1.3.2 空间向量运算的坐标表示(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.3.2空间向量运算的坐标表示 1.B“A=(-3,7,-5),0元=号(-3,7，-5)=(-2，-号).点C的坐标为 (-2号，-号).故选B. 2.Ca十b=(-1,-2,-3)=-a,故(a十b)·c=-a·c=7,得a·c=-7,而|a|= V2+2+32-V14,所以c0s<a,c>=品=-克，所以<a,c>=120°. AB-BC=0, 3.D由BPL平面ABC,可得BP1AB,.BPLBC,又1BC,: 配A市=0，即 BP.BC=0, (3+5-2z=0, g2.9中9-5-年 4.B由OA=(1,2,1)，,0B=(1,-1,0),显然OA,OB不共线，根据平面向量基本定理可 得OC=入OA+Oi=(入+u,2入一，入)，故C点坐标为（入+u,2入-4，入），经验 算只有B选项符合条件，此时入=1，μ=2.故选B. 5.CAB=(3,4,-8),A元=(5,1，-7)，B元=(2，-3,1)，·1AB1= 32+4+-8}-V89,1aC1=V52+1P+-7=-5,1Bc1=V2+-3P+=V4, |AC|2+|B元|2=|AB|2,△4BC一定是直角三角形. 6.BC因为2a十b=(-1,2,7),a=(-2,-1,1),而号≠子≠子，所以2a十b与a不共线， 故A不正确：因为|a|=6,|b|=5V2,所以5|a|=51b1,故B正确：因为a·(5a十6b) =5a2+6a·b=5×(4+1+1)+6×(-6-4+5)=0,所以a⊥(5a十6b),故C正确：因为a· b=-5,所以os<,b>=5X3=一县，故D不正确 5 7.AC由1a=2,可得12+1P+=2,解得m=±V2,故A选项正确：由alb,可得 一2一m十1十2m=0,解得m=1,故B选项错误；若存在实数入，使得a=入b,则 11=-21, -1=入(m-),显然A无解，即不存在实数入，使得a=b,故C选项正确：若ab=一1，则 m=21, -2一m+1+2m=一1，解得m=0,于是a+b=(一1，一2,2)，故D选项错误. 1/4 ·独家授权侵权必究。 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+款辅专家 8 解析：由已知，得b-a=(2,t,t)一(1-t,1-t,t)=(1+,2t-1,0)..|b-a =√(1+t+2t-1+0=5t2-2t+2=V5(t-专)2+号.∴当=专时，1b-a取最小值， 最小值为。 9.(3,0,1)解析：设直线AB与平面Oxz的交点为P(a,0,b),因为A,B,P三点共线，则 A∥AB,因为A(1,-2,-3),B(2,-1,-1),所以A=(a-1,2,b+3),AB=(1, （a=3, 1,2),则兰==空，解得{b=1,则P(3,0,1D· 10.解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, D 则D(0,0,0),E(0,0,),B(1,1,0),C(0,1,0),F(,,0),G(1,1,). 所以DB=(1,1,0),E=(,,-),C=(3,-,0),CG=(1,0,),C2= (0,-1,支). (1)证明：因为C示·D成=×1-×1=0，C示·EF=号×生-寺×=0， 所以CF⊥D,C⊥E,即CF⊥DB,CF⊥EF, 又DB,EFC平面DEF,DB∩EF=F, 故CF⊥平面DEF (2)因为扉G=×1+×0+(-)×生=，1扉1=√传+传+(-专Y-,1cG -2+02+传-号， 以o成，元>=恶-年- c成 15· 所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为四 15 11.B因为向量a=(2,一1,3)，b=(-4,2,t)的夹角为钝角，所以a·b<0,且a,b不共 线，则a·b=-10十3t<0,解得t<号.当aWb时，f=-6,所以实数t的取值范围为(-∞，-6) U(-6,号).故选B. 2/4 独家授权侵权必究· 。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 12.C设A正=九AB,因为A(-3,-1,4),B(-2,-2,2),所以AB=(1,-1,-2), A正=（1，-A,-2A),A0=(3,1,-4),02=A正-A0=(入-3，--1，-2入+4)， 因为02⊥，所以-2（入-3）+(-入-1)+(-2入+4)=0，解得入=号，又A(-3,-1,4), A正=得，一号，一号)，所以点E的坐标为(-号，一兰，) 13.28V3解析：由已知得AC=(2,-6,4),AB=(-4,-2,6),所以1A元1= V22+(-6P+42=2V4,1寇1=-4P+(-2P+62=214,所以c0s<AC,AB>= 念福=器-生，又<AC,丽>∈[0，，则sm<AC,B>-V1-c0s<Ac丽 A元4应-8+12+24 号，所以以4B,4C为g边的平行四边形的面积为S-专×24×24×号×2=28V5, 14.解：由题意，正方体ABCD-41B1C1D1的棱长为2，则A(2,0,0),B(2,2,0),A1(2,0, 2),D(0,0,0),C(0,2,0),设E(0,a,2)(0≤a≤2)，F(b,2,2)(0≤b≤2)， 则E=(b,2-a,0),A41C=(-2,2,-2),A正=(-2，a,2)，B=(b-2,0,2), 所以E重·A1C=4-2(a十b),A正·BF=8-2b. 选择①：因为(D正+C)上(D正-C市)， 所以D+C)·(D呢-C)=0,正2=CF,得a=b, 若E·A1C=0,得4-2(a十b)=0,则a=b=1, 故存在点E(0,1,2),F(1,2,2)，满足EF⊥A1C,此时A正·BF=8-2b=6. 选择②：因为1呢1=吗，所以2+4=吗，得a=, 若EF·A1t=0,即4-2(a十b)=0,得b= 故存在点E(0,支，2)，F(2,2,2)，满足EFLA1C,此时A正·BF=8-2b=5. 选择③：因为0<cos<E序，DB><1,所以E乎与DB不共线， 所以b≠2-a,即a十b≠2， 则EF·A1C=4-2(a+b)≠0， 故不存在点E,F满足EFLA1C. 15.解：(1)由a=[1,2,3],b=[-1,1,2],知a=i+2j+3k,b=-i+j+2k, 所以a+b=(i+2j+3k)+(-i+j+2k)=3i+5k, 所以a+b=[0,3,5]. 3/4 独家授权侵权必究· 。学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2Zxxk.com○ 您身边的互联网+款辅专家 (2)设i,j,k分别为与AB,AD,AA同方向的单位向量， 则AB=2i,AD=2j,AA1=3k ①ED1=AD1-A正 (AD+AA)-(AB+AA) =-A丽+AD+AA =-2i+2j+k=[-2,2,号]. ②由题得AC1=AB++AA=2i+2j+3k, 因为A=[2,t,0],所以AM=2i+, 由A应1AC1知A应·AC1=(2i+2j+3k)·(2i计j)=0→4+2+(4+2)i·j+6k·i计3kj =0→4+21+(4+2)·是+3+孳=0→1=-2. 则1AM1=12i-2j1=V(2i-2j片 =V4i2+4-8ij=V4+4-4=2. 4/4 ·独家授权侵权必究· 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 1.已知A（3，－2，4），B（0，5，－1），若＝（O为坐标原点），则点C的坐标是（　　） A. B. C. D. 2.已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝，若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 3.已知＝（1，5，－2），＝（3，1，z），若⊥，＝（x－1，y，－3），且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝（　　） A. B. C.1 D. 4.在空间直角坐标系中，已知三点O（0，0，0），A（1，2，1），B（1，－1，0），若点C在平面OAB内，则点C的坐标可能是（　　） A.（－1，－1，3） B.（3，0，1） C.（1，1，2） D.（1，－1，2） 5.在空间直角坐标系中，已知点A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC一定是（　　） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6.〔多选〕已知空间向量a＝（－2，－1，1），b＝（3，4，5），则下列结论正确的有（　　） A.（2a＋b）∥a B.5｜a｜＝｜b｜ C.a⊥（5a＋6b） D.a与b夹角的余弦值为 7.〔多选〕已知向量a＝（1，－1，m），b＝（－2，m－1，2），则下列结论中正确的是（　　） A.若｜a｜＝2，则m＝± B.若a⊥b，则m＝－1 C.不存在实数λ，使得a＝λb D.若a·b＝－1，则a＋b＝（－1，－2，－2） 8.已知a＝（1－t，1－t，t），b＝（2，t，t），则｜b－a｜的最小值是　　　　. 9.在空间直角坐标系中，已知A（1，－2，－3），B（2，－1，－1），则直线AB与坐标平面Oxz的交点坐标为　　　　. 10.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点. （1）求证：CF⊥平面DEF； （2）求异面直线EF与CG所成角的余弦值. 11.已知向量a＝（2，－1，3），b＝（－4，2，t）的夹角为钝角，则实数t的取值范围为（　　） A.（－∞，－6） B.（－∞，－6）∪（－6，） C.（，＋∞） D.（－∞，） 12.已知向量a＝（－2，1，1），点A（－3，－1，4），B（－2，－2，2）.在直线AB上，存在一点E，使得⊥a，其中O为坐标原点，则点E的坐标为（　　） A.（，－，） B.（，－，－） C.（－，－，） D.（－，－，－） 13.已知空间三点A（0，1，2），B（－4，－1，8），C（2，－5，6），则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为　　　　. 14.在①（＋）⊥（－）；②｜｜＝；③0＜cos＜，＞＜1这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题. 问题：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.已知点D1的坐标为（0，0，2），E为棱D1C1上的动点，F为棱B1C1上的动点，　　　　，试问是否存在点E，F满足EF⊥A1C？若存在，求·的值；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 15.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i，j，k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴，y轴，z轴）正方向的单位向量，若向量n＝xi＋yj＋zk，则n与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量n的斜60°坐标为[x，y，z]，记作n＝[x，y，z]. （1）若a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，求a＋b的斜60°坐标； （2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，如图，以{，，}为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若＝，求向量的斜60°坐标； ②若＝[2，t，0]，且⊥，求｜｜. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $