先求对称点，再算向量模长： 点关于平面对称的点：平面是的平面，对称后不变，变号，故； 计算：， 模长。 二、多项选择题 7.答案：ABC 解析：先建立坐标系，再验证各选项： 坐标系构建：正三棱柱边长2，高1，是中点，，为轴（），为轴（正三角形高，），为轴（）； 各点坐标：，，； 选项验证： A：（坐标正确）； B：（坐标正确）； C：（向量正确）； D：，模长（错误）。 8.答案：ABC 解析：逐一分析向量共线、共面条件： A：则是零向量，零向量与任意向量共线（正确）； B：，满足，故（正确）； C：设，代入得，解得，存在实数解，故共面（正确）； D：设，代入得，无解，故不共面（错误）。 9.答案：BD 解析：通过向量运算验证各选项： A：，模长（错误）； B：，，数量积（正确）； C：，，数量积（错误）； D：，满足，故（正确）。 三、填空题 10.答案： 解析：基底变换时向量表达式转换： 已知； 新基底满足：，，； 代入得，故坐标为。 11.答案：； 解析：分两种情况计算坐标： 情况1：： ，，， ，故； 情况2：： 。 12.答案： 解析：利用共面向量定理列方程： 若共面，则存在使，即： ； 解前两式：由得，代入第一式得； 代入第三式：。 四、解答题 13.解： （1）第一步：计算： 平行四边形中； 第二步：设，由： ，解得； 第三步：得或。 （2）平行四边形性质：，； 故。 （3）面积公式：； 叉积模长：，故面积为。 14.解： （1）第一步：计算菱形面积： 菱形边长2，，面积； 第二步：求高： 底面，与底面夹角为，（菱形对角线）， ； 第三步：体积。 （2）第一步：建立坐标系：，，，，，； 第二步：计算向量：，； 第三步：数量积与模长： ，，， 余弦值。 15.解： （1）第一步：建立坐标系：，，，是中点； 第二步：计算，模长。 （2）第一步：确定坐标：，； 第二步：计算向量：，； 第三步：数量积与模长： ，， 余弦值。 学科网（北京）股份有限公司 $