2.2三角形全等的判定 同步练习 2025-2026学年 青岛版初中数学八年级上册

2.2三角形全等的判定 同步练习 分数：120分 考试时间：120分钟 命题人： 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在矩形中，，，点在线段上运动含、两点，将点为绕点逆时针旋转到点，连接，则线段的最小值为(    ) A. B. C. D. 2.如图，正方形的边长是，对角线、相交于点，点、分别在边、上，且，则四边形的面积是(    ) A. B. C. D. 3.如图，在四边形中，已知添一个条件，使≌，则不能作为这一条件的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，点是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是，，若，，则的长是(    ) A. B. C. D. 5.如图，已知，，如果只添加一个条件不加辅助线使，则添加的条件不能为(    ) A. B. C. D. 6.如图，，，，，垂足分别是点、，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，点在边上，点在边上，，于点，，连接，若，，则线段的长是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接当点，，在同一条直线上时，下列结论不正确的是(    ) A. ≌ B. C. D. 9.如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接当点，，在同一条直线上时，下列结论不正确的是    ． A. ≌ B. C. D. 10.如图，已知，，，点、、、共线．则下列结论，其中正确的是(    ) ≌ ；    ；     ；    ． A. B. C. D. 11.如图，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上；与交于点，与交于点，与交于点，连接、，则下列结论：；；；；其中正确的结论个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 12.如图，以的斜边为一边在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接，如果，，那么的长等于(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.如图，正方形边长为，点，分别是边，上的动点且，作于点，则的最小值是______． 14.如图，在中，，，是边上的中线，，则的面积是          ． 15.如图，是的角平分线，，垂足为点，，若和的面积分别为和，则的面积为          ． 16.如图，将个边长都为的正方形按如图所示的方式摆放，点，，，分别是正方形的中心，则个这样的正方形重叠部分的面积和为          ，则个这样的正方形重叠部分的面积和为          用含的代数式表示． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，，，。求的大小。 18.本小题分 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线写出图中相等的角，并说明理由． 19.本小题分 如图，已知，点、、、在同一条直线上并且． 试说明：≌； 判断线段与线段的数量关系和位置关系，说明理由． 20.本小题分 如图，在中，作的平分线，交于点在射线上，截取线段，使． 请用直尺和圆规补全图形保留作图痕迹，不写作法 连接，求证：． 21.本小题分 如图，，，． 求证：． 用直尺和圆规作图：过点作，垂足为不写作法，保留作图痕迹 22.本小题分 如图，已知，． 求证：≌； 若，，求长． 23.本小题分 中，，，点在上，点在上，且，，连、． 找出图中全等图形，并证明； 求的度数； 24.本小题分 如图，中，，为高，且与交于点，，． 求证：； 若，，求的面积． 25.本小题分 正方形的边长为，，分别是，边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到． 求证：； 当时，求的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于． 由旋转可知：，， ，都是等边三角形， ，，， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ，， 点在射线上运动， ， ， ，， ， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为， 故选：． 如图，以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于利用全等三角形的性质证明，推出，推出点在射线上运动，求出，可得结论． 本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点的在射线上运动，属于中考选择题中的压轴题． 2.【答案】  【解析】解：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， 的面积的面积， 四边形的面积正方形的面积； 故选：． 证明≌，得出的面积的面积，得出四边形的面积正方形的面积即可． 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 3.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理判断求解即可． 【解答】 解：已知，， 添加，利用得出≌，故A不符合题意； 添加，利用得出≌，故B不符合题意； 添加，利用得出≌，故C不符合题意； 添加，不能得出≌，故D符合题意； 故选：． 4.【答案】  【解析】解：延长交于点，如图： 则， ，即正方形的边长为， ，， 在中，， 故选：． 延长交于点，则，正方形的边长为，，运用勾股定理即可求解． 本题考查正方形的性质及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了全等三角形的判定，能理解和运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，难度适中． 先求出，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【解答】 解：， ， ， A、根据，，不能推出≌，故本选项正确； B、因为，，，所以符合定理，即能推出≌，故本选项错误； C、因为，，，所以符合定理，即能推出≌，故本选项错误； D、因为，，，所以符合定理，即能推出≌，故本选项错误； 故选A． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中档题． 根据条件可以得出，进而得出≌，就可以得出，，就可以求出的值． 【解答】 解：，， ， ． ， ． 在和中， ， ，． ， 故选：． 7.【答案】  【解析】解：于点，， 和都是直角三角形， 在和中， ， ≌， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， 故选：． 根据题意，可证≌，得到，则有，再证≌，得到，由，即可求解． 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握其判定的方法和性质是解题的关键． 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】略 10.【答案】  【解析】解：， ， ，， ≌，故正确， ，故正确， ， ， ， ，故正确， 无法判断， 故选A． 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 想办法证明≌，利用全等三角形的性质即可解决问题； 11.【答案】  【解析】解：和均是等边三角形， ，，，， ，， 在与中， ， ≌， ， 故结论正确，该选项符合题意； ， 在与中 ， ≌， ，， 是等边三角形， ， ， ∽，∽， ，， ，， ， 故结论错误，该选项不符合题意；结论正确，该选项符合题意； 过作，， ，， ， 在与中， ， ≌， ， 平分， 故结论正确，该选项符合题意， 综上所述，正确的结论是，共个， 故选：． 根据和均是等边三角形得到，，，，即可得到即可得到≌，即可判断，从而证明≌即可得到，得到是等边三角形即可判断，过作，，证明≌，即可得到，即可得到角平分线即可判断． 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 12.【答案】  【解析】【分析】 此题考查正方形的性质，本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．在上取一点，使，连接，可证得≌，从而得到，再可证是等腰直角三角形，根据求出，也就求得． 【解答】 解：在上取一点使，连接， ，， ， ≌ ， 即： 是等腰直角三角形，勾股定理 ． 故选D． 13.【答案】  【解析】解：延长，交于点， 由正方形边长为，，， 得， 又由， 得≌， 得， 得， 由． 得的最小值是． 故答案为：． 延长，交于点，由正方形边长为，，，得，又由，得≌，得，得，即可得． 本题主要考查了正方形中的最小值问题，解题关键是构造全等三角形． 14.【答案】  【解析】如图，延长到点，使，连接．为的中点，又，，，又，，，是直角三角形，，． 15.【答案】  【解析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，根据题意证明、是解题的关键．过作于，根据角平分线的性质得到；根据定理得到，由全等三角形的面积相等得到；由，，，根据得到，由全等三角形的面积相等得到；根据，，把和的面积分别为和代入计算得到答案． 【详解】解：过作于， ， ， 是的角平分线， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ． 故答案为： 16.【答案】   【解析】略 17.【答案】解：在和中， 所以≌， 所以，。 同理可证≌， 所以，。 又因为，所以，。 又因为，， 所以，即。   【解析】见答案 18.【答案】，见解析 【详解】解：，理由：延长至点，使，连接，如图， 四边形是邻等对补四边形，，，，，，，，，．   【解析】略 19.【答案】见解析；   ，理由见解析．  【解析】证明：， ， 点、、、在同一条直线上并且， ， 在和中， ， ≌； 解：，；理由如下： 由知：≌， ，， ． 直接利用全等三角形的判定方法可得出答案； 由全等三角形的性质可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件． 20.【答案】解：补全图形如图所示：   证明：如图，连接，  为 的平分线， ， 在 和 中， ， ≌，  【解析】解：根据角平分线的作法和线段的作法，补全图形如图所示： 证明：如图，连接，  为 的平分线， ， 在 和 中， ， ≌， ． 根据角平分线的作法和线段的作法即可补全图形； 连接，由角平分线的定义得，再根据证≌，即可证出结论． 本题考查了作角平分线，全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 21.【答案】， ， ． 在和中， ， ≌， ；   如图，即为所求．   【解析】证明：， ， ． 在和中， ， ≌， ； 解：过点作，垂足为如图，即为所求． 根据题意证明≌，利用全等三角形性质求解，即可解题； 利用等腰三角形底边上三线合一，可知过点作，即作的垂直平分线，根据垂直平分线作法作图，即可解题． 本题考查作图基本作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质，以及垂直平分线作法，解题的关键在于结合等腰三角形性质理解过点作，即作的垂直平分线． 22.【答案】证明：， ， 在和中， ， ≌． 解：≌， ， ．  【解析】根据证明≌即可； 利用全等三角形的性质即可解决问题； 本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 23.【答案】解： ≌， 理由如下： ，， ， 且，， ≌ ≌， ，， ， ，且， ， ．  【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明≌是本题的关键． 由“”可证≌； 由全等三角形的性质可得，，由外角性质和等腰三角形的性质可求，即可求解． 24.【答案】证明：中，，为高， ，， ， 在和中， ， ； 解：，，， ，， ， ，， ， ．  【解析】证明，利用已知和即可证明； 根据全等的性质得到，，得到，则，，求出，利用三角形面积公式即可求出答案． 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 25.【答案】证明：逆时针旋转得到， ， 、、三点共线， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ； 解：设， ，且， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 则．  【解析】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理． 由旋转可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出； 由第一问的全等得到，正方形的边长为，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $