1.3空间向量及其运算的坐标表示 同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3空间向量及其运算的坐标表示同步练习卷 一、选择题(共8题；共40分) 1．已知空间向量，，，若，则（　　） A．2 B．-2 C．14 D．-14 2．设，，与垂直，则等于（　　） A．6 B．14 C．-14 D．-6 3．已知向量 ， ， ，则向量 的坐标为（　　）. A． B． C． D． 4．已如向量 ， ，且 与 互相垂直，则 （　　）． A． B． C． D． 5．已知向量 ，则下列向量中与 成 的是（　　） A． B． C． D． 6．已知向量 =（1，1，0），则与 共线的单位向量 =（　　） A． B． 1， C． D． 1， 7．已知 ， ，则 （　　） A．-1 B．1 C．0 D．-2 8．设 ，向量 ， ， ，且 ， ，则 （　　） A． B．3 C． D．4 二、多项选择题(共3题；共18分) 9．已知空间向量，，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在长方体 中， ， ， ，以直线 ， ， 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则（　　） A．点 的坐标为 B．点 关于点 对称的点为 C．点 关于直线 对称的点为 D．点 关于平面 对称的点为 11．下列四个结论正确的是（　　） A．任意向量 ， ，若 ，则 或 或 B．若空间中点 ， ， ， 满足 ，则 ， ， 三点共线 C．空间中任意向量 都满足 D．已知向量 ， ，若 ，则 为钝角 三、填空题(共3题；共15分) 12．若向量 （1，λ，2）， （﹣2，1，1）， ， 夹角的余弦值为 ，则λ=　 　. 13．已知 ， ．若 ，则μ＝　 　；若 ，则λ+μ＝　 　． 14．已知 ， ，且 ，则 　 　. 四、解答题(共5题；共77分) 15．已知，． （1）若，且，求； （2）若与互相垂直，求实数． 16．已知空间三点 ． （1）求向量 与 的夹角； （2）若 ，求实数 的值． 17．已知正方形ABCD的边长为2， 平面 ABCD，且PA=2，E是PD中点．以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ． （Ⅰ）求点 的坐标； （Ⅱ）求 ． 18．如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求： （1）向量，，的坐标； （2），的坐标． 19．如图，建立空间直角坐标系 .单位正方体 顶点A位于坐标原点，其中点 ，点 ，点 . （1）若点E是棱 的中点，点F是棱 的中点，点G是侧面 的中心，则分别求出向量 的坐标； （2）在（1）的条件下，分别求出 ， 的值. 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：因为，，， 所以， 所以， 所以m-n=6-(-8)=14， 故选：C 【分析】利用空间向量平行的性质，列出方程组，解得m，n即可得答案. 2．【答案】C 【解析】【解答】由题设，， ∴， ∴. 故答案为：C 【分析】根据已知向量坐标求的坐标，再由空间向量垂直的坐标表示求. 3．【答案】A 【解析】【解答】向量 ， ， ， 则向量 ， 故答案为：A. 【分析】由空间向量的坐标公式代入数值计算出结果即可。 4．【答案】B 【解析】【解答】 ， ，则 ， 与 互相垂直，则 ， . 故答案为：B. 【分析】由向量垂直的坐标公式代入数值计算出k的值即可。 5．【答案】B 【解析】【解答】对于A选项中的向量 ， ， 则 ； 对于B选项中的向量 ，则 ； 对于C选项中的向量 ， ，则 ； 对于D选项中的向量 ，此时 ，两向量的夹角为 . 故答案为：B. 【分析】用两向量的数量积求夹角公式求出与 成 的向量的坐标。 6．【答案】C 【解析】【解答】因为向量 =（1，1，0） 所以与 共线的单位向量可为 且 解得 所以可得与 共线的单位向量为 或 故答案为：C 【分析】根据题意由空间单位向量和共线向量的坐标公式代入数值计算出结果即可。 7．【答案】A 【解析】【解答】已知 ， ， ， ∴ . 故答案为：A 【分析】由空间向量和数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。 8．【答案】C 【解析】【解答】解： ， ，得 ， 又 ，则 ，得 ， ， ， . 故答案为：C. 【分析】通过 ， ，可列式求出 ，则可求出 ，进而求出 . 9．【答案】A,B 【解析】【解答】向量，， ，则A符合题意， ，则B符合题意， ，则C不符合题意， ，则D不符合题意. 故答案为：AB 【分析】由空间的坐标公式结合向量的加减运算和数量积的运算公式，整理化简计算出结果即可。 10．【答案】B,C 【解析】【解答】根据题意知：点 的坐标为 ，A不符合题意； 的坐标为 ， 坐标为 ， 故点 关于点 对称的点为 ，B符合题意； 在长方体中 ， 所以四边形 为正方形， 与 垂直且平分， 即点 关于直线 对称的点为 ，C符合题意； 点 关于平面 对称的点为 ，D不符合题意； 故答案为：BC. 【分析】用空间点的对称线即可得出答案。 11．【答案】A,B 【解析】【解答】对于A：若 ，则 或 或 ，即 或 或 ，A符合题意； 对于B：由 ，因为 ，所以 ， ， 三点共线，B符合题意； 对于C：向量的数量积运算不满足结合律，C不正确； 对于D： ，当 为钝角或 时， ，解得： ， 故若 ，则 为钝角或 .D不正确； 故答案为：AB. 【分析】由数量积的性质即可判断出选项A正确；由向量共线定理即可判断出选项B正确；由数量积的运算性质即可判断出选项C错误；由数量积的坐标公式求出夹角的余弦值代数式，由已知条件即可得出由此求解出x的取值范围，但是有一种特殊情况时上述范围也成立，进而得出选项D错误；由此得出正确答案。 12．【答案】1 【解析】【解答】∵向量 （1，λ，2）， （﹣2，1，1）， ∴ 2+λ+2＝λ， ， ． 又 ， 夹角的余弦值为 ，∴ ，可知λ＞0． 解得λ＝1． 故答案为：1． 【分析】根据题意由空间数量积的坐标公式即可得出关于λ的代数式，结合空间向量模的定义计算出λ的值，再由数量积的运算公式计算出夹角的余弦值由此得出λ的值即可。 13．【答案】； 【解析】【解答】 ，故 ； ，则 ，即 ，故 ，解得 故 . 故答案为： ； . 【分析】首先由数量积的空间坐标公式结合已知条件计算出的值，再由共线向量的空间坐标公式计算出 λ 和的值即可。 14．【答案】 【解析】【解答】由题，因为 ，所以 ，即 ， 所以 ，则 ， 所以 ， 故答案为： 【分析】由 可得 ，即可求得 ，则 ，进而求模即可 15．【答案】（1）， ， ， ，设 ， ，解得 ，故 或 . （2）， ， 与 互相垂直，即 ， 解得 或 . 【解析】【分析】(1)由空间向量和共线向量的坐标公式即可得出，然后由向量摸的坐标公式代入数值计算出，由此即可得出向量的坐标。 (2)根据题意由空间向量以及数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可。 16．【答案】（1）解：由已知得： ＝（0，3，3）， ＝（－1，1，0）， ， 所以，向量 与 的夹角为60°． （2）解： ， ∵ ， ∴ ， ∴ k×(－k)＋(3－k)×(3＋k)＋3×3＝0， 解得 k＝3或k＝－3 ． ∴ 实数k的值是3或－3． 【解析】【分析】（1）计算出 ，根据向量夹角的公式求得 夹角的余弦值，由此求得这两个向量的夹角.（2）先求得 的坐标，根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得 的值. 17．【答案】解：（Ⅰ）由题意有： ， ， ， ， （Ⅱ）∵ ， ∴ ， ∴ 【解析】【分析】（Ⅰ）利用空间直角坐标系的性质能求出点A，B，C，D，P，E的坐标．（Ⅱ）先求出向量 ，再求 的长 18．【答案】（1）解：由已知条件得出， 则，，. （2）解：因为， 所以. 【解析】【分析】（1）利用空间直角坐标系得出点的坐标，从而可得向量，，的坐标. （2）利用向量加法和减法的坐标运算，从而得出向量，的坐标． （1）由已知， 则，，； （2）， . 19．【答案】（1）解：因为点E是棱 的中点，点F是棱 的中点，点G是侧面 的中心 所以 所以 （2）解：由（1）可得 又由 ，所以 【解析】【分析】(1)由正方体的几何性质以及空间中点的性质即可求出各个点的坐标，由此即可求出向量的坐标。 (2)由(1)的结论结合空间数量积的运算公式即可得出的值，再由空间向量模的定义即可求出的值。 学科网（北京）股份有限公司 $